15.08.2023 18:23
Sergey_Kovalenko 276 20000 Источник

(фотография треков частиц и античастиц. источник: www.sciencephoto.com )

В чем, собственно, вопрос


Когда вы учились в школе, разве у вас не возникало желание получить простое объяснение, почему при умножении чисел “минус на минус” дает “плюс”? С умножением двух положительных все просто: $3 \times 5$ — это, когда у вас есть $3$ корзины по $5$ яблок. Умножение положительного и отрицательного тоже легко себе представить: $3 \times (-5)$ — это когда вы одолжили у соседа $3$ корзины по $5$ яблок в каждой и все эти яблоки уже съели. Но как тогда при помощи корзин и яблок предать смысл произведения $(-3) \times (-5)$ и почему оно неожиданно оказывается тем же самым, что и $3 \times 5$?

Этот вопрос — он не то, чтобы совсем простой. Когда я вновь задумался о нем, мне уже был знаком почти весь курс университетской математики, но даже с этим багажом знаний поиск ответа занял у меня почти неделю. Я до сих пор считаю, что получил его скорей случайно.

Объяснение, которое я тогда обнаружил, кажется мне по-настоящему красивым и в то же время достаточно простым, чтобы о нем стоило попробовать рассказать школьникам. Повествование у меня получилось, конечно, не самым кратким, но я старался составить его так, чтобы до всех ключевых идей мой читатель смог догадаться (почти) сам.

Если у вас неправильно отображаются формулы, попробуйте несколько раз перезагрузить страницу. Приятного чтения.


1. Недостатки школьного объяснения и способ их преодолеть


1.1 “Доказательство” из учебника


Умножение отрицательных чисел в школьной программе впервые встречается при изучении целых. Множество целых определяется как множество, состоящее из натуральных, им противоположных “отрицательных чисел” и нуля. Свойство противоположности натурального n и противоположного ему отрицательного -n выражается тождеством:
$def) \ n + (-n) = 0 \ \ \ \ \ \ (1)$

Предполагается, что к моменту, когда школьникам предстоит познакомиться с умножением целых, они уже научились их складывать и успели убедиться, что такое сложение подчиняется многим из тех арифметических законов, которым прежде подчинялось сложение натуральных. В частности, как и для натуральных:

$A0) \ a + c = b + c$ справедливо тогда и только тогда, когда $a = b$.

Дальше обычно говорятся примерно такие слова:

Мы хотим ввести умножение целых так, чтобы оно подчинялось тем же основным арифметическим законам, что и умножение натуральных:

$A1)\ a \cdot b = b \cdot a$ (коммутативности);
$A2)\ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ (ассоциативности);
$A3)\ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ (дистрибутивности со сложением);
$A4)\ 1 \cdot a = a$;
$A5)\ 0 \cdot a = 0$.

Покажем, что, если и существует способ это сделать, то обязательно:

a) для любого отрицательно $-n$ и любого положительного $m$
$m \cdot (-n) = - (mn) \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$;

b) для любых отрицательных $-m$, $-n$
$(-m)\cdot(-n) = mn \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$.

Доказательство a):

$-(mn) + mn \underset{def}{=} 0 \underset{A5)}{=} m \cdot 0 \underset{def}{=} m \cdot \bigl( (-n) + n \bigr) \underset{A3)}{=} m \cdot (-n) + mn \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

откуда:

$-(mn) + mn = m \cdot (-n) + mn \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$,

применяя к последнему равенству $A0)$, получаем:

$-(mn) = m \cdot (- n) \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$

Доказательство b):


$-(mn) + mn \underset{def}{=} 0 \underset{A5),def}{=} (-m) \cdot \bigl( n + (-n) \bigr) \underset{A3),a)}{=} -(mn) + (-m) \cdot (-n) \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$

откуда:

$ -(mn) + mn = -(mn) + (-m) \cdot (-n) \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$

и снова обращаясь к $A0)$, получаем искомое тождество:

$mn = (-m) \cdot (-n) \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$.

1.2 Критика.


В чем недостаток только что приведенного “доказательства”?
Главный — в его условности, ведь оно начинается со слов “если и существует”. Чтобы понять всю шаткость выводов, сделанных на предположении существования, рассмотрим похожий пример.

Если среди натуральных чисел и существует такое $x$, что $x^2=-1$, то $x^4 = (x^2) \cdot (x^2) = (-1) \cdot (-1) = 1$. Эта цепочка рассуждений логически безупречна, а среди натуральных только $x=1$ возведенное в четвертую степень равно единице, но ведь вы не будете из этого всего делать вывод, что $1\cdot 1 = -1$?

Выходит, что мы по-прежнему не можем быть уверены, существует ли на целых числах умножение, которое удовлетворяет арифметическим законам $A1) - A5)$. Из этого затруднения можно пытаться выбраться по-разному. Способ, основанный на формальном подходе, состоит в том, чтобы правила $(-m) \cdot (-n) = mn$ и $m \cdot (-n) = -(mn)$ принять за определение произведения целых, а затем проверить, что такое определение превращает формулы $A1) – A5)$ в тождества. В частности, для доказательства истинности $A3)$, было бы достаточно перебором всех возможных расстановок знаков у $a$,$b$,$c$ проверить, что $a(b +c)= ab +ac$.

Несмотря на идейную простоту формальный подход требует множества долгих и скучных выкладок, а его доказательства вряд ли сделают доказываемое более понятным, поэтому мы не будем использовать формальный подход и пойдем другим путем.

1.3 Модельный подход


Не кажется ли вам, что лучший способ убедится в существовании чего-либо — увидеть это воочию (ну, или почти). Давайте попробуем поискать среди реальных или вымышленных предметов такие, что:

  1. о каждом из них мы бы могли бы сказать, что он (играет роль) обозначает определенное целое число: положительное, отрицательное или ноль;
  2. эти предметы можно было бы естественным образом между собой складывать, причем по тем же правилам, что и обозначаемые ими целые числа;
  3. эти предметы можно было бы естественным образом друг на друга умножать, причем перемножение происходило бы по тем же правилам, что и перемножение обозначаемых ими целых чисел.
  4. было бы само собой очевидно, что операции сложения и умножения этих предметов подчиняются законам $A0) - A5)$.

На языке математической логики множество таких объектов называлось бы моделью для арифметики целых чисел с операциями сложения и умножения. Отыскать модель целых, в которой операция умножения была бы совершенно естественной и наглядной, не так-то просто. Много лет назад мне повезло наткнуться на такую. Она потрясла меня своей логической красотой и я хотел бы показать ее вам.

2. Арифметика футуристических картин


2.1 Мотивация


Трудно сказать, что стало настоящей причиной изобретения отрицательных чисел: живые примеры вроде долгов и доходов или желание, чтобы операция вычитания была осуществима всегда. Так или иначе, но долгое время после изобретения отрицательных чисел речь шла только об их сложении и вычитании: перемножать отрицательные числа, насколько мне известно, изначально никто не собирался. Чтобы понять, почему сама возможность умножения отрицательных совсем не очевидна, будет полезно пройти историческим путем и разработать какую-нибудь простую модель целых с естественными операциями сложения и вычитания.

За основу такой модели мы возьмем один замечательный пример из физики: аннигиляцию электрона и позитрона при их столкновении. Если привести в соприкосновение $5$ электронов и $7$ позитронов, то $5$ электронов и $5$ позитронов аннигилируют и в конце останется только $2$ позитрона. Этот пример показывает, что реакция группы электронов и группы позитронов выглядит как сложение двух целых чисел противоположного знака. Попробуем придать этой идее точный математический смысл.

2.2 Необычные картины


Я попрошу вас немного пофантазировать.

Представьте, что идет выставка современного искусства в далеком от нас 3141 году. Главной изюминкой этой выставки стали медиа-картины, изображающие собой наглядную модель электронно-позитронного газа. На их полупрозрачных поверхностях медленно дрейфуют красные и зеленые кружкии (двумерные шары) одного и того же размера. Кружки одинакового цвета друг от друга отскакивают, а разного, соприкоснувшись исчезают с негромким хлопком и яркой вспышкой света. Иногда под вспышкой фотокамеры на холсте появляется пара из разбегающихся в разные стороны красного и зеленого кружков (рождение электрон-позитронной пары из гамма-кванта).


(рисунок 1)

Я собираюсь вам показать, что по своим свойствам такие медиа-картины очень похожи на обычные целые числа.

2.3 Заряд картины и его постоянство


Договоримся смотреть на каждый зеленый кружок как на условный электрон e− с зарядом $-1$, а на каждый красный — как на условный позитрон e+ с зарядом $+1$. В таком случае каждой картине $A$ в любой момент времени $t$ можно приписать ее условный заряд $Charge(A)(t)$, равный сумме зарядов всех присутствующих на ней в этот миг “электронов” и “позитронов”. Заряд $Charge(A)(t)$ в любой момент времени $t$ будет целым числом. Он будет положительным, если в этот момент на $A$ преобладают красные кружки, отрицательным — если преобладают зеленые, и равным нулю — если и тех и других кружков в момент $t$ оказалось поровну.

Наши картины не статичны, более того, количество присутствующих на них кружков меняется со временем. Несмотря на эти изменения, для любой картины $A$ ее заряд $Charge(A)(t)$ остается постоянным во времени, то есть он не зависит от $t$ и может быть записан как $Charge(A)$. Действительно, в придуманном нами мире кружки красного и зеленого цвета появляются и исчезают с картин только в паре друг с другом. Поскольку суммарный заряд любой такой пары равен нулю, то ни процесс спонтанного порождения, ни процесс аннигиляции не могут повлиять на общий заряд $A$. Как следствие заряд картины остается постоянным на протяжении всего времени ее существования.


(рисунок 2: постоянство заряда)

Насколько заряд картины определяет число нарисованных на ней кружков каждого цвета?

Если заряд картины $A$ является положительным числом: $Charge(A) = m$ (или нулем), то в данный момент она должна изображать художественную композицию (набор кружков) c одним из следующих составов: (e+: $m$, e−: $0$), ( e+: $m + 1$, e−: $1$), … (e+: $m + n$, e−: $n$), … и в будущем на ней может появится композиция с любым из этих составов. Если же заряд $A$ является отрицательным числом: $Charge(A) = - m$, то художественная композиция, которую она изображает в данный момент, может иметь такие составы: (e+: $0$, e−: $m$), ( e+: $1$, e−: $m + 1$), … (e+: $n$, e−: $m + n$), … и, опять же, в будущем на $A$ может появится композиция с каждым из этих составов. Поскольку множество возможных составов для будущих композиций на картине зависит только от заряда картины, то это множество также остается неизменным с течением времени.

2.4 Отношение равенства между картинами


На множестве абстрактных целых чисел определено отношение равенства: подразумевается, что два числа равны тогда и только тогда, когда они совпадают. Если мы хотим провести параллель между множеством целых чисел и множеством картин, то в первую очередь нам придется решить, какие картины нам стоит считать равными, а какие — нет.

Посмотрим еще раз на заряд картин:

  1. заряд картины $A$ выражается целым числом $Charge(A)$ и остается неизменным с течением времени;
  2. для каждого целого $i$: положительного, отрицательного или нуля, гипотетически мы можем создать картину $A$ зарядом $Charge(A)$, равным $i$;

Если наша задумка в том, чтобы построить арифметику картин, которая была бы очень похожа на арифметику целых чисел, то выглядит логично в качестве отношения равенства картин принять равенство их зарядов, считая что:

$A \underset{p}{=} B$тогда и только тогда, когда $Charge(A) = Charge(B)$

Давайте так и сделаем!

Пример: картина $A$ c текущей композицией из $3$-х красных и $5$-и зеленых кружков равна (и будет оставаться равной) картине $B$ с текущей композицией из $103$-х красных и $105$-и зеленых кружков, но они не равны (и никогда не станут равны) картине $C$ с текущей композицией из $5$-ти красных и $3$-х зеленых кружков.


(рисунок 3: пример равенства картин)

Как и отношение равенства абстрактных целых чисел, введенное нами равенство картин удовлетворяет следующим арифметическим законам:

$Eq1) \ A \underset{p}{=} A \ \ \ \ \ $ (рефлексивность);
$Eq2)$Если $ \ \ A \underset{p}{=} B \ \ $, то $ \ \ B \underset{p}{=} A \ \ \ \ \ $ (симметричность);
$Eq3)$Если $ \ \ A \underset{p}{=} B \ \ $и $ \ \ B \underset{p}{=} C \ \ $, то $ \ \ A \underset{p}{=} C \ \ \ \ \ $ (транзитивность).

Упражнение: проверьте, что у равных картин и только у них множества возможных составов для их будущих композиций, одинаковы.

2.5 Сложение двух картин


Абстрактные целые числа можно складывать. Если мы хотим видеть в электрон-позитронных картинах материальный аналог целых чисел, то должны каким-то образом определиь их сложение. Как на это сделать?

Вряд ли найдется более естественный способ сложить две картины, чем взять их и склеить вместе. Для простоты будем считать, что процесс склейки происходит очень быстро и все цветные кружки на $A+B$ сразу после склейки — это в точности те, которые в момент непосредственно перед склейкой находились либо на $A$, либо на $B$.


(рисунок 4: пример сложения картин)

Тот факт, что множества кружков на картинах $A$ и $B$ в процессе склейки объединяются и становятся множеством кружков картины A + B, имеет одно важное и простое следствие. Поскольку заряд картины — это сумма зарядов всех находящихся на ней кружков, то сразу после склейки:

$Charge(A \underset{p}{+} B) = Charge(A) + Charge(B) \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$,

Более того, поскольку заряд любой картины, в том числе и $A \underset{p}{+} B$ не меняется со временем, то равенство $(9)$ останется справедливым навсегда. По сути, соотношение $(9)$ и есть тот логический мостик, который соединяет арифметику электрон-позитронных картин с арифметикой абстрактных целых чисел. Чуть ниже вы увидите, как его можно использовать.

2.6 Однозначность с точностью до равенства


Сложение картин — это хороший пример, чтобы разобрать на нем одну простую, но важную для нашего повествования концепцию “с точностью до равенства”.

Начнем с такого замечания. Результат сложения картин $A$ и $B$ не определен однозначно: если $С = A \underset{p}{+} B \ \ $ и $ \ \ C’ = A \underset{p}{+} B$, то картины $C$ и $C’$ друг другу, вообще говоря, не идентичны, и для этого есть несколько причин. Во-первых, композиции на картинах $A$ и $B$ динамичны, поэтому в зависимости от выбора момента склейки вы получите разные композиции на картине $A \underset{p}{+} B$. Во-вторых, даже в один и тот же момент полотна картин $A$ и $B$ можно склеить по-разному и получить, вообще говоря, разный узор на итоговом полотне.


(рисунок 5: сумма двух картин при разных способах склейки и склейки в разное время)

Я надеюсь, что на этом месте у читателя появился примерно такой вопрос. Если сложение двух абстрактных целых чисел дает однозначный результат, скажем $- 3$ в сумме с $+5$ дает $+2$, а сложение двух картин не до конца однозначно, то как мы тогда собираемся выстроить аналогию между арифметикой картин и арифметикой целых чисел?

Мы бы действительно не смогли, если бы определили равенство картин как требование идентичности их художественных композиций или даже ослабив его до требования изображать одинаковые по составу наборы цветных кружков. Однако мы поступили по-другому и назвали равенством картин равенство их зарядов.

В чем преимущество такого подхода? А вот в чем:

Когда бы и каким образом не были получены картины $C = A \underset{p}{+} B \ \ $ и $ \ \ C’ = A \underset{p}{+} B$, у картин $C \ $ и $ \ C’$ будет один и тот же заряд равный $Charge(A) + Charge(B)$, то есть, в нашем определении $C \underset{p}{=} C’$. Записанное в виде формулы это же утверждение верно и для абстрактных целых чисел:

Если $c = a + b \ \ $и $ \ \ c’ = a + b \ \ $, то $ \ \ c = c’$.

Как вы сами можете видеть, аналогия здесь налицо.

Об операции, которая дает неоднозначный результат, но при фиксированных операндах все возможные ее результаты равны между собой, принято говорить, что она определена однозначно с точностью до равенства. В этом смысле сложения двух картин является примером однозначной с точностью до равенства $\underset{p}{=}$ операции.

2.7 Вычитание одной картины из другой


Одна из причин, по которой математики пришли к использованию целых — это желание, чтобы вычитание одного числа из другого было всегда осуществимым (в арифметике натуральных вычесть можно только меньшее из большего). Напомню, что алгебраически вычитание определяется, как операция обратная сложению:

$(a + b) - b = a \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$,
$(a – b) + b = a \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$.

Поскольку во множестве абстрактных целых для каждого числа $p$ существует обратное ему $q$, такое что:

$p + q = q + p = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$,

и сложение целых ассоциативно:

$(a + b) + c = a + (b + c) \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$,

то вычитание из $a$ числа $p$ оказывается эквивалентным прибавлению к $a$ противоположного к $p$ числа $q$ и поэтому возможно всегда. Действительно:

$a – p = (a – p) + 0 = (a – p) + (p + q) = \bigl ((a - p) + p \bigr ) + q = a + q \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$,

Существует ли естественный способ определить разность картин так, чтобы вычитание одной картины из другой было бы всегда возможно? Давйте попробуем это сделать!

Будем отталкиваться от требования, что вычитание должно быть обратной операцией к сложению. Если вы только что получили картину C тем что подклеить картине A картину B, то лучший способ сделать как было — это отрезать B обратно.


(рисунок 6: пояснение для операции разности картин)

Симметрично: если у вас есть какая-то картина $A$ и вы только что отрезали от нее картину $B$, то быстро подклеив $B$ обратно, вы вновь получите ту же самую $A$.

Кажется, что отрезание одной картины от другой — это хороший кандидат на роль вычитания. Мы видели, как отрезание работает в специальных случаях, давайте теперь рассмотри общий. Пусть у нас есть произвольная картина $A$ и произвольная картина $B$, истории появления которых вообще говоря никак не связаны друг с другом. Каким образом мы можем из $A$ «вычесть» $B$?

Самое очевидное — попытаться отрезать от $A$ картину $B’$ которая была бы, если ни точной копией $B$, то по крайней мере содержала бы одинаковое с ней количество красных и зеленых кружков.

Можем ли мы это сделать для любых $A$ и $B$ в любой момент времени? — Вообще говоря, нет! Например у нас явно не получится отрезать картину с $5$-тью красными и $10$-тью зелеными кружками от пустой картины $\varnothing$.

Можем ли мы когда-либо отрезать от $A$ картину с таким же цветовым составом кружков, каким оно будет в тот момент на $B$? — Вообще говоря, да, и в этом смысле вычитание из любой картины $A$ любой картины $B$ возможно. Объясняется это тем, что из-за вероятностной природы процессов аннигиляции и спонтанного порождения электрон-позитронных пар, если и не сразу, то через достаточно долгое время (почти) обязательно должен наступить такой момент, когда на $A$ и красных и зеленых кружков будет больше, чем на $B$.

Упражнение: объясните, почему определенная нами только что операция вычитания картин $\underset{p}{-}$ не является полностью однозначной. Попробуйте доказать, что как и операция сложения $\underset{p}{+}$, вычитание $\underset{p}{-}$ определено однозначно с точностью до равенства $\underset{p}{=}$.

2.8 Модельное отображение


Арифметика картин и арифметика целых чисел во многом похожи: с каждой картиной $A$ связано однозначно определенное целое число $Charge(A)$, подобно целым числам картины можно складывать и вычитать, эти сложение и вычитание подчиняются некоторым из тех арифметических законов, что $+$ и $-$ для целых чисел. Сейчас мы покажем, что эта аналогия позволяет рассматривать арифметику картин, как модель (аддитивной) арифметики целых чисел.

В параграфе «Модельный подход» было упомянуто, что объекты, отношения и операции модели должны «изображать» объекты, отношения и операции той абстрактной теории, для которой эта модель построена. Но что значит «изображать»? На примере арифметики картин постараемся придать этому понятию точный математический смысл.

Сперва мы скажем, что каждая картина $A$ изображает собой целое число $ A^\# = Charge(A) $. При таком определении:

Каждая картина $A$ изображает в точности одно целое число $a$:
$Z_+1.1)$Если $ \ \ A^\# = a \ \ $и $ \ \ A^\# = b$, то $ \ \ a = b$.

Каждое целое число a изображается по крайней мере одной картиной $A$:
$Z_+1.2)$Для каждого целого $a$найдется такая картина $A$, что $ \ \ A^\# = a$.

Если $a$ — это положительное или ноль, то в качестве такой $A$ можно взять картину с $a$ красными и $0$ зелеными кружками, если $a$ отрицательное — то картину с $0$ красными и $-a$ зелеными.

Перейдем теперь к отношениям равенства. Вспомним, что равенство картин было определено нами как равенство их зарядов. В частности, если картина $A$ изображает число $a$, картина $B$ — число $b$ и $ \ A \underset{p}{=} B \ \ $, то $ \ \ a = b$:
$Z_+2.1)$Из $ \ \ A \underset{p}{=} B \ \ $следует, что $ \ \ A^\# = B^\#$.

Именно свойство $Z_+2.1)$ мы будем подразумевать, говоря, что отношение равенства между картинами $\underset{p}{=}$ изображает собой отношение равенства = между изображаемыми этими картинами целыми числами.

В проведенной параллели между равенством картин и равенством целых чисел есть еще одно важное для нас свойство. Если картина $A$ и картина $B$ изображают одно и тоже число $c$, то обязательно $ \ \ A \underset{p}{=} B$:
$Z_+2.2)$Из $ \ \ A^\# = B^\# \ \ $следует, что $ \ \ A \underset{p}{=} B \ \ $.

Свойство $Z_+2.2)$ выглядит похожим на определение “однозначности с точностью до равенства”. По аналогии с последним мы будем говорить, что каждое целое число $a$ изображается единственной с точностью до равенства $\underset{p}{=}$ картиной $A$.

Пример: единственной точностью до равенства картиной, которая изображает число $0$ — является пустая (на которой в данный момент нет ни одного кружка), число $1$ — картина, на которой есть только один красный кружок, а число $-1$ — картиной, на которой есть только один зеленый кружок. «Пустые» картины будут играть в нашей истории особую роль и мы будем обозначать их как $\varnothing$.


(рисунок 7: картины с зарядами 0, 1, и -1).

Обсудим теперь сложение. При сложении двух картин заряд суммы равен заряду слагаемых:
$Charge(A \underset{p}{+} B) = Charge(A) + Charge(B)$, другими словами, если картина $A$ изображает число $a$, картина $B$ изображает число $b$, то $a + b$ — это число, которое будет изображать картина $A \underset{p}{+} B$:
$Z_+3.1)$$(A \underset{p}{+} B)^\# = A^\# + B^\#$.

Свойство $Z_+3.1)$ и есть точный смысл утверждения, что операция суммирования картин $\underset{p}{+}$ изображает собой операцию $+$ суммирования абстрактных целых чисел.

То же самое и с вычитанием. Вычитания картин $\underset{p}{-}$ изображает собой операцию вычитания — абстрактных целых чисел в том смысле, что если картина $A$ изображает число $a$, картина $B$ изображает число $b$, то $a - b$ — это число, которое будет изображать картина $A \underset{p}{-} B$:
$Z_+3.2)$$(A \underset{p}{-} B)^\# = A^\# - B^\#$.

В описанном выше смысле арифметика картин изображает (аддитивную) арифметику целых чисел или, как говорят математики, является ее моделью, а построенное соответствие между картинами и числами, равенством картин и равенством чисел, сложением и вычитанием картин и одноименными им операциями на целых числах — модельным отображением.

Но для чего вообще нужны модели абстрактных теорий? В основном для…

2.9 Модельные доказательства.


Бывает так, что утверждение, которое трудно доказать внутри абстрактной теории $\mathfrak{A}$ (готическое «A»), оказывается почти очевидным внутри специально сконструированной для $\mathfrak{A}$ модели $\mathfrak{M}_A$ (готическая «M»). Вот пример, хорошо знакомый вам с детства.

Вспомните, как в начальной школе вам объяснили, почему $3+5 = 5+3$? Сама по себе перестановочность сложения натуральных не то, чтобы очевидна, ведь
$3 + 5 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1$,
в то время как
$5 + 3 = 5 + 1 + 1 + 1$.
Я помню, что в детстве мне говорили что-то такое:

“Возьмем кучку из $5$ яблок и сложим ее с кучкой из $3$ яблок. Перекладываете ли вы по одному яблоку из первой во вторую (число $3 + 5$) или из второй в первую (число $5 + 3$) — в обоих случаях результатом будет кучка, состоящая в точности из яблок первой и второй кучек, следовательно $3 +5 = 5 + 3$”


(рисунок 8: коммутативность сложения яблок)

В приведенном выше “доказательстве” кучки яблок “изображали” натуральные числа, отношение идентичности — равенство натуральных, а перекладывание яблок из одной кучки в другую — прибавление одного числа к другому.

С помощью этой же “яблочной” модели нетрудно объяснить, почему сложение натуральных еще и ассоциативно, то есть для любых натуральных $m$, $n$, $k$:
$(m + n) + k = m + (n + k)$.

Действительно, если взять три (непересекающиеся) кучки яблок размера $a$, $b$ и $c$, то не важно: объедините вы сначала первую со второй, а потом прибавите к ним третью, или объедините вторую и третью, а первую прибавите в конце — в результате у вас получится одно и то же множество яблок с одним и тем же их числом.


(рисунок 9: ассоциативность сложения яблок)

Хорошо, а как насчет закона ассоциативности сложения для целых чисел? Почему для них он тоже справедлив, ведь с правилом “из большего вычесть меньшее и поставить знак большего” простая аналоги между суммированием чисел и объединением кучек предметов уже не действует?

Конечно, мы можем проверить ассоциативность сложения целых сугубо формально, просто перебрав все возможные сочетания знаков у целых чисел $a$, $b$, $c$ и удостоверившись, что при каждом таком сочетании справедливо равенство $(a + b) + c = a + (b + c)$. Но есть и более элегантное решение, оно состоит в том, чтобы использовать арифметику картин.

Докажем сначала, что сложение самих картин ассоциативно.

Возьмем три произвольные электрон-позитронные картины $A$, $B$ и $C$. Если все склейки происходят почти мгновенно, то картины $S’ = A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \ \ $ и $ \ \ S’’ = (A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C$ состоят из одного и того же множества зеленых и красных кружков: в точности из тех, которые непосредственно перед склейкой были на полотне $A$, или $B$, или $C$.


(рис 10 ассоциативность сложения картин )

Раз так, то заряды картин $S’$ и $S’’$ равны, а значит:
$A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \underset{p}{=} (A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$.

Теперь мы можем доказать ассоциативность сложения и для чисел. Пусть $a$, $b$ и $c$ — произвольные целые числа. Согласно $Z_+1.2)$ найдутся такие три картины $A$, $B$, $C$, что $A$ изображает $a$, $B$ изображает $b$, $C$ изображает $c$. Поскольку
$A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \underset{p}{=} (A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$,

то:
$\bigl (A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \bigr )^\# = \bigl ((A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C \bigr )^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (9)$.

Воспользуемся $Z_+3.1)$. С одной стороны:
$\bigl (A \underset{p}{+} (B \underset{p}{+} C) \bigr )^\# = A^\# + (B \underset{p}{+} C)^\# = A^\# + (B^\# + C^\#) = a + (b + c) \ \ \ \ \ \ \ \ (10)$,

а с другой:
$\bigl ((A \underset{p}{+} B) \underset{p}{+} C \bigr )^\# = (A \underset{p}{+} B)^\# + C^\# = (A^\# + B^\#) + C^\# = (a + b) + c \ \ \ \ \ \ \ \ (11)$,

откуда
$a + (b + c) = (a + b) + c \ \ \ \ \ \ \ \ (12)$,

что и требовалось доказать.

Наша главная цель в этой статье — наглядно доказать, что умножение с целых с правилом “минус на минус дает плюс ...” подчиняется основным законам арифметики $A1)$ – $A5)$. Получается, что для “наглядности" нам нужно просто удачно подобрать модель.

3. Наглядная модель сложения и умножения целых чисел.


3.1 Почему не стоит пытаться искать естественное умножение внутри арифметики картин?


Предположим, что существует такая бинарная операция между картинами $\underset{p}{\cdot}$, которая, если на каждую картину $A$ смотреть как на число $A^\# = Charge(A)$, изображает собой обычное умножение целых “$\cdot$”. Формально это означало бы, что:

$(A \underset{p}{\cdot} B)^\# = A^\# \cdot B^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

для любых картин $A$ и $B$. Давайте посмотрим, какие у этого были бы следствия.

Пусть $A$ и $B$ — это картины, которые изображают ровно по одному красному шарику, обозначим их $Red1$. Согласно $(1)$

$( Red1 \underset{p}{\cdot} Red1 )^\# = 1 \cdot 1 = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$,

то есть $Red1 \underset{p}{\cdot} Red1$ должна быть картиной, на которой число красных шариков на 1 больше зеленых. Если же $A$ и $B$ изображают ровно по одному зеленому кружку, давайте такие картины обозначим как $Green1$ то:

$(Green1 \underset{p}{\cdot} Green1)^\# = (-1) \cdot ( -1) = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$.

Следовательно произведение $Green1 \underset{p}{\cdot} Green1$ снова должно быть картиной, на которой число красный кружков на $1$ больше, чем зеленых.

Почему операция "$ \ \underset{p}{\cdot} \ $" с такими свойствами ну никак не может быть естественной для арифметики картин? Все просто — она не симметрична по отношению к цветам!

Чем красный цвет лучше зеленого? Очевидно, что для картин — ничем. И действительно, склейка и отрезание картин вообще не апеллируют к цветовому составу их композиций, а определение для равенства можно переформулировать в абсолютно симметричной для обоих цветов форме:

“две картины равны тогда и только тогда, когда:
1) на них преобладают кружки одного и того же цвета
2) разность между численностью кружков доминирующего и доминируемого цвета на обоих картинах равны."

Поскольку арифметика картин симметрична по отношению к цветам кружков, а гипотетическая операция "$\underset{p}{\cdot}$" относительно этих цветов ведет себя не симметрично, то очевидно, она не может быть “естественной” для арифметики картин.

Как же нам тогда построить модель целых, в которой умножение было бы естественной операцией? Давайте поищем примеры, когда операция умножения, пусть и не между целыми, но на целые возникает сама собой.

3.2 Умножение картин на натуральные числа


В арифметике натуральных умножение истолковывается как сокращенная запись для суммы нескольких одинаковых слагаемых: $n \cdot m = m + m + … + m$ ($n$ раз). Поскольку электрон-позитронные картины тоже можно складывать, совершенно естественным назвать сумму $n$ копий какой-либо картины $A$ произведением натурального $n$ на $A$. Также нам будет удобно считать, что произведение числа $0$ на $A$ является пустой картиной $\varnothing$.


(рисунок 11: умножения картины на число)

Упражнение: проверьте, что по отношению к введенной нами операции умножения натурального числа на картину оказываются верны следующие арифметические законы:
$1\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} A \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$;
$0\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$;
$n \underset{p}{\cdot} \varnothing \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$;
$n \underset{p}{\cdot} (A \underset{p}{+} B) \underset{p}{=} n \underset{p}{\cdot} A \underset{p}{+} n \underset{p}{\cdot} B \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$;
$n \underset{p}{\cdot} (A \underset{p}{-} B) \underset{p}{=} n \underset{p}{\cdot} A \underset{p}{-} n \underset{p}{\cdot} B \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$
$n \underset{p}{\cdot} (m \underset{p}{\cdot} A) \underset{p}{=} nm \underset{p}{\cdot} A \ \ \ \ \ \ \ \ (9) $:
$(n \underset{p}{\cdot} A)^\# = n \cdot A^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (10)$;
для любого $n\neq 0$равенство $n \underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} n \underset{p}{\cdot} B$имеет место тогда и только тогда, когда $A \underset{p}{=} B \ \ \ \ \ \ \ \ (11)$
если $A \neq \varnothing \ \ $, то $ \ \ n \underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} m \underset{p}{\cdot} A$тогда и только тогда, когда $n = m \ \ \ \ \ \ \ \ (12)$.

Поскольку изначально мы говорили о воображаемой выставке современного искусства, давайте представим, что умножением картин на натуральные числа занимаются особого рода художники-мултиреалисты. Пусть каждый художник-мультиреалист специализируется на том, чтобы умножать (мультикопировать) любую предложенную ему картину (картину-аргумент) на какое-то определенное натуральное число $n$ или $0$. Всякого художника, который умножает картины на число $n$, договоримся обозначать как $R_n$, а результат его работы, полученный им по исходной картине-аргументу $A$, — как $R_n(A)$. Согласно этим определениям:

$R_n(A) = n \underset{p}{\cdot} A \ \ \ \ \ \ \ \ (13)$.

Введенная нами нотация подчеркивает, что на каждого художника-мультиреалиста мы можем смотреть как на функцию, для которой областью определения и областью значений служит множество электрон-позитронных картин. Записанные в функциональном стиле арифметические законы умножения будут выглядеть так:

$R_1(A) \underset{p}{=} A \ \ \ \ \ \ \ \ (14)$;
$R_0(A) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (15)$;
$R_n(\varnothing) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (16)$;
$R_n(A \underset{p}{+} B) \underset{p}{=} R_n(A) \underset{p}{+} R_n(B) \ \ \ \ \ \ \ \ (17)$;
$R_n(A \underset{p}{-} B) \underset{p}{=} R_n(A) \underset{p}{-} R_n(B)$;
$R_n(R_m(A)) \underset{p}{=} R_{nm}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (18)$;
$(R_n(A))^\# = n \cdot A^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (19)$;
для любого $n\neq 0 \ \ $равенство $ \ \ R_n(A) \underset{p}{=} R_n(B)$имеет место тогда и только тогда, когда $A \underset{p}{=} B \ \ \ \ \ \ \ \ (20)$;
если $A \neq \varnothing \ \ $, то $R_n(A) \underset{p}{=} R_m(A)$тогда и только тогда, когда $n=m \ \ \ \ \ \ \ \ (21)$.

Что еще интересного может дать эта мысленная конструкция?

3.3 Художников-мультиреалистов можно складывать и перемножать


Как сложить двух художников $R_n$ и $R_m$? Давайте организуем из них "параллельную" художественную артель $R_n + R_m$ со следующим регламентом работы: для любой переданной в артель картины-аргумента $A$ каждый из художников делает c нee свою собственную мультикопию, после чего эти мультикопии склеиваются вместе.


(рисунок 12: работа параллельной артели двух художников реалистов)

Формально регламент работы параллельной артели можно описать так:

$(R_n + R_m)(A) \underset{p}{=} R_n(A) \underset{p}{+} R_m(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (22)$.

Поскольку

$R_n(A) \underset{p}{+} R_m(A) \underset{p}{=} n\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{+} m\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} (n +m)\underset{p}{\cdot} A \underset{p}{=} R_{n + m}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (23)$,

то с точки зрения финального результата вся артель “$R_n + R_m$” работает точно так же, как один единственный художник $R_{n + m}$. Раз так, то совершенно естествено определить операцию сложения художников $\underset{f}{+}$, положив:

$R_n \underset{f}{+} R_m = R_{n+m} \ \ \ \ \ \ \ \ (24)$

В этом определении "$\underset{f}{+}$" читатель может узнать обычное для математики понятие суммы двух функций, что подчеркнуто нами использованием под знаком "$+$" подстрочной метки "$f$".

Теперь давайте рассмотрим “последовательную” артель $R_n \ast R_m$. Ее регламент работы будет таким: каждый раз, когда в артель $R_n \ast R_m$ поступает какая-нибудь картина $A$, она попадает только к художнику $R_m$, тот снимает с $A$ мультикопию $R_m(A)$ и уже эту мультикопию в качестве аргумента передает художнику $R_n$. Второй художник, получив $R_m(A)$, пишет с нее мультикопию $R_n(R_m(A))$, которая и считается итогом работы всей артели. Артель $R_n \ast R_m$ мы будем называть произведением или композицией художника $R_m$ с художником $R_n$, читатель легко узнает в ней самую обычную композицию функций $R_m(p)$ и $R_n(p)$.


(рисунок 13: работа последовательной артели)

Формально определение регламента работы артели $R_n \ast R_m$ выглядит так:

$(R_n \ast R_m)(A) = R_n(R_m(A)) \ \ \ \ \ \ \ \ (25)$,

Поскольку

$R_n(R_m(A)) = R_{n \cdot m}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (26)$,

то с точки зрения финального результата вся артель “$R_n \ast R_m$” работает так же, как один единственный художник $R_{n \cdot m}$. Получается, что совершенно естественно ввести операцию умножения художников "$\underset{f}{\cdot}$", определив ее правилом:

$R_n \underset{f}{\cdot} R_m = R_{n\cdot m} \ \ \ \ \ \ \ \ (27)$.

Упражнение: попробуйте самостоятельно определить разность $R_n \underset{f}{-} R_m$ между художником $R_n \ \ $ и $ \ \ R_m$ для всех тех случаев, когда $n \geq m$.

3.4 Художественная модель для арифметики натуральных чисел.


Трудно не заметить, что арифметические операции с художнками-мультиреалистами формально сводятся к одноименным арифметическим операциям над их индексами.
$R_n \underset{f}{+} R_m = R_{n+m}$,
$R_n \underset{f}{\cdot} R_m = R_{n\cdot m}$.

Но это еще не все. Если под равенством между художниками понимать их равенство как функций, другими словами, считать что: $R_n \underset{f}{=} R_m$ тогда и только тогда, когда для любой картины $A$$R_n(A) \underset{p}{=} R_m(A)$, то и отношение равенства формально тоже будет выглядеть как равенство индексов (смотрите $(21)$):
$R_n \underset{f}{=} R_m$ тогда и только тогда, когда $n = m$.

Какие отсюда можно сделать выводы? На что это похоже? Давайте покажем, что построенная нами арифметика художников-мультиреалистов является моделью для (расширенной числом $0$) арифметики натуральных чисел.

Будем считать, что каждый художник $R_n$ изображает свой индекс $n$, то есть $(R_n)^\# = n$, тогда:

Каждый художник-мультиреалист $R_i$ изображает в точности одно натуральное число:
$N1.1)$Если $(R_i)^\# = m \ \ $и $ \ \ (R_i)^\# = n \ \ $, то $ \ \ m = n$.
Каждое натурально число a изображается по крайней мере одним художником $R_i$:
$N1.2)$Для каждого натурального $n$найдется такой художник $R_i \ \ $, что $ \ \ (R_i)^\# = n$.

Поскольку художники равны тогда и только тогда, когда равны изображаемые ими числа:
$N2.1)$Из $ \ \ R_i \underset{f}{=} R_j$следует, что $(R_i)^\# = (R_j)^\#$,
$N2.2)$Из $ \ \ (R_i)^\# = (R_j)^\#$следует, что $R_i \underset{f}{=} R_j$,

то мы можем сказать, что отношение равенства "$ \ \underset{f}{=} \ $" изображает равенство натуральных чисел "$ \ = \ $".

Далее, согласно $(24)$ число, которое изображает сумма двух художников, равно сумме изображаемых этими художниками чисел:
$N3.1) (R_n \underset{f}{+} R_m)^\# = (R_n)^\# + (R_m)^\#$,
следовательно мы также можем сказать, что сложение художников "$\underset{f}{+}$" изображает сложение "$+$" натуральных чисел.

Наконец умножение. Согласно $(26)$ число, которое изображает произведение двух художников, как раз равно произведению чисел изображаемых каждым из них:
$N4) (R_n \underset{f}{\ast} R_m)^\# = (R_n)^\# \cdot (R_m)^\#$,
а значит по нашей терминологии умножение художников "$ \ \underset{f}{\cdot} \ $" изображает умножение "$ \ \cdot \ $" натуральны чисел.

И так, мы только что формально доказали, что множество художников-мултиреалистов является моделью арифметики натуральных чисел. В этой модели сами художнки соответствуют тем числам, на которые они “умножают” картины, объединение двух художников в параллельную артель с последующей заменой этой артели на эквивалентного ей художника — соответствует операции суммирования чисел, а объединение двух художников в последовательную артель (также с последующей заменой на эквивалентного этой артели художника) — умножению одного числа на другое.

Подождите! Но ведь арифметика натуральных чисел является частью арифметики целых: каждое натуральное число является также и целым, сложение и умножение натуральных чисел, не важно, рассматриваются ли они как натуральные или как целые, проходит по одним и тем же правилам и дает один и тот же результат.

Какая здесь должна возникнуть догадка? Правильно:

А нельзя ли к уже имеющимся художникам-мультиреалистам добавить художников еще каких-нибудь школ, чтобы получившееся расширенное множество художников с теми же операциями объединения двух художников в параллельную артель в качестве суммы и объединения в последовательную артель в качестве произведения, оказалось бы моделью, но уже для арифметики всех целых чисел?

3.5 В поисках идеального отрицателя


Давайте подумаем, какими качествами должен обладать художник, чтобы его работа изображала "$-1$"?

По определению абстрактная "$-1$" есть число обратное к "$1$" то есть:

$!) (-1) + 1 = 1 + (-1) = 0$

Пусть $Im$ — это гипотетический тип художников, которые должны изображать число $-1$, то есть:

$(Im)^\# = -1 \ \ \ \ \ \ \ \ (28)$

Свойство $!)$ означает, что для любой электронно-позитронной картины $A$ результат применения к $A$ художника $Im$ в сумме с самой $A$ должен давать картину с равным количеством красных и зеленых кружков:

$Im(A) \underset{p}{+} R_1(A) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (29)$,

Это требование будет выполнено тогда и только тогда, когда для любой картины $A$ заряд картины $Im(A)$ будет числом противоположным заряду картины $R_1(A) = A$. Каким образом мы можем этого добиться?

Давайте вспомним, что заряд картины по определению равен суммарному условному заряду присутствующих на ней красных и зеленых кружков. Заряд каждого красного равен плюс 1-му заряд каждого зеленого — минус 1-му. Не находите ли вы, что самый простой способ поменять заряд картины на противоположный — это сделать так, чтобы на противоположный изменился заряд каждого изображенного на ней кружка. Последнего можно достичь, если в качестве картины $Im(A)$ взять «цветовую инверсию» картины $A$, то есть ее точную копию за тем исключением, что каждый красный кружок на $A$ будет скопирован на картину $Im(A)$ как зеленый, а каждый зеленый — как красный. Пусть в этом и заключается работа художников-импрессионистов $Im$.


(рисунок 14: работа импрессиониста)

Иметь в лице Im наглядную минус единицу — это конечно хорошо, но как насчет остальных отрицательных чисел, каким образом в нашей арифметике художников представить еще и их? Вспомним, что по определению отрицательное "$-n$" — это число, которое удовлетворяет уравнению:

$(-n) + n = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ (30)$

Если $Im_n$ — это что-то, что в нашей арифметике художников выполняет роль числа "$-n$", то для любой элекрон-позитронной картины $A$ должно выполняться тождество:

$Im_n(A) \underset{p}{+} R_n(A) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (31)$

Можно догадаться, что тождество выше окажется верным, если в качестве $Im_n$ взять последовательную артель $Im \ast R_n$:

$(Im \ast R_n)(A) \underset{p}{+} R_n(A) \underset{p}{=} Im(R_n(A)) \underset{p}{+} R_1(R_n(A)) \underset{p}{=} Im(B) \underset{p}{+} R_1(B) \underset{p}{=} \varnothing \ \ \ \ \ \ \ \ (32)$,

где $B = R_n(A)$. Раз так, давайте и будем считать артель $Im \ast R_n$ нашим модельным числом "$-n$".

Чтобы построить из художников реалистов $R_i$ и последовательных артелей $Im \ast R_j$ модельную арифметику целых нам будет полезно сперва обсудить…

3.6 Арифметические свойства цветовой инверсии.


Одно из наиболее ярких и очевидных свойств инверсии цвета, что ее двойное применение ровным счетом не меняет ничего:

$(Im * Im)(A) = Im(Im(A)) \underset{p}{=} A \ \ \ \ \ \ \ \ (33)$

Если снятие обоих инвертированных дубликатов происходит в одно мгновение, то картина $Im(Im(A))$ не только равна в смысле $inline$ \underset{p}$inline$, но даже является точной копией картины $A$.


(рисунок 15 пояснение для повторной инверсии)

Следующим важным для нас свойством инверсии является ее “перестановочность” с операцией сложения картин $\underset{p}{+}$ (сложить две картины, а потом инвертировать результат — то же самое, что сначала инвертировать слагаемые, а потом их сложить):

$Im(A \underset{p}{+} B) \underset{p}{=} Im(A) \underset{p}{+} Im(B) \ \ \ \ \ \ \ \ (34)$

Поскольку умножение картины $A$ на натуральное число n определялось нами как сумма $n$ экземпляров $A$ то из $(34)$ следует перестановочность $Im$ с умножением, или тоже самое с работой художников-муьтиреалистов $R_n$:

$n \underset{p}{\cdot} Im(A) \underset{p}{=} Im(n \underset{p}{\cdot} A) \ \ \ \ \ \ \ \ (35)$,

$R_n (Im(A)) \underset{p}{=} Im (R_n(A)) \ \ \ \ \ \ \ \ (36)$.

Мы рассмотрели достаточно свойств инверсии. Давайте теперь попытаемся применить наши знания и построить…

3.7 Художественная арифметика модельных целых: равенство, сумма и разность


Как мы раньше и договорились, модельными целыми в нашей арифметике будут художники-мультиреалисты $R_i$ и последовательные артели вида $Im \ast R_i$. Первые будут изображать абстрактные натуральные и ноль:

$(R_i)^\# = i, i = 0, 1, ... \ \ \ \ \ \ \ \ (37)$

а вторые — все целые отрицательные числа:

$(Im \ast R_j)^\# = -j, j = 1, 2, … \ \ \ \ \ \ \ \ (38)$

в частности, чтобы наши построения были более единообразны, в качестве модельной "$-1$" договоримся использовать именно артель "$Im \ast R_1$", а не отдельно взятого художника "$Im$".

Раз мы определились с объектами нашей модельной арифметики, пора задуматься о том, как эти объекты сравнивать, складывать и умножать.

Со сравнением все просто: если наши модельные числа — это функции над картинами, то два модельных числа $X$ и $Y$ мы должны считать равными тогда и только тогда, когда для любой электрон-позитронной картины $A$ результат применения к ней $X$ и $Y$ дают одинаковый с точностью до равенства $\underset{p}{=}$ результат:

$X \underset{f}{=} Y$тогда и только тогда, когда $X(A) \underset{p}{=} Y(A)$для любой $A \ \ \ \ \ \ \ \ (39)$.

Что можно сказать о таком равенстве: какие модельные числа в итоге окажутся «равны»? Чтобы ответить на этот вопрос возьмем в качестве $A$ картину $Red1$ (содержит всего один красный шар) и подставим ее в $(39)$. Этим мы легко убедим, что в нашей модельной арифметике целых художник $R_n$ равен только художнику $R_n$, а артель $Im \ast R_k$ только ровно такой же артели $Im \ast R_k$. Отсюда в частности следует, что модельные числа $X$ и $Y$ равны тогда и только тогда, когда равны изображаемые ими абстрактные числа $X^\#$ и $Y^\#$, а это в свою очередь означает, что отношение "$\underset{f}{=}$" между модельными целыми изображает отношение "$=$" между абстрактными.

Перейдем к сложению. Пусть $X$ и $Y$ — два модельных числа, то есть каждое из них — это либо художник $R_i$, либо артель $inline$Im *_R_k$inline$. Мы хотим, чтобы сумма $X$ и $Y$, как и в арифметике художников-мультиреалистов, была эквивалентна объединению $X$ и $Y$ в параллельную артель, следовательно $X \underset{f}{+} Y$ должно быть чем-то, что по произвольной картине-аргументу $A$ создает картину, равную $X(A) \underset{p}{+} Y(A)$.

Что можно сказать о $X \underset{f}{+} Y$?

Для начала рассмотри случай, когда “подобное складывается с подобным” (складываются числа, изображающие абстрактные целые одного знака). Поскольку:

$R_n(A) \underset{p}{+} R_m(A) \underset{p}{=} R_{n+m}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (40)$, и
$(Im \ast R_n)(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_m)(A) \underset{p}{=}$
$\underset{p}{=} Im \bigl ((R_n)(A) \bigr) \underset{p}{+} Im \bigl ((R_m)(A) \bigr) \underset{p}{=} Im \bigl (R_n(A) \underset{p}{+} R_m(A) \bigr ) \underset{p}{=}(Im \ast R_{n+m})(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (41)$,

то нам ничего не остается, как положить:

$R_n \underset{f}{+} R_m = R_{n+m} \ \ \ \ \ \ \ \ (42)$, и
$(Im \ast R_n) \underset{f}{+} (Im \ast R_m) = Im \ast R_{n+m} \ \ \ \ \ \ \ \ (43)$,

Получается, что при сложении двух модельных целых “одинакового знака”, как и при сложении абстрактных целых одинакового знака, их «величины» складываются, а «знак» остается прежним.

Теперь давайте выясним, чему должна быть равна сумма модельных чисел $X$ и $Y$, когда они имеют разный знак (изображают абстрактные целые разного знака). Поскольку в параллельной артели "$X + Y$" роль $X$ и $Y$ одинакова, то без ограничения общности мы можем считать, что $X$ – это положительное (или “ноль”) $R_n$, а $Y$ — это отрицательное $Im \ast R_k$.

Если $n \geq k$, то:

$R_n(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_k)(A) \underset{p}{=} \bigl (R_{n-k}(A) \underset{p}{+} R_k(A) \bigr) \underset{p}{+} (Im \ast R_k)(A) \underset{p}{=}$
$\underset{p}{=} R_{n-k}(A) \underset{p}{+} \bigl (R_k(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_k) \bigr )(A) = R_{n-k}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (44)$,

противном случае $n < k$ и:

$R_n(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_k)(A) \underset{p}{=} R_n(A) \underset{p}{+} \bigl ((Im \ast R_n)(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_{k - n})(A) \bigr) \underset{p}{=}$
$\underset{p}{=} \bigl (R_n(A) \underset{p}{+} (Im \ast R_n(A) \bigr ) \underset{p}{+} (Im \ast R_{k-n})(A) \underset{p}{=} (Im \ast R_{k-n})(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (45)$.

Снова нам ничего не остается, как положить:

$R_n \underset{f}{+} (Im \ast R_k) =R_{n - k}$, если $n \geq k \ \ \ \ \ \ \ \ (46)$

и

$R_n \underset{f}{+} (Im \ast R_k) =Im \ast R_{k - n}$, если $n < k \ \ \ \ \ \ \ \ (47)$

Получается, что при сложении двух модельных целых “разного знака” снова, как и при сложении абстрактных, из величины большего нужно вычесть величину меньшего и поставить знак большего.

Легко проверяется, что при любой комбинации знаков модельных целых $X$ и $Y$:

$(X \underset{f}{+} Y)^\# = X^\# + Y^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (48)$,

а это означает, что операция сложения модельных целых "$\underset{f}{+}$" изображает операцию сложения абстрактных целых "$+$".

Упражнение: введите разность "$\underset{f}{-}$" между художественными целыми числами, определив ее как операцию обратную к сложению. Покажите, что вычесть можно любое число из любого, причем:

$X \underset{f}{-} Y \underset{f}{=} X \underset{f}{+} (Im \ast R_1) \underset{f}{\cdot} Y \ \ \ \ \ \ \ \ (49)$.

Покажите, что таким образом построенная операция разности художественных целых изображает операцию “$-$” между абстрактными целыми, то есть:

$(X - Y)^\# = X^\# - Y^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (50)$.

3.8 Модельное умножение и ответ на вопрос: “Почему минус на минус дает плюс”


И так, мы подошли к кульминации повествования: наглядному перемножению целых, которое должно продемонстрировать механизм, из-за которго “минус на минус” дает “плюс”. Как и в модели, состоявшей только из художников-мультиреалистов под произведение модельных чисел X и Y давайте понимать составленную из них последовательную артель (функциональную композицию) $X \ast Y$.
При перемножении двух положительных, все будет по-прежнему:

$(R_n \ast R_k)(A) = R_n \bigl (R_k(A) \bigr ) \underset{p}{=} R_{n \cdot k}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (51)$

поэтому, как и прежде, в качестве произведения $R_n \underset{f}{\cdot } R_k$ мы должны взять художника-мультиреалиста $R_{n \cdot k}$.

Ни чуть не сложнее посчитать произведение “отрицательного” $X = (Im \ast R_n)$ и положительного $Y = R_k$:

$ \bigl ((Im \ast R_n) \ast R_k \bigr )(A) = Im \Bigl (R_n \bigl (R_k(A) \bigr ) \Bigr ) \underset{p}{=} Im \bigl (R_{n \ cdot k}(A) \bigr ) = (Im \ast R_{n \ cdot k})(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (52)$,

следовательно, произведением $(Im \ast R_n) \underset{f}{\cdot } R_k$ должно быть отрицательное модельное число $(Im \ast R_{n \cdot k})$.
Как видите, “минус на плюс” в нашей модельной арифметике, как и в арифметике абстрактных целых, дает “минус”.

Для остальных случаев становится важно, что в последовательной артели из двух или более художников, стоящих рядом $R_i$ и $Im$ можно переставлять местами (формула $(36)$).

При умножении отрицательного положительного $X = R_k$ и отрицательного $Y = (Im \ast R_n)$:

$ \bigl (R_k \ast (Im \ast R_n) \bigr )(A) = (R_k \ast Im \ast R_n)(A) \underset{p}{=} (Im \ast R_k \ast R_n)(A) \underset{p}{=} (Im \ast R_{k \cdot n})(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (53)$,

то есть произведение $R_k \underset{f}{\cdot } (Im \ast R_n)$ должно быть артелью $(Im \ast R_{k \cdot n})$. Как и ожидалось, “плюс на минус” дал “минус”.

И наконец “минус на минус”, когда $X = (Im \ast R_k)$, а $Y = (Im \ast R_n)$:

$ \bigl ((Im \ast R_k) \ast (Im \ast R_n) \bigr )(A) = (Im \ast R_k \ast Im \ast R_n)(A) \underset{p}{=}$
$\underset{p}{=} (Im \ast Im \ast R_k \ast R_n)(A) \underset{p}{=} \bigl ((Im \ast Im) \ast R_{k \cdot n} \bigr )(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (54)$.

Два стоящих друг за другом художника Im производят две последовательные инверсии цвета, которые в итоге не меняют ровным счетом ничего (формула $(33)$), поэтому

$((Im \ast Im) \ast R_{k \cdot n})(A) = Im \Bigl (Im \bigl (R_{k \cdot n}(A) \bigr ) \Bigr ) \underset{p}{=} R_{k \cdot n}(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (55)$,

соответственно:

$(Im \ast R_k) \underset{f}{\cdot } (Im \ast R_n) = R_{k \cdot n} \ \ \ \ \ \ \ \ (56)$

и выходит, что “минус на минус” дает “плюс”. Обратите внимание: правило знаков в нашей модели появляется само собой, оно естественно и объясняется тем, что две последовательные инверсии цвета компенсируют друг друга.

Читатель легко проверит, что во всех перечисленных случаях

$(X \underset{f}{\cdot } Y)^\# = X^\# \cdot Y^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (57)$,

то есть построенное нами умножение "$ \ \underset{f}{\cdot} \ $" между художниками или их коллективами изображает обычное умножение "$ \ \cdot \ $" абстрактных натуральных чисел.

Ну вот, наша художественная арифметика целых и построена. Теперь мы можем ее использовать для модельного доказательства истинности законов $A1)$ — $A5)$ в арифметике абстрактных целых чисел. Чтобы эти доказательства сделать прозрачнее, давайте еще раз явно проговорим, в какой формальной логической связи находятся абстрактная и художественная арифметики целых.

3.9 Модельное соответствие между арифметиками художественных и абстрактных целых


Выше мы установили следующие факты:

Каждое модельное целое $X$, будь то художник-мультиреалист $R_i$ или последовательная артель мультиреалиста и импрессиониста $(Im \ast R_j)$, — изображает в точности одно (абстрактное) целое число:

$Z_{+, \times}1.1)$Если $X^\# = p \ \ $и $ \ \ (R_i)^\# = q \ $, то $ \ \ p = q$.

Каждое (абстрактное) целое число $p$ изображается по крайней мере одним модельным $X$:

$Z_{+, \times}1.2)$Для каждого целого $p$найдется такое модельное $X$, что $ \ \ X^\# = p$.

Равенство между модельными числами изображает равенство между абстрактными. Модельные целые равны тогда и только тогда, когда равны изображаемые ими числа:

$Z_{+, \times}2.1)$Из $ \ \ X \underset{f}{=} Y$следует, что $ \ \ X^\# = Y^\#$,
$Z_{+, \times}2.2)$Из $ \ \ X^\# = Y^\#$следует, что $ \ X \underset{f}{=} Y$.

Операция суммы "$ \ \underset{f}{+} \ $" (разности "$ \ \underset{f}{-} \ $") между художественными числами изображает операцию “$ \ + \ $” (“$ \ - \ $”) между абстрактными:

$Z_{+, \times}3.1) \ (X \underset{f}{+} Y)^\# = X^\# + Y^\#$,
$Z_{+, \times}3.2) \ (X \underset{f}{-} Y)^\# = X^\# - Y^\#$.

Умножение художественных целых "$ \ \underset{f}{\cdot} \ $" изображает умножение "$ \ \cdot \ $" натуральны чисел:

$Z_{+, \times}4) \ (X \underset{f}{\cdot} Y)^\# = X^\# \cdot Y^\#$.

3.10 Модельное доказательство законов умножения


В начале статьи мы обозначили проблему, которая звучит так:

Пусть мы ввели умножение абстрактных целых со следующим определением: величина произведения двух чисел равна произведению их величин, а знак выбирается плюсом, когда знаки множителей одинаковы и минусом, когда они различны. Будет ли такое умножение подчинятся арифметическим законам:

$A1) \ p \cdot q = q \cdot p$;
$A2) \ (p \cdot q) \cdot v = p \cdot (q \cdot v)$;
$A3) \ (p + q) \cdot v = p \cdot v + q \cdot v$;
$A4) \ 1 \cdot p = p$;
$A5) \ 0 \cdot p = 0$?

Справедливость законов $A4)$ и $A5)$ тривиально следует из самого определения и не требует какой-то особой техники доказательств.

Что можно сказать об истинности $A1)$ (закона коммутативности)? Смысл этого закона в том, что произведение двух сомножителей не должно зависеть от их порядка, другими словами, произведение должно быть симметричной по отношению к своим аргументам операцией. Для простоты мы будем предполагать известным, что произведение натуральных чисел от порядка множителей не завит.

Давайте посмотрим на написанное нами выше определение для умножения абстрактных целых чисел. Обратите внимание: оно звучит абсолютно симметрично для к первого и второго сомножителей, собственно, их номера явно даже не упоминаются. Единственное “тонкое место” в тексте определения — это “произведение величин”. Если величина первого сомножителя равна $m$, а второго $n$, то под “произведением величин” формально мы должны понимать либо $m \cdot n$, либо $n \cdot m$. Выбор любого из этих вариантов, конечно, нарушит формальную графическую симметрию определения, но поскольку оба они равны между собой, то “произведение величин” несмотря на свою графическую асимметрию, все равно окажется симметричной по отношению к своим аргументам операцией, следовательно, симметричной окажется и операция произведения целых.

Раз мы пришли к выводу, что произведения целых определено по отношению к сомножителям симметрично, то закон $A1)$ должен выполняется сам собой.

И так, нам осталось доказать только справедливость закона ассоциативности $A2)$ и закона дистрибутивности $A3)$. Докажем сначала, что эти законы верны в нашей модельной арифметике целых, то есть для любых модельных целых $X$, $Y$, $Z$:

$A2^*) \ (X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{=} X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z)$;

$A3^*) \ (X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{=} X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z$.

Начнем с $A2^*)$. Если мы допустим небольшую неточность и скажем, что произведение модельных целых $S$ и $T$ равно самой последовательной артели $S \ast T$, то утверждение $A2^*)$ станет почти очевидным. Действительно, и правая и левая его части окажутся тройной последовательной артелью $X \ast Y \ast Z$. Точное доказательство ненамного сложнее.

Что такое $(X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z$? По определению это такое модельное целое $W_L$, которое перерисовывает картины точно также, как последовательная артель $V \ast Z$, где $V$ является таким модельным целым, которое перерисовывает картины точно так же, как артель $X \ast Y$. Но тогда получается, что $W_L$ перерисовывает картины точно так же, как и артель $X \ast Y \ast Z$


(рисунок 16 пояснение для ассоциативности художников)

Аналогично, спросим себя, что такое $X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z)$? Опять же, по определению это такое модельное целое $W_R$, которое перерисовывает картины также, как артель $X \ast U$, где $U$ является таким модельным целым, которое перерисовывает картины точно так же, как артель $Y \ast Z$. И снова получается, что теперь уже $W_R$ перерисовывает картины точно так же, как и артель $X \ast Y \ast Z$.

Получается, что $W_R$ и $W_L$ перерисовывают одну и туже картину всегда одинаково, следовательно $W_L \underset{f}{=} W_R$ и тем самым справедливость $A2^*)$ доказана.

Перейдем к проверке $A3^*)$. В действительности справедливость этого закона тоже почти очевидна и все доказательство сводится к проверке определений. По сути, нам надо доказать, что для любой картины $A$:

$\bigl ((X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr )(A) \underset{p}{=} \bigl (X \underset{f}{\cdot} Y \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z \bigr )(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (58)$.

Рассмотрим выражение в правой части написанного только что предполагаемого равенства. По определению "$ \ \underset{f}{\cdot} \ $":

$\bigl ((X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr )(A) \underset{p}{=} \bigl ((X \underset{f}{+} Y) \ast Z \bigr )(A) \underset{p}{=} (X \underset{f}{+} Y)\bigl (Z(A)\bigr ) \ \ \ \ \ \ \ \ (59)$

Далее, по определению "$ \ \underset{f}{+} \ $":

$(X \underset{f}{+} Y)\bigl (Z(A)\bigr ) \underset{p}{=} X \bigl (Z(A) \bigr) \underset{p}{+} Y \bigl (Z(A) \bigr) \ \ \ \ \ \ \ \ (60)$.

Очевидно, что это то же самое, что и правая часть $(58)$, но для полноты изложения я приведу все выкладки. По определению "$ \ \underset{f}{+} \ $":

$\bigl (X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z \bigr )(A) \underset{p}{=} (X\underset{f}{\cdot} Z)(A) \underset{p}{+} (Y \underset{f}{\cdot} Z)(A) \ \ \ \ \ \ \ \ (61)$.

Теперь воспользуйтесь определением "$ \ \underset{f}{\cdot} \ $":

$(X\underset{f}{\cdot} Z)(A) \underset{p}{+} (Y \underset{f}{\cdot} Z)(A) \underset{p}{=} (X\ast Z)(A) \underset{p}{+} (Y \ast Z)(A) = X \bigl (Z(A) \bigr) \underset{p}{+} Y \bigl (Z(A) \bigr) \ \ \ \ \ \ \ \ (62)$

— что и требовалось доказать.

И так, мы доказали, что в нашей модельной арифметики закон ассоциативности умножения и закон дистрибутивности умножения и сложения верны. С помощью модельного отображения уже совсем просто доказать, что эти же законы верны и в арифметике абстрактных целых чисел, сделаем это.

Пусть $a$, $b$, $c$ – три произвольных абстрактных целых числа. По свойству $Z_{+, \times}1.2$
найдутся такие модельные целые $X$, $Y$, $Z$, что $X^\# = a$, $Y^\# = b$, $Z^\# = c$. Далее. Мы знаем, что

$X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{=} X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z \ \ \ \ \ \ \ \ (63)$,

но тогда согласно $Z_{+, \times}2.1$:

$\bigl ((X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr)^\# = \bigr (X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z) \bigl )^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (64)$

Поскольку "$ \ \underset{f}{\cdot} \ $" изображает "$ \ \cdot \ $" (свойство $Z_{+, \times}4$), то:

$\bigl ((X \underset{f}{\cdot} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr)^\# = \bigl ((X \underset{f}{\cdot} Y) \bigr)^\# \cdot Z^\# = (X^\# \cdot Y^\#) \cdot Z^\# = (a \cdot b) \cdot c \ \ \ \ \ \ \ \ (65)$

и

$\bigr (X \underset{f}{\cdot} (Y \underset{f}{\cdot} Z \bigl)^\# = X^\# \cdot \bigr ((Y \underset{f}{\cdot} Z \bigl)^\# = X^\# \cdot (Y^\# \cdot Z^\#) = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \ \ \ \ (66)$.

Объединяя два написанных выше равенства с $(64)$, приходим к выводу, что:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ \ \ \ \ \ \ \ (67)$

таким образом $A2)$ доказан.

Аналогичным способом доказывается и $А3)$. Пусть $a$, $b$, $c$ – все те же три произвольных абстрактных целых числа, а $X$, $Y$, $Z$ – все те же три модельных целых, для которых $X^\# = a$, $Y^\# = b$, $Z^\# = c$. Согласно $A3^*)$:

$(X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{=} X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z \ \ \ \ \ \ \ \ (68)$

применяя к написанному выше равенству $Z_{+, \times}2.1$, имеем:

$\bigl ((X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr) ^\# = (X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z )^\# \ \ \ \ \ \ \ \ (69)$

Поскольку "$ \ \underset{f}{\cdot} \ $" изображает "$ \ \cdot \ $" (свойство $Z_{+, \times}4$), а "$ \ \underset{f}{+} \ $" изображает "$ \ + \ $" (свойство $Z_{+, \times}3.1$), мы можем преобразовать левую и правую части полученного равенства:

$\bigl ((X \underset{f}{+} Y) \underset{f}{\cdot} Z \bigr) ^\# = (X \underset{f}{+} Y)^\# \cdot Z^\# = (X^\# + Y^\#) \cdot Z^\# = (a + b) \cdot c \ \ \ \ \ \ \ \ (70)$,

$(X \underset{f}{\cdot} Z \underset{f}{+} Y \underset{f}{\cdot} Z )^\# = (X \underset{f}{\cdot} Z)^\# + (Y \underset{f}{\cdot} Z )^\# = X^\# \cdot Z^\# + Y^\# \cdot Z^\# = a\cdot c + b \cdot c \ \ \ \ \ \ \ \ (71)$

Объединяя три последних равенства, получаем желаемое:

$(a + b) \cdot c = a\cdot c + b \cdot c$.

4. Немного рефлексии и рекламы


Задачи для самостоятельного исследования


Задача 1: Попробуйте переизобрести натуральные числа. Собственно представьте, что вам не известна концепция натурального числа, но вы сообразителны и вам доступны наблюдения за любыми конечными множествами предметов. Попробуйте построить модель натуральных чисел, на которой вы сможете логически точно ввести отношения равенства, сумму, разность и произведение. Для таких построений особенно удобно иметь неограниченное число наборов одинаковых по форме деревянных кубиков.

В обосновании модельных тождеств вы не должны использовать знания об арифметики абстрактных натуральных чисел, иначе получится не честно — ведь вам их только предстоит изобрести. Одним из потенциально сложных для вас вопросов будет такой: «почему, если в танцевальном классе вы каким-то образом поставили в пары мальчиков с девочками и при этом осталось три мальчика без пары, то нет никакого способа составить пары мальчиков с девочками так, чтобы партнер нашелся для каждого ученика». Наверное, вам также придется поломать голову над коммутативностью $A1)$ и ассоциативностью $A2)$ умножения.

Задача 2 Ее предложил Давид Худавердян khdavid. Что будет, если кружки на картинах будут иметь не 2 а 3 или 4 различных цвета. Можно ли обобщить приведенные в статье логические построения и если да, то что за арифметика получится в итоге?

Решение этих задач может занять у вас часы, а может — и годы. Не торопитесь узнать ответ — главная ценность не в решении, а в тех навыках, которые вы приобретете во время его поиска.

Адаптации текста, вопрос к методистам и учителям.


Как видите тест получился не маленьким. Не знаю, насколько в таком виде он сложен для детей, скажем, класса 8-го и старше, не знаю насколько он способен заинтересовать и удержать внимание, но я уверен он должен быть понятен достаточно талантливому учителю. Мне было бы интересно услышать мнение таких людей и получить пару советов о том, как сделать текст доступнее и увлекательней для школьной аудитории.

Если вы работаете с детьми и готовы попробовать пересказать им мою статью, я хотел бы узнать, каких вам удалось получить результатов. Для связи со мной вы можете использовать мою электронную почту magnolia@bk.ru.

Пожертвования


Написать эту статью стоило для меня месяца кропотливого труда. Такие статьи — моя страсть, но только за свой счет я не могу позволить себе писать их слишком часто. Если вам понравилась моя работа и вы хотели бы видеть ей подобные чаще, то можете поддержать ее автора. Вот номер карты:
СовкомБанк 5536 0905 3062 3225.
Спасибо!

Личные занятия


В сообщении меня спросили насчет занятий в живую. Раз так, то почему бы и нет, тем более, что я планирую писать еще статьи для детей и хотел бы лучше понять природу мышления моих читателей.

Если у вас есть дети старшего школьного возраста (где-то 8 класс и старше ) могу попробовать на 3-4 экспериментальных занятиях помочь им научится смотреть на мир через призму математики. Никаких назиданий и ЕГЭ — только провокации их собственной инициативы и любопытства. Я думаю поиграть с ними в настольные и логические игры, сводить в книжный магазин, познакомит с азами философии, аккуратно поработать над их логикой построения выводов, помочь им сделать свое первое математическое исследование.

Мне кажется, я знаю, как работать с мальчиками. Мой метод состоит в том, чтобы поощрять их желание к независимости и самоутверждению. Если честно, я не представляю себе, как работать с девочками, однако у меня есть одна интересная знакомая, которая имеет успешный опыт и желание к общению с талантливыми детьми. Про одаренных девочек могу спросить у нее.

Скорее всего, ученик, которому будут полезны мои занятия — это способный «троечник» с достаточно развитым природным умом и сообразительностью, чтобы школьная математика могла представлять для него хоть какой-то интерес. Если ваш ребенок посещает профильный класс, подумайте дважды — я ведь могу показать ему совершенно другой мир математики нежели тот, о котором рассказывают ему в школе… но если будет желание пообщаться, то почему бы и нет.

Мои условия таковы:
1) Мой день (да, занятие — это примерно день непринужденного общения) будет стоит для семьи столько, сколько зарабатывают в среднем за день родители ученика (или его опекуны). Пусть это будет маленькая ирония, если мои уроки сможет позволить себе семья дворников и не сможет семья банкиров :).
2) Оплату предыдущего занятия я буду брать в начале следующего, если оно состоится, так что «попробовать» можно (почти) бесплатно. Оплата последнего дня дает возможность бывшему ученику задавать мне свои вопросы по электронной почте в течение еще 1-го года.
3) Перед первым занятием родителям придется приехать со мной познакомится в Ленинский район Москвы. Это позволит нам друг друга узнать, кроме того для подготовки к первому занятию я должен расспросить их о будущем ученике.

Если вам интересно — вот моя электронная почта:
magnolia@bk.ru.

Буду рад ответить на все ваши вопросы.
.
.

Другие мои научно-популярные статьи по математике:


Применимы ли индуктивные рассуждения к предсказанию символов в неслучайных последовательностях?
Случайный трамвай посреди незнакомого города
Эмпирическая вероятность

Сергей Коваленко
август 2023 года.

Комментарии (276)


  1. MarinaToshina
    15.08.2023 18:29
    #25861804
    +10

    Почему зеркало меняет местами правое и левое, в верх и низ нет?!


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25861808

      Не для всех ))). Это хороший вопрос, но пусть читатели подумают над ним сами. Почему для меня зеркало меняет верх с низом и не меняет право и лево я ответил вам личным сообщение.


      1. Barma2012
        15.08.2023 18:29
        #25862902

        Почему для меня зеркало меняет верх с низом и не меняет право и лево я ответил вам личным сообщение

        Мне тоже напишите, плиз! ))


      1. Robastik
        15.08.2023 18:29
        #25864008
        +1

        Почему для меня зеркало меняет верх с низом

        У вас один глаз ровно под другим? О_О


      1. Faxfox
        15.08.2023 18:29
        #25864742

        Зеркальный потолок?


    1. GospodinKolhoznik
      15.08.2023 18:29
      #25861838
      +11

      Правильный ответ - потому что гладиолус.

      Ну а если позанудствовать, то ничего зеркало не меняет.


      1. Sergey_Kovalenko Автор
        15.08.2023 18:29
        #25861842

        Все зависит от трактовки выбранных определений.


        1. GospodinKolhoznik
          15.08.2023 18:29
          #25861940

          Удалил разгадку


          1. Sergey_Kovalenko Автор
            15.08.2023 18:29
            #25861954
            -1

            Ну просил же в комментах не рассказывать :-(. Молодец, а ведь могло человек сто сегодня полночи не спать.


            1. SeApps
              15.08.2023 18:29
              #25867332

              Это же ресурс для прогеров, тут все эти 100 человек догадались за три секунды


          1. Sergey_Kovalenko Автор
            15.08.2023 18:29
            #25862148

            Большое спасибо от всего разумного человечества!


    1. forthuse
      15.08.2023 18:29
      #25861900
      +1

      Вопрос из серии — почему, когда мы рождаемся видим перевернутый мир? :)


      1. IvanPetrof
        15.08.2023 18:29
        #25862312
        +2

        Всегда интересовал вопрос - как это узнали?


        1. Wesha
          15.08.2023 18:29
          #25862534
          +2

          как это узнали?

          Экспериментировали с новорожденными. Трясут у него перед лицом какой-нибудь блестючкой слева вверху — а он руку тянет вправо-вниз (первое время, а потом через несколько дней начинает тянуть уже в правильном направлении).


          1. IvanPetrof
            15.08.2023 18:29
            #25862630
            +1

            это не обязательно зрение перевёрнуто. Может быть перевёрнута координация.

            Если он руку тянет вправо-вверх, а не просто рандомно, значит это направление "прошито". Для чего прошито именно так? Наши пра-предки когда-то видели сразу прямо?

            Быть может это связано с "перевёрнутым подключением" глаз? (левый глаз к правому полушарию, а правый - к левому). Быть может такой переворот случился не так давно? (по меркам эволюции)


            1. Wesha
              15.08.2023 18:29
              #25862674
              -1

              это не обязательно зрение перевёрнуто

              Скажите, Вы правда ожидаете, что я всё-всё распишу в одном комментарии страничек так на пять? Вкратце — написал, а если нужны подробности...


              1. IvanPetrof
                15.08.2023 18:29
                #25862784
                +1

                Вопросы не вам персонально. Я же вам не в личку написал.

                Я хотел бы услышать мнение знающего человека.


          1. kometakot
            15.08.2023 18:29
            #25862636
            -4

            Серьёзно? Вот серьёзно? Не верю.


            1. Wesha
              15.08.2023 18:29
              #25862666
              +7

              С "верю-не верю" — это не к нам, это к священникам.


              1. kometakot
                15.08.2023 18:29
                #25862866
                -1

                Ну так вы чем то лучше священника сейчас аргументируете?


                1. Wesha
                  15.08.2023 18:29
                  #25862878
                  +5

                  Я не "аргументирую", я делюсь имеющейся у меня информацией. Что Вы с ней будете делать дальше — мне несколько всё равно.


                  1. kometakot
                    15.08.2023 18:29
                    #25862912
                    +1

                    Ну, раз даже аргументировать такую дичь не желаете, то и отнесусь к этому как к полной дичи. Быстрое гугление показало, что это миф.


                    1. Wesha
                      15.08.2023 18:29
                      #25863206
                      +1

                      "Быстрое гугление" находит 100500 сайтов для милых дам мам, где да, написано именно так, но если какие ссылки и есть, то максимум на британских учёных, так что это, мягко говоря, так себе источник.

                      Честно признаюсь, что последний раз вскользь интересовался этим вопросом лет 30-35 назад, и тогда утверждалось (как я написал), что в первое время младенец тянется в сторону, строго противоположную заинтересовавшему объекту (что как бы намекает именно на ту самую перевёрнутость), однако развивающаяся нейросеть (тогда использовались другие слова) пытается минимизировать наблюдаемую невязку, и вскоре поведение (и восприятие) изменяется в правильную сторону; естественно, ввиду крайней юности воспоминаний об этом ни у кого не остётся. За давностью лет, естественно, уже не вспомню, где это читал — естественно, не в интернете; предполагаю, что в "Науке и жизни", но, естественно, не уверен.


                  1. IvanPetrof
                    15.08.2023 18:29
                    #25863278
                    +2

                    К сожалению, вы поделились информацией, но не поделились её источниками (надеюсь этим источником не является советский мультфильм "на задней парте" в который вы меня многозначительно послали за подробностями?).

                    Если же искать информацию на тему "инверсия зрительного восприятия", то в серьёзных источниках встречаются лишь описания экспериментов на взрослых людях. Причём результаты их весьма противоречивы. Про зрение младенцев серьёзные источники содержат информацию по темам формирования бинокуляного зрения, цветоощущения, восприятия формы и т.п. И никаких упоминаний про инверсию.

                    Зато про инверсию зрения у младенцев очень много пишут на различных сайтопомойках типа дзена, фишек и бэби.ру. Причём одними и теми же словами "..как известно, младенцы видят мир перевёрнутым..."

                    Так как вы очень уверенно делитесь с нами информацией об экспериментах по исследованию инверсии зрения у новорождённых, думаю вас не сильно затруднит дать пару ссылок на эти исследования или их авторов?


                    1. Wesha
                      15.08.2023 18:29
                      #25863338

                      Я уже сказал: к моему большому сожалению, ввиду давности лет, затруднит, но это не так принципиально: информация абсолютно точно не из Интернета — он появился (в России, не в США) лет на десять позже.


                      1. IvanPetrof
                        15.08.2023 18:29
                        #25863370
                        +4

                        Очень жаль, конечно. К сожалению, "доинтернетность" источника не гарантирует верность информации. А отсутствие каких-либо более поздних исследований на столь интересную тему, только усиливает подозрение на ошибочность старых данных. Что переводит их в разряд мифов.


                      1. Wesha
                        15.08.2023 18:29
                        #25864976

                        Так я и не говорил, что я суперспециалист в вопросе — я выдал те данные, которые имеются у меня, а дальше — за что купил, за то и продаю.

                        "доинтернетность" источника не гарантирует верность информации.

                        Всё так, но по крайней мере тогда не занимались безбожным хайпованием ввиду его безумной цены и полной бессмыссленности.


      1. piuzziconezz
        15.08.2023 18:29
        #25863372

        Сомнительно, что это так. В мозг идет пучок нервов, перемешанных между собой, правда, в каждое полушарие свой, причем крест-накрест. В итоге в мозг поступает массив импульсов, в котором нет низа, верха, эти понятия возникают позже в процессе обработки. Кроме того, новорожденный не умеет управлять своими руками сразу, этот навык приходит постепенно в процессе обучения. А на самом деле перевернуто лишь изображение на сетчатке глаза.


      1. apevzner
        15.08.2023 18:29
        #25864602
        +1

        Потому, что акушерке удобно держать ребенка за ноги: ничего не сломается, ничего не оторвется


    1. unC0Rr
      15.08.2023 18:29
      #25862020
      +2

      Лежащее на полу или подвешенное на потолке — меняет.


    1. nickolaym
      15.08.2023 18:29
      #25862362
      +20

      Зеркало меняет не левое и правое, и не верх и низ.
      Зеркало меняет перед и зад. Если бы оно сохраняло их, то в зеркале вы бы видели свой затылок.

      А уже дальше человеку - в силу того, что мы

      • гораздо более манёвренны в горизонтальной плоскости (двигаемся и поворачиваемся), нежели в вертикальной (не любим наклоняться, а тем более, вставать на голову)

      • визуально почти симметричны по вертикали проще интерпретировать, что наше отражение повернулось к нам по вертикальной оси и отразилось в сагитальной плоскости (пенпердикулярной плоскости зеркала).

      Какое-нибудь существенно несимметричное создание, например, камбала, или существенно по-другому симметричное, например, дождевой червяк, может считать иначе. Что зеркало его перевернуло та гепнуло!


      1. xsevenbeta
        15.08.2023 18:29
        #25863752

        Чтобы понять, как это происходит по моему проще представить, что ты смотришь ИЗ зеркала (что по сути и происходит в момент отражения).


    1. Makeman
      15.08.2023 18:29
      #25862464
      +5

      На мой взгляд, относительно наблюдателя зеркало меняет зад и перед, зато другие направления наоборот сохраняет (-;


    1. mefi73
      15.08.2023 18:29
      #25863364
      +1

      зеркало ничего не меняет местами, это иллюзия, а еще глаза расположены горизонтально


      1. Wesha
        15.08.2023 18:29
        #25865062
        +2

        Зеркало ничего не меняет местам — местами меняет мозг, который представляет себя на месте отражения — "если бы я стоял там — то это была бы моя правая рука". Проблема в том, что я не стою там, я стою здесь!


    1. Dolios
      15.08.2023 18:29
      #25863468
      +3

      Положите зеркало на пол и встаньте на него. Поменялось ли местеми правое и левое?


      1. lorc
        15.08.2023 18:29
        #25863770
        +4

        Правое и левое не меняется даже если зеркало висит на стене. Встаньте перед зеркалом и поднимите руку которая правее вашей головы. В отражении вы тоже увидите что у вас поднята та рука, которая правее вашей головы. Или нарисуйте на бумажке стрелочку и покажите ее зеркалу. В реальности и в отражении стрелка будет указывать в ту же сторону (кроме случаев когда стрелка смотрит перпендикулярно плоскости зеркала).

        Зеркало меняет только направление "от себя / на себя". Например, буквы в книге переворачиваются только в двух случаях - вы переворачиваете книгу, чтобы она смотрела на зеркало, а не на вас, либо вы держите книгу так, что в зеркале переворачивается направление "от себя/на себя". В первом случае понятно почему вы видите текст перевернутым - вы же сами перевернули книгу. Если бы сами страницы были прозрачными, а был виден только текст - то буквы в зеркале и на странице выглядели бы совершенно одинаково. Во втором случае - ну да, зеркало изменило направление "в глубину", но тогда текст будет выглядеть вверх-ногами, а не отраженным справа налево.


        1. Dolios
          15.08.2023 18:29
          #25864036

          Спасибо, кэп.


        1. Moog_Prodigy
          15.08.2023 18:29
          #25867808

          Если использовать два зеркала под 90 градусов, то оно и правое и левое не меняет.


    1. IKStantin
      15.08.2023 18:29
      #25863640

      del


    1. lazy_val
      15.08.2023 18:29
      #25868808

      Да!!!!!

      Отличный вопрос.

      Как то обнаружил себя во втором часу ночи в коридоре перед зеркалом, будучи верхней частью тела повернутым на (примерно) прямой угол от вертикали :)

      С тех пор зарекся на эту тему размышлять.


  1. IlyaDatsiuk
    15.08.2023 18:29
    #25861806
    +3

    Это просто великолепно! Всё четко. Количество сделанной работы просто сногшибательно!


  1. NikaLapka
    15.08.2023 18:29
    #25861914
    +10

    Приведу аналогию: был бы интересен опус про nftables, если читатель не знаком с iptables, сетевыми интерфейсами? Так какой смысл в выше описанном, если большинство не знакомы с общей алгеброй, теорией групп.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25861922

      Так я вроде бы на пальцах. Никаких сложных концепций, ничего такого, чего бы вы и так не использовали в школе, наверное даже в начальной школе.


      1. Fen1kz
        15.08.2023 18:29
        #25862096
        +44

        Вообще не на пальцах.

        Я пришел на "Когда вы учились в школе, разве у вас не возникало желание получить простое объяснение, почему при умножении чисел “минус на минус” дает “плюс”?"

        а получил кучу формул, позитроны какие-то, 3014 год и картины.

        > простое объяснение

        $a – p = (a – p) + 0 = (a – p) + (p + q) = \bigl ((a - p) + p \bigr ) + q = a + q \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$
        $a – p = (a – p) + 0 = (a – p) + (p + q) = \bigl ((a - p) + p \bigr ) + q = a + q \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$

        Да чтоб вам так объясняли что-то (-_- )

        -- Доктор, у меня горло болит, можно вопрос почему?

        -- Да легко, Si+2Cl2 => SiCl4
        поэтому SiCl4+3H20 => H2Si03 + 4HCl
        ну и следовательно 2HgO = 2Hg + O2 СаСО3 = СаО + СО2
        отсюда и берем что
        C + O2 = CO2; Na2O + CO2 = Na2CO3; NH3 + CO2 + H2O = NH4HCO3.

        Ну и полному идиоту здесь будет понятно что

        CuSO4 + Fe = FeSO4 + Cu
        2NaI + Cl2 = 2NaCl + I2;
        CaCO3 + SiO2 = CaSiO3 + CO2­

        -- Спасибо, доктор, и правда все понятно. Водорот, кислорот, да-да


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25862132
          +1

          Попробуйте объяснить проще, почему вычитание можно заменить сложением с противоположным. Напомню, что по определению (в той же начальной школе) вычитание - это операция, противоположная сложению. Мне правда интересно.


          1. Fen1kz
            15.08.2023 18:29
            #25862200
            +10

            Во-первых "сам попробуй" это плохой аргумент, так ведь?

            Был бы я таким умным, может бы понял ваше "простое, понятное в начальной школе" объяснение из кучи формул, картин и каких-то математических значков, сказал бы - нормально ты серега ваще телегу загнал, так этих малолеток, пусть получают А хештегом + Бэ хештегом по своей дурной голове, чтоб им А и Б в степени хештега деленное на p снилось теперь (формула зэ плюс 3 точка 1)

            Во-вторых зачем это делать мне, если здесь уже в комментах пара неплохих, например у товарища @vedenin1980 чуть ниже по треду.


            1. Sergey_Kovalenko Автор
              15.08.2023 18:29
              #25862256

              У товарища снизу пока еще не модель. Скажите вы мою статью подряд читали или урывками? Если подряд и вам что-то в каком-то месте было не понятно, будьте добры пояснить, что и где - я постараюсь переписать проще и понятнее.


              1. funca
                15.08.2023 18:29
                #25862956
                +2

                у товарища снизу пока еще не модель

                Ваши зелено-красные аннигилирующие кружочки ведь тоже не имеют отношения к реальной физике. В том смысле, что законы взаимодействия, которые вы им приписываете по ходу повествования, определяются не какими-то фундаментальными основами мироздания. Они скорее плод вашего воображения. Сказка.

                А как известно: сказка - ложь. Здесь логика подсказывает, что из ложной посылки можно делать какие угодно выводы и это даже будут абсолютно законно. Но в плане доказательства, увы, не применимо.


                1. Sergey_Kovalenko Автор
                  15.08.2023 18:29
                  #25863010

                  Если умозрительный мир подчиняется строгим логическим законам, то выводы сделанные из наблюдения за этим миром имеют не меньший доказательный вес, чем выводы сделанные из наблюдений за реальным. Или в вашей картине мира нет места умозрительным и мысленным экспериментам.
                  .
                  Имея в распоряжении склад плоских телевизоров и программиста, я уверен, можно сделать мои "модельные" картины реальными.


                  1. vedenin1980
                    15.08.2023 18:29
                    #25863184
                    +4

                    Если умозрительный мир подчиняется строгим логическим законам, то выводы сделанные из наблюдения за этим миром имеют не меньший доказательный вес, чем выводы сделанные из наблюдений за реальным

                    Дело в том, что в математике доказательства так не работают. Математика создает свой строгий абстрактный мир, где все либо принимается за аксиомы, либо доказывается через аксиомы средствами математики.


                    По современным правилам математики нельзя перейти к модели реального мира или какой-то умозрительной, что-то доказать, а потом сказать, что это доказаывает мат.модель в общем случае.


                    Условно, легко доказать коммутативность сложения просто взяв яблоки и показав, что 3 яблока и 2 яблока тоже самое что 2 яблока и 3 яблока. Но такое доказательство это только для детского сада, а не для настоящих математиков. Коммутативность сложения либо принимается за аксиому, либо доказывается математически.


                    Можно вспомнить парадокс Зенона (Ахилле́с и черепа́ха), его несложно решить перейдя в некоторую модель реального мира и поставив практический эксперемент показав, что Ахилле́с догонит черепаху (что и так всем понятно). Смысл парадокс Зенона именно в том, что доказать это оставаясь только в рамках математических модели.


                    То же сравнение с позитронами и электронами неверно — при анигиляции выделяется энергия, а вовсе не ноль (ничего). Энергия может приводит к появлению других частиц из ваккума. Да, пока физика считает, что заряд должен при этом сохранятся, но если вдруг это окажется не так — то что?


                    Брать и переделывать математические модели, которые доказаны через модель позитронов и электронов? Именно поэтому такие переходы от мат.моделей к другим моделям допустимы только в одну сторону (с использованием математики можно доказать другие модели), а не в обратную.


                    Математические модели должны быть самодоказательны без использование других моделей.


                  1. funca
                    15.08.2023 18:29
                    #25863318
                    +1

                    Если умозрительный мир подчиняется строгим логическим законам, то выводы сделанные из наблюдения за этим миром имеют не меньший доказательный вес, чем выводы сделанные из наблюдений за реальным.

                    Или в вашей картине мира нет места умозрительным и мысленным экспериментам

                    Если речь идёт про какие-то слова из букв, связанные между собой какими-то правилами-формулами, то у нас формальная система. Мы можем брать слова, подставлять в формулы и на выходе получать новые слова, которые можно считать корректными. На этом уровне, здесь нет особой практической пользы, это просто физкультура для ума. e2 e4, e4 e5, Qh5..

                    Мы можем пойти дальше и сопоставить слова с какими-то объектами из физического мира. Например, словам "слон" и "конь" - не, не животных, а деревянные фигурки, которые ходят по клеткам, подчиняясь некоторым правилам. Шахматы. У нас по прежнему формальная система, но теперь с довольно удобной интерпретацией в физическом мире. Например , она не даёт случайно нарушить определенные правила, допустим поставить на одну клетку несколько фигур. Значит-ли это что все выводы, сделанные в рамках шахматные правил автоматически распространяются на реальный мир? Нет. Например, нам ни что не мешает фигурки взять и сжечь - это не противоречит законам физики. Точно так же геометрия фигур может позволить поставить их несколько штук на одну клетку, но это не меняет шахматных правил и не делает такой ход корректным. Т.е. речь идёт об ограниченной интерпретации, а не их полной эквивалентности. В такой ситуации мы не можем слепо переносить выводы из одного мира в другой.

                    Если говорить о связи математики с физикой, то здесь все мысленные эксперименты потом проверяются на реальных. Так уже было загублена масса красивых и логичных теорий.


          1. Fen1kz
            15.08.2023 18:29
            #25862202

            -del


          1. lorc
            15.08.2023 18:29
            #25862276
            +1

            "Определения" в начальной школе не нужно рассматривать как определения в строгом математическом смысле. Начальная школа призвана развить интуитивное понимание арифметических операций.

            Вообще, математика в начальной школе довольно таки противоречивая: сначала нельзя отнимать большие числа от меньших, потом оказывается что можно. Сначала 10 не делится на 3, потом делится но с остатком, а потом делится с образованием дробной части. Про квадратный корень из отрицательного числа я вообще молчу. Да, можно сказать что на самом то деле мы переходим от натуральных чисел к целым, от целых - к рациональным, от действительных - к комплексным, но школьникам от об этом не говорят! Ну кроме последнего случая, естественно.


            1. Sergey_Kovalenko Автор
              15.08.2023 18:29
              #25862340

              Я видел своего читателя как 8 класс и выше. Конечно статья не для начальной школы.



              1. lorc
                15.08.2023 18:29
                #25862390
                +4

                Ну для 8 класса уже наверное можно и рассказать что "3 - 5" - это такой сокращенный способ написать "3 + (-5)". Соответственно, никакого вычитания на самом деле нет, а есть только сложение. Да и в 8 классе уже знают что умножение - это что-то более сложнее чем просто сложить n раз число m с самим собой. Хотя бы потому что сложить Пи раз квадрат радиуса с самим собой - это еще надо постараться.


                1. andrey-orlouv
                  15.08.2023 18:29
                  #25863208
                  -1

                  Все верно, но вы не можете умножить что-то на число пи, так как вам оно не известно. Вы можете умножить что-то на некоторое приближение к числу пи, сколь угодно близкое, но не на число пи и, внезапно, это приближение находится при помощи операции сложения дробей :)


                  1. Spaceoddity
                    15.08.2023 18:29
                    #25863686
                    +2

                    "почему не могу? могу!" (c)

                    π * 2 = 2π


                  1. ftdgoodluck
                    15.08.2023 18:29
                    #25864106
                    +2

                    Число π вполне себе известно. То, что у него нет конечной записи, не мешает на него умножать и делать с ним все то же, что можно делать с другим числом.


                    1. Wesha
                      15.08.2023 18:29
                      #25865236

                      Ещё скажите, что Вы е в степень iπ возводить не умеете!


                      1. michael_v89
                        15.08.2023 18:29
                        #25865478

                        График y = e^x с компонентами (re(y), im(x)) в плоскости re(x) = 0 это график косинуса.
                        e^0 = 1
                        e^i*pi = -1
                        e^i*2*pi = 1


              1. StjarnornasFred
                15.08.2023 18:29
                #25865378
                -1

                Честно говоря, показалось, что многовато слов для довольно очевидной и тривиальной вещи.

                И потом, любое -N можно представить как N*(-1). Тогда очевидным образом (-N)*(-M)=(-1)*(-1)*NM=sqr(-1)*NM=1*NM=NM.


                1. Sergey_Kovalenko Автор
                  15.08.2023 18:29
                  #25865388
                  -2

                  Математики 19 века, в том числе самые светлые умы из них, с вашим мнением об очевидности бы не согласились.


            1. StjarnornasFred
              15.08.2023 18:29
              #25864034
              +1

              сначала нельзя отнимать большие числа от меньших, потом оказывается что можно

              Чтобы "нельзя" - не помню такого. "Вы этого пока не умеете, в старших классах научитесь, а пока такого не будет, а если попалось, то вы где-то ошиблись" - да, такое было. (Впрочем, мне родители где-то в первом классе на прогулке рассказали про отрицательные числа и я даже понял в общих чертах, так что это вопросов не вызывало).

              Сначала 10 не делится на 3, потом делится но с остатком, а потом делится с образованием дробной части

              В общеупотребительном смысле слово "делится" означает именно целочисленное деление. Так что да, 10 на 3 не делится.

              Про квадратный корень из отрицательного числа я вообще молчу.

              Это вообще лютый вышмат, в отношении которого, в общем-то, есть вопрос, являются ли комплéксные мнимые числа числами. Так что мы вполне можем сказать, что чётные корни из отрицательных чисел не извлекаются, а то, что извлекается - некая вымышленная сущность. Ну это как температура в -500 градусов: физически невозможно, но в теории сочинять и решать математически верные задачки на тему теплоёмкости с такими данными можно. Комплéксная температура, так сказать.


            1. Wesha
              15.08.2023 18:29
              #25865226
              +1

              нельзя отнимать большие числа от меньших

              Это вы просто не умеете!

              Король Бизонов приподнял бровь.
              — Тогда, возможно, вы просто хотите присоединиться к своим друзьям сейчас, потому как я хорошо знаком с математикой — от теории множеств до дифференциального исчисления и даже дальше. Боюсь, что мало что вы сможете мне показать.
              — Я в курсе, Ваше Величество, но позвольте объяснить. Вы, без сомнения, знакомы с понятиями целого числа, группы положительных и отрицательных чисел и аддитивного обратного?
              — Конечно. Все очень просто, уверяю вас.
              Куница улыбнулась.
              — Идея отрицательных чисел никогда не забавляла Ваше Величество?
              — Забавляла? — Брови Короля Бизонов сморщились. — Почему отрицательные числа должны меня забавлять?
              — Разве это не заставляет Вас задуматься, Ваше Величество, как можно сложить что—то с чем—то и получить ничто?
              Король Бизонов рассмеялся.
              — Отрицательное число — это всего лишь математическое удобство: оно не имеет физической реальности.
              Куница подняла лапу.
              — Ваше Величество, Вы уверены в этом?
              Это заставило Короля Бизонов на мгновение задуматься. Он наклонил голову.
              — Ты хочешь сказать, что оно имеет?
              — С Вашего позволения. — Куница снова поклонилась.
              — Ну—ну... — Глаза Короля Бизонов загорелись, и он взмахнул копытом в сторону Куницы. — Давайте взглянем.
              — Ваше Величество так добры. Мне понадобится ваш стол, Ваше Величество, и тарелка с тремя яблоками.
              Король Бизонов с грохотом сдвинул копыта. Через мгновение вперед вышел буйвол, на спине которого балансировала серебряная тарелка с тремя красными яблоками. Буйвол позволил тарелке соскользнуть на стол; Куница вскочила на него и еще раз поклонилась королю.
              — Ваше Величество мзволит видеть три яблока. — Она погладила каждое яблоко лапой. — Три красных яблока на тарелке. Теперь, три минус одно, — она взяла одно яблоко с тарелки и положила его на стол рядом с ней, — равняется двум. — Она погладила два яблока, оставшихся на тарелке. — Не так ли, Ваше Величество?
              — Несомненно.
              — А два минус одно, — она взяла второе яблоко, положила его на стол рядом с первым и продолжила, — равно одному. — Она погладила последнее яблоко на тарелке. — Не так ли, Ваше Величество?
              — Воистину так: на тарелке больше нет яблок.
              Куница подняла лапу.
              — Но, Ваше Величество, разве не также верно, что ноль минус один, — Куница протянула лапу к пустой тарелке и... взяла яблоко когтями — яблоко такое же большое и красное, как и остальные на столе, — равно минус одному? — И Куница положила это другое яблоко на стол рядом с первыми тремя.
              Рысь ошарашенно смотрел на сцену из—за ног окружавших его буйволов. Яблоко только что появилось у Куницы в лапе так же легко, как если бы она взяла его с тарелки.
              Король Буйволов приподнялся, его лохматые брови встопорщились.
              — И таким же образом, — продолжала Куница, — минус один минус один, — она протянула лапу и взяла еще одно большое красное яблоко с пустой тарелки, — равно минус двум. — И это яблоко присоединилось к остальным на столе рядом с ней.
              — Это что за колдунство такое? — пробормотал Король Буйволов, оседая на подушке.
              — О нет, Ваше Величество, никакого колдунства, всего лишь элементарная математика. В конце концов, минус два минус один, Вы согласитесь, — ещё одно яблоко было поднято с тарелки и поставлено в ряд с остальными, — должно быть равно минус трём. — Куница взглянула на Короля Бизонов. — Вы ведь превосходно знаете математику, Ваше Величество.
              — Математика... — пробормотал Король Бизонов. — Но откуда взялись остальные три яблока?
              Куница выглядела ошарашенной.
              — Ваше Величество, здесь всего три яблока!
              Глаза Короля Бизонов метнулись на нее.
              — Как?! Я вижу шесть!
              — Но Вашему Величеству не дОлжно забывать о трех отрицательных яблоках на тарелке. Шесть положительных яблок плюс три отрицательных яблока даёт три яблока. — Куница провела лапой от ряда яблок к тарелке. — Здесь может быть только три яблока. Ведь это математика, не так ли?
              Король Бизон ошарашенно переводил взгляд с яблок на тарелку и обратно, не произнося ни слова.
              Куница откашлялась:
              — Возможно, станет ещё понятнее, если я буду действовать в обратном порядке. — Она взяла одно из яблок со стола и предъявила его Королю Бизонов. — Если к минус трём прибавить плюс один, — она опустила яблоко на тарелку — но когда она отвела лапу, тарелка осталась всё так же пуста, — равняется минус двум, видите? И оставшиеся здесь пять яблок, будучи сложенными с минус двумя яблоками на тарелке по—прежнему равяются трём яблокам.
              Король Бизонов соскользнул с подушек так далеко вперед, что его нос почти касался столешницы.
              Куница взяла еще одно яблоко из ряда.
              — А если к минус двум прибавить плюс один, — яблоко опустилось на тарелку и тут же пропало, — выйдет минус один. — Куница постучала по тарелке когтем. — Одно отрицательное яблоко, оставшееся на тарелке, плюс эти четыре положительных яблока дают нам три яблока, которые у нас собственно всегда и были. Вы следите за мыслью, Ваше Величество?
              Рысь едва слышал прерывистое дыхание Короля Бизона, когда тот склонил свою огромную голову над столом.
              Куница подняла еще одно яблоко.
              — Минус одно плюс плюс одно вернёт нас обратно, — она поставила яблоко на тарелку, и снова оно исчезло; она улыбнулась Королю Бизонов: — обратно к нулю, Ваше Величество.
              Король Бизонов отполз немного назад, его глаза под густыми бровями были расшириены. Куница подняла лапу.
              — Но, Ваше Величество, чисто чтобы вернуться в исходную точку... — Она взяла оставшиеся яблоки и поставила их одно за другим на тарелку. — Ноль плюс одно равно одному, одно плюс одно равно двум, и два плюс одно равно трём. Ваши три яблока, Ваше Величество. — Она погладила каждое из них и взглянула вверх с улыбкой. — Три красных яблока на тарелке.

              — Michael H. Payne. The Blood Jaguar


          1. apevzner
            15.08.2023 18:29
            #25862434
            +31

            Я бы рассказал про числовую прямую, про то, что сложение с неким числом означает движение по этой прямой, его величина обозначает расстояние а знак - направление. А вычитание - это движение в обратную сторону. Результатом выражения является позиция, в которую мы придем, если начнем с 0 и последовательно будем двигаться налево или направо.

            Поскольку вычитание меняет направление на противоположное, и отрицательный знак числа тоже меняет направление на противоположное, то если это сделать два раза (сменить направление), то в итоге мы вернемся к первоначальному направлению.

            И если объяснять это ребенку, то в этом месте надо встать и попрыгать, оттачивая умение менять направление на противоположное строго одним прыжком :)

            А вот умножение я бы сравнил с площадью прямоугольника (или с дискретным ее аналогом, если мы считаем не непрерывные величины, типа площади комнаты, а количество яиц или конфет в коробке MxN)

            И из этого сравнения сразу очевидным становится идея коммутативности умножения. Если мы поверем коробку с яйцами на 90 градусов, то M и N поменяются местами, но количество яиц в коробке не изменится (при соблюдении должной осторожности - яйца все же хрупкие).

            Что до алгебры, я бы прогнал следующую телегу. Сначала мы учимся складывать яблоки, апельсиным счетные палочки или конфеты. Потом мы узнаем, что сложение работает независимо от того, какие предметы мы складываем - так мы постигаем идею абстрактного числа (а не конкретного количества определенных предметов). Алгебра - это следующий уровень абстракции, мы перестаем думать о числах и начинаем думать о самих операциях, которые ведут себя аналогично соответствующим операциям над числами.

            Кстати, нет ли у кого идеи очевидно не числового алгебраического поля, притом не слишком невыносимо сложного?


            1. rootdefault
              15.08.2023 18:29
              #25862506
              +11

              Ваше объяснение проще, понятнее и нагляднее чем в статье. Спасибо.


            1. koldyr
              15.08.2023 18:29
              #25862642

              Поля Галуа же.


              1. apevzner
                15.08.2023 18:29
                #25863192
                +2

                Ну это алгебра многочленов. Все-таки, она слишком численная. А можно что-то, совсем не похожее на числа?


                1. lorc
                  15.08.2023 18:29
                  #25863978
                  +1

                  Ну классика - вращения и композиция вращений. Единственное, что возможно будет тяжело пояснить что элементом является именно поворот, а не положение объекта. Сначала интуитивно кажется что вращение - это и есть операция. Хотя операцией является композиция.


            1. funca
              15.08.2023 18:29
              #25862968
              +3

              Кстати, нет ли у кого идеи очевидно не числового алгебраического поля, притом не слишком невыносимо сложного?

              Картофельное?


            1. Sergey_Kovalenko Автор
              15.08.2023 18:29
              #25863020

              Так можно ли то, что получено в результате умножения складывать с тем что не умножалось и ... почему для арифметики целых с таким умножением верны все те же основные законы, что и для арифметики натуральных?


              1. tommyangelo27
                15.08.2023 18:29
                #25863140

                то, что получено в результате умножения складывать с тем что не умножалось

                Конечно можно, потому что "то, что не умножалось" всегда можно умножить на 1 ????


              1. apevzner
                15.08.2023 18:29
                #25863202

                Так можно ли то, что получено в результате умножения складывать с тем что не умножалось и ...

                Можно.

                почему для арифметики целых с таким умножением верны все те же основные законы, что и для арифметики натуральных?

                По определению же.


            1. M_AJ
              15.08.2023 18:29
              #25863046
              +4

              Я бы рассказал про числовую прямую, про то, что сложение с неким числом означает движение по этой прямой, его величина обозначает расстояние а знак - направление.

              Я это когда-то так для себя и "объяснил". Умножение на (-1) запомнил как операцию, которая просто меняет знак числа. Соответственно (-1)*(-1) это смена знака (-1), то есть просто 1. А (-3)*(-2) это просто 3*2*(-1)*(-1) = 3*2*1.

              Иллюстрация же автора статьи выглядит как некоторый анахронизм. Насколько я помню, хотя могу и ошибаться, концепцию отрицательных чисел полноценно описали уже в 19 веке, то есть задолго до открытия антиматерии и позитронов.


              1. apevzner
                15.08.2023 18:29
                #25863224

                Можно и без позитронов. Помните, как в полупроводниках, бывают электроны и дырки. Дырки вполне себя ведут, как антиэлектроны. А дальше можно к вполне себе осязаемым. механическим дыркам перейти. Например, складывать не портреты электронов, а поля для гольфа, с шариками и лунками

                Автор пытался изобрести нечисленную алгебру, но у него это не очень получилось, увы


            1. piuzziconezz
              15.08.2023 18:29
              #25863398

              А для любопытных можно приоткрыть тайну, что в старших классах их научат не только менять направление на противоположное, а на любой угол.


            1. zuek
              15.08.2023 18:29
              #25863404

              О! Вспомнилось, как в 10-м классе "решал" тригонометрические неравенства на кругах Мора... так получилось, что поменял школу, и новая математичка мои "решения" отказалась принимать - аж к директору пришлось идти, чтобы та подтвердила возможность "графического решения" на четверть страницы, без выкладок формулами на пару полных разворотов...


            1. stan_volodarsky
              15.08.2023 18:29
              #25863944

              Булева алгебра.


            1. Dmitri_L
              15.08.2023 18:29
              #25863982
              +1

              Пробовал как-то рассчитать периодическое поле (образованное абстрактной периодической функцией). Занимательная получилась вещь. Идея скорее экспериментальная, что-то показалось интересным, что-то так и не удалось доделать. 

                      0000 >>>
0001                0010
0011      0101      0100      0110
0111 1011 1001 1101 1000 1100 1010 1110
повторитель >>     |      << накопитель
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
            ^^ проекция ^^

              Не знаю как будет отображаться, но на пк вроде видно четко. Для большего удобства графически лучше расставить как чередующиеся числовые прямые, образованные степенью двойки и обозначающие масштаб. Функция, написанная для расчета нужной точки, просто делает сдвиг бит на один шаг (для масштабирования). Двигаться по такому пространству лучше используя его проекцию на числовую прямую. Само собой у каждого масштаба своя проекция. Функция для расчета делает простые шаги, берет битовую последовательность нужного числа в проекции (например 6), отбрасывает первые нули (их там может быть 64 нуля) и начиная с верхнего бита производит расчет скаляра в периодическом пространстве. Биты - дальние прыжки, нули ближние. Число 6 - это 110 в битовом виде. Начиная с верхнего бита от нулевого скаляра делаем дальний прыжок на следующий масштаб вправо. Попадаем на скаляр 0010. Следующий бит еще вниз и вправо - попадаем на скаляр 0110. Последним идет нуль, поэтому делаем ближний прыжок - просто вниз. Попадаем на скаляр 1010. Функция при прыжках просто прибавляет к скаляру бит в нужном масштабе с одинарным или двойным сдвигом. Таким образом каждая точка на проекции имеет свой уникальный скаляр в периодическом пространстве.

              Само по себе ничего интересного, но я делал эту функцию в другом контексте. Мне было интересно разместить в скалярах пространства матрицу искажения. Чтобы при движения до нужной точки проекции, рассчитать то или иное искажение. Для примера можно представить как из плоской растягивающейся карты мира, вытянули фигуру глобуса или другую фигуру. Т.е. если между 6 и 7 точкой проекции я условно вставил еще десять точек, чтобы они рассчитывались правильно. 6я так и останется 6й, а 7я станет 7 + 10 = 17.


      1. lorc
        15.08.2023 18:29
        #25862284
        +5

        Ну вы притащили абстрактную алгебру. Не то чтобы нормальному школьнику нельзя было объяснить что такое группа, кольцо и поле... Но нормальному школьнику вообще много чего можно пояснить, даже из университетской программы.


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25862344

          Я старался сделать это завуалированно: создать, так сказать, прецедентную базу.


          1. lorc
            15.08.2023 18:29
            #25862396
            +15

            Ну я не могу сказать что у вас получилось, к сожалению. Вообще хочу напомнить вам начало вашей статьи:

            Несмотря на идейную простоту формальный подход требует множества долгих и скучных выкладок, а его доказательства вряд ли сделают доказываемое более понятным, поэтому мы не будем использовать формальный подход и пойдем другим путем.

            А потом херак - и дофига формул с непонятными значками на 20 страниц. Несколько иронично, не находите ли?

            Я учился в гимназии, в математическом классе, потом закончил факультет прикладной математики, так что я наверное могу сказать что определенную тягу к математике имел с детства. Так вот, в 8 классе я бы нифига не понял из того что вы написали. В 8 классе мне было бы проще проследить долгий нудный вывод используя обычные арифметические операции, чем пытаться сначала вникнуть в теорию групп на примере картин с позитронами. Я не говорю что теория групп сложна и не может быть объяснена школьнику. Просто надо идти тем же путем, которым идет преподавание арифметики и алгебры - небольшими шагами, с кучей примеров и практики, чтобы у школьника выработалось то интуитивное понимание, которое уже есть у вас.


            1. Sergey_Kovalenko Автор
              15.08.2023 18:29
              #25862410

              Я учился в сельской школе и почти уверен, что в 8-9-том моя статья была бы мне по зубам, но, конечно, только при самостоятельном изучении, когда никто никуда не гонит, из-за чего есть время на подумать и поговорить с собой. Да, я с вами соглашусь, что примеров и упражнений в статье действительно должно быть больше, может, еще какие придумаю. Школьники - они вроде как умные: помню, в 10-том я легко понял теорию Карно обратимых тепловых машин, смог вывести основное уравнение МКТ - и это все по программе (сельской школы).


            1. apevzner
              15.08.2023 18:29
              #25862438
              +4

              Я тоже учился в матшколе, притом в очень хорошей, и не думаю, что в 8-м классе осилил бы эту статью. Скорее, в 9-м - 10-м.

              Идея картин с позитронами мне не очень понравилась потому, что это - те же числа. Интересно было бы придумать, как раз для таких ознакомительных целей, алгебраическую структуру на множестве, которое, очевидно, на числа совсем не похоже.

              Может, алгебраические типы?


    1. Dr_Faksov
      15.08.2023 18:29
      #25862634
      +5

      Нужно очень осторожно относится к тем моделям из реального, физического мира, которые математики подобирают для иллюстрации каких-либо математических идей.

      Самый известный пример - задача про бассейн и две трубы из которых втекает и вытекает вода. С втеканием проблем нет. Проблема с вытеканием. Скорость (и соответственно объём) вытекания жидкости - степенная функция от высоты уровня этой самой жидкости. Тут как бы интеграл по высоте напрашивается. И да, общее время опорожнения ёмкости стремится к бесконечности. Проще говоря, вы никогда не знаете, какая капля последняя.


      1. koldyr
        15.08.2023 18:29
        #25862660
        +1

        https://habr.com/ru/articles/262429/


      1. iig
        15.08.2023 18:29
        #25862844
        +1

        общее время опорожнения ёмкости стремится к бесконечности

        Ахилл никогда не догонит черепаху ;)


      1. apevzner
        15.08.2023 18:29
        #25863232

        У математиков бассеин наполнен сверхтекучим жидким гелием. Практические аспекты, связанные с содержанием такого бассеина, математиков не интересуют. На то они и математики :)


        1. nickolaym
          15.08.2023 18:29
          #25867396

          Сверхтекучий жидкий гелий состоит из смеси двух фаз - истинно сверхтекучего гелия и просто жидкого.
          Это как смесь воды со снегом.
          Когда весь истинно сверхтекучий утечёт и останется только жидкий, что математики делать будут?

          Это примерно как с экстраполяцией женихов из xkcd.


  1. vedenin1980
    15.08.2023 18:29
    #25862018
    +18

    Мне кажется, все куда проще представить, что мы стоим на дороге к дому и вы можем идти либо к дому, либо от дома. Изначально стоим лицом. Каждый минус это поворот на 180 градусов.


    Если два минуса — повернулись дважды и пошли в прежнем направлении. Один или три минуса — идем от дома. Точно так же показывается любое количество минусов.


    Вообще с практической стороны, минусы они присоединяются к числам исключительно для математического удобства. По факту, минусы это отдельная сущность (нам должны или мы должны), как количество поворотов прежде чем мы пойдем в каком-либо направлении. Минус 3 раза или минус 5 яблок — с практической точки зрения не очень имеет смысл. Вот у нас есть долг в 15 яблок или наоборот у нас есть 15 яблок это имеет смысл.


    Ну либо можно представить, что мы с соседом в суде определяем кто кому должны яблоки — сначала мы привели аргументы и судья говорит да это они должны, потом сосед привел свои аргументы и судья поменял мнение, потом снова мы и так каждый раз до тех пор пока судья не примет решение. А дальше уже у нас либо корзина яблок (при четном количестве изменений мнения), либо мы тащим эту корзину соседу (при нечетном).


    1. GospodinKolhoznik
      15.08.2023 18:29
      #25862272
      +3

      Каждый минус это поворот на 180 градусо

      Так это и надо доказать.


    1. 0xd34df00d
      15.08.2023 18:29
      #25862366
      +3

      Объяснять надо либо строго, либо натаскивая интуицию, не иначе.


      себе представить

      Ну давайте начнёт представлять. Чур я за школьника.


      Каждый минус это поворот на 180 градусов.

      Пап, а что такое поворот на 90 или 150 градусов?


      Если два минуса — повернулись дважды и пошли в прежнем направлении. Один или три минуса — идем от дома.

      Пап, я тут сначала повернулся на 180 градусов вокруг одной оси, потом на 180 градусов вокруг другой оси. Теперь я смотрю против дома и на голове. Это как?


      Вообще с практической стороны, минусы они присоединяются к числам исключительно для математического удобства. По факту, минусы это отдельная сущность

      Какая отдельная сущность? Это вопрос нотации, не более. -x — это элемент, обратный к x, минус там отдельной сущностью не является.


      Чур я снова за воннаби-математика?


      1. apevzner
        15.08.2023 18:29
        #25862440
        +10

        Пап, я тут сначала повернулся на 180 градусов вокруг одной оси, потом на 180 градусов вокруг другой оси. Теперь я смотрю против дома и на голове. Это как?

        В этот момент мудрый папа перестанет мучать ребенка математикой, осознав, что его путь лежит не на Мехмат МГУ, а в цирковое училище :)


        1. 0xd34df00d
          15.08.2023 18:29
          #25862592
          +2

          Если у папы при разговоре о поворотах в разных осях в голове возникает цирк, а не N-мерные пространства, то, возможно, и папе в МГУ не стоило.


          1. apevzner
            15.08.2023 18:29
            #25863240
            +1

            Папа - практик. Папа понимает, что если ребенок стоит на голове, с этим надо что-то делать. Уже не в мире абстрактных осей.


      1. Batalmv
        15.08.2023 18:29
        #25863012

        Градусы проходятся в конце младшей шкрлы, если не ошибаюсь. Раньше чем отрицательные числа


        1. iig
          15.08.2023 18:29
          #25863038
          +4

          Градусы проходятся

          - Вода кипит при 90 градусах

          - Не, вода кипит при 100 градусах. При 90 градусах кипит прямой угол

          ;)

          Главное - не перепутать область применения аксиом (жы шы пишы через Ы, минус на минус дает плюс..)


          1. exTvr
            15.08.2023 18:29
            #25863204

            Жы шы пишы через Ы ж и ш — точно не ошибёшься!


            1. DreamingKitten
              15.08.2023 18:29
              #25863378
              +1

              Hidden text


              1. exTvr
                15.08.2023 18:29
                #25863424
                +1

                Заголовок спойлера

                image


          1. Gummilion
            15.08.2023 18:29
            #25863394
            +2

            На высоте 3000 метров вода кипит при 90 градусах, значит высота прямого угла - 3000 метров!


            1. iig
              15.08.2023 18:29
              #25863462

              Вполне годный вывод ;) Ученые доказали наличие 4 измерения ;)


              1. apevzner
                15.08.2023 18:29
                #25863600

                Не. Ученые доказали отсутствие абсолютной истины и то, что все мнения надо принимать во внимание


          1. nickolaym
            15.08.2023 18:29
            #25867420

            В метрических градусах прямой угол гораздо прямее!


    1. SargeT
      15.08.2023 18:29
      #25863500
      +2

      мы с соседом в суде определяем кто кому должны

      Когда в сааамом начале статьи увидел объяснение умножение положительного на отрицательное

      это когда вы одолжили у соседа 3 корзины по 5 яблок

      то первая мысль была: так в случае обоих отрицательных множителей мы не у соседа одалживаем, а соседу. Всё, теперь нам сосед должен, мы в плюсе.

      А потом дочитал до слов "объяснение будет не таким уж простым" и с ужасом посмотрел на размер ползунка на скроллбаре странички... Не осилил, пролистал по диагонали.


    1. turbotankist
      15.08.2023 18:29
      #25864024

      Да, в этой схеме проще всего объяснить что такое мнимая единица из комплексных чисел - это повернуться на 90 градусов. Корень из -1 умножить на корень из -1 получается -1, то есть два раза по 90 градусов


  1. mk2
    15.08.2023 18:29
    #25862024
    +14

    Получившаяся модель — сама как творение художника-футуриста. Вроде красиво, но поймёт ли это обычный младшеклассник — непонятно.


    Я бы предложил модель "яблок с направлением"/"договора о яблоках". В этой модели "1" — это то, что мы договорились одно моё яблоко передать тебе. А "-1" — мы договорились одно твоё яблоко передать мне. Т.е. минус меняет направление передачи яблок.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25862136

      Мне не совсем понятно, что в вашей модели является числами, но для этих "чисел" должна быть возможность их складывать, вычитать и умножать: любое с любым, причем результатом снова должно быть какое-то модельное число. Если у вас все так, значит вы нашли еще одну модель.


  1. funca
    15.08.2023 18:29
    #25862118
    +3

    Давайте подумаем, какими качествами должен обладать художник, чтобы его работа изображала "$-1$"

    А давайте ещё подумаем, какими качествами должен обладать художник, чтобы его работа изображала "$0$", для любой картины на входе с любым суммарным зарядом. И как удается этому гению обходить закон сохранения энергии?

    Действительно, если взять три (непересекающиеся) кучки яблок размера $a$, $b$ и $c$, то не важно: объедините вы сначала первую со второй, а потом прибавите к ним третью, или объедините вторую и третью, а первую прибавите в конце — в результате у вас получится одно и то же множество яблок с одним и тем же их числом.

    Смотря как посмотреть. Допустим у вас есть 3 кислых (k) яблока и 5 сладких (c), мы складывем их друг за дружкой, а потом делим этот паровозик ровно по середине. Все что слева достается Васе, а справа - Кате. kkk + ccccc = kkkccccc = kkkc + cccc . Кате достались все сладости, а Вася наелся кислых. Если же мы меняем порядок, то ccccc + kkk = ccccckkk = cccc + ckkk. Теперь все сладости достались Васе. Число яблок одинаковое, а дети чувствуют себя по разному) Вы скажите, что математическое сложение так не работает? Ну тем хуже для вашей математики. Модель-то вполне жизненная.

    А вообще берём довольно простую вещь и делаем для неё максимально сложное объяснение. Как только оно перестает укладываться в голове, говорим что утверждение доказано)


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25862158
      +1

      Нет, с нулем все просто: такой художник берет все кружки и незаметно складывает их себе в карманы: позитроны в правый, а электроны - в левый )).
      .
      Ответ на второй вопрос - смотря как определить отношение равенства.


      1. funca
        15.08.2023 18:29
        #25862852
        +1

        Нет, с нулем все просто: такой художник берет все кружки и незаметно складывает их себе в карманы: позитроны в правый, а электроны - в левый ))

        Это фокусник случайно не родственник демону Максвелла?) Серьезно, если мы можем произвольным образом наделять модель нужными нам свойствами, значит можем доказать вообще все что угодно.


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25863032

          Любыми базовыми свойствами, пока они друг с другом независимы и не противоречат математике - да. В этом сила и могущество модельных доказательств.



    1. apevzner
      15.08.2023 18:29
      #25863268

      Модель с кислыми и сладкими яблоками напоминает комплексные числа

      Если наесться мнимых яблок, здоровьечко запросто может стать мнимым :)


  1. Kurinam
    15.08.2023 18:29
    #25862138
    +1

    А можно вопрос?

    Разве нельзя нарисовать график, умножить на * (-1), потом снова умножить на (-1) и этим проиллюстрировать?


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25862142

      Чуть подробнее, пожалуйста.


    1. GospodinKolhoznik
      15.08.2023 18:29
      #25862268

      Как вы объясните, что части графика лежащие ниже нуля после умножения на -1 переходят в верхнюю полуплоскость, а не остаются лежать снизу?


  1. exrector
    15.08.2023 18:29
    #25862226
    -1

    Самый простой способ объяснения - это геометрия. Умножение это складывание (отрезков) n раз. Берем координаты от 0 до - бесконечности. Откладываем отрезки. Сумма длин всех отрезков величина положительная. Потому что это априори «сумма». Профит.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25862244
      +1

      Создание модели требует от вас умножать подобное на подобное и получать подобное. То есть отрезок на отрезок и получать отрезок. Так какие отрезки у вас отрицательные, какие положительные и почему произведение двух отрицательных равно положительному?


      1. Batalmv
        15.08.2023 18:29
        #25863028
        +1

        Знак определяет направление :) В этом примере реально все просто


    1. GospodinKolhoznik
      15.08.2023 18:29
      #25862260

      Из ваших рассуждений выходит что произведение любых двух чисел будет положительное число.


    1. lorc
      15.08.2023 18:29
      #25862290
      +4

      В геометрии, если мы умножим два отрезка, то получим прямоугольник, с которым вообще непонятно что делать.


      1. apevzner
        15.08.2023 18:29
        #25862442
        +4

        У него есть площадь. Она - тоже число. Это легко понять на дискретной модели, умножая не непрерывные расстояния, а конфеты в прямоугольной коробке MxN


        1. lorc
          15.08.2023 18:29
          #25864002

          Ну да, то покажите мне отрицательную площадь теперь. 3 * (-5) = - 15. Как это пояснить в терминах планиметрии?

          Пойдем дальше и сложим площадь с отрезком: 3*2 + 2 = 8. Это как вообще?


          1. iig
            15.08.2023 18:29
            #25864154

            Пойдем дальше и сложим площадь с отрезком: 3*2 + 2 = 8

            Вы сложили не полщадь с отрезком, а число с числом. Для площади и отрезка операция "сумма" не определена.


            1. lorc
              15.08.2023 18:29
              #25864254

              Так в том то и дело. Поэтому геометрическое пояснение алгебраического умножения - так себе идея.


              1. iig
                15.08.2023 18:29
                #25864330

                Идея нормальная. Умножение может иметь геометрический смысл, но не обязательно.


          1. DreamingKitten
            15.08.2023 18:29
            #25864230

            Ну да, то покажите мне отрицательную площадь теперь. 3 * (-5) = - 15. Как это пояснить в терминах планиметрии?

            Определить нормали, например. Тогда условный "вверх" это положительная площадь, а "вниз" - отрицательная.


            1. lorc
              15.08.2023 18:29
              #25864268

              Планиметрия - она по определению плоская. Окей, можно ввести еще одно измерение. Но чем это поможет то? Вы можете показать интуитивную геометрическую интерпретацию следующих действий?

              1 * 1 = 1

              (-1) * 1 = -1

              (-1) * (-1) = 1

              (-1) * 1 + 1 = 0

              Напомню, что эта ветка комментариев как раз началась с того что @exrector предложил использовать геометрию для иллюстрации умножения.


              1. DreamingKitten
                15.08.2023 18:29
                #25864284

                Я это предложил в порядке бреда, не относитесь слишком серьёзно.

                1 * 1 = 1

                два ортогональных орта образуют единичную площадь с нормалью "вверх"

                (-1) * 1 = -1

                два ортогональных орта, один из которых "обратный", образуют единичную площадь с нормалью "вниз".

                (-1) * (-1) = 1

                два ортогональных обратных орта образуют единичную площадь с нормалью "вверх" (с этим сложнее, потому что тут некоторые свойства метрики принимаются за аксиому)

                (-1) * 1 + 1 = 0

                сложение двух площадей с разнонаправленными коллинеарными нормалями равно нулевой площади (те же условия)


    1. 0xd34df00d
      15.08.2023 18:29
      #25862374

      Самый простой способ строго объяснить целые числа — это, конечно, группа Гротендика. Правда, чтобы ввести там умножение, потребуется немного поколдовать с adjoint functor'ами и прочей хренотой.


  1. GospodinKolhoznik
    15.08.2023 18:29
    #25862246

    Интересно, а есть ещё такие числа (обобщенные) кроме 0 и 1, что x*x=x ? Понятно, что в R их нет и в C их нет, ну а в других множествах?

    В множестве кардиналов, очевидно есть такие элементы - например Алеф нуль* Алеф нуль = Алеф нуль.

    И в лямбда исчислении скорее всего существуют такие x, что ((mult) x) x = x, но сходу доказать не могу.


    1. 0xd34df00d
      15.08.2023 18:29
      #25862358
      +2

      Понятно, что в R их нет и в C их нет, ну а в других множествах?

      Если вам именно множества, то возьмите нестандартную модель R мощности повыше, туда можно напихать произвольно много единиц.


      Если вас устроят структуры повеселее, то можно взять какие-нибудь там кольца вычетов. 3×3 = 3 mod 6, например.


      Ещё можно пойти дальше и взять что-нибудь из логики в топосах понаркоманистее, где умножение — конъюнкция, но мне лень строить примеры.


    1. DreamingKitten
      15.08.2023 18:29
      #25862360
      +1

      x*x-x=0

      x(x-1)=0

      (x-0)(x-1)=0

      x1=0, x2=1


      1. Sergey_Kovalenko Автор
        15.08.2023 18:29
        #25862372
        +1

        В кольце без делителей нуля ))))
        Возьмите кольцо линейных операторов (матриц) на линейном пространстве L размерности 2 и выше. Уравнению x*x = x будут удовлетворять в частности все операторы проекции пространства L на некоторое его подпространство L_1 вдоль какого-либо подпространства L_2.


        1. DreamingKitten
          15.08.2023 18:29
          #25863230

          Если вы всерьёз надеетесь на то, что ваше объяснение — простое и доступное школьнику-старшекласснику, то я вам гарантирую, что из этого ответа такой школьник не поймёт ни единого слова.


          1. iig
            15.08.2023 18:29
            #25863258

            Обьяснение кажется непонятным, потому что состоит из непонятных слов. Нужно сначала обьяснить значение этих слов ;)


            1. DreamingKitten
              15.08.2023 18:29
              #25863284
              +2

              Да, но такой путь приведёт к необходимости прочитать небольшой курс по отдельным экзотическим главам математики.

              Мне кажется, что если «объяснение» сложнее того, что оно «объясняет», то это плохое «объяснение».


    1. Deosis
      15.08.2023 18:29
      #25862800
      +1

      В p-адических числах есть другие решения


    1. mayorovp
      15.08.2023 18:29
      #25863786

      Да, такие числа есть — это двойные числа, они же гиперболические. Не путать с дуальными, где j2=0


  1. makssof
    15.08.2023 18:29
    #25862292
    +24

    Автор и правда справился лучше школы: учителям требуется от 9 до 11 лет, чтобы привить нелюбовь к математике, он же справился всего за 40к символов.

    Кажется, это не то, что я, как школьник\студент\*кто-угодно кроме любителей мат. моделей*, ожидал и/или хотел в качестве объяснения, "почему минус на минус равно плюс"


  1. Spaceoddity
    15.08.2023 18:29
    #25862326
    +11

    "достаточно простым" - мама родная))

    я будучи мелким школьником легко принял эту парадигму на уровне "двойное отрицание = утверждение".


    1. torbasow
      15.08.2023 18:29
      #25862840
      +1

      Это не неправда!


      1. Merkan
        15.08.2023 18:29
        #25864530

        Это не неправда!


        1. exTvr
          15.08.2023 18:29
          #25864550

          Не неправда ли это?


          1. nickolaym
            15.08.2023 18:29
            #25867360

            Это не неправда, не так ли?


            1. exTvr
              15.08.2023 18:29
              #25867726

              Не могу не согласиться с вами:))


            1. Wesha
              15.08.2023 18:29
              #25868474

              Написавший этот комментарий пишет неправду!


  1. Zenitchik
    15.08.2023 18:29
    #25862350

    У нас нет естественного умножения картин, зато есть естественное умножение зарядов. Закон Кулона.

    Поместив две картины друг от друга на расстояние, много большее, чем размер картины, посчитаем кулоновскую силу между ними. Положительное направление силы выберем исходя из соображения, что 1*1=1.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25862354
      -1

      Понимаете в чем дело. Умножение целого числа на целое - это не слон, не километр, а непременно целое число, то есть, подобное сложить/умножить на подобное равно подобному. Картинам силы не подобны, картинам подобны только картины. Так какой же картине должно быть равно произведение двух картин?


      1. DreamingKitten
        15.08.2023 18:29
        #25862364
        +2

        ну если метр умножают на метр, получается метр квадратный. насколько подобны метр квадратный и обычный -- вопрос принятых условностей.


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25863040

          Чтоб вам так квартиру продавали ))))


          1. DreamingKitten
            15.08.2023 18:29
            #25863296
            +1

            Мне-то квартиру продавали нормально, в метрах квадратных.

            А вот для предлагаемого вами дискурса, похоже, физические размерности значения не имеют, раз вы так упираете на численное подобие. Равны ли 38 попугаев 38-и крокодилам?


        1. apevzner
          15.08.2023 18:29
          #25863612

          Если умножать яйца в прямоугольной коробке, яйца не становятся квадратными, а остаются круглыми


          1. DreamingKitten
            15.08.2023 18:29
            #25864000
            +2

            А откуда вы знаете что яйца не становятся квадратными?

            Физический смысл умножения метров на метры — вычисление площади поверхности, единицы измерения которой — метры квадратные.

            А каков физический смысл умножения количества яиц на количество яиц — пока никому не известно. Вполне может оказаться, что в результате будут квадратные яйца, по крайней мере размерность об этом точно говорит.


            1. apevzner
              15.08.2023 18:29
              #25864628
              +1

              Физический смысл умножения количества яиц - это подсчет количества яиц в коробке MxN


              1. DreamingKitten
                15.08.2023 18:29
                #25864648
                +1

                Это жульничество, а не физический смысл.

                Потому, что это не «подсчёт количества яиц в коробке», а подсчёт количества рядов и ячеек в рядах. Оно для каждой коробки постоянное, вне зависимости от того, содержат ли ячейки яйца или нет, и, таким образом, является численной характеристикой коробки, а не яиц.


            1. michael_v89
              15.08.2023 18:29
              #25867036

              А каков физический смысл умножения количества яиц на количество яиц — пока никому не известно

              В случае с яйцами в коробке единицы измерения это "количество штук в ряде" и "количество рядов".
              "Количество штук/ряд" умножается на "ряд", получается "количество штук".


              1. DreamingKitten
                15.08.2023 18:29
                #25867546

                Ой, правда, что ли?

                А посчитайте, пожалуйста, количество яиц в этой коробке умножением штук на ряды.

                Hidden text


                1. michael_v89
                  15.08.2023 18:29
                  #25867624

                  Очевидно же, что не все ряды яиц в этой коробке обладают одинаковым значением свойства «Количество штук/ряд», поэтому обойтись одним умножением не получится.

                  Здесь есть 4 ряда яиц со значением «4 штуки/ряд», 1 ряд со значением «3 штуки/ряд» и 1 ряд со значением «2 штуки/ряд». Поэтому вычисление с единицами измерения выглядит так.

                  (4 штуки/ряд) * (4 ряда) + (3 штуки/ряд) * (1 ряд) + (2 штуки/ряд) * (1 ряд)
                  Ряды сокращаются, получается (16 штук) + (3 штуки) + (2 штуки) = 21 штука.

                  Коробка тут ни при чем, потому что таким способом можно посчитать количество яиц вообще без коробки, когда они просто лежат рядами на столе.


                1. Wesha
                  15.08.2023 18:29
                  #25868476

                  Посчитайте, пожалуйста, количество яиц в этой коробке умножением штук на ряды.

                  Интегралы они ещё не проходили!


  1. SadOcean
    15.08.2023 18:29
    #25862376
    +2

    Божечки и это просто?

    Пароход идет со скоростью 20 км/час.

    За 3 часа он пройдет 60 км до следующего города.

    Где он был 4 часа назад?

    А если он плывет против течения 10 км/ч?


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25862380

      Осталось научится складывать и перемножать между собой скорости времена и расстояния в любом сочетании так, чтобы получались только скорости времена и расстояния. Почему? Любые (целые) числа можно складывать и перемножать, причем результатом будет снова (целое) число.



      1. SadOcean
        15.08.2023 18:29
        #25869718

        Все так, но мы говорим не про абстрактную математику, а про прикладную, для обучения детей.
        А именно про то, как подготовить для них хорошую визуализацию и понятные примеры и аналогии.
        Пароход и инструменты типа шкалы чисел - отличные инструменты представления, которые дают простые и наглядные.
        Поняв, как это работает и что такое отрицательные числа на таком примере, дети смогут пережить столкновение с вузовской математикой формул. Ну или не смогут, но по крайней мере поймут, почему минус на минус дает плюс - пароход, который сносило течением назад, час назад был впереди.


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25870064

          Выглядит красиво, правдоподобно, но не является правдой. Это всего лишь красивый обман.

          Вы говорите я могу иметь разные представления для чисел в одной модели, иногда считая числам время, иногда - скорость, а иногда - смещение в расстоянии. Хорошо, тогда ничего не запрещает мне мерить скорость в направлении справа на лево как "скорость в сторону Москвы", а смещение - наоборот слева на право, как "смещение в сторону Питера". В таком зоопарке произведение положительного времени на положительную скорость будет отрицательным смещением )))). И попробуйте доказать, что моя модель хуже вашей )))).


  1. nickolaym
    15.08.2023 18:29
    #25862398
    +3

    Как заморочить себе и другим детям голову.
    Уж лучше остаться в кольце и доказать теорему, результат которой можно просто зазубрить.

    1. покажем, что (-a)b = -(ab)
      ab + (-a)b = (a + -a)b = 0b = 0
      (мы тут применили дистрибутивный закон)
      откуда -(ab) = (-a)b

    2. покажем, что a(-b) = -(ab)
      ab + a(-b) = a(b + -b) = a0 = 0
      откуда -(ab) = a(-b)

    (это мы обошлись без коммутативности умножения)

    1. покажем, что (-a)(-b) = -(-ab)
      (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-ab)

    2. вспомним, что унарное отрицание - это элемент, обратный по сложению.
      из чего следует, что двойное отрицание даёт исходный элемент
      -a + --a = 0 = -a + a
      откуда --a = a

    Откуда (-a)(-b) = -(-ab) = ab

    Вот и посмотрите, сколько писанины у меня, и сколько писанины и рисанины у вас...


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25862406
      -1

      Круто, остается как-то доказать, что множество целых с суммой и умножением удовлетворяют аксиомам кольца )))


      1. 0xd34df00d
        15.08.2023 18:29
        #25862414
        +1

        А в чём проблема?


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25862420
          -3

          Наглядности хочется: посмотреть, потрогать, поиграть.


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25863052
          -2

          Еще проблема в том, что ваше доказательство правило "минус на минус равно плюс" использует как аксиому. Зачем тогда вообще рассуждения про кольца ))) Из A -> A всегда и везде.


          1. mayorovp
            15.08.2023 18:29
            #25863794

            Вы путаете два разных правила. Правило "--a=a" не содержит умножения, а отличии от правила "(-a)(-b)=ab". В рассуждениях выше второе сводится к первому.


            Точнее, в пунктах 1-3 второе сводится к первому, а в пункте 4, вообще-то, первое правило тоже доказывается.


          1. nickolaym
            15.08.2023 18:29
            #25866876

            Во-первых, я это доказал.
            Для --a это следствие в группе по сложению.
            Для (-a)(-b) это следствие в кольце даже без коммутативности.
            Если ввести его как аксиому, то базис будет избыточным, и можно какую-нибудь другую аксиому кольца выкинуть либо упростить.

            Во-вторых, отрицание относится к сложению, а не к умножению. Поэтому просто группой по умножению тут не отделаешься.

            Мы можем говорить про алгебраическую структуру "моноид по умножению над кортежом (неотрицательные числа, знак)". Нейтралью является (1,+).
            Причём по первой, числовой, компоненте коммутативность - дело произвольное, а по второй, знаку, обязательное, и вообще, по второй компоненте у нас группа.
            Ну и ещё (0,+) == (0,-).


            1. Sergey_Kovalenko Автор
              15.08.2023 18:29
              #25866910
              -1

              Это как, доказали?
              Если вы хотите доказать, что целые - это кольцо, то должны явно задать умножение, то есть принять правило знаков за аксиому.
              Если вы хотите доказать правило знаков из аксиом кольца, то я вас снова спрошу, почему вы решили, что целые образуют кольцо.
              Круговая порука получается.


              1. nickolaym
                15.08.2023 18:29
                #25866948
                +2

                А нам не нужно кольцо. Нам достаточно некоммутативное полукольцо.

                В полукольце нам пофиг, чему равно xy. Лишь бы 1x = x1 = x. Что у нас не полугруппа, а моноид.
                Приняли это за аксиому, и поехали.

                Ещё нам нужна дистрибутивность. Для положительных чисел она естественна - из модели реального мира.
                Для отрицательных... мы принимаем на веру, что они ведут себя так же.
                Для детей прокатит. Для взрослых - скажем, что это аксиома, и тоже прокатит.

                И вот в некоммутативном полукольце я доказал, что (-x)(-y) = xy.


                1. Sergey_Kovalenko Автор
                  15.08.2023 18:29
                  #25867034
                  -5

                  Вместо "научить думать" получается только "залечить".


                  1. nickolaym
                    15.08.2023 18:29
                    #25867248

                    Какой-то бессмысленный комментарий.
                    Кого и чему вы хотите "научить думать", и что значит "залечить"?

                    Если детей научить думать по-математически, - то введение в абстрактную алгебру (если не упарываться там про всякие навороты с идеалами, фактор-группами и прочим) - отличный способ.

                    Если дети хотят изучить свойства чисел, то берём коробку со спичками и изучаем.
                    Обнаружить ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность, - и по индукции поверить, что это универсальные свойства, а не только в пределах количества спичек в коробке, - это задача для первого класса.

                    Отрицательные числа вообще отлично иллюстрируются геометрическими моделями.
                    Не упоротыми рисунками с закорючками, а предметной областью геометрии: линиями и площадями.
                    Векторная алгебра же вообще из геометрии родилась.

                    А если вы хотите доказать (или чтоб я доказал), что в арифметке естественным образом возникает кольцо, - ну блин...
                    Это вы предлагаете опуститься до базиса логики Аристотеля (⇒,¬) и арифметики Пеано (0,S) и вывести оттуда всё остальное? Или что?
                    А у детей голова не опухнет от такого подхода?


      1. Batalmv
        15.08.2023 18:29
        #25863072
        +1

        А зачем? Это по определению :)

        Точнее просто определены аксиомы и все ;)


  1. nickolaym
    15.08.2023 18:29
    #25862408
    +2

    Можно предложить и графическую интерпретацию. Умножение как площадь прямоугольника.
    (Мы тут попадаем на размерности, и результат умножения уже оказывается другого типа, нежели множители, т.е. нельзя просто так написать a + bc, хотя можно a1 + b*c).

         y
     ^
  \\\|////
  \\\|////
  \\\|////
-----0------> x
  ///|\\\\
  ///|\\\\
     |

    на картинке в первом квадранте штриховкой / показано (+4)(+3), во втором \ (-3)(+3), в четвёртом \ (-4)(+2), ну а в третьем - то, что нас волнует, / (-3)(-2).

    Можем графически показать, как происходит сложение площадей, как вычитание, как отзеркаливание, почему / и \ соответствуют площадям разного знака.
    (Лень тут псевдографикой всё иллюстрировать, извините).

    Ну а раз в третьем квадранте штриховка та же, что и в первом, - то значит, площадь произведения двух отрицательных линейных величин - положительная. Ура.

    А дальше - вопрос педагогики.
    Кому-то из детей лучше зайдёт текст, логика и теорема из теории колец (тсс! это третий класс, а не второй курс), а кому-то - геометрическая картинка (тсс, тут размерные величины! все эти квадратные землекопы...)


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25862416

      То есть все-таки проблемы с "прямоугольниками" есть. Ваша позиция имеет право на существование, но я за дискуссию и эксперимент.


      1. nickolaym
        15.08.2023 18:29
        #25866918

        Проблемы с прямоугольниками - это проблемы размерностей.
        Если числа у нас моделируют штуки предметов, то сложение "естественно" в мире штук, а вот умножение - нет.

        Умножить штуки на скаляр можно, - это такой метаязык в группе, "повторить сложение N раз".
        Умножить штуки на штуки... Что получится, если два яблока умножить на два яблока? Четыре ЧЕГО?

        Залезаем в геометрию, там появляются линии и площади.
        Для целых чисел - ладно, это могут быть "штуки точек в квадратной сетке", хоть по линии, хоть по плоскости, хоть в объёме.
        Тоже небезупречно, "ноль - это точка?" и старая-добрая программистская проблема ±1 в индексах.

        Для детей графический язык, в принципе, доступен. Выложить линию спичками, а площадь - квадратиками.

        Спичка хороша тем, что у ней есть головка и хвост, можно говорить о направлении (о знаке).
        Тогда спички ==o + o== взаимно уничтожаются, например!
        Ну и плитки тогда со штриховкой по одной и другой диагонали. И они тоже подчиняются правилам перевёртывания и уничтожения.


  1. Makeman
    15.08.2023 18:29
    #25862454

    Для меня как-то более интуитивен подход из проективной геометрии и теории групп.

    Если совсем школьным языком:

    • рассмотрим классическую числовую прямую (справа от нуля - положительные числа, слева - отрицательные)

    • сопоставим произвольному числу N стрелочку-вектор из начала координат

    • тогда умножение на +1 - это такое преобразование этого вектора, которое переводит его в самого себя, то есть сохраняет исходную картинку

    • но вот умножение на -1 - это такое преобразование, которое зеркально и симметрично относительно начала координат (нуля) отражает этот вектор

    в случае с отрицательным вектором-числом (стрелочка смотрит влево) при отражении относительно нуля мы получим положительный вектор-число (стрелочка перевернётся на 180 градусов, как в часах, и будет смотреть вправо)
    [то есть -x mul -1 => +x]

    • в случаях умножения на числа отличные от +1 и -1 добавляется растяжение или сжатие исходного вектора-стрелочки, но именно знак показывает, нужно ли вектор отражать

    Чуть более строгим языком:

    • с точки зрения проективной геометрии можно выделить такие типы преобразований прямой на плоскости: сдвиг (вправо-сложение, влево-вычитание), масштабировние (растяжение-умножение, сжатие-деление), отражение относительно произвольной точки

    • преобразование отражения обладает таким замечательным свойством, что применённое дважды относительно той же точки оно отменяет себя и возвращает исходную картинку

    На мой взгляд, в статье, собственно, сделана попытка продемонстрировать это свойство характерное для преобразования отражения...

    Больше примеров и подробностей можно найти и узнать по следующей ссылке:
    Геометрия и группы. Курс лекций. Алексей Савватеев


    1. Spaceoddity
      15.08.2023 18:29
      #25862472
      +2

      Савватеев же неоднократно признавался что категорически не знает геометрию))


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25863062

      Подождите, так что у вас числа: векторы или преобразования? Да, и как в вашей модели становятся (почти) очевидными законы арифметики?


      1. Makeman
        15.08.2023 18:29
        #25863962

        Для школьного объяснения каждому значению на числовой прямой сопоставляется вектор (стрелочка) из начала координат, при этом естественным образом получается, что знак числа соответсвует направлению этой стрелочки.

        Для более продвинутого объяснения каждое число задаёт характеристики геометрического преобразования точек прямой на плоскости. Например, сложение с +1 или -1 соответствует преобразованию сдвига, которое перемещает каждую точку на место соседней с целочисленным значением вправо или влево соответственно. При умножении на +1 или -1 каждая точка прямой переходит в саму себя либо в зеркально-сопряжённую относительно начала координат.

        Для меня в геометрической интерпретации законы арифметики визуально наглядные и как-то интуитивно ясно, почему умножение/деление минус на минус даёт плюс.

        При этом визуально легко представить почему сложение двух отрицательных чисел всегда даёт отрицательное (ведь минусы могли бы тоже "сгорать" в плюс, как при умножении), но что ещё интереснее, почему сложение/вычитание отрицательного и положительного иногда может давать как положительное, так и отрицательное (в зависимости от меры числа/длины вектора)!

        Школьными словами, когда две стрелочки сталкиваются, то более длинная стрелочка побеждает более короткую, но при этом сама становится короче (как в тетрисе сгорает её часть), когда же стрелочки сонаправлены, то они сливаются в одну ещё более длинную, при этом сохраняя направление.


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25864180

          Хорошо, со сложением все в порядке. А как стрелочки перемножать?


          1. Makeman
            15.08.2023 18:29
            #25864564
            -1

            Умножение на +1 - "копирует" стрелочку без изменений, на -1 - переворачивает стрелочку (как бы на 180 градусов), сохраняя её длину. Другие числа при умножении масштабируют длину стрелочки, например, натуральные [модуль] растягивают её в N раз (как если бы мы взяли N одинаковых стрелочек и циклично склеили их вместе, получив одну длинную), а добавление знака указывает, в каком направлении смотрят эти N стрелочек и итоговая.

            * Дальше материал для исследований со звёздочкой

            Интересно, что в такой системе можно определить полярный ноль, умножение на +0 сжимает в точку, сохраняя направление, умножение на -0 тоже сжимает в точку, но отражая направление.

            +|x| mul +|0| = +|0|
            -|x| mul +|0| = -|0|
            +|x| mul -|0| = -|0|
            -|x| mul -|0| = +|0|

            вот со сложением поинтереснее, не совсем ясно, какой вариант предпочтительней
            +|x| add -|x| = +|0|
            -|x| add +|x| = -|0|
            или
            +|x| add -|x| = -|0|
            -|x| add +|x| = +|0|
            может, знак/направление "теряется"
            +|x| add -|x| = |0|
            а, может, стрелочка вовсе получается хоть и точечная, но двунаправленная, что указывает на наличие чисел с неопределённым знаком
            +|x| add -|x| = ~|0|
            то есть можно придумать такую систему:

            • отрезок |x| - беззнаковое число

            • стрелочка вправо +|x| - положительное

            • стрелочка влево -|x| - отрицательное

            • двунаправленная ~|x| - неопределённо-знаковое число

            Дальше можно поразвлекаться в изобретении арифметики для таких чисел
            (~;


          1. Makeman
            15.08.2023 18:29
            #25867908

            Вспомнил ещё, что если мы берёмся различать знак/направление у нуля, то с точки зрения программирования при сложении имеет смысл определять знак следующим образом
            +|x| add -|x| = +|0|
            -|x| add +|x| = -|0|

            Это связано с обходом массивов в циклах, например, мы можем определить выбор элементов по смещению следующим образом:
            ms[+0] возвращает начальный элемент
            ms[+1] возвращает второй элемент
            ...
            ms[-1] возвращает предпоследний элемент
            ms[-0] возвращает последний элемент

            Так вот, если мы берёмся обходить массив в сторону нуля при таких условиях
            for (offset = +ms.Length; offset >= +0; offset--)
            for (offset = -ms.Length; offset <= -0; offset++)
            то чтобы не происходило скачков на завершающих элементах, сложение должно работать, как предложено чуть выше.

            Кстати, в компьютерах вещёственный ноль имеет знак и его можно различать! Но сложение и вычитание определено иначе, всегда в сторону положительного нуля:
            +|x| add -|x| = +|0|
            -|x| add +|x| = +|0|
            +|x| sub -|x| = +|0|
            -|x| sub +|x| = +|0|

            Так что вопрос имеет место быть!


  1. folal
    15.08.2023 18:29
    #25862462
    +1

    Вот что пишут гпт чаты. Perplexity:
    ...Однако, мы знаем, что произведение любых двух чисел можно записать в виде произведения их модулей, умноженных на знаки этих чисел. При умножении двух отрицательных чисел, мы получаем произведение их модулей, умноженных на знаки, которые в данном случае отрицательны. Поэтому, результат умножения двух отрицательных чисел будет положительным числом.
    Математически понятно, перемножаем два модуля, затем умножаем на первую -1, затем на вторую.
    Phind:

    Мы знаем, что 1 + (-1) = 0.
Если мы умножим обе стороны уравнения на -1, мы получим -1 * 1 + -1 * -1 = 0.
Это упрощается до -1 + -1 * -1 = 0.
Если мы прибавим 1 к обеим сторонам уравнения, мы получим 1 + -1 + -1 * -1 = 0 + 1.
Это упрощается до 0 + -1 * -1 = 1.
И, наконец, это упрощается до -1 * -1 = 1.

    Phind, визуально:

    Один из подходов к объяснению этого правила связан с понятием "направления". Представьте, что вы идете по числовой линии. Если вы двигаетесь вперед (в положительном направлении), то каждый шаг вперед увеличивает ваше положение на 1. Если вы повернете и начнете двигаться назад (в отрицательном направлении), каждый шаг вперед на самом деле уменьшит ваше положение на 1. Теперь представьте, что вы поворачиваете еще раз. Каждый "шаг вперед" теперь фактически увеличивает ваше положение на 1, поэтому движение в "отрицательном направлении" (умножение на отрицательное число) дважды действительно превращает все обратно в положительное


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25863138

      Как вы собираетесь складывать направление или поворот с метками на прямой? Как собираетесь установить справедливость арифметических законов для операций с целыми?


      1. folal
        15.08.2023 18:29
        #25863840

        Не понял, что с чем надо складывать. Но вот соответствующая логика: 3*5 у меня есть три корзинки по пять яблок в каждой. (-1)*3*5 у меня отобрали три корзинки с яблоками. (-1)*(-1)*3*5 у меня отобрали три корзинки с яблоками, но я сумел отобрать их обратно. Вот и все повороты.


  1. Wesha
    15.08.2023 18:29
    #25862552
    +8

    Почему при умножении «минус на минус» дает «плюс»?

    Ужос, статья на кучку страниц, когда это отлично объясняется для младшего школьного возраста.

    Есть у нас числовая ось:

    https://ru.wikipedia.org/wiki/Числовая_ось

    Посылка 1. Допустим, мы начинаем в точке 0. 0 + 2 = 2 — мы из точки 0 оказались в точке 2. 2 + 1 = 3 — мы из точки 2 оказались в точке 3. Следовательно, сложение — это движение по оси ВПРАВО на столько делений, какое число прибавляем.

    Посылка 2. Теперь рассмотрим вычитание. Мы находимся в точке 3, вычли 2, оказались в точке 1. Следовательно, вычитание — это движение по оси ВЛЕВО на столько делений, какое число вычитаем.

    Посылка 3. Теперь вспомним, что вычитание — это то же самое, что и сложение с отрицательным числом, то есть (2 - 1) = 2 + (-1). Таким образом, если сложение с положительным числом было движением по оси ВПРАВО, то сложение с отрицательным числом будет движением по оси ВЛЕВО, то есть знак слагаемого меняет направление движения.

    Посылка 4. Умножение есть многократно повторённое сложение, то есть 3 * 2 = 2 + 2 + 2

    Посылка 5. Умножение коммутативно, то есть 3 * 2 = 2 * 3 .

    Теперь собираем всё в кучу: согласно посылке 5, 3 * (-2) должно быть равно (-2) * 3, то есть, согласно посылке 4, 3 раза шагнув на 2 деления ВЛЕВО (посылка 3), мы должны оказаться там же, где мы оказались, (-2) раза шагнув на три деления ВПРАВО (посылка 5), то есть если перед количеством раз стоит минус, то это значит, что такое количество раз надо шагать в направлении, противоположном от того, куда мы бы шагали без этого минуса. Соответственно, в случае (-2) * (-3) мы будем шагать на 3 шага ВЛЕВО 2 раза, но в противоположном направлении, то есть ВПРАВО. Таким образом, (-2) * (-3) = 2 * 3 и минус на минус даёт плюс, ч.т.д.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25863078
      +1

      Не совсем. Не понятно что у вас является числами? Значки на прямой и или количество штук слагаемых (разов, которые шагнули). Как одно складывать с другим? Почему верны законы арифметики?


      1. vedenin1980
        15.08.2023 18:29
        #25863216
        +3

        То же самое можно сказать про модели электронов/позитронов или тех картин. Почему энергия, получившаяйся при анигиляции это ноль? Из энергии может получится все что угодно.


        Математически модели доказываются средствами только математики или принимаются за аксиомы. Переход от мат.модели в реальный мир и обратно не работает.


      1. eton65
        15.08.2023 18:29
        #25865312

        Не понятно что у вас является числами? Значки на прямой и или количество штук слагаемых (разов, которые шагнули). Как одно складывать с другим? Почему верны законы арифметики?

        Так статья же не про это)


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25865396

          Таки ви меня удивили )))



    1. nickolaym
      15.08.2023 18:29
      #25867346

      Э, момент. "Многократно повторённое" - это умножение на скаляр, причём на целый и неотрицательный. Чтобы перейти к нецелому и неположительному, надо сделать кое-что нетривиальное.

      Мы размерную величину (штуки яблок, метры вправо) умеем складывать и вычитать.
      Вводим умножение нацело, окей.
      А вот потом делаем трюк! Коммутативность умножения, кстати, следует из ассоциативности и коммутативности сложения.
      Замечаем, что "+N яблок" * "повторить M раз" = "+M яблок" * "повторить N раз"
      И раз такое дело, то = "MN яблок" * "1 раз" = "1 яблоко" * "MN раз" = "MN" * "яблок,раз"
      и вот только здесь мы показали независимость безразмерных величин и обозначений размерности

      Только после чего говорим: "да пофиг нам на яблоки, векторы и разы - давайте уже работать с числами".

      В начальной школе, кстати, - не знаю, как сейчас, а раньше заставляли во всех расчётах указывать размерность.
      "Вася дал Пете 3 [яблок], а Петя вернул Васе 2 [яблок]: +3-2=1 [яблок] осталось у Пети".

      Полтора яблока - представимый объект, полтора раза - нет.
      (Попробуйте выполнить дифференцирование полтора раза. А почему полтора сложения удалось сходу?)
      Но мы увидели, что коммутативность позволяет выпихать нецелые и неположительные числа в тот операнд, который может таким быть.

      Примечание. Нецелое дифференцирование сущестует, см. "диффинтеграл"
      https://ru.wikipedia.org/wiki/Дробное_интегро-дифференцирование
      https://www.youtube.com/watch?v=2dwQUUDt5Is


      1. eton65
        15.08.2023 18:29
        #25867400

        Чтобы перейти к нецелому и неположительному, надо сделать кое-что нетривиальное

        Чтобы перейти к нецелому надо рассмотреть умножение сторон прямоугольника. Чтобы рассмотреть умножение на одно отрицательное — кратное увеличение долга. А вот для умножения двух отрицательных — пока только сложные ответы.


        1. nickolaym
          15.08.2023 18:29
          #25867626

          Умножение сторон прямоугольника даёт площадь прямоугольника - объект другого вида, нежели прямая. Как потом прямоугольник отображать на числовую ось?

          Это тоже сложные ответы.

          А площади со знаком - https://habr.com/ru/articles/754090/comments/#comment_25862408


          1. eton65
            15.08.2023 18:29
            #25867680

            Умножение сторон прямоугольника даёт площадь прямоугольника — объект другого вида, нежели прямая

            Так и должно быть.


            Как потом прямоугольник отображать на числовую ось?

            А зачем?


            Это тоже сложные ответы.

            Да вроде нет.


            Умножение натурального на натуральное — количество яиц в лотке.
            Умножение натурального на положительное дробное — суммирование длин отрезков.
            Умножение положительного дробного на положительное дробное — площадь прямоугольника.
            Умножение натурального на отрицательное целое/дробное — долг нескольким людям (несколько шагов влево по координатной прямой).


            А вот теперь сложные вопросы!


            Умножение положительного дробного на целое/дробное отрицательное — ?
            Умножение двух отрицательных — ?


            Простых ответов, к сожалению, нет.


            А площади со знаком https://habr.com/ru/articles/754090/comments/#comment_25862408

            Ну тут такая себе "простота"… Мне проще сказать "да пофиг нам на яблоки, векторы и разы — давайте уже работать с числами".


      1. Makeman
        15.08.2023 18:29
        #25868716

        У меня нет ответа, но интересно получается, что при перемножении комплексных чисел или матриц, в классической трактовке не получается никаких комплесных или матричных площадей, хотя внутренняя размерность как бы и должна возрастать, ведь умножаются вещественные амплитуды. Например, из моих учебных источников, перемножение двух комплесных чисел - всего лишь преобразование поворота и масштабирования.

        Возможно, наши математические представления не полные...


      1. Wesha
        15.08.2023 18:29
        #25868854

        Полтора яблока - представимый объект, полтора раза - нет.

        Чего тут непредставимого? Это когда начал брать из ящика 100 яблок, а ровно на середине мама позвала — успел взять только половину. Ну или начал есть яблоко — опять на середине прервали, половину съел, половина осталась. Так что полтора раза — это один раз (это все умеют) и ещё пол-раза (см. выше).

        (Напомниаю — мы тут объяснение для младших школьников пишем. Безо всяких интригалов.)


        1. iig
          15.08.2023 18:29
          #25869868

          Так что полтора раза — это один раз (это все умеют) и ещё пол-раза (см. выше).

          Полтора землекопа одобряют;)

          Пол-раза это приблизительно как полшишечки? ;)


          1. Wesha
            15.08.2023 18:29
            #25870016

            Пол-раза это приблизительно как полшишечки? ;)

            Про шишечки в восьмом классе проходят, а мы для младших школьников пишем!


  1. kometakot
    15.08.2023 18:29
    #25862638
    +8

    Мне кажется, зря не пользуетесь развитием аналогии с корзинами яблок. Вот у меня было три убыточных компании, по пять миллионов долгов у каждой. Я подарил их другу, вместе с долгами. Итого — у меня +15 миллионов.


    1. torbasow
      15.08.2023 18:29
      #25862848
      +1

      Я подарил их другу, вместе с долгами.

      «Того же и вам — вдвойне»


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25863112

      Так что у вас является числами и откуда и почему для их умножения и сложения верны законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности?


      1. kometakot
        15.08.2023 18:29
        #25863166

        На примере с корзинами и яблоками никого же не смущает, что корзина это не то же самое, что и яблоко. Или вы о чём?


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25863214

          Я же складываю и вычитаю содержимое корзин (кучки яблок), получаю вновь содержимое корзин (кучки яблок). Яблоки с корзинами я не складываю.


          1. kometakot
            15.08.2023 18:29
            #25863276

            Так же и в примере с компаниями, это всего лишь "кучки" миллионов.


            1. Sergey_Kovalenko Автор
              15.08.2023 18:29
              #25863552

              Да, но вы ведь складываете миллионы средств, а умножаете штуки (число одинаковых подаренных или купленных компаний). Как умножить компанию с долгом в 100 рублей на компанию с балансом +200?



              1. iig
                15.08.2023 18:29
                #25863596

                Как умножить компанию с долгом в 100 рублей на компанию с балансом +200?

                Определяете операцию умножение для компаний и умножаете ;) Умножение векторов, когда результатом может быть скаляр или вектор, нас же не удивляет? ;)


                1. Sergey_Kovalenko Автор
                  15.08.2023 18:29
                  #25863616

                  Да, но такое умножение векторов никто в модели арифметики и не пророчит.


              1. kometakot
                15.08.2023 18:29
                #25863632

                Минус сто умножить на двести получится минус двадцать тысяч. Можно придумать такие размышления, в результате которых получится эта искомая сумма. Скажем, диалог двух предпринимателей:
                — У меня есть компания с балансом в двести рублей, а вот будь бы у меня двести компаний с балансом в рубль у каждой, то мои общие средства были бы такие-же, как и сейчас (преобразовываем единицы)
                — А у меня компания со ста рублями долга. А вот если бы у тебя было двести компаний, но у каждой был бы не баланс в один рубль, а долг в сто рублей, как у одной моей, то было бы у тебя двадцать тысяч рублей долгов.


  1. koldyr
    15.08.2023 18:29
    #25862690
    +4

    Если я правильно понял, то в пункте 2.3 первом абзаце заряд определяется через целые числа и их арифметику. Поэтому дальше можно не читать.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25863106

      И где я там использовал законы умножения отрицательных? Если хотите, можете определить заряд без упоминания о целых как доминирующий цвет и число, на которое кружков доминирующего цвета больше, чем кружков доминируемого. В этом определении использованы только натуральные, придется читать дальше )))


      1. lorc
        15.08.2023 18:29
        #25864022

        А чем законы умножения отрицательных отличаются от положительных? Если уж на то пошло, то ваша запись a * (-b) не имеет чисто математического смысла. Я понимаю, что вы таким образом пытаетесь показать что b у нас отрицательное. Но чисто с точки зрения математики b может быть равно -8, например. Соответственно, -b будет просто 8. Или тогда уже явно указывайте что a и b у вас положительные.


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25864108

          Да, в статье a,b,c,d ... - это натуральные
          p,q,u,v - произвольные целые. Надеялся, что из контекста будет понятно, возможно, стоит уточнить.


      1. koldyr
        15.08.2023 18:29
        #25864052
        +1

        Как я понимаю мы стартуем с алгебры в которой есть натуральные числа в виде, например, Пеано. Со сложением и умножением, задаваемыми соответствующим образом. И по этому поводу наблюдается консенсус.

        Получаем полугруппу по сложению и моноид по умножению. Плюс дистрибутивность.

        Потом в полугруппу добавляем ноль как нейтральный элемент. Получаем два моноида плюс дистрибутив гость но что делать с умножением на ноль пока непонятно. Дальнейшим естественным желанием является из моноида по сложению сделать группу. Тут тоже все понятно и не вызывает противоречий.

        Остался последний шаг. Либо мы строим кольцо и тогда вопрос не стоит обсуждения, потому что там это так. Либо до определяем умножение произвольным образом и получаем какую-то фигню, которая никому не нужна.


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25864166

          С умножением натуральных и нуля на целые - понятно. Но можно ли расширить до умножения на все целые, которое будет удовлетворять требованиям (коммутативного) кольца? У меня есть подозрение, что иногда такое не работает. Например, если определить кватернионы как гиперкомплексные числа, то для них будет естественно умножение на комплексные (как подмножества кватернионов), вы можете считать это умножение коммутативным (когда перемножаются два чистых комплексных), но вот распространить это умножение до коммутативного на все множество кватернионов уже не выйдет. Выходит не все свойства всегда можно "продлить".


          1. koldyr
            15.08.2023 18:29
            #25864238

            Я о чем и говорю. Либо вы расширяетесь до коммутативного кольца с 1 и там все очевидно. Либо получите непонятно что.


  1. ildarin
    15.08.2023 18:29
    #25862786
    +1

    Неистово соглашаюсь с логикой этого комментатора) Не осилил) Для меня - "не" "достаточно просто", т.е. (достаточно просто) со знаком минус.

    По законам логики, "и, но" - это умножить. "- это, значит", т.е. определение - следствие.

    (просто) но (не понял) значит - (нет). И (да) - это (не просто) и (не понял). Ведь если (да) - это (просто) и (понял). 1*0=0. 1=0*0. 1=1*1. Это просто понять? Т.е. 1 - это (да), а ноль - это (нет), да со знаком минус. А "ноль как пустота и математический ноль" - это знак "равно". (1*=)=(=)(один умножить на равно будет равно). (Это) и (не просто) - это (неизвестно).

    Итого, базовая логика через 4 символа "1", "0", "=", "*".

    Осталось только выразить сложение через логику, логически изобрести математику. А вот этому уже в школе не учат. Подсказка: если не получится - вы либо не понимаете логику, либо - сложение. А вот насколько "либо", если результат либо ноль либо единица?)


    1. vassabi
      15.08.2023 18:29
      #25863664

      я тоже с автором заметки не согласен про "простоту" :)
      мой вариант:

      1) умножение на 1 = это взятие самого предмета (а * 1 = а)

      2) умножение на -1 = это инверсия знака у предмета (а * -1 = -а)

      отсюда

      3) -1 * -1 = 1

      из чего яблоками и суммами уже можно и младшеклассникам на доске показать что

      4) а * (-б) = а*(-1)*б = -а * б = -(а*б) чисто графически по определению умножения, как сумма (-б) а раз или как сумма (-а) б раз

      5) (-а)*(-б) = (-1)*а*(-1)*б = (пропущу в тексте, но в виде яблок это просто суммы (-(-а)) б раз и (-(-б)) а раз ) = а*б


  1. Tyusha
    15.08.2023 18:29
    #25862798
    +4

    Любые операции, включая самое банальное сложение натуральных чисел — есть абстракция придуманная человеком. Впрочем и сами числа — тоже уже абстракция, оторванная от конкретных предметов. Понять, что три козы и три барана — это одно и то же "три" — большое интеллектуальное достижение.

    Умножение отрицательных — тем более абстракция. Причëм здесь "если существует"? Существует! Всё. Лучшее доказательство — слова Путина: "Потому что потому!". Мы придумали, и эта операция не противоречива. Этого вполне достаточно.

    А ваш контраргумент с x^2 = -1 не валиден, ибо противоречив на поле целых чисел.

    Модельный подход плох, т.к. ограничен. А что делать с комплексными числами, а что с кватернионами и октонеонами. И т.д.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25863086

      Почему непротиворечива и непротиворечива чему?
      Мой контраргумент полностью валиден - натуральные числа являются подмножеством целых.


  1. Batalmv
    15.08.2023 18:29
    #25862922
    +2

    Очень сложно :)

    Формальное "подтверждение" выглядит проще.

    Пример с икс в квадрате не очень валиден, так как, по сути это вопрос поиска корней уравнения, что несколько не то. Да и ведет к совершенно иной проблеме, и именно к тому, что только в пространстве комплексных чисел есть все корни. И это не проблема, а просто очевидное самограничение, которое вызвано тем, что научить решать уравнения можно раньше, чем вбить в голову комплексные числа

    Если хочется упростить понимание, достаточно тогда свести поле чисел до -1, 0, 1. А потом просто предствлять отрицательное число как произведение положительного числа и минус 1. А для пространства 1, 0, -1 мы уже все доказали :)


  1. Belking
    15.08.2023 18:29
    #25863196
    +1

    У банка есть Н счетов с отрицательным остатком -1000 рублей (-), из них закрылись 5 (-). На какую сумму изменился общий остаток на всех счетах? На положительные 5000 рублей.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25863228

      Как сложить число закрывшихся счетов с содержимым счета? Почему для арифметики целых верны основные законы арифметики натуральных?


      1. Belking
        15.08.2023 18:29
        #25863416

        Всё есть вопрос правильных интерпретаций и создания сутьсодержащих условностей. Без этого никак, особенно в обсуждении абстрактности.


      1. Belking
        15.08.2023 18:29
        #25864322

        Ну или с Вашим примером - взял 5 ведер яблок в долг, но займодатель не доложил в каждое по 3 яблока. Насколько сокращается долг (или увеличивается баланс в пользу заемщика)? На 15 яблок в плюс заемщика. Что равноценно тому, что заемщик отдал 5 ведер по 3 яблока - 5*3.


  1. kuil
    15.08.2023 18:29
    #25863222

    Большое спасибо! Любопытно, как будет выглядеть извлечение корня из картин (ну и из -1 в терминах картин)


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25863336

      Задача 2 в конце статьи )


  1. yurixi
    15.08.2023 18:29
    #25863292

    Сначала я подумал, что предмет статьи полная ерунда но потом понял, что здесь всё-таки есть определённая задача. И она не в том чтобы объяснить ребёнку что двойной разворот равен отсутствию разворота. Она ещё в том чтобы объяснить куда при возведении в квадрат теряется знак. Ведь интуиция протестует именно против этого - против потери.

    "(-a) * (-b) = a * b" — выражения разные, а значение одно. Что-то теряется.

    Объяснения обязательно должно затрагивать эту потерю, подготавливая к восприятию комплексных чисел а затем и в общем достаточно неожиданной характеристики математики — в которой вместо "потерь" существует "разделение", которое при желании можно вернуть, и для любой операции можно вести обратную. Вместо пары "потеря"/"возвращение чего-то произвольного" будет правильно понимаемая пара "разделение"/"слияние". Всё в соответствии с интуицией.

    Если нет описания правильного обращения с потерями - то вся эта болтовня бессмысленна.

    В целом, объяснения простых абстракций через сложные - действительно полная ерунда, так можно дурить только детей. "за маму, за папу". И ещё некоторые люди себя так дурят. Я не стал оценивать статью отрицательно, так как считаю что даже такая ерунда может навести на полезные мысли. Да и стиль всё же выдержан. Но готов отправить автору отрицательную сумму денег. Надеюсь, автор готов не только отправлять отрицательные суммы, но и принимать. Шутка. Принимать никто не обязан. Вдруг это на самом деле потеря.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25863330

      Приятного вам подумать )))


  1. Tarakanator
    15.08.2023 18:29
    #25863644

    3*2=6
    У вас есть 2 кучки по 3 яблока. итого у вас есть 6 яблок.
    -3*2=-6
    У вас есть 2 долга по 3 яблока, итого вы должны 6 яблок
    3*-2=-6 вы должны 2 кучки по 3 яблока. Итого вы должны 6 яблок
    -3*-2=6
    вы должны 2 кучки по минус 3 яблока. Чтобы получить кучки по -3 яблока вы берёте из них по 3 яблока и отдаёте долги. Итого у вас 6 яблок.

    А вообще мне нравится думать о умножении на -1 как о повороте вектора на числовой плоскости на 180 градусов. По аналогии легко понять умножения на мнимые (а делее и комплексные) числа.


    1. vassabi
      15.08.2023 18:29
      #25863684

      А вообще мне нравится думать о умножении на -1 как о повороте вектора на числовой плоскости на 180 градусов.

      как я вас понимаю - я тоже из вращателей!

      по теме = это скорее всего недостаток языка, где нет хорошего двойного отрицания для чисел\существительных.

      а вот для глаголов норм: "не смог не купить" т.е. это значит "купил" :)


  1. UncleSam27
    15.08.2023 18:29
    #25863696

    "Но Валентина Григорьевна сказала, что минус на минус — плюс
    Элементарная математика"


  1. Daddy_Cool
    15.08.2023 18:29
    #25863778

    "Попробуйте переизобрести натуральные числа".
    Очень трудно!
    -Смотри, у тебя есть кучка яблок .
    -А каких? Больших или маленьких?
    -Неважно! Просто кучка.
    -Как это неважно? Сам бери маленькие, я хочу большие.
    -Хорошо, у тебя есть кучка больших яблок.
    -А какие? Сорт какой?
    -Любой! Антоновка пусть.
    -Я не люблю антоновку. Я их у тебя не возьму и у меня не будет никаких яблок.
    ----
    Если кто скажет, что есть единицы измерения которые по определению призваны быть одинаковыми - ну там - его величество францзский метр, а нам надо измерять расстояния, то... фрактал береговой линии передает привет.
    ----
    В общем не нужны эти ваши... числа. )))
    ----
    И жизнь вносит коррективы. Я как-то думал, что сошел с ума когда у меня на чертеже... не сходилась теорема Пифагора (в студенческое время). Оказалось я использовал разные линейки и... какая-то была неправильная и отличалась на пару мм.
    ----
    Интересно, можно ли по годам отследить как внедрение средств измерений (и наверняка принуждение) повлияло на технический прогресс. Наверняка процесс был не очень плавный.




  1. ss-nopol
    15.08.2023 18:29
    #25863788
    +3

    Не кажется ли вам, что лучший способ убедится в существовании чего-либо — увидеть это воочию (ну, или почти)

    Да! Да! Да! Так всё хорошо начиналось. Я уж думал, сейчас действительно будет наглядный пример. А тут бумс - позитроны и футуристические картины с плавующими кружочками...


    1. tommyangelo27
      15.08.2023 18:29
      #25866790

      Ну, это же тот самый автор, у которого люди по городу путешествуют с одинаковой интенсивностью из любой точки в любую ????


      1. Sergey_Kovalenko Автор
        15.08.2023 18:29
        #25866810
        -1

        Рад видеть преданного читателя )


  1. Ergistael
    15.08.2023 18:29
    #25863790
    +1

    Отрицательное число – суть долг. Долг – это память о будущем возврате. (Либо он будет возвращен, но пока мы просто держим в уме его значение с минусом; либо не будет – ну так он всегда останется с минусом, что ж поделать.). Если вы дали в долг 3 людям по 10 рублей, то вот ваш баланс: –30 рублей. Заметьте: у вас появилось +3 должника с –10 руб. долга у каждого. Вот и понадобилось нам умножение положительного и отрицательного чисел. А теперь некто забрал у вас этих людей, да так, что вы и не возражали, т.к. все было красиво. Забрал: –3 (чел.) с долгом: –10 руб.). у каждого. Вот чо вы получили в результате сделки:

    –3 × (–10) = +30 (руб.). Мм?

    PS: по сути, комплексное число – это тоже долг такого порядка, что "вернете" вы его, когда случится какое-то событие (с электромагнитной волной, например).


  1. nmrulin
    15.08.2023 18:29
    #25864066
    +1

    Ну как текст для дополнительного чтения неплохо. Но естественно в базе объяснять "простые" вещи огромными текстами нельзя, тогда ученик ничего не пройдёт.

    Достаточно школьного - что умножения числа на -1 это один раз вычесть число из нуля.

    Умножение на -2 это два раза вычесть число из нуля.

    И всё. А что тут есть небольшая нестрогость и натянутость - это в университете, кто надо поймёт и почитает материал.


    1. khdavid
      15.08.2023 18:29
      #25864424
      -1

      В первый раз встречаю такую интерпретацию умножения на отрицательное число - отнимать из нуля - и мне она чертовски нравится. И вправду, вроде бы походит на самое простое объяснение, почему минус на минус дает плюс.


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25864504

      Как к "двум раз вычесть" прибавить само вычитаемое число? Почему ((-3) * 5) = 5 * (-3), почему ((-3) * 5) * (-2) = (-3) * (5 * (-2))?

      Наверно я вас удивлю, но если вы попытаетесь развить вашу модель до более стройной, в которой мои вопросы получают ответ, то получите почти один в один мою операторную модель кольца целых только операторы будут не над картинами, а над абстрактными целыми числами. Ваше "вычесть из числа" - это инверсия, которая аналогична моей инверсии цвета.


      1. Zenitchik
        15.08.2023 18:29
        #25864610
        +1

        Ваше "вычесть из числа" - это инверсия, которая аналогична моей инверсии цвета.

        Только Ваша модель - перегружена лишними сущностями, типа художников.

        Модель же @nmrulin- минималистична.


        1. Sergey_Kovalenko Автор
          15.08.2023 18:29
          #25864646
          -1

          Она не минималистична, она - не построена. Вот когда будет построена, тогда и сравним. )))



      1. khdavid
        15.08.2023 18:29
        #25864882
        -1

        «Почему ((-3) * 5) = 5 * (-3)»

        Перед тем как доказывать всякие ассоциативности и подобное, просто нужно доказать, что минус спокойно можно выводить за скобки:

        (-a)*b = -(a*b)

        a*(-b)=-(a*b)

        После этого все сводится к соответствующим аксиомам для положительных чисел


  1. ftdgoodluck
    15.08.2023 18:29
    #25864204
    +3

    Проблема "наглядных" объяснений состоит в следующем: чем дальше мы уходим от яблок, тем хуже это ложится на эмпирический опыт и в какой-то момент "на пальцах" уже объяснить это нельзя. Цивилизация через это прошла - ноль, отрицательные, дробные, иррациональные, трансцендентные числа вызывали абсолютное непонимание. И тут самое время задать вопрос - а кому мы все это объясняем?

    • Если перед нами условный болван (ака "как мне эти ваши квадратные уравнения в жизни пригодятся") - то ему просто нужно сказать что это вот так работает и не задаваться целью что-то объяснять. Он и в жизни скорее всего никогда отрицательное на отрицательное число умножать не будет. А ваше объяснение его 100% запутает и сделает еще хуже.

    • Если перед нами нормальный человек, то нужно сразу вводить формализм и тогда не будет вопросов про ту же ассоциативность (это не потому что мы там как-то яблоки тасуем, а по определению), показывать что обывательский концепт натурального числа отлично ложится в какой-то формализм, а системы могут быть и другие, иногда похожие (целые / рациональные / действительные числа), а иногда и совсем непохожие (группы поворотов плоскости).


    1. eton65
      15.08.2023 18:29
      #25865348

      Проблема "наглядных" объяснений состоит в следующем: чем дальше мы уходим от яблок, тем хуже это ложится на эмпирический опыт и в какой-то момент "на пальцах" уже объяснить это нельзя

      То, что хуже ложится, не значит, что не ложится совсем. И не факт, что мы должны отказываться от "естественных" объяснений. Особенно этим грешат современные физики: "это математическая абстракция, что там происходит на самом деле — понять невозможно". Ведь мир, хоть и описывается математикой, тем не менее на 100% естественен. Да и наш эмпирический опыт включает не только 5 непосредственных чувств, но и показания приборов.


      1. ftdgoodluck
        15.08.2023 18:29
        #25865706

        Проблема аналогий в том, что они никогда на 100% не соответствуют объясняемому явлению и несут в себе дополнительные смыслы. Взять те же яблоки: можно ими пытаться объяснять натуральные числа, но когда мы дойдем до понятия бесконечности, то выяснится, что человек напрочь отказывается принимать факт того, что бесконечное множество ведет себя совершенно не так, как "очень большое" (пример, встреченный мной). Поэтому формализм и хорош - там ничего себе дополнительно придумать нельзя.

        P.S. Я не говорю, что примеры не нужны, например тот же циферблат отлично иллюстрирует кольцо вычетов, но абсолютно разрушительно для понимания будет сводить все кольца к этому самому циферблату


        1. eton65
          15.08.2023 18:29
          #25866206

          Проблема аналогий в том, что они никогда на 100% не соответствуют объясняемому явлению и несут в себе дополнительные смыслы

          Так может 100% аналогии и не нужны? Или нужны совсем чуть-чуть. Если мы изучаем электрон, то мы должны понять, что это такое (в конце концов, что нам это запрещает сделать?). А не просто описывать его математически.


          Взять те же яблоки: можно ими пытаться объяснять натуральные числа

          Вопрос стоит наоборот — как понять реальный мир (с помощью той-же математики, например).


          когда мы дойдем до понятия бесконечности, то выяснится, что человек напрочь отказывается принимать факт того, что бесконечное множество ведет себя совершенно не так, как "очень большое"

          Так в реальном мире же нет бесконечных величин. Поэтому их другое поведение в математике вполне оправдано с физической точки зрения.


          Поэтому формализм и хорош — там ничего себе дополнительно придумать нельзя

          Формализм хорош, это да. Но это не является запретом на прямое понимание вещей. Ребенку не надо знать про натуральные числа, чтобы взять из корзины яблок одно из них.


          1. Zenitchik
            15.08.2023 18:29
            #25867160
            +1

            то мы должны понять, что это такое (в конце концов, что нам это запрещает сделать?). А не просто описывать его математически.

            Всё что мы можем вложить в слово "понять" - по сути является описанием. Математическим или не очень.


            1. eton65
              15.08.2023 18:29
              #25867480
              -1

              Всё что мы можем вложить в слово "понять" — по сути является описанием. Математическим или не очень

              Анекдот про описание работы двигателя рассказать? Математическая запись — это кристаллизованная запись явления (если мы не про чистую математику говорим). Само же понимание сути процесса обычно можно объяснять (а значит и понимать) намного проще. Кот Шредингера не даст соврать!


              1. Zenitchik
                15.08.2023 18:29
                #25867670

                И то и другое - запись. Понимание - не отдельная сущность.


                1. eton65
                  15.08.2023 18:29
                  #25867696

                  И то и другое — запись

                  Нет, конечно.


                  Понимание — не отдельная сущность

                  Отдельная. Вот мы сейчас не понимаем друг друга. Какая запись должна возникнуть в результате возникновения понимания?


  1. Dddn
    15.08.2023 18:29
    #25864608
    +1

    "За основу такой модели мы возьмем один замечательный пример из физики: аннигиляцию электрона и позитрона при их столкновении."

    Звучит как простой рецепт за 5 минут, с каперсами, манго, маракуйя, и соком гуавы: Берёте готовый отваренный горох...


    1. nickolaym
      15.08.2023 18:29
      #25867378

      и делаете из него каперсы, манго и маракуйю, идентичные натуральным!


  1. vilox
    15.08.2023 18:29
    #25864650

    Эк вы наворотили. Можно же проще: в реальности существуют только натуральные числа. Выдуманные позже: ноль и целые числа — в реальности не существуют. Это просто некоторые бумажные формализмы, которые мы вводим таким образом, чтобы при решении уравнений с натуральнымичислами можно было делать +,-,*,/ не беспокоясь о том, чтобы из 5-ти яблок не вычесть случайно 5 или 6. А как формализмы, а не объекты реального мира, они могут обладать любыми свойствами, в т.ч. mn = (-m)(-n), — какая разница, если решать уравнения стало удобно? Физический смысл в этих свойствах поискать для развлечения можно, но не с целеустремлённостью, достойной поиска священного грааля.


    1. iig
      15.08.2023 18:29
      #25864934
      +3

      в реальности существуют только натуральные числа

      В реальности не существует никаких чисел ;)


  1. stranger777
    15.08.2023 18:29
    #25864658

    Рейтинг статьи показывает, что, конечно, есть люди, которым нужны именно такие, большие, сложные, исчерпывающие доказательства. Поэтому, статья, конечно, хорошая. Но, на мой взгляд, всё гораздо проще и умозрительнее, если говорить об объяснении именно для школьников.

    Если посмотреть на числовую прямую, где справа (и далее только в правой части прямой) положительные числа, а слева (и только в левой части прямой) отрицательные, то становится ясно, что плюс и минус только указывают направления движения по всей прямой.

    При этом плюс естественным образом, на уровне аксиомы можно брать естественным же направлением, потому что мы пользуемся им при счёте, а минус — изменением направления. Умозрительным примером приводить "Змейку", которая либо наращивает длину вправо, либо сокращает длину влево.

    Таким образом, (-3)*5 = -3-3-3-3-3 = -15.

    Ну и -3*-5 умозрительно оказывается этаким "поворотом на 360 градусов", в естественную сторону плюса. Такая аналогия не нарушает никаких уже известных школьнику законов, а только ещё раз и очень наглядно подтверждает их. Думаю, так можно объяснить даже пятилетнему ребёнку.

    А в статье уровень не для школьников, конечно.


  1. michael_v89
    15.08.2023 18:29
    #25865038
    +1

    Не надо воспринимать отрицательные числа как особый вид чисел, тогда не будет вопросов, почему умножение двух особых чисел не дает такое же особое число (т.е. отрицательное).


    Минус надо воспринимать отдельно от числа, это не число, а операция поворота. Минус это поворот на 180 градусов относительно нуля на числовой прямой. Поэтому два поворота возвращают в исходную точку. То есть "-2" это запись в полярных координатах — радиус 2, поворот на 180.


    Развитие абстракции минуса это мнимая единица. Умножение на мнимую единицу это поворот на 90 градусов. Поэтому умножение 1 на i два раза дает -1. А например умножение на i в степени 1/3 это поворот на 30 градусов. Мнимая единица это тоже не число, поэтому "умножение" не совсем правильное слово, правильнее говорить "применение мнимой единицы". С ее использованием можно выразить любую точку плоскости через операции с положительными числами. Например, "-2" это "2*i2".


  1. Dmitri_L
    15.08.2023 18:29
    #25865060

    Проблема некоторых формальных систем в том, что они слишком громоздецкие. Приведенные в статье формулы, конечно, объясняют суть различных возможных операций над различными типами чисел, но не исчерпывают. Есть такое понятие, как "разрыв в объяснении". Примерно звучит следующим образом: вот тут у нас происходит нечто известное, заканчивается всё это определенным образом, а между всем этим делом происходит магия. Школьные программы обучения исходят из того, что дети уже владеют некоторыми базовыми навыками оперирования натуральными числами. И им предлагается операции над натуральными числами просто взять и перенести на остальные типы чисел: иррациональные, мнимые и т.д. Это и есть разрыв в объяснении. Как это сделать? Самые упорные ищут методом тыка, т.е. по сути по данному вопросу учатся без учителя. Потому как учитель в в данном вопросе, словно известный просветленный, хранит благородное молчание.

    Попробуйте ученика, на которого всегда можно спихнуть недостатки формальных подходов и назвать его лентяем, взять и заменить во много раз более быстрым и способным компьютером. Он может вычислить какие угодно операции с разными типами чисел. Но формальная система для него - нечто прикладное. Напишите алгоритм с такой формальной системой, чтобы он разбирал и вычислял все эти выражения. Учитель громоздека сможет с помощью своих математических навыков сформулировать такую систему, чтобы компьютер это вычислил? Я думаю нет, здесь понадобится формальная система совершенно другого уровня.

    Как правильно здесь уже упоминали, что вообще такое число -1 ? Это кратка форма выражения 0 - 1. Как можно записать -2 * -3 ? Здесь важно понимать, где находится исходная точка отсчета. Как уже было упомянуто, проще всего представить себе числовую прямую, например линейку. Вот вы ее сломали на позиции 30 см и потеряли начальный кусок. Как вам вычислить с помощью нее длину отрезка? Принять 30 см за точку отсчета. Т.е. вычесть из каждого значения эти самые 30 см. Таким образом 31 - 30 = 1, 32 - 30 = 2 и т.д. А если я вычту из потерянных 29 см эти 30 см, то получу -1. Из 28 отниму 30, получу -2. Получается, что отрицательное число - это то же положительное, но со смещенной точкой нуля. А значит я могу исчислять отрицательные числа, как положительные, главное не забывать отнимать базу от каждого операнда. Но с умножением, конечно, придется считать дотошнее.

    Исходя из описанного примера, запишем выражение -2 * -3 в более полном виде: (28 - 30) * (27 - 30). Перемножим заданные числа как два двучлена, то есть: (28 * 27) - (28 * 30) - (30 * 27) + (30 * 30) = 756 - 840 - 810 + 900 = 6.


  1. eton65
    15.08.2023 18:29
    #25865384

    Простого объяснения быть не может, так как оно/они будет основано на понимании умножения, как многократного суммирования — то есть умножения натурального числа на вещественное. Поэтому вопрос надо задавать не "что такое произведение двух отрицательных чисел", а как нам вообще отказаться от натуральных чисел в пользу вещественных?
    Жду статью с простым ответом на этот вопрос


  1. Nehc
    15.08.2023 18:29
    #25865968

    Да все гораздо проще: вся математика целых чисел строится на понятии числового ряда и смещения по нему.

    Обычное смещение в право - это "+". Одно число - это просто смещение от начала координат (нуля). "5" - это 0+5, т.е. 5 раз выполненное единичное смещение. 3+5 - можно читать как начальная позиция (3) и смещение (5), но нужно держать в голове ,что все всегда от нуля, поэтому начальная позиция это тоже смещение.

    Минус - это реверс. НЕ просто смещение в лево ,и изменение направления. В случае сложения/вычитания это не так важно, но в случае умножения становится критичным. Итак 3-5 - это от 3 в лево на 5. Вроде просто.

    Как в скользь упомянул выше - само число, это число итераций. Т.е. базовой операцией является инкремент/декремент, которые повторяются заданное число раз. Умножение - это повторение повторения. 5*5 - это пять раз выполнить пятикратное смещение. (-5)*5 - это пять раз смещаемся на 5 реверсивно. (-5)*(-5) - это просто двойной реверс.

    Мысли автора интересны, но мне кажется в его голове картина была более "по-настоящему красивым и в то же время достаточно простым", и значимая часть этой простой красоты при изложении была утрачена...


    1. Naf2000
      15.08.2023 18:29
      #25868436

      Доказательство автора применимо не только к числам, например (-A) * (-B) = A*B верно и для матриц. И вообще опирается на аксиоматику колец, независимо от их природы


      1. Nehc
        15.08.2023 18:29
        #25868524

        Ну, тут как... Автора за язык никто не тянул: "Когда вы учились в школе, разве у вас не возникало желание получить простое объяснение, почему при умножении чисел “минус на минус” дает “плюс”? и далее: "Объяснение, которое я тогда обнаружил, кажется мне по-настоящему красивым и в то же время достаточно простым, чтобы о нем стоило попробовать рассказать школьникам". Как по мне, хватило бы аксиоматики Пеано. Мы же не про матрицы здесь и абелевы группы, а, что называется "на пальцах".


    1. ss-nopol
      15.08.2023 18:29
      #25870364
      -1

      5*5 - это пять раз выполнить пятикратное смещение. (-5)5 - это пять раз смещаемся на 5 реверсивно. (-5)(-5) - это просто двойной реверс

      Хорошо. Тогда

      • 3*5 это 5 раз по 3 от нуля. ОК.

      • -3*5 это 5 раз по -3 от нуля. ОК.

      • 3*-5 это ой, но допустим переставим местами и предыдущий пункт

      • -3*-5 всё, приехали

      По-моему, тут уже кто-то предлагал. Надо просто отделить знак и операции со знаком при умножении проводить отдельно. А именно, ввести понятие '-1' и понятие знака как умножение на '-1'. Как и с мнимой единицей.

      То есть представлять -3*5 как -1*3*5 и -3*-5 как -1*3*-1*5. Тогда умножение на -1 можно объяснить действительно как "реверс", а -1*-1 как "двойной реверс". И, кстати, тогда будет сразу понятно, что мнимая единица это просто поворот в комплексную плоскость.

      Но автор походу решил не просто наглядно объяснить, но ещё корректно всё вывести... А тут уже не срослось...


      1. Nehc
        15.08.2023 18:29
        #25870424
        -1

        Ну да, наверное отделить знак от значения и отдельно его представить как реверс - норм. Но я, если честно не очень увидел "ой" в третьем и "все, приехали" в четвертом примере. Третий вообще норм: три, минус пять раз. Минус пять - это влево (инвертированное право), поэтому все ровно. А вот с четвертым случаем все не так ровно, но если помнить, что минус - именно меняет направление, а не просто "влево", то вроде и тоже норм: минус три (влево), минус пять раз - еще раз инверсия, а значит в право...


        1. ss-nopol
          15.08.2023 18:29
          #25870970

          "Минус пять раз" это непонятно. Я могу сказать что "не сходил в кино 5 раз". Но я не могу сказать, что я "сходил в кино минус 5 раз". Здесь как раз вся наглядность и ломается. Поэтому да, нужно отделить минус. Но по-отдельности минус использовать для объяснения наверное не очень удобно, зато с единицей отлично. В добавок строится мостик к пониманию, что такое мнимая единица.

          Ведь в сущности, введение мнимой единицы это такая же простая идея, как и отрицательные числа и это должно изучаться в школе вместе с ними или вскоре после них.


  1. far-rainbow
    15.08.2023 18:29
    #25867224
    -2

    Умножение это product. То есть количество. В минус трёх кучках из минус пяти элементов получается всего 15 элементов. Всё просто. В привычном нам для бытового исчисления кольце чисел качественная характеристика элементов теряется. Но то что их 15 штук в продукте это 100% ))))


    1. ss-nopol
      15.08.2023 18:29
      #25870118

      а почему тогда в минус трёх кучках и из пяти элементов получается минус 15 элементов?


  1. Naf2000
    15.08.2023 18:29
    #25868428
    +1

    A5 не нужна как аксиома, если по сложению уже группа:

    a*0 = a*(0+0) = a*0+a*0 => a*0=0


    1. Sergey_Kovalenko Автор
      15.08.2023 18:29
      #25868774

      Да, вы правы, моя система "законов" не минимальна. Еще и минимальность я не хотел обсуждать - и так много всего необходимо было обговорить.


  1. sashad1ma
    15.08.2023 18:29
    #25868748

    Ответ кроется в вопросе "Но как тогда при помощи корзин и яблок предать смысл произведения (-3)*(-5)?". Ответ: никак и в этом нет никакой проблемы. Потому что для корзин и яблок используется натуральный счёт. А делать из этого проблему и пытаться её решить — натягивание совы на глобус.

    Также с помощью корзин и яблок нельзя объяснить комплексные числа, векторное произведение и много чего ещё.


  1. DrunkkidJohnny
    15.08.2023 18:29
    #25868750

    вы приходите к соседу одолжить 3 корзины по 5 яблок, а он не дает, потому что он габровец, и вы тоже, и он знает, что у вас есть свои корзины и яблоки. Все 15 предметов реально существуют в природе, просто они не ваши -- как и реалии в отрицательном (или зеркальном измерении). Спасибо за большую-пребольшую объяснительную статью


    1. ss-nopol
      15.08.2023 18:29
      #25870100

      А почему тогда, если положить мои яблоки в соседские корзины или соседские яблоки в мои корзины, то результат будет отрицательным?