Вам это может показаться странным, но были времена, когда отрицательные числа казались людям чем-то неестественным, причём даже тем людям, которые зарабатывали себе на жизнь числами — математикам. Как можно считать числом то, что не имеет физического воплощения? С отрицательными числами в итоге смирились, но уж что точно невозможно было терпеть, так это совсем непонятную величину, квадрат которой, это уже противоречит всякому здравому смыслу. Тем не менее время показало, что законы физики и математики, сформулированные с использованием имеют больший смысл, чем законы, сформулированные без неё. Еще в 19 веке Карл Фридрих Гаусс отметил, что "Если бы вместо того, чтобы называть +1, −1,​ положительной, отрицательной или мнимой (или даже невозможной) единицей, их назвали бы, скажем, прямой, обратной или боковой единицей, то едва ли можно было бы говорить о какой-либо темноте".

В статье хочу рассказать о том, как небольшой математический трюк, придуманный для решения кубических уравнений 500 лет назад, вошёл в фундамент современной науки и инженерии.

1. XVI век, кубические уравнения

В начале 16 века Сципион дель Ферро сделал удивительное математическое открытие, он научился решать приведённые кубические уравнения

Квадратные уравнения умели решать еще в древней Греции, а вот кубические до сих пор не умел решать никто. И своё открытие он решил оставить в тайне. Почему, спросите вы? Дело в том, что в те времена существовала традиция, по которой математика можно было вызвать на "математическую дуэль": дуэлянты обменивались набором задач, решивший наибольшее количество задач считался победителем. Проигравший в такой дуэли терял репутацию и, зачастую, университетскую позицию. Считается, что именно из-за этого дель Ферро отказывался от публикации своего метода. Хороша ли эта традиция или плоха предлагаю читателю решить самому, отмечу лишь что традиция эта частично сохранилась в виде школьных и университетских соревнований, а успешные ученые очень часто были призерами таких соревнований, но сама успешность математика больше не определяется такими "дуэлями".

Итак, возвращаемся в 16 век. В 1526 году, умирая, дель Ферро передал свой секрет своему ученику Антонио Фиоре и зятю Аннибале делла Наве, последний унаследовал позицию дель Ферро в университете Болоньи, никто из них не поспешил обнародовать метод дель Ферро. Мало известно о том, чем именно занимался Фиоре следующие 9 лет, но точно известно, что в 1535 году он вызвал на публичную дуэль Николо Тарталия, который за год до этого приехал работать в университет Венеции - родного города Фиоре.

Тарталия согласился, они обменялись 30 задачами, у них было 40 дней для их решения. Все 30 задач Фиоре были приведённые кубические уравнения, он считал, что таким образом гарантирует себе победу. Итог оказался совсем противоположным: Тарталия решил все предложенные задачи, в то время как Фиоре не решил ни одной. Фиоре оказался посредственным математиком, а вот Тарталия смог самостоятельно вывести решение приведённых кубических уравнений. Вывел он то, что сейчас принято называть формулой Кардано или Кардано-Тарталия

Джероламо Кардано был талантливым инженером и так же занимался математикой, но эту формулу не выводил — он писал книгу по алгебре и хотел включить её туда. Он упрашивал Тарталия открыть секрет, и в 1539 тот в итоге согласился только при условии, что книга будет опубликована после его собственной публикации. Кардано своё слово держал, но где-то между 1539 и 1545 он и его ученик Людовико Феррари встретились с делла Наве, от которого получили записи дель Ферро.

Узнав, что Тарталия не был первым, кто научился решать кубические уравнения, Кардано посчитал себя свободным от обещания и в 1545 опубликовал "Ars Magna", где опубликовал эту формулу и многое другое. Несмотря на то, что Кардано написал, что метод решения ему поведал Тарталия, последний был разгневан нарушенным обещанием, что в итоге вылилось в его "дуэль" с Людовико Феррари в 1548, которую Николо проиграл во многом из-за того, что Феррари значительно продвинулся в решении алгебраических уравнений и, в частности, научился сводить некоторые уравнения четвертой степени к уравнениям третьей степени.

Как вся эта история связана с комплексными числами? Можно заметить, что в этой формуле появляется взятие квадратного корня от выражения, которое может быть отрицательным — вопрос, что делать в этой ситуации Кардано, как ранее и Тарталья, в своем трактате оставляет открытым. В качестве примера, в главе I приводится уравнение, для которого, хотя все три корня получаются вещественными — в таких случаях Кордано не применял формулу. Позднее анализ таких ситуаций привёл к признанию существования нового класса чисел. Арифметика комплексных чисел впервые была раскрыта в «Алгебре» Рафаэля Бомбелли (1572) и в трактате Альбера Жирара «Новое открытие в алгебре» (1629).

2. XVIII–XVIII вв. — от воображаемых чисел к геометрии

В своем трактате "La Geometrie" (1637) Рене Декарт ввёл термин воображаемые числа.

"Наконец, как истинные, так и ложные корни не всегда бывают действительными, оказываясь иногда лишь воображаемыми. Другими словами, хотя всегда можно вообразить себе у каждого уравнения столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням. Так, например, хотя у уравнения можно вообразить себе три корня, но на самом деле оно имеет только один действительный, именно, 2. Что касается двух других корней, то сколько бы их ни увеличивать, уменьшать или умножать так, как я только что объяснил, все равно их не удастся сделать иными, чем воображаемыми."

— дальше эту идею он развивать не стал, потому что не видел в ней смысла.

Абрахам де Муавр пытался отыскать общую формулу для косинуса и синуса кратного угла. В то время были известны формулы для двойного и тройного угла, и, наблюдая биномиальную закономерность для них, он пришел к общей формуле (1707)

Примечательно, что современное обозначениеМуавр не использовал, его ввёл чуть позднее Леонард Эйлер — он был первым, кто стал исследовать использование комплексных чисел в математическом анализе, заложив таким образом фундамент теории функций комплексного переменного. Одним из фундаментальных его открытий — названная впоследствии в его честь формула, опубликованная в "Introductio in analysin infinitorum" (1748)

Если взять, то мы получим одно из самых красивых тождеств математики

Примечательно это равенство тем, все три используемые в ней константы пришли из разных областей математики: из геометрии, из анализа, а из алгебры, а равенство с использованием всех отражает единство математики.

В этот период также появились первые работы по представлению комплексных чисел на плоскости. Первое опи��ание комплексных чисел как векторов на плоскости дал норвежско-датский математик Каспар Вессель в 1799 году в работе «Об аналитическом представлении направления». Он определил сложение и умножение чисел через геометрические операции с векторами. Долгое время его работа оставалась незамеченной, поскольку была написана на датском. Независимо от Весселя швейцарский математик Жан-Робер Арган пришел к той же идее. В 1806 году он опубликовал работу «Опыт о способе представления мнимых величин в геометрических построениях», где ввел диаграммы Аргана для визуализации комплексных чисел. Именно Арган впервые связал модуль и аргумент числа с его положением на плоскости.

Комплексная плоскость совмещает в себе удобства декартовой системы координат и полярной: в декартовой удобно делать параллельный сдвиг вектора, но не удобно делать поворот, в полярной же наоборот. В комплексной плоскости сдвиг соответствует комплексному сложению, а поворот — умножению.

3. XIX век — не воображаемые, а комплексные

В 19 веке на основе комплексных чисел было произведено столько открытий, что математики посчитали термин "воображаемые числа" обманчивым и несоответствующим реальности. Первым на это решил указать Карл Фридрих Гаусс, в своём трактате “Theoria residuorum biquadraticorum” (1831) он впервые ввёл термин "комплексные число" и указал на целесообразность такого такого термина:

Если раньше этот предмет рассматривали с ложной точки зрения и поэтому находили в нём таинственную темноту, то в значительной степени это следует отнести на счёт неуклюжей терминологии. Если бы вместо того, чтобы называть +1, −1, положительной, отрицательной или мнимой (или даже невозможной) единицей, их назвали бы, скажем, прямой, обратной или боковой единицей, то едва ли можно было бы говорить о какой-либо темноте. Таким образом, эти величины не следует рассматривать как невозможные или воображаемые, а как вполне реальные, имеющие столь же твёрдое основание и столь же полное право на существование, как числа положительные или отрицательные. Они образуют новый, расширенный класс чисел — комплексных чисел.

Итак, давайте смотреть что же произошло в 19 веке.

Основная теорема алгебры

К 19 веку уже хорошо было известно, что любой квадратный многочлен можно представить в виде произведения его корней

где можно вычислить по формуле корней квадратного уравнения

Например

Результатом могут быть комплексные числа, но формула и, соответствующие разложение всё еще верны, например

Можно ли подобным образом представить многочлены произвольной степени? Как оказывается да

Основная теорема алгебры. Любой многочлен с комплексными коэффициентами представляется в виде

с комплекснымиединственным образом с точностью до перестановки

Это теорема неверна если ограничить только вещественными числами, что показывает их неполноту в алгебраических структурах.

На это утверждение опирались уже в 18 веке, но приведённые тогда доказательства не были полными, а их было довольно много: Даламбер (1746), Эйлер (1749), де Фонсене (1759), Лагранж (1772), Лаплас (1795), Вуд (1798), Гаусс (1799). Первые полные доказательства произвели Арган (1806) и Гаусс (1813).

Кватернионы

Как мы уже обсудили, комплексные числа оказались удобными для описания преобразований на плоскости. Математиков интересовал вопрос, а можно ли чего-то подобного добиться в трёхмерном пространстве? Больше всех интересовался Уильям Роуэн Гамильтон. В механике твердого тела есть потребность описывать повороты в пространстве. Гамильтон был одержим идеей найти способ делать это так же элегантно, как это делают комплексные числа на плоскости. Поворот на угол в комплексной плоскости можно записать как домножение на

Гамильтон более 10 лет пытался найти трёхкомпонентное число вида, которое бы подчинялось аналогичным законам, где— действительные числа, аи— мнимые единицы. Главной проблемой было заставить эту систему корректно умножаться. Он требовал, чтобы умножение было ассоциативным и удовлетворяло закону модулей: модуль произведения двух троек должен быть равен произведению их модулей (это свойство выполняется для комплексных чисел).

Годы попыток ни к чему не приводили. Он не мог определить произведение. Если принять, система становилась вырожденной. Если (что он подозревал), то что тогда равно? Куда его отнести? Все варианты нарушали нужные ему свойства.

16 октября 1843 года Гамильтон шёл с женой вдоль Royal Canal в Дублине. Он уже много лет был одержим этой проблемой. И в этот момент его осенило: нужны не три, а четыре компоненты. Он понял, что необходимо ввести не две, а три мнимые единицы!

Вот как он сам описал это:

«Я тут же вытащил записную книжку, которая до сих пор есть у меня… и сделал запись… И в этот момент я почувствовал, что задача решена. Нечто, в чём я колебался на протяжении многих лет, было наконец прояснено. Я не смог удержаться от того, чтобы тут же, на том самом месте, не вырезать ножом на камне моста формулу»:

Ключом к решению стало то, что Гамильтон, наконец, осознал и принял неизбежность того, что умножение новых чисел не будет коммутативным. Это была революционная идея для математики того времени. До этого все общеизвестные системы чисел (действительные, комплексные) обладали свойством коммутативности умножения.

Если бы умножение кватернионов было бы, коммутативным, то можно легко получить следующее противоречие:, но при этом.

Без коммутативного умножения из формул выше довольно просто выводятся равенства вида.

Завершая историю с кватернионами, на том самом месте где когда-то Гамильтон высек ключевое равенство кватернионов, сейчас можно найти памятную табличку. К ним мы ещё вернёмся.

Ряды и преобразование Фурье

или более лаконично в комплексном варианте

который тесно связан с другим важным новшеством: преобразование Фурье

в большинстве случаев верно обратное к нему преобразование

основное назначение которых — переход от периодических функций к их частотам и обратно.

На англоязычной википедии есть очень наглядный пример: применение преобразования Фурье к звуковой волне, созданной до-мажор аккордом: три левых пика соответствуют нотам аккорда (до-ми-соль), остальные — ближайшие обертоны нот аккорда, т.е. ноты с кратными частотами. Фактически, играя определённую ноту вы совершаете обратное преобразование Фурье — по заданной частоте создаёте волну (акустическую) этой частоты.

Не удивительно, что работы Фурье в итоге стали мощнейшим инструментом анализа периодических функций, а такие встречаются довольно часто — всевозможные волны и колебания. К Фурье ещё вернёмся.

Гипотеза Римана

Изначально я хотел сделать отдельный раздел про теорию функций комплексного переменного, но так и не нашел каких-то отдельных вещей, за которые можно зацепиться. Гипотезу Римана наверно стоит относить именно к области ТФКП, но она всё же стоит отдельного упоминания. Итак, начнём с дзета-функции Римана

Сходимость ряда для вещественныхбыло известно уже давно, с небольшой помощью комплексной экспоненты легко показать, что и для комплексных чиселc вещественной частью большей единицы сумма также сходится. Эта функция дифференцируема и даже аналитична. Один из интересных результатов ТФКП заключается в том, что мы можем единственным образом продолжить эту функцию на всю комплексную плоскость сохраняя аналитичность.

В результате мы получаем очень неинтуитивные результаты

Дзета-функция тесно связана с простыми числами, еще в 18 веке Эйлер вывел довольно интересную формулу для дзета-функции

Здесь в правой части произведение берётся по всем простым числам. Из свойств дзета функции мы знаем, что количество простых чисел, не превосходящихведёт себя как, это значит например, что случайное число изцифр оказывается простым с вероятностью.

Так в чём же заключается гипотеза Римана? Известно, что для натуральных, остальные нули дзета-функции находятся на полосе ( — вещественная часть). Гипотеза Римана — это предположение о том, что для этих нулей выполняется более строгое условие.

Бернхард Риман сформулировал гипотезу в 1859, к настоящему времени существуют множество математических результатов, опирающихся на верность этой гипотезы, она в итоге стала стала одной из проблем Гильберта, а позднее и одной из задач тысячелетия, за решения которой институт Клэя предлагает миллион долларов.

AC vs DC

В конце 19 века произошла одна из самых известных историй промышленной конкуренции — война токов. Томас Эдисон строил систему передачи и распределения энергии на основе постоянного тока (direct current), в то время как Джордж Вестингауз строил свою систему на основе переменного тока (alternating current). Считается, что в этой "войне" победил переменный ток, что во многом произошло благодаря изобретениям Николы Теслы, самые значимые из которых — трансформатор и индукционный двигатель. Справедливости ради стоит отметить, что в современных сетях присутствуют оба типа технологий, но всё же основной "дистрибьютер" энергии — переменный ток.

В контексте нашего повествования важно то, что по своей сути переменный ток имеет волновую природу, анализ и расчёты для сетей переменного тока удобно производить в комплексных числах. В разгар войны токов в 1887 Оливер Хевисайд пришёл к понятию импеданса — аналога сопротивления для переменного тока — и показал, что для него выполняется закон Ома.

Работы Ляпунова по устойчивости динамических систем

Бывало ли у вас такое, что вы подключаетесь к созвону с двух устройств одновременно, на обоих включены динамики и микрофон, в итоге звук с одного устройства начинает эхом разлетаться на другом и наоборот, громкость при этом всё нарастает и нарастает пока не происходит большой взрыв вы всё-таки не выключаете звук на одном из устройств? Это хороший пример неустойчивой динамической системы. Как оказывается, для разного рода колебательных систем очень полезно знать, будет ли она затухающей или наоборот? В 1892 Александр Михайлович Ляпунов представил миру работу по устойчивости динамических систем, являющаяся на текущий момент классической, инженеров всего мира известен термин "функция Ляпунова". Ляпунов свёл задачи устойчивости к следующим формулировкам: допустим у нас есть динамическая система

и при этом траекторияявляется её решением. При каких условиях натраектория, начинающая не из нуля будет сходится к нулю или хотя бы ограничена? Ляпунов предоставил целый инструментарий для исследования этих вопросов, в самое простой форме линейного уравнения

ответ может быть легко получен из комплексного анализа: вещественные части всех собственных чисел матрицы должны быть не больше нуля.

XX век, от науки к промышленности

В 20 веке комплексные числа уже стали в математике обыденностью, из-за этого трудно выделить какие-то открытия, в которых комплексные числа сыграли фундаментальную роль, но всё же такие есть. Начать хочется с физики: мы уже обсудили войну токов, но к началу 20 века для физиков комплексные числа пока еще обыденностью не являются, пока не было открыто …

Уравнение Шрёдингера

Эрвин Шрёдингер, которого вы скорее всего знаете благодаря его коту, в 1925-1926 искал общее уравнения для поведения квантовых частиц. Одна из революционных идей заключалось в том, что и они имеют волновую природу, Шрёдингер в итоге приходит не просто к уравнению на комплексной плоскости, а к уравнению, в которомпринимает непосредственное участие, о чем сам Шрёдингер отзывался как о недочёте, впоследствии же

Быстрое преобразование Фурье

В 1965 Джеймс Кули и Джон Тьюки искали способ надежного обнаружения ядерных испытаний СССР не имея при этом доступа на её территорию. Они дошли до того, что это можно сделать анализируя сейсмическую активность в граничащих с СССР странах, но чтобы эта затея сработала необходимо было научиться обрабатывать огромный объем данных. Ключевым прорывом, который сделал это возможным, было изобретение специального алгоритма. Для компьютерного анализа на основе преобразования Фурье использовалось его численное приближение — дискретное преобразование Фурье

В результате этого преобразования измы получаем. Приближение через дискретизацию заключается в том, что на фиксированном отрезке мы выбираемточек и применяем дискретное преобразование Фурье, получая приближение к обычному преобразованию. Чем больше точность мы хотим, тем большенужно взять, проблема однако возникает с тем, что прямолинейное вычисление дискретного преобразования требуетдействий. Кули и Тьюки придумали как проделать ту же процедуру используя лишьдействий, эта процедура сейчас повсеместно называется быстрое преобразование Фурье.

БПФ является классическим примером алгоритма типа "разделяй и властвуй", в котором последовательность делиться на две части, на каждой из частей рекурсивно выполняется этот же алгоритм, после чего одним линейным проходом мы завершаем вычисления. Такая техника уже была хорошо известна в алгоритмическом сообществе, например по такому принципу работают быстрая сортировка и сортировка слиянием с разделением всего отрезка на два половинки. В БПФ же использовалось другой тип разделения: точки разделяются на чётные и нечетные, а в результате они должны встать на первую и вторую половину, такую перестановку часто визуализируют через "бабочку". Для финального приведения верно следующие формулы, вычисление которых возможно линейным проходом

БПФ оказалось настолько мощным инструментом, что достаточно быстро во всех других областях, использующих анализ Фурье, численные приближения преобразования Фурье также стали проводить с помощью БПФ. Дошло до того, что БПФ стало использоваться в очень экзотичных сценариях, например для перемножения чисел или вычислений в конечных полях.

Фракталы

Фракталы — это такие бесконечно самоподобные математические объекты (обычно фигуры на плоскости). Формально, фрактал — это объект, у которого метрическая размерность отличается от размерности Минковского. Метрическая размерность — 1 для кривой, 2 для плоской фигуры, 3 для объемной фигуры. Размерность Хаусдорфа: представьте, что вы разбили всё ваше пространство на кубики со сторонойи посчитали сколько из этих кубиков пересекается с фигурой, допустим насчитали. Если оказалось, что существует предел

то величину этого предела называют размерностью Минковского. Для всех обычных геометрических фигур размерность совпадает с метрической, но для фракталов это размерность может быть дробной. Самый известный фрактал — это множество Мадельброта, названное в честь Бенуа Мандельброта, популяризировавший фракталы в своей книге 1975 Фрактальная геометрия природы.

Основной посыл которой в том, что природа слишком сложна для описание её Евклидовой геометрией, а вот фрактальная геометрия может быть лучшим инструментом. В его книге есть множество примеров фракталов, один из самых забавных — капуста Романеско. Фрактал, названный в честь Мандельброта, имеет очень простое определение, имеющее прямое отношение к теме этой статьи.

Для каких комплексных чиселпоследовательность

сходится? В сети можно найти множество видео с многократным зумом множества, где постоянно видно его самоподобие. Фракталы нашли свое применение в биологии и радиотехники (фрактальные антенны).

Компьютерная графика и кватернионы

Зачем нужна трёхмерная графика думаю всем и без меня понятно. Для реализации одной из базовых её операций — поворота — существует две концепции:

• Углы Эйлера

• Кватернионы

В зависимости от задачи может быть удобен тот или иной метод, для компьютерной графике стал критичным вопрос производительности. Подход на основе углов Эйлера ведет к выражению поворотов в виде умножения трёхмерного вектора наматрицу, 27 умножений, в то время как выражение поворота в виде умножения кватернионов ведёт к 16 умножениям. По этой причине во всех современных движках компьютерной графики повороты производятся именно кватернионами.

Думаю, стоит отметить ещё одно интересное преимущество — отсутствие возможности шарнирного замка (gimbal lock). Это такая неприятная ситуация, когда оси вращения гироскопа выравниваются из-за чего конструкция перестаёт работать корректно. Подобная ситуация случилось в миссии Аполло 11, что чуть её не сорвало.

Заключение

Вместо каких-то субъективных выводов лучше расскажу одну байку, которая произошла с профессором мат-меха СПбГУ. Однажды он в один день принимал два экзамена, на которых ему довелось спросить один и тот же вопрос: "имеет ли решения уравнение?" На одном экзамене ему ответили "да", на другом "нет", но в обоих случаях он отправил экзаменуемых на пересдачу. Дело в том, что этот "вредный" профессор утром принимал экзамен у школьников и вопрос был задан в контексте школьной тригонометрии, в днём этот профессор принимал экзамен по ТФКП уже у студентов.

Друзья и коллеги! С удовольствием хотел бы прорекламировать CS Space — открытый научный клуб по CS-related темам; идейных последователей питерского Computer Science Club (и CS Center), расформировавшегося после известных событий. Ребята организуют крутые лекции и курсы по CS от профессионалов своего дела, да еще и помогают мне с написанием научно-популярных статей!

Сайт сообщества: csspace.io
Telegram-канал: t.me/csspace

Если вам понравилась статья — поставьте плюс, автору всегда приятно когда его работу ценят. Возможно вас также заинтересует мой канал А зачем это нужно? где я рассказываю о том, что математику и алгоритмы придумали не только для собеседований в бигтехи.