Аннотация
Что может быть настолько мистическим, чтобы описываться прямо противоположными понятиями? Извольте: чёрный ящик aka белое пятно. На самом деле, цвет здесь вторичен, он лишь означает: мы не знаем, что внутри. Желание преодолеть неизвестность ходит по пятам за идеей чёрного ящика - люди всегда стремились открыть его, нанести карту на белое пятно. Как показывает история, за этим обычно следует движение вперёд, новые возможности и премиальные бонусы.
Тем более неожиданно обнаружить, что в основаниях математики (самый центр науки) всё ещё подспудно присутствуют эти самые чёрные ящики, они же белые пятна (для краткости бланки). Правда, математические бланки настолько хорошо изучены снаружи, что поверх них даже построено целое здание математики.
Тем не менее, предъявление внутренней структуры этих объектов (которое заняло 10 лет) обещает замечательные, прорывные результаты в самых разных областях. Теперь предстоит показать всё это широкому кругу программистов и математиков, для чего и предназначена предлагаемая вашему вниманию серия заметок. Данная первая заметка описывает проблему математических бланков и демонстрирует, на что способно её решение.
Декомпозиция
Математические конструкции могут быть весьма сложны, но всё сложное состоит из более простого. Стало быть, сложный объект можно логически разобрать на части. Это действие будем называть декомпозицией.
Попробуем повторить это действие, и сделаем декомпозицию рекурсивной: разбираем объект, затем его части, затем части частей и так далее. Легко заметить, что рекурсивная декомпозиция строит дерево, где корень - исходный объект, а дочерние узлы - составные части.
В общем случае, сложный объект можно разобрать (как и собрать) более чем одним способом, то есть в разном порядке. Каждый такой порядок будет формировать своё отдельное дерево, однако этот момент для нас не принципиален. Нас интересует, насколько далеко по дереву мы сможем пройти?
Для иллюстрации ответа на этот вопрос повернём наше дерево на 90° и рассмотрим любую одну отдельную веточку (не важно, какую именно). Такую веточку дерева декомпозиции будем называть, для краткости, маршрутом.
Мы быстро обнаруживаем, что наш маршрут всегда заканчивается одинаково.
Бланки
Можно провести какое угодно количество экспериментов, которые все подтвердят один и тот же факт: рано или поздно, маршрут доходит до объекта, на котором мы вынуждены остановиться, т.к. не знаем его частей и/или даже не можем их предположить. Пристальный взгляд обнаруживает, что таковы все базовые математические объекты, например , логические величины и др. На нашей схеме они изображаются как залитый тёмным цветом квадратик.
Подобные объекты без известной структуры будем называть бланками. Некоторые из них задаются аксиомами, например натуральные числа и множества. Некоторые только лишь поясняются, подобно понятию существования. В целом, с внешней стороны, математические бланки очень хорошо изучены: это совершенные чёрные ящики.
Вопросы оснований математики считаются закрытыми около века назад, и с тех пор, современная математика, вроде бы, не находится в опасности из-за того, что структура бланков неизвестна. Больше того, эта структура не только не исследуется, но и не подразумевается.
Однако незнание не эквивалентно отсутствию. Бланков много. Они разные, и отличаются по свойствам и поведению. Не означает ли это, что у них различается также и внутренняя структура, только она нам пока неизвестна? Это и есть проблема бланков, как она была осмыслена в 2013 году. Данная формулировка указывает цель - указать, как и из каких более простых частей можно построить интересующие нас объекты.
А зачем это всё?
Изначальная причина исследования была та же самая, по какой люди всегда старались отыскать новое: любопытство. Где-то там есть до поры скрытое знание, и спасти его из тьмы неведения, это сильнейший императив и первый долг учёного.
Результаты же исследования, которые доступны по его завершению, обусловлены превращением бланков в белые (прозрачные) ящики. И большое число плюшек, которые вы получаете автоматом, просто за счёт 100%-го покрытия ваших знаний структурой. Результат работы не только в том, что раскрывается конструкция вроде бы всем и так понятных объектов. Гораздо важнее то, что обнаруженный при этом "конструктор" может использоваться непосредственно и напрямую, для выражения любых идей и мыслей.
Пример. Пусть на компьютере стоят произвольные программы обмена сообщениями: почта/WhatsApp/ТГ и т.п. Вы хотите дать компьютеру задание: при получении личного сообщения с определённым словом проигрывать мелодию M. Эта инструкция выражается всего одной фразой. Она вполне чёткая, и позволяет однозначную программную реализацию. Тем не менее, такая реализация, на практике, имеет запретительную трудоёмкость.
Действительно, вы можете написать плагин - если они поддерживаются; либо скачать и модифицировать исходный код - если он есть. В любом случае, вам нужно отдельное решение для каждой отдельной программы, и реализация займёт очень сильно больше времени, чем потребовалось для написания нашей инструкции на человеческом языке.
Представьте теперь ситуацию, когда можно решить эту задачу один раз в общем виде, путём короткого скрипта или иной инструкции операционной системе, где на самом деле указано, что такое мессенджер, и что такое личное сообщение. Конструктор, о котором говорилось выше, делает это возможным. Происходит это за счёт того, что данный конструктор выражает не только и не столько информацию, но и знания - причём любые.
Поясним подробнее разницу между информацией и знаниями. Укажем, что слова человеческого языка, вообще говоря, не отражают структуру того, что они обозначают - это просто ярлыки. Для примера возьмём слово "забор". Сама эта комбинация символов или звуков (информация) никак не перечисляет понятия, входящие в смысл (суть) забора, а они таковы:
некоторое пространство (в котором, как минимум, определено расстояние);
как минимум, пара точек в этом пространстве;
некоторые взаимодействия (движения) между точками;
некоторый объект в этом пространстве (собственно забор), расположенный между точками, и способный прерывать или перехватывать взаимодействия между ними.
Это и есть знания о заборе. О каком бы заборе речь не шла - это может быть физическая стена, или файервол, или даже преграда в межличностных отношениях - не избежать отсылок к перечисленным понятиям, конкретизация которых и позволяет понять, что это за забор. Понятно, что набор таких формализованных точных знаний гораздо удобнее и легче в обработке, чем последовательность символов "забор". А теперь представим, что подобным образом выражена структура... всего. Внезапно вы начинаете оперировать не морем из чисел, а ясной картиной, сутью, смыслом, структурой.
Ещё одно преимущество нашего конструктора - он естественным образом организует знания в иерархическом порядке, образуя ассоциативную память (АП). Так, задав вышеуказанный набор знаний, мы как бы ссылаемся сразу на все заборы в памяти. Далее, конкретизируя определённые параметры, можно ограничивать выбор больше и больше, до тех пор, пока мы не получаем один или несколько заборов, которые требуются.
Подобную ассоциативную память можно объединить с нейронными сетями. Можно обучить нейросеть так, чтобы она разбивала новую информацию на части, отыскивала в ней известные паттерны из АП, и укладывала полученные знания обратно в память. Безусловно, предстоит потрудиться, чтобы "подружить" такую АП с нейросетью, но это уже техническая, а не концептуальная задача. Представьте себе интеллектуальную АП объёмом с Википедию. Какие удивительные результаты мы сможем получить, воспользовавшись таким инструментом?
И конечно, большое преимущество такой архитектуры в том, что человек или алгоритм будет способен анализировать знания в АП. Тот факт, что память нейросети сейчас представляет собой чёрный ящик, сильно ограничивает применимость ИИ в ответственных областях, куда нельзя допускать систему, о которой неизвестно, что "она там себе думает".
Таким образом, конструктор для бланков (называемый в работе ФОРАОН) является мощным средством представления знаний с широким потенциалом использования. С учётом этого, проблема бланков перестаёт быть узкоспециализированной математической проблемой, наоборот, она важна для всей области IT в целом.
План решения
По доброй математической традиции, представим, что проблема уже решена.
Если проблема решена, это означает, что мы можем продолжить наш маршрут вправо от объекта, который из тёмного превратился в светлый (на схеме голубой).
Тогда повторим наш вопрос выше: насколько далеко мы сможем пройти?
Заметим, что по мере продвижения вправо, сложность квадратиков уменьшается, поскольку они состоят из всё меньшего количества частей. Очевидно, что последний предел, которого теоретически можно достичь, это атомарный объект, не имеющий составных частей, и таким образом, обладающий сложностью, равной нулю. Такой объект будем называть пустым или нуль-системой и обозначать кружочком или символом .
Дело пока не в том, каким маршрутом мы до него дошли, но в том, что дальнейшее разбиение в принципе невозможно. Таким образом, у нас есть теоретический предел любой декомпозиции.
Но как нам поможет этот атомарный объект, если маршрут до него всё равно неизвестен? Ответ на этот вопрос и определил всю дальнейшую работу, которая спустя 10 лет привела к решению. Ответ звучал так: если мы не знаем, как построить маршрут слева направо, построим его... справа налево.
То есть, начнём с и будем последовательно конструировать всё более сложные объекты, пока не дойдём до искомых. Надо описать такие правила построения, которые позволят в итоге сконструировать любые интересующие математические объекты. Но прежде чем описывать, эти правила надо было открыть, обнаружить.
Вопрос стоял именно так. Не придумать, а обнаружить. Работа строилась на убеждении, что искомый конструктор, как и структура бланков, уже существует. Возник ли он сам как неотъемлемая часть математики, или был создан её Творцом, неизвестно. Но он уже есть, он вполне определённый, и надо его только найти.
Продолжение следует...
В следующей заметке мы сделаем первый шаг и сконструируем первый по сложности объект после . В начале работы была иллюзия, что, поскольку объект этот очень простой, то и сделать это будет... ну, просто. В действительности, чтобы сделать этот шаг, пришлось задать глубокие философские вопросы, первый из которых - что общего между мозгом, компьютером, нейросетью и математикой.
Комментарии (29)
ElectricPigeon
12.05.2024 18:27+1А как доказать, что нуль-система существует? Потому что в статье это постулируется, но я не могу себя убедить, что декомпозиция обязательно будет конечна или хотя бы иметь предел
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27+1До существования мы ещё не дошли, это будет в дальнейших заметках. Что касается декомпозиции, вы должны признать, что дальше нуль-системы она пройти не сможет, потому что нуль-система не содержит частей. И если мы до неё дошли в разбиении, то гарантированно всё.
funca
12.05.2024 18:27+1Возможно нуль-системы окажутся эквивалентом https://en.m.wikipedia.org/wiki/List_of_undecidable_problems, где математика бессильна. Хотя этот список по идее бесконечен. В общем, интрига получилась классной. Ждём продолжения.
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27В нуль-системе нет ничего такого, о чём можно было бы написать много текста. Это просто простейший объект, без составных частей. Его необходимость вытекает уже из самого факта, что объекты состоят из частей. Если это так, то должен быть и объект, который из частей не состоит -- пожалуйста,
.
Kodim
12.05.2024 18:27+2Если считать, что математика это некое отражение реальности, она также неисчерпаема, как и электрон, и атом :) Но математика заведомо менее сложна и исчерпаема, в отличие от реального мира, поскольку определяется субъектом, в сознании которого существует математика. Кандидат на роль бланка - граница, существование которой определяется неточностью и ограниченностью восприятия субьекта, скадем, граница между обьектами, которая позволяет отделить один от другого, посчитать их
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27Ваше идея в последнем предложении в целом верна, но до этого мы тоже дойдём дальше.
NeoCode
12.05.2024 18:27+1Пока воздержусь от голосования по статье, дождусь следующей части. Всё это может быть довольно интересно. Как я понимаю, это всё как-то относится к аксиомам математики? Или вы копаете еще глубже?
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27Это определённо глубже, поскольку мы будем смотреть на принципиально простейшие объекты. Идея в том, чтобы дойти до максимально возможной глубины, и по шагам "всплывать".
NeoCode
12.05.2024 18:27+1Боюсь что тут все очень непросто:) Математика опирается на несколько базовых аксиом и некоторую фундаментальную логику нашего мышления, которая неявно присутствует и в самих аксиомах, и в их применении для построения более сложных конструкций. Вот эта логика настолько неразрывно связана с мышлением, что я не уверен можно ли ее как-то выделить... ведь для того чтобы ее выделить мы опять же вынуждены использовать те же самые законы мышления. Вот даже эта ваша "декомпозиция" - это что? Она сама как понятие тоже нуждается в декомпозиции? В общем, похоже что мы упираемся в ограничения собственного разума, а то и в невозможность формально описать законы мышления с помощью самих себя.
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27Математика опирается на несколько базовых аксиом
Это не от хорошей жизни. Аксиомы - это чёрные ящики.
и некоторую фундаментальную логику нашего мышления
Совершенно, абсолютно верно.
я не уверен можно ли ее как-то выделить
Можно. Вся серия заметок именно об этом.
Вот даже эта ваша "декомпозиция" - это что? Она сама как понятие тоже нуждается в декомпозиции?
Конечно, понятие декомпозиции тоже поддаётся разложению. Декомпозиция это алгоритм, который принимает на вход объект, а возвращает множество его частей (элементов). И потом, декомпозиция это просто иллюстрация того факта, что:
объекты состоят из частей
части некоторых объектов неизвестны (бланки).
Нам удобно использовать рекурсивную декомпозицию, чтобы выразить маршрут разложения и особенные ситуации, которые там возникают. То есть это чисто иллюстративное графическое средство. Удобно рассуждать, когда перед глазами цепочка как на рисунках.
NeoCode
12.05.2024 18:27+1Декомпозиция это алгоритм, который принимает на вход объект, а возвращает множество его частей (элементов). И потом, декомпозиция это просто иллюстрация того факта, что:
объекты состоят из частей
части некоторых объектов неизвестны (бланки).
А понятия "алгоритм", "вход", "объект", "возвращать", "множество", "часть", "состоять" нуждаются в декомпозиции?
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27А понятия "алгоритм", "вход", "объект", "возвращать", "множество", "часть", "состоять" нуждаются в декомпозиции?
Да, для них всех можно предъявить структуру. Даже понятие "объект" имеет "инициализатор", который показывает, как какой-либо объект вообще "появляется на свет". Если бы конструктор бланков не был всеобщим, в нём бы не было никакого смысла.
NeoCode
12.05.2024 18:27Я подозреваю что так всё-же не получится. Почему - написал в предыдущем сообщении. Понятия "иметь", "инициализатор", "появляться на свет" тоже нуждаются в "декомпозиции". Все наши человеческие рассуждения, которыми мы оперируем, неизбежно будут состоять из слов и понятий, каждое из которых тоже должно быть как-то формально представлено...
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27Для любого слова, которое человек произносит осмысленно, может быть предъявлена структура. В этом-то и прелесть подхода. Давайте посмотрим по мере продолжения этой серии.
Refridgerator
12.05.2024 18:27То есть вы смогли декомпозировать все перечисленные базовые математические объекты? Очень интересно. Но я два раза прочитал статью и так и не понял постановку задачи и критерии оценки правильности её решения.
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27Постановка задачи и есть в том, чтобы предъявить структуру этих объектов. Что касается критерия правильности, он станет понятен из следующих заметок.
Refridgerator
12.05.2024 18:27Предъявить структуру этих объектов - это решение задачи, а не её постановка. Постановка задачи - это например решение уравнений, в которых появляется
. Тогда можно ввести понятие мнимой единицы и декомпозировать обычное число на произведение двух комплексных. И заодно некоторые простые числа перестают быть простыми в их исходной формулировке, например 
Что очевидным образом меняет криптостойкость некоторых завязанных на простых числах алгоритмов шифрования. А вот если декомпозировать числа на палочки и кружочки - к математике такая декомпозиция отношения иметь уже не будет, а будет иметь отношение лишь к их символьному написанию. А ещё можно декомпозировать числа на заклинания из Гарри Поттера, почему нет.
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27Ок, я понял вашу логику. Когда проблема только была поставлена, то целей, как вы их описываете, действительно не было. Об этом и сказано честно в разделе "А зачем это всё?". Работа велась из чистого любопытства.
Но в том же разделе описываются результаты, вытекающие из работы, и они вполне дают представление, зачем это, то есть, какая цель в конечном итоге.
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27И да, кружочек такой же полноправный символ, как и цифры. Главное для символа это то, что он обозначает. Вы же не считаете, что числа декомпозируются на цифры. Просто цифры известны с незапамятных времён, а кружочек появился здесь и сейчас. Но от этого он не становится "нелегальным" в математике.
Seraphimt
12.05.2024 18:27+1Вопросы оснований математики считаются закрытыми около века назад, и с тех пор, современная математика, вроде бы, не находится в опасности из-за того, что структура бланков неизвестна. Больше того, эта структура не только не исследуется, но и не подразумевается.
Что значит не исследуется? Да, это специфическая область, оторванная даже от остальной математики, но основания математики, логики и вот этот вот всё активно исследуются. Я уж не говорю о том, что есть даже идеи переписать основания с теории множеств на категории.
Заметим, что по мере продвижения вправо, сложность квадратиков уменьшается, поскольку они состоят из всё меньшего количества частей
Без формализации тяжело понять о чём речь и почему она уменьшается.
Очевидно, что последний предел, которого теоретически можно достичь, это атомарный объект, не имеющий составных частей, и таким образом, обладающий сложностью, равной нулю
Не очевидно, это нужно доказывать.
Без какого-либо негатива рекомендую автору прочесть книжки по основания математики и теоркату или посмотреть лекции на ютубе, благо их сейчас вагон и маленькая тележка. Например, у Беклемишева много подобного, есть даже в почти научпопном стиле.
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27Что значит не исследуется? <...> но основания математики, логики и вот этот вот всё активно исследуются.
Речь не про "это всё", а конкретно разбиение базовых объектов на более простые, таких работ нигде не встречал. Множества, есть аксиомы, и всё. Вот числа, они числа и всё. Есть единица, есть
, а как они внутри устроены - такими вопросами никто не задаётся.Без формализации тяжело понять о чём речь и почему она уменьшается
Вы разбираете объект на всё более мелкие части. "Всё более мелкие" и означает, всё более простые. Более простые = сложность уменьшается.
Не очевидно, это нужно доказывать
Если коробка пуста, то из неё ничего достать нельзя по определению. Если что-то дано по определению, то нет нужды это доказывать, для того это и делается.
рекомендую автору прочесть <...> или посмотреть <...>
К сожалению, рассматриваемые вопросы никого больше не интересуют, и никакие имеющиеся материалы не могли помочь в той проблеме, которой посвящена статья. Пришлось разбираться самому, что и заняло 10 лет, но в конце концов получилось.
Kodim
12.05.2024 18:27+1Рекомендую книгу В.Губина "Физические модели и реальность", там и проблематика оснований математики затрагивается.
Seraphimt
12.05.2024 18:27разбиение базовых объектов на более простые
Это буквально то, что делают математики - переходят к абстракциям и обобщениям.
Вот числа, они числа и всё
Что значит числа и всё? Вы знаете как вводятся натуральные числа? Я здесь не эксперт, но, насколько помню, у Бурбаки определение числа 1 занимает какое-то абсурдное количество страниц, страниц, Карл.
есть
Которое тоже вводится десятком способов, к слову
Если что-то дано по определению, то нет нужды это доказывать, для того это и делается.
Но определения нужно вводить строго и проверять на корректность.
Если коробка пуста, то из неё ничего достать нельзя по определению.
Не понял причём тут коробка. Поясню свою первоначальную мысль. Из чего следует, что некая процедура "упрощения" (не описанная в посте явно) будет конечна? Почему не зациклится, почему не будет идти бесконечно? А бесконечности ещё и разные бывают.
К сожалению, рассматриваемые вопросы никого больше не интересуют, и никакие имеющиеся материалы не могли помочь в той проблеме, которой посвящена статья. Пришлось разбираться самому, что и заняло 10 лет, но в конце концов получилось.
Интересуют или нет, но без базы вы обречены навечно остаться на уровне махания руками и до математики никогда не доберётесь.
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27у Бурбаки определение числа 1 занимает какое-то абсурдное количество страниц, страниц, Карл
И все эти страницы описывают числа снаружи, как чёрные ящики
Ramayasket Автор
12.05.2024 18:27Например, у Беклемишева
Я с ним переписывался, правда по другой своей статье, он ответил один раз, вполне комплиментарно, но от дальнейшей переписки ушёл. Даже один раз получить от известного человека ответ - это как в лотерею выиграть.
vanderPon
12.05.2024 18:27А чем комбинаторная логика как основа математики не устраивает. Да комбинатора и минимум операций. И все числа и операторы, например, строятся как производные составные объекты
alldark
Если тут всё сложится - ежедневная боль многих работающих людей будет решена: будет однозначная чёткая интерпретация и декомпозиция задач с вполне определённым решением. Для всех AI сейчас нужна верификация решений, а как появится такой вариант работы - верификация не потребуется.
А если взглянуть с другого конца - Теорема Гёделя о неполноте разве не приводит к тому, что само множество нуль-систем будет бесконечным?
Ramayasket Автор
Ответ на последний вопрос будет в дальнейших заметках )))