07.09.2024 15:12
kirrya 2 888 Источник

В этой статье я расскажу что такое Uniswap Impermanent Loss, и почему это такая острая тема для провайдеров ликвидности.

Более конкретно, что вас ждёт в статье:

  • Небольшое погружение в то как работает Uniswap V2

  • Impermanent Loss для Uniswap V2

  • Погружение в то как работает Uniswap V3

  • Impermanent Loss для Uniswap V3

  • Проблемы провайдеров ликвидности или почему эта тема очень важна для них

Небольшое погружение в то как работает Uniswap V2

Uniswap - децентрализованная биржа, на которой можно обменять одни токены на другие. Там нету заявок на покупку или на продажу, а цена определяется формульно:

x \cdot y = k

x - количество токенов первого типа в пуле

y - количество токенов второго типа в пуле

k - константа, задающаяся начальными условиями: произведение кол-в токенов в момент времени перед обменом

Пусть в какой-то момент времени в пуле было монет x и y, и пусть какой-то человек хочет купить токены второго типа (\Delta y), за токены первого типа в размере \Delta x. Тогда происходит следующее.

В пуле теперь (x+\Delta x) токенов, константа гиперболы та же, поэтому выполняется

(x + \Delta x)\cdot (y - \Delta y) = k = x \cdot y

Отсюда находим \Delta y - сколько токенов он получит за отданные \Delta x

Токены второго типа стали дороже. Цена, по которой произошел обмен: P = \frac{\Delta y}{\Delta x} (либо перевернуть дробь, если хотим измерить в другой монете)

Откуда берется ликвидность в этих пулах?

Есть другая часть пользователей, которая предоставляет ликвидность в такие пулы - провайдеры ликвидности. Они кладут свои токены в эти пулы, и получают комиссии за каждый обмен токенов в этом пуле. Например, при свопе, описанном выше, сначала берется комиссия, и только потом происходит обмен токенов.

Комиссия за обмен распределяется между провайдерами ликвидности в соответствии с вкладом токенов в этот пул.

После обмена общее количество токенов первого типа выросло, а второго - уменьшилось, соответственно у провайдеров ликвидности соотношение кол-ва токенов, которое у них лежит в пуле, тоже поменялось.

Impermanent Loss (для Uniswap V2)

Когда другой пользователь произвел обмен токенов, цена одного токена к другому поменялась. Также поменялось и общее соотношение количества токенов в пуле и соотношение у каждого провайдера ликвидности.
Количество токенов, которые стали стоить дороже, уменьшилось, а тех что стали стоить дешевле - увеличилось.

В итоге суммарная стоимость активов у каждого провайдера ликвидности поменялась.

x \cdot y = L^2x = \frac{L^2}{y}y = \frac{L^2}{x}d(x \cdot y) = xdy + ydx= d(L^2) = 0 => xdy = - ydx => \frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x}

Один дифференциал обычно считаем положительным, второй - отрицательным, получим

P = \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}

P - цена одного токена, выраженная во втором токене

y = L \cdot \sqrt{P}x = \frac{L}{\sqrt{P}}

Выведем формулу для Impermanent Loss Uniswap V2:

Суммарная стоимость активов в зависимости от цены:

V = y \cdot 1 + x \cdot P = 2 \cdot L \cdot \sqrt{P}

Пусть в начальный момент времени юзер планирует положить в Uniswap V2 токены в количествах x_0, y_0. В начальный момент времени суммарная стоимость этих токенов равна:

V_0 = y_0 \cdot 1 + x_0 \cdot P_0 = 2 \cdot L \cdot \sqrt{P_0}

Если бы человек не клал токены в юнисвоп, а просто "холдил" бы их, его суммарное портфолио в зависимости от цены:

V_{held} = y_0 \cdot 1 + x_0 \cdot P = L \cdot \sqrt{P_0} + \frac{L}{\sqrt{P_0}} \cdot P

Для упрощения формул, положим P = P_0 \cdot k, k > 0

V_{held} = L \cdot \sqrt{P_0} \cdot (1 + k)IL = \frac{V - V_{held}}{V_{held}} = \frac{L \sqrt{P_0} \cdot (2\sqrt{k} - (1+k))}{L\sqrt{P_0} \cdot (1+k)} = \frac{2\sqrt{k}}{1+k} - 1

То есть таким образом можно смотреть, насколько юзер в минусе / плюсе по сравнению с тем, как если бы он не клал токены в uniswap, а просто пассивно бы их держал на кошельке.

Иногда Impermanent Loss называют просто зависимостью суммарной стоимости позиции от цены, потому что не всегда интересно сравнивать только с позицией холда токенов в изначальной пропорции.

Небольшое погружение в то как работает Uniswap V3

Важно:

Я здесь специально опускаю некоторые детали, связанные с устройством Uniswap V3 (например активация лишь некоторых price ticks, разное кол-во decimals у разных токенов, etc) так как в данном случае они не сильно влияют на результат, но усложняют статью.

В случае Uniswap V3 провайдеры ликвидности могут выбирать, в каком ценовом диапазоне будут использоваться их токены. Таким образом, предоставляемая ликвидность распределяется равномерно не на весь диапазон [0, +\inf), а равномерно в отрезке [p_a, p_b],

p_a - нижняя, p_b - верхняя выставленная цена.

Это выгодно тем, что теперь, выставляя более узкий ценовой диапазон, доля юзера в ликвидности на конкретной цене (на конкретном 'price tick') становится больше, поэтому комиссий он заработает больше. Однако увеличивается и Impermanent Loss, который испытывает его позиция.

Идея аналогична с Uniswap V2. При обмене первого токена на второй так же прибавляется \Delta x, и убавляется \Delta y.

В случае Uniswap V3 уже гипербола немного другая: приспустившись, она уже пересекает оси Ox и Oy.

(x + \frac{L}{\sqrt{P_b}}) \cdot (y + L \cdot \sqrt{P_a}) = L^2

Если сделаем замену переменных, можем привести эту гиперболу к привычному виду:

\begin{cases} x_{virtual} \cdot y_{virtual} = L^2, \newline \newline x + \frac{L}{\sqrt{P_b}} \geq 0, \newline \newline y + L \cdot \sqrt{P_a} \geq 0 \end{cases}

В случае когда выполняются неравенства, юнисвоп позиция находится в активном состоянии и генерирует комиссии.

Соответственно будут работать выведенные выше формулы, связывающие кол-во токенов, ликвидность и текущую цену (формулы из Uni V2):

y_{virtual} = L \cdot \sqrt{P}x_{virtual} = \frac{L}{\sqrt{P}}

Теперь выразим x, y:

y = y_{virtual} - L \cdot \sqrt{P_a} = L(\sqrt{P} - \sqrt{P_a})x = x_{virtual} - \frac{L}{\sqrt{P_b}} = L(\frac{1}{\sqrt{P}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}})

Когда цена становится равной P_b, ликвидность юзера уже не участвует с обменах и не получает комиссии. Также теперь у него 0% токенов первого (цена которых поднялась) типа и 100% токенов второго типа.
Аналогично с тем, когда цена упала до P_a. Тогда у юзера теперь становится 100% первого (обесценившегося) токена и 0% второго токена и ликвидность снова не участвует обменах.

Зануляя либо x либо y, можем найти точное количество токенов оставшегося типа.

(x + \frac{L}{\sqrt{P_b}})\cdot(y + L \sqrt{P_a}) = L^2

Количество токенов, когда цена поднялась выше верхней цены:

P = P_b => x = \frac{L}{\sqrt{P}} - \frac{L}{\sqrt{P_b}} = 0

P = P_b => y^* = L\sqrt{P} - L\sqrt{P_a} = L\sqrt{P_b} - L\sqrt{P_a}

y^* = L\sqrt{P_b} - L\sqrt{P_a}

Количество токенов, когда цена опустилась ниже нижней цены:

P = P_a => y = 0

P = P_a => x^* = \frac{L}{\sqrt{P}} - \frac{L}{\sqrt{P_b}}

x^* = \frac{L}{\sqrt{P_a}} - \frac{L}{\sqrt{P_b}}

Impermanent Loss (для Uniswap V3)

Аналогично выводу IL для Uniswap V2, запишем полную стоимость позиции в зависимости от цены:

V = y\cdot 1 + x \cdot P = L(\sqrt{P} - \sqrt{P_a}) + L(\sqrt{P} - \frac{P}{\sqrt{P_b}})

Пусть как прежде P = P_0 \cdot k

V(P) = 2L\sqrt{P} - L(\sqrt{P_a} + \frac{P}{\sqrt{P_b}})V(k) = 2L\sqrt{P_0 \cdot k} - L(\sqrt{P_a} + \frac{P_0 \cdot k}{\sqrt{P_b}})

Если бы юзер не открывал юнисвоп позицию, а просто холдил в том же соотношении как в начальный момент времени:

V_{held} = y_0 + x_0 \cdot P = L(\sqrt{P_0} - \sqrt{P_a}) + L P_0 k (\frac{1}{\sqrt{P_0}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}})V_{held} = L\sqrt{P_0}(1+k) - L(\sqrt{P_a} + \frac{P_0 \cdot k}{\sqrt{P_b}})

Impermanent loss:

IL = \frac{V(P) - V_{held}}{V_{held}}IL = \frac{2L\sqrt{P_0 \cdot k} - L\sqrt{P_0}(1+k)}{L\sqrt{P_0}(1+k) - L(\sqrt{P_a} + \frac{P_0 \cdot k}{\sqrt{P_b}})}

Немного упростим

IL(k) = \frac{2\sqrt{k} - 1 - k}{1 + k - \sqrt{\frac{P_a}{P_0}} - k\sqrt{\frac{P_0}{P_b}}}

Эта формула справедлива при выполнении неравенств, которые я писал чуть выше. На всякий случай продублирую ещё раз.

\begin{cases} x + \frac{L}{\sqrt{P_b}} \geq 0, \newline \newline y + L \cdot \sqrt{P_a} \geq 0 \end{cases}

Проблемы провайдеров ликвидности

Теперь рассмотрим риск-профиль юзера, положившего ликвидность в Uniswap V3.
Риск-профиль - в данном случае зависимость суммарной стоимости позиции от цены.
При сильных падениях цены, во-первых, у юзера будет всё больше и больше дешевеющих токенов, соответственно он будет терять денег всё больше и больше - то есть можно сказать что у него незащищенный риск, связанный с ценой базового актива.

Юзеру вероятно хотелось бы быть менее зависимым от цены на базовый актив (e.g. цены на эфир, если это пара "eth-usdc"), и при этом всё ещё зарабатывать комиссии как провайдер ликвидности.

Что он может сделать?

Он может захеджировать (=защититься от риска) свою позицию.

А как это можно сделать - расскажу в следующих статьях.

Больше интересных статей из мира DeFi – в моём телеграм-канале:

https://t.me/kirrya_achieves

Комментарии (2)


  1. powerman
    07.09.2024 20:32
    #27259844
    +7

    Тема интересная, но для хабра тут слишком много математики и слишком мало прикладного смысла. Было бы намного интереснее рассмотреть пару примеров с реальными объёмами/монетами/ценами, сколько в этих кейсах теряют провайдеры ликвидности, сколько получают комиссий, что выходит в конечном итоге для V2 и для V3. И что происходит если какая-то монета резко падает на CEX - как быстро и каким образом это отразится на DEX, не останутся ли провайдеры ликвидности с этой обесценившейся монетой вместо более ценных активов и т.п.


  1. junsanich
    07.09.2024 20:32
    #27271696

    Спасибо за статью, получилось действительно подробно объяснить механизм непостоянных потерь. Хотелось бы уточнить один момент: если взять формулу расчета impermanent loss, где IL = 1 - (2 * квадратный корень из (P1 / P0)) / ((P1 / P0) + 1) (не знаю как вставить формулу по нормальному)​​​, не могли бы вы подробнее описать, как изменится результат при использовании более узких диапазонов ликвидности в V3? Какие конкретные параметры, по вашему мнению, окажут наибольшее влияние на уменьшение непостоянных потерь в долгосрочной перспективе?