Введение

Волатильность является одним из важнейших параметров в оценке опционов, управлении рисками и построении торговых стратегий. Классическая модель Блэка-Шоулза-Мертона, предполагающая постоянную волатильность, не способна отразить динамику рынка, где наблюдаются эффекты «улыбки волатильности» и кластеризации. Для более точного описания рыночных процессов разработаны модели стохастической волатильности, среди которых наиболее известными являются модель Хестона и модель SABR. Эти подходы учитывают случайный характер изменений волатильности и позволяют более адекватно оценивать деривативы.

"Улыбка волатильности" и её влияние на модели

С момента финансового краха рынка в 1987 г. было замечено, что волатильность опционов с более низкими ценами базового актива выше, чем у опционов с более высокими ценами. Это свидетельствует о стохастической природе волатильности, которая варьируется во времени и в зависимости от уровня цен базового актива. Экономисты разработали модели стохастической волатильности для учёта этого эффекта.

Улыбка волатильности (volatility smile) — это графическое представление зависимости подразумеваемой волатильности от страйк-цены для опционов с одинаковым временем до истечения. Обычно подразумеваемая волатильность имеет тенденцию к повышению как для глубоких в деньгах (deep in-the-money), так и для глубоких вне денег (deep out-of-the-money) опционов, что создает форму, напоминающую улыбку.

Небольшое отступление

В своём телеграм канале делюсь ещё больше полезным контентом по сфере деривативов и децентрализованных финансов: https://t.me/kirrya_achieves

Математически, улыбка волатильности определяется как функция подразумеваемой волатильности от страйк-цены для фиксированного времени до истечения :

Поверхность волатильности (volatility surface) — это трехмерное представление волатильности, отображающее изменение подразумеваемой волатильности в зависимости от страйк-цены и времени до истечения опциона. Поверхность волатильности помогает лучше понять и моделировать рыночные ожидания относительно будущих колебаний цены базового актива.
Математически, поверхность волатильности определяется как функция страйк-цены и времени до истечения :

Эта поверхность используется для определения подразумеваемой волатильности для различных страйков и сроков экспирации, что является ключевым элементом в ценообразовании опционов и управлении рисками.
Визуально поверхность волатильности представляет собой график, где:

• Ось ? — страйк-цена ?,
• Ось ? — время до истечения ? ,
• Ось ? — подразумеваемая волатильность ?.

Пример поверхности волатильности может быть построен с использованием данных рыночных цен опционов, а затем интерполирован или экстраполирован для получения непрерывной поверхности.

"Улыбка волатильности" отражает тот факт, что подразумеваемая волатильность опционов с разными страйк-ценами различается, хотя срок их истечения и базовый актив совпадают. Графически это проявляется в виде параболической формы с загнутыми вверх краями.

Это явление противоречит модели Блэка-Шоулза, которая предполагает, что волатильность должна быть одинаковой для всех страйков. Реальность показала, что после краха 1987 г. трейдеры осознали возможность экстремальных событий и ценовых искажений, что потребовало пересмотра моделей волатильности.

Альтернативное объяснение улыбки волатильности: маркет-мейкер, продавая опционы около at-the-money, хеджируется более out-of-the-money опционами, другие игроки, продавшие эти OTM опционы, хеджируются еще более далекими, и так далее. Таким образом, ступенчато распределяются по поверхности волатильности открытые позиции.

Проблема изменяющейся волатильности

На реальных рынках волатильность изменяется под влиянием множества факторов: макроэкономических новостей, изменений ликвидности, психологических особенностей участников рынка и других. Два ключевых свойства волатильности, которые необходимо учитывать:

• Возврат к среднему (mean reversion): После резких всплесков волатильность имеет тенденцию возвращаться к долгосрочному среднему значению.

• Кластеризация волатильности: Периоды высокой волатильности зачастую сменяются фазами относительного спокойствия, что указывает на наличие временной корреляции.

Игнорирование этих особенностей может приводить к неверной оценке опционов, ошибкам в хеджировании и арбитражных стратегиях.

Модель Хестона

В 1993 году Стивен Хестон в своей работе "A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options" \cite{heston1993closed} предложил свою модель для оценки стоимости деривативов. Основная идея состоит в моделировании стохастической волатильности с возвратом к среднему. Примерно такое поведение волатильности и наблюдается на реальных рынках: долгое время волатильность колебнется около среднего значения, в редких случаях "взрывается" и через некоторое время возвращается к среднему значению. Модель описывается следующей системой стохастических дифференциальных уравнений:

где:

• — цена базового актива в момент времени t;

• — мгновенная вариация (квадрат волатильности);

• — средняя доходность актива;

• — скорость возврата волатильности к среднему значению;

• — коэффициент волатильности самой волатильности («vol-of-vol»);

Корреляция между броуновскими процессами и описывается как:

Какие преимущества у модели Хестона?

В отличие от модели Блэка-Шоулза, где волатильность фиксирована, модель Хестона учитывает её случайные колебания во времени, что делает её более реалистичной. Волатильность не остаётся высокой или низкой бесконечно, а стремится к некоторому долгосрочному среднему значению, что соответствует реальному поведению рынков.

Важным преимуществом модели Хестона является тот факт, что для европейских call, put опционов в рамках этой модели существует аналитическое решение. Этот факт позволяет проводить быструю, вычислительно не затратную калибровку поверхности волатильности европейских опционов.

Есть ли недостатки?

Одной из главных проблем модели является высокая вычислительная сложность. Несмотря на то, что для некоторых вариантов (например, для европейских опционов) можно получить аналитические решения, в ряде случаев приходится прибегать к численным методам, таким как метод Фурье-интегрирования или Монте-Карло симуляция. Это не только замедляет процесс оценки деривативов, но и усложняет процедуру калибровки параметров модели. В реальных условиях калибровка часто проводится с использованием оптимизационных алгоритмов, таких как Левенберга–Марквардта, что помогает заметно ускорить процесс калибровки

Для того чтобы вариация оставалась строго положительной, должен выполняться так называемый Feller condition:
На практике же часто получается, что этот баланс нарушается, особенно при калибровке модели на данных с высоким уровнем волатильности. Нарушение условия Феллера может приводить к возникновению незначительных отрицательных значений волатильности в численных симуляциях, что создает дополнительные сложности при интерпретации результатов и требует специальных корректирующих методов.

Модель SABR

Модель SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho) впервые введена Патриком Хаганом, Андреем Лесниевским, Дариной Вудвард в 2002 году в статье "Managing Smile Risk". Динамика модели описывается следующим образом:

Эта модель описывается следующими стохастическими дифференциальными уравнениями:

Ограничения на параметры: , ,
где:
— цена форварда в момент времени ,
— волатильность актива в момент времени ,
— параметр "волатильности волатильности",
— параметр, определяющий степень зависимости волатильности от цены актива.

Аналогично модели Хестона, корреляция между броуновскими процессами и определяется:

Калибровка модели SABR

Для удобства, введем переобозначения:

Тогда формула для подразумеваемой волатильности примет вид:

Наша задача - найти частные производные к  по параметрам 

Таким образом:

Далее мы используем алгоритм Левенберга-Марквадта для калибровки.

Исследования показывают, что модель SABR на рынке крипто-опционов часто демонстрирует более высокую точность , особенно для опционов с короткими сроками экспирации, в то время как модель Хестона может иметь большую ошибку при неидеальной калибровке.

Преимущества модели SABR:

Одним из ключевых достоинств модели является наличие приближённых формул для расчёта подразумеваемой волатильности. Эти формулы позволяют достаточно быстро получать оценки опционных премий, что особенно важно при работе с большими объемами данных или в условиях, когда требуется оперативное принятие решений.

К тому же, модель SABR способна достаточно точно воспроизводить наблюдаемую на рынке улыбку волатильности. За счёт параметра модель адаптируется к различным типам динамики базового актива: при  она приближается к лог-нормальному распределению, а при  — к нормальному. Такая гибкость позволяет использовать модель для широкого спектра финансовых инструментов, от процентных ставок до валютных деривативов.

Какие могут быть ограничения? Мы знаем, что параметр оказывает существенное влияние на форму распределения базового актива. Неправильная его оценка или выбор может привести к искажению результатов. Кроме того, оптимальное значение  может варьироваться для разных классов активов или даже изменяться со временем, что требует дополнительного внимания при калибровке. Важно учитывать, что модель SABR может потребовать корректировок или дополнений для более точного отражения реальных рыночных процессов, особенно при работе с экзотическими инструментами или в условиях высокой нестабильности.

Практическое применение

Стохастические модели волатильности находят применение в следующих областях:

• Маркет-мейкинг: Точные модели помогают устанавливать оптимальные котировки, снижая риск убытков из-за резких рыночных движений.

• Риск-менеджмент: Модели используются для прогнозирования экстремальных событий и корректировки портфелей в условиях высокой волатильности.

• Алготрейдинг: Быстрая оценка краткосрочных изменений волатильности позволяет принимать оперативные решения в высокочастотных стратегиях.

Применение данных моделей способствует более точной оценке деривативов и снижению операционных рисков.

Заключение

Стохастические модели волатильности, такие как модели Хестона и SABR, значительно расширяют возможности классических подходов к оценке опционов. Модель Хестона предоставляет глубокое понимание динамики волатильности с учётом эффекта mean reversion, однако требует значительных вычислительных ресурсов. Модель SABR, благодаря аналитическим приближениям и более простой калибровке, демонстрирует высокую точность, особенно при краткосрочных оценках. Правильный выбор модели и её настройка позволяют обеспечить адекватное отражение рыночных процессов, что критически важно для риск-менеджмента и построения эффективных торговых стратегий.

О том, как калибровать всю поверхность волатильности, поговорим в следующих статьях.

Спасибо за ваше время!

Примечания

• Heston model

• Managing Smile Risk