В научном мире существует множество исследований, разработок и теорий, важность которых невозможно недооценить. Однако это не значит, что ученые не любят задаваться вопросом «а что если?». Особенно это касается математиков и расчета вероятности того или иного события. Ярким примером является теорема о бесконечных обезьянах, утверждающая, что обезьяна клацающая по клавишам печатной машинки (естественно, в случайном порядке) рано или поздно сможет напечатать полное собрание сочинений Уильяма Шекспира, если имеется бесконечное число обезьян или же одна, но очень настойчивая, трудолюбивая и вполне бессмертная обезьяна. Ученые из Технологического университета Сиднея (Австралия) решили провести расчеты, дабы установить, сколько времени все таки потребуется на реализацию данного труда. Как именно проводились расчеты, и что они показали? Ответы на эти вопросы мы найдем в докладе ученых.
Основа исследования
Теорема о бесконечных обезьянах впервые появилась в 1914 году в труде Эмиля Бореля «Статистическая механика и необратимость» и в его книге «Случай». Обезьяны были выбраны не из большой любви математика к этим животным, а в качестве абстрактного генератора случайных чисел. В труде Бореля указывается, что даже если миллион обезьян будут печатать по 10 часов в день, то вероятность написания ими текстов, полностью совпадающих со всеми книгами всех библиотек мира, крайне мала. Однако вероятность все же есть и она больше, чем вероятность того, что законы статистической механики нарушатся даже незначительно.
В книге «Природа физического мира» (1928 год) за авторством Артура Эддингтона написано следующее описание данной теоремы:
Если я позволю своим пальцам праздно блуждать по клавишам пишущей машинки, может случиться, что у меня получится напечатать какое-нибудь осмысленное предложение. Если армия обезьян будет бить по клавишам пишущих машинок, они могут напечатать все книги Британского музея. Шанс, что они сделают это, определённо больше, чем вероятность того, что все молекулы соберутся в одной половине сосуда.По сути, данная теорема существует для демонстрации того, что некоторые физические процессы крайне маловероятны. У некоторых вероятность даже меньше, чем вероятность того, что обезьяна напечатает собрание сочинений Шекспира. Следовательно, такие физические процессы можно считать невозможными.
Математически доказательство теоремы является простым следствием леммы Бореля–Кантелли. Проще говоря, когда событие (например, обезьяна, печатающая заданную строку символов) происходит в заданном испытании с конечной ненулевой вероятностью, то вероятность того, что событие никогда не произойдет, стремится к нулю, поскольку число независимых испытаний стремится к бесконечности, каким бы невероятным ни было событие в отдельном испытании.
Совсем недавно были попытки проверить теорему эмпирически, как экспериментально, так и в популярной культуре. Эти подходы включали как компьютерное моделирование концептуальной модели, так и исследования с живыми приматами и клавиатурами. Хотя теорема о бесконечных обезьянах хорошо изучена, теорема о конечных обезьянах изучена меньше. В рассматриваемом нами сегодня труде ученые решили изучить ситуацию, когда доступно только конечное число обезьян и только конечный период времени. Затем они вычислили вероятности того, что определенные фразы будут напечатаны заданным числом обезьян за заданный период времени.
Математическая база исследования
Как отмечают ученые, первым делом необходимо было сформулировать предположение модели. Ученые предположили, что клавиатура содержит K различных клавиш. Каждая печатающая обезьяна нажимает N клавиш (по одной за раз) так, что каждая клавиша выбирается с равной вероятностью при каждом нажатии, независимо от выбора всех других клавиш. Есть целевая последовательность текста длиной L символов. Сначала была рассмотрена комбинаторика моно-обезьяны, т. е. только одна обезьяна печатает за раз.
С N нажатиями клавиш, каждое из которых является одним из K различных символов, существует KN различных упорядоченных последовательностей, которые можно набрать. Теперь необходимо установить, сколько из этих (равновеликих) последовательностей содержат L последовательных символов из целевой последовательности хотя бы один раз.
Рассматривая последовательность длины L как один «символ», необходимо поместить этот один «символ» в одно место в строке из N − L + 1 символов. Оставшиеся N — L символы могут быть любыми из K возможных символов. Таким образом, есть (N — L+1)KN-L способов, чтобы это произошло.
Однако это приводит к пересчету, поскольку возможно, что целевая последовательность длины L появляется более одного раза в N нажатиях клавиш. Например, если искать последовательность HH в череде из пяти подбрасываний монеты (т. е. H или T), вышеприведенный метод будет учитывать результат HHTHH дважды, поэтому нужно исправить этот двойной подсчет. Чтобы рассмотреть степень пересчета, сначала необходимо рассмотреть последовательность длины L как один «символ». Нужно поместить этот один «символ» дважды в строку из N − 2L + 2 символов. Оставшиеся N − 2L символы могут быть любыми из K возможных символов.
Следовательно, имеется следующее число способов, чтобы это произошло:
где
обозначает биномиальный коэффициент.
Однако вычитание этих значений не позволяет подсчитать последовательность, в которой целевая строка появляется три или более раз. Применяя принцип включения-исключения, была получена вероятность того, что последовательность из N нажатий клавиш содержит целевую последовательность длины L хотя бы один раз:
где ⌊ N/L ⌋ обозначает пол N/L, т. е. наибольшее целое число, меньшее или равное N/L, поскольку это максимальное количество раз, когда может появиться строка длины L. Это также предполагает, что множественные вхождения не перекрываются, т. е. последнее слово(а) первого появления целевой строки не являются также первым(и) словом(ами) второго появления целевой строки. В действительности, с обычным текстом и правильной пунктуацией, это почти наверняка будет так.
Результат в уравнении выше дает точную вероятность набора целевой последовательности длины L за N нажатий клавиш. Однако это не поддается вычислительной обработке для многих практических целей, например, когда L очень велико. В таких случаях можно вывести приближение для случая 1 ≪ N ≪ KL.
Пусть P(N, L) — вероятность того, что последовательность из N нажатий клавиш не содержит целевую последовательность длины L. Следовательно, для больших значений L и K получаем:
Это фактически эквивалентно усечению ряда в уравнении №1 на его ведущем члене. Из этого можно получить разложение в ряд Тейлора P(N + ΔN, L) ≈ P(N, L) − ΔN(1/KL).
Таким образом, видно, что, приближая N к непрерывной переменной, получается, что количество нажатий клавиш до первого появления целевой строки длины L масштабируется как экспоненциально распределенная случайная величина с параметром скорости 1/KL.
Из этого можно легко распространить результат на многообезьянью комбинаторную задачу. При M > 1 обезьянах, работающих независимо друг от друга, одновременно печатающих тем же способом, что и одна обезьяна в предыдущей задаче, получаем, что минимум набора независимых экспоненциальных случайных величин сам по себе является экспоненциальной случайной величиной с параметром скорости, равным сумме всех параметров скорости.
Это также можно увидеть, заметив, что для экспоненциальной переменной с параметром скорости 1/KL вероятность того, что одна обезьяна не сможет произвести целевую строку до момента времени N, приблизительно равна e−(N/KL), следовательно, вероятность того, что M независимо работающих обезьян не произвели строку, является произведением M таких вероятностей, поэтому:
Отсюда становится известно, что время, необходимое для того, чтобы M (1 < M ≪ KL) обезьян впервые набрали целевую строку, масштабируется как экспоненциальная случайная величина с параметром скорости M/KL, поэтому ожидаемое количество нажатий клавиш до того, как будет сгенерирована строка, составляет приблизительно KL/M.
Результаты расчетов
Как отмечают ученые, чтобы количественно оценить вероятности или ожидаемые временные шкалы, необходимо сделать несколько дополнительных предположений. Допустим, что клавиатура содержит K = 30 различных клавиш, охватывающих все буквы английского языка, а также некоторые общие знаки препинания. Для расчетов временной шкалы предполагается, что обезьяна-машинистка нажимает одну клавишу в секунду каждую секунду дня. Поскольку шимпанзе являются ближайшими родственниками человека среди обезьян, ученые сосредоточились на них как на изучаемом виде. Также предполагается продолжительность рабочей жизни шимпанзе равной 109 секунд (чуть более 30 лет), а тепловая смерть вселенной — через 10100 лет после начала эксперимента. Предполагая, что текущая популяция около 200000 шимпанзе останется постоянной до конца вселенной, следовательно, имеем максимум около 10100 × 3.2 × 107 × 2 × 105/ (109) = 6.4 × 10103 рабочих жизней шимпанзе, поскольку в году примерно 3.2 × 107 секунд. Не учитывается размножение или количество пищи, необходимое для того, чтобы популяция сохранялась без снижения.
Таблица №1
Таблица выше количественно определяет ожидаемое количество нажатий клавиш, пока случайно печатающая обезьяна впервые не произведет заданную целевую строку, для нескольких различных строк в диапазонах сложности от одного слова «Бананы» до полного собрания сочинений Уильяма Шекспира. Они визуализированы ниже в логарифмической шкале, как это требуется для значений, охватывающих такие сильно различающиеся порядки величин. Вероятности численно оцениваются для трех временных шкал: в пределах продолжительности жизни одного шимпанзе, в пределах продолжительности жизни всех шимпанзе, где не происходит размножения для продления популяции, и в пределах тепловой смерти вселенной, предполагая, что популяция обезьян сохраняется до этого времени.
Изображение №1
Из этого видно, что все, кроме самых тривиальных фраз, на самом деле, почти наверняка никогда не будут созданы в течение жизни нашей вселенной. Существует много порядков разницы между ожидаемым количеством клавиш, которые будут случайно нажаты, прежде чем будут воспроизведены произведения Шекспира, и количеством нажатий клавиш, пока вселенная не схлопнется в термодинамическое равновесие (график ниже). Невероятно, что даже с возможным улучшением скорости печати или увеличением популяции шимпанзе эти порядки величины могут быть охвачены до такой степени, что труд обезьяны когда-либо станет жизнеспособным инструментом для разработки письменных произведений чего-либо, выходящего за рамки тривиального. Таким образом, ученые отвергают выводы из теоремы о бесконечных обезьянах как потенциально вводящие в заблуждение в нашей конечной вселенной. Эта оценка фактически противоречит одному из самых известных фрагментов народной математики, но также твердо помещает теорему о бесконечных обезьянах в один ряд с другими кажущимися парадоксами с противоречивыми результатами в конечных и бесконечных случаях.
Изображение №2
Для более детального ознакомления с нюансами исследования рекомендую заглянуть в доклад ученых.
Эпилог
Вывод авторов исследования таков — учитывая правдоподобные оценки продолжительности жизни вселенной и количества возможных обезьян-машинисток, это все еще оставляет огромные порядки разницы между доступными ресурсами и теми, которые требуются для нетривиальной генерации текста. Проще говоря, нет, обезьяна не сможет напечатать полное собрание произведений Шекспира, даже если она будет трудиться неустанно до скончания времен. Однако, данная теория все же имеет свой поучительный смысл, так как наглядно показывает насколько бывает мала вероятность того или иного процесса или события.
Немного рекламы
Спасибо, что остаётесь с нами. Вам нравятся наши статьи? Хотите видеть больше интересных материалов? Поддержите нас, оформив заказ или порекомендовав знакомым, облачные VPS для разработчиков от $4.99, уникальный аналог entry-level серверов, который был придуман нами для Вас: Вся правда о VPS (KVM) E5-2697 v3 (6 Cores) 10GB DDR4 480GB SSD 1Gbps от $19 или как правильно делить сервер? (доступны варианты с RAID1 и RAID10, до 24 ядер и до 40GB DDR4).
Dell R730xd в 2 раза дешевле в дата-центре Maincubes Tier IV в Амстердаме? Только у нас 2 х Intel TetraDeca-Core Xeon 2x E5-2697v3 2.6GHz 14C 64GB DDR4 4x960GB SSD 1Gbps 100 ТВ от $199 в Нидерландах! Dell R420 — 2x E5-2430 2.2Ghz 6C 128GB DDR3 2x960GB SSD 1Gbps 100TB — от $99! Читайте о том Как построить инфраструктуру корп. класса c применением серверов Dell R730xd Е5-2650 v4 стоимостью 9000 евро за копейки?
Комментарии (19)
artemmoscow
06.11.2024 08:14Рассчеты настолько же осмысленные, как в серьез пытаться рассчитать вероятность возникновения больцмановского мозга. Или физически моделировать гранд-отель Гильберта с бесконечным числом номеров. Это изначально математическая задача, не подразумевающего физического воплощения.
artemmoscow
06.11.2024 08:14На самом деле задача максимально простая и доступна 8-ми классинику. Не знаю что там на несколько страниц написано. Если читать любую последовательность символов равновероятной, то это будет просто 101-ричное (по числу клавиш) число длиной, равной длине романа. Правада, никакой равной вероятности нет в силу устройства пальцев - ближе к центру вероятность удара больше, кроме того и вероятность последовательностей очень разная, опять же в силу устройства ладони. И самое главное, в самой статье было написано что эта задача рассматривается не сама по себе (очевидно не предполагается что кто то считает наобор обезьянами), а как сравнение с вероятностью с распределением газа в комнате - задачей более интересной в силу меньшей очевидности, что автор сделать поленился.
wataru
06.11.2024 08:14На самом деле задача максимально простая и доступна 8-ми классинику.
Это если грубо усреднять и прикидывать. Тут в статье тоже допущения:
Это также предполагает, что множественные вхождения не перекрываются
И еще вместо точного вычисления берется приближение
масштабируется как экспоненциально распределенная случайная величина
Вообще, есть точная формула для вычисления матожидания количества нажатий(у меня есть статья с ее выводом):
Тут Pi^i - это i раз проитерированная префикс функция.
Если искомый текст длины L физически никак не может пересечься сам с собой (начало и конец - совсем разные предложения), то это вырождается просто в K^L.
Руководствуясь теми же уравнениями можно вывести и точную формулу для вероятности набрать текст за N нажатий, но там все так красиво не сворачивается.
big17
06.11.2024 08:14На эту тему есть анекдот:
Существует вероятность, что если 100 миллионов обезъян посадить за комп, то вскоре они случайным образом могут написать "Войну и Мир". Но появление социальных сетей полностью опровергло это предположение.
LavaLava
06.11.2024 08:14Повторюсь про маленький философский ньюанс:
Чтобы проверить, напечатала ли обезьяна Шекспира, нужно иметь оригинал.
Без оригинала , проводя мысленный эксперимент с бесконечно быстрой обезьяной, мы выясним, что не можем подтвердить его успешность за любое отведенное время, включая бесконечность.
Иными словами обезьяна достоверно сможет напечатать Шекспира только при условии, что до обезьяны Шекспира напечатал Шекспир.
Стало быть само по себе из хаоса появиться может не все что угодно, а то, что оно уже было до этого.
Zenitchik
06.11.2024 08:14мы выясним, что не можем подтвердить его успешность за любое отведенное время, включая бесконечность.
Это очень легко обойти. Мы не будем искать в результатах какой-то конкретный текст. Критерием будет исчерпание всех возможных текстов заданной длины. Причём, длину мы тоже будем не задавать априорно, а только констатировать, тексты какой длины N исчерпаны полностью за K попыток.
Таким образом, мы можем доказать, что для любого заданного текста найдётся такое K, при котором он будет сгенерен.
Neusser
06.11.2024 08:14Стало быть само по себе из хаоса появиться может не все что угодно, а то, что оно уже было до этого.
На основании чего такой вывод? Он никак не следует из предыдущего текста.
Zenitchik
06.11.2024 08:14Разумеется, легко опровергнуть теорему, если добавить в неё дополнительные условия.
mtivkov
06.11.2024 08:14Популяция обезьян не может оставаться постоянной вплоть до тепловой смерти Вселенной. Постоянная популяция на Земле - хорошее условие, но тогда у них срок всего 1 млрд лет до того, как Солнце превратится в красного гиганта и сожжет Землю. Либо допускаем расселение обезьян по галактике и даже между галактиками, с ростом их численности.
KEugene
06.11.2024 08:14Мне кажется, здесь кроется некое логическо-техническое недоразумение. По сути, тут ведется подсчет вероятности возникновения одной, исключительно везучей и трудолюбивой обезъяны. То есть, если вдруг одна обезьяна напечатает первый том сочинений, а другая второй том, то мы будем, таки, иметь два тома. Но это событие не будет засчитано. Тут надо оценивать командную работу.
Думаю, если взять от каждой "параллельной" обезьяны поток символов, отфильтровать значащие слова и результат "слить" в общий последовательный поток, то значения расчета будут уже другие.
BOM
06.11.2024 08:14Все математические модели поведения обезьян и вероятности напечатать то или иное произведение упираются в одно большое допущение - что каждая обезьяна приравнивается к случайному генератору букв, при котором вероятность появления букв равномерно распределена, в том время как поведение обезьяны сложно назвать полностью случайным, если только это не сферическая обезьяна в вакууме с генератором случайных чисел вместо рук. Результатам подсчета таких моделей я доверяю настолько же, насколько модели расчета летучести квадратных котов во время урагана.
Zenitchik
06.11.2024 08:14Всё ровно наоборот. В таких математических моделях идеальный генератор случайных букв условно назван "обезьяной". Реальная обезьяна здесь совершенно ни при чём.
Точно так же, как в "теореме о причёсывании ежа" нет ничего про ежа.
aanabar
06.11.2024 08:14А где опровержение теоремы-то? Чуваки доказали, а автор восторженно перепостил тривиальное утверждение, что ожидаемое время печати Щекспира на много порядков превышает время жизни Вселенной. Это и в школе можно посчитать.
Теорема говорит, что за бесконечное время вероятность будет 1. Ключевое слово - бесконечное, а не 10^хулиард.
.
demkoalex
06.11.2024 08:14Мне видится, что в подобных задачах упускается главное: чтобы обезьяны могли начать что-то печатать, необходимо наличие языковой конвенции и печатной машинки с именованными клавишами. А это уже возможно только благодаря целенаправленной работе разумного агента.
zagoryanetz
Могу быть неправ, но если без долгих раздумий надо оценить вероятность того, что обезьяна наберет какой то текст можно пойти следующим путем.
Вероятность цепочки событий равна произведению вероятностей этих самых событий.
Вероятность того, что обезьяна случайно наберет слово "хабр" (давайте без учета регистра) будет такой:
Верятность Х(1/33) * Вероятность А(1/33) * Вероятность Б(1/33) * Вероятность Р(1/33) = (1/33)^4 = 1 / 33^4 = 0,000000843. Довольно маленькая вероятность.
Собственно если заменить эту 4 на число букв в сонете Шекспира, мы получим вероятность получить сонет Шекспира. И это будет очень маленькая вероятность.
NikkiG
Да, тоже удивился что кто то на полном серьёзе там что то считает и еще и статьи пишет
aamonster
Вот да. Чтобы было хоть сколько-то интересно – нужна обезьяна более сложной модели. Например, модель 0 порядка – вероятности ввода букв различаются и соответствуют частотам букв в английском языке. Модель 1 порядка – вероятности зависят от одной предыдущей буквы, 2 порядка – от двух и так далее, пока не придём к ChatGPT :-)
Ну и в формулу вероятности будет уже входить не длина текста, а его энтропия (с учётом модели). Простая оценка – архивируем текст и считаем по размеру архива [(1/256)**размер].