/Sandbox 23.12.2024/
21.10.2024 на сайте Academia.edu опубликована статья «A new inherent approach to solving the Collatz 3n+1 problem and its analogues» [1]. Вторая ссылка для тех, кому проще читать по-русски «Новый внутренне присущий подход к решению проблемы Коллатца 3n+1 и ее аналогов» [2].
Английская версия исходно предназначалась для платформы препринтов arXiv, но там предложили сначала опубликоваться в реферируемом математическом журнале. Попытки зайти на другие платформы HAL, Qeios и ResearchGate разбились о требование наличия аффилиации, которой у независимого исследователя нет.
Процесс отнял почти два месяца — больше, чем само исследование от идеи до текста. В итоге статья оказалась на свободной от «фейсконтроля» площадке Academia. Думаю, прочитать ее будет полезно всем интересующимся гипотезой Коллатца. Эксклюзивно для Хабра этот короткий текст, резюмирующий содержание и смысл публикации.
Состояние дел
Гипотеза Коллатца (проблема 3n+1) была высказана впервые более 80 лет назад. Формулируется она просто: берем любое натуральное число, если оно четное, делим на 2 пока делится, а если нечетное, умножаем на 3 и прибавляем 1, над полученным числом повторяем те же действия. Какое бы начальное число мы ни взяли, в итоге всегда получается 1. Гипотезу не удавалось ни доказать, ни опровергнуть, несмотря на огромное число работ и использование самых разнообразных подходов.
При этом представления об исследуемом объекте «3n+1» и его аналогах «an±b» обычно ограничивались суждением, что данная числовая последовательность либо сходится (тогда гипотеза верна), либо расходится или зацикливается (тогда гипотеза неверна). Более глубокое понимание не предлагалось. Все основные более-менее надежно установленные факты (о сходимости 3n+1, о существовании нетривиальных циклов) были получены эмпирически, расчетным путем.
Затянувшееся отсутствие решения простой на вид задачи от профессионального математического сообщества привело к популярности гипотезы и массе любительских «доказательств». Такое состояние крайне дискомфортно для всех, не говоря уже о гигантском количестве потраченных ресурсов всех видов.
Что изменилось
В статье предложен новый подход, состоящий в наложении рекурсивного алгоритма Коллатца на таблицу разложения всех натуральных чисел по степеням двойки. Удивительно, что математики прошли мимо настолько очевидной идеи. Проблема сразу упростилась, так как эта конструкция гарантирует сходимость алгоритма при условии односвязности сети всех чисел с единственным корнем.
Но данное условие может быть нарушено по ряду причин: отсутствие корня, лишние корни, циклы, распад сети. В статье описаны методы диагностики этих нарушений. После чего кандидатами на сходимость по Коллатцу осталась только часть алгоритмов. Кандидатами, потому что последняя причина (распад сети) — не такая очевидная. В простейшем случае 1n+1 односвязность доказывается легко, в случае же 3n+1 и далее — это действительно сложно.
Однако, и здесь появился просвет. Стало понятно, что окончательное доказательство должно быть по рекурренции с завершением либо сторонним по отношению к алгоритму Коллатца. От его мучительных поисков автора избавило обнаружение статьи, где как раз такого рода (верное, по моей оценке) доказательство представил независимый исследователь Leszek Mazurek в мае 2021 года [3].
Интересующихся подробностями отсылаю к своей статье. Всего 15 страниц намеренно понятно для всех написанного текста с минимумом формул, нарушая традицию не оставлять никаких следов, по которым читатель мог бы догадаться, как был получен математический результат.
В заключение само-цитата: «Подводя итог: с гипотезой Коллатца, если не всё, то многое уже достаточно понятно. Полагаю, пришло время переосмыслить как саму эту нерешенную проблему, так и длинную запутанную историю попыток ее решения.»
[1] https://www.academia.edu/124810891
[2] https://www.academia.edu/126375432
[3] https://www.researchgate.net/publication/351347153
/Update 25.12.2024/
Предупреждение: это не пиар, а вынужденная мера. Решил дать частичный «инсайд» (но «инсайт» тоже бы подошло) из своей статьи. По просьбе юзера, сомневающегося, выпускать ли мой материал (выше) из Песочницы.
На Хабре можно найти несколько публикаций, посвященных циклам у алгоритмов подобных 3n+1. Пример — статья Tzimie «Замахнемся на гипотезу Коллатца», иллюстрированная красивыми фракталами.
В научной статье «Новый внутренне присущий подход к решению проблемы Коллатца 3n+1 и ее аналогов» [1, 2] содержится исчерпывающее объяснение причин возникновения циклов, каких видов они бывают, и почему они редки. У Tzimie циклы — это нечто вычислимое, но непонятное. На самом деле, они — всего лишь проявление целочисленных решений простых систем линейных уравнений (для быстрого подтверждения см. Дополнение 30.09.2024 в указанной статье).
Так что, ничего «мистического» в циклах Коллатца нет. Надеюсь, пролил свет (истины) на вопрос, интриговавший многих. И это не всё, в полной версии есть еще немало интересного (ссылки даны). По моему не слишком субъективному мнению, получилась статья mustread, как для профессионалов, так и любителей гипотезы Коллатца.
Комментарии (20)
eugenk
27.12.2024 06:42Прошу прощения, не могли бы Вы выложить русский pdf в какое-то более приемлемое место ??? Сайт жутко глючит и не даёт скачать файл.
ky0
27.12.2024 06:42Занесите на https://www.mersenneforum.org, там серьёзное комьюнити - они либо быстренько
напихаютукажут на ошибки, либо аргументированно выкажут респект.
Refridgerator
27.12.2024 06:42подход, состоящий в наложении рекурсивного алгоритма Коллатца на таблицу разложения всех натуральных чисел по степеням двойки. Удивительно, что математики прошли мимо настолько очевидной идеи
Подобная формулировка сражу же выявляет любительский подход (уж извините). Сама по себе гипотеза Коллатца не имеет никакой ценности - она просто демонстрирует отсутствие мат. аппарата для решения подобного класса задач. А значит, никакими простыми, но "хитрыми" решениями здесь не обойтись. Нужно придумать нечто принципиально новое.
mbok Автор
27.12.2024 06:42То, что "математики прошли мимо настолько очевидной идеи" говорит совсем о другом. А именно, о некачественной проработке данной проблемы профессиональными математиками. Что касается "демонстрирует отсутствие мат. аппарата", сама гипотеза ничего не демонстрирует, это некоторые люди сомневаются, и не более того.
Seraphimt
27.12.2024 06:42Некачественной проработке? Если что, этой задачей занимался в числе прочих и Теренс Тао, гениальный математик, возможно самый сильный математик из живущий на данный момент. Пользуясь очень сложными и тонкими методами ему удалось доказать гипотезу Коллаца для почти всех(в строгом смысле) n. И дальше, по его словам, нужно что-то качественно новое.
mbok Автор
27.12.2024 06:42Речь не о Теренсе Тао. Проблеме 80 лет, а в коллективном арсенале подходов очевидный пробел. Чем другим это объяснить, как некачественной проработкой.
Seraphimt
27.12.2024 06:42Английская версия исходно предназначалась для платформы препринтов arXiv, но там предложили сначала опубликоваться в реферируемом математическом журнале
Если что, архив и предназначен для оперативного выкладывания статей, ещё ДО публикаций в рецензируемых журналах, вы же сами пишите - платформа препринтов. После этого в принципе можно не читать.
Такое состояние крайне дискомфортно для всех,
Для кого для всех? Таких задач, с простым условием с супер сложным доказательством вагон и тележка.
В научной статье
Научной статья становится после публикации в рецензируемом журнале
Удивительно, что математики прошли мимо настолько очевидной идеи.
Даю 99,999999%, что не прошли. Пробежался бегло по самой статье, как минимум подход "идти от 1 и дойти до каждого числа" далеко не нов.
Вот есть ферматики, а сейчас набирают популярность э-э-э коллацевики?
mbok Автор
27.12.2024 06:42Дайте пруф своих 99,999999%. С той же идеей "наложение рекурсивного алгоритма Коллатца на таблицу разложения всех натуральных чисел по степеням двойки". Не дадите! И никто не даст, потому что его нет. Идея оригинальная, и некоторые другие идеи в статье тоже.
wataru
27.12.2024 06:42
domix32
27.12.2024 06:42Вышеупомянутый Теренс Тао и ко собственно и использовали идею, чтобы доказать статистически, что большая часть чисел (но не все!) сходится к единственному существующему циклу. В вашей же статье там едва едва собрано хоть сколько-нибудь нормальных утверждений, которые к тому же и не доказаны - где леммы, где теоремы, где хоть какие-то вводные? Например
— the one-to-one of OE, only unique new odd numbers
will be obtained from 
утверждает об уникальности, но не доказывает, ни уникальность, ни что они покрывают ВСЕ нечётные.
Доказательства взаимосоотвествия между 3n+1 и 2n-1 нет.
Доказательства связи с гипотезой Каталана в дополнении 1 нет.
Доказательства единственности решения детерминант-дискриминанта-делителя нет. Не знаю почему вы вообще его определителем зовёте - матрицы-то у вас нет.
Доказательства связи определителя с количеством тривиальных циклов нет.
Наблюдения за ходом коня/шашечками не является доказательством. Формализованного способа обхода по всем чисел не предоставлено, также как и индуктивного шага. Даже количество рассмотренных чисел слишком маленькое - возьми квадрат какого-нибудь числа побольше и пойди докажи, что оно действительно в таблицу попадает. Например,
. Цветовая схема ко всему не поясняется. Где гарантия, что какой-нибудь ундецлион не пропал по дороге? Отдельное фе за кривой английский.
c0r3dump
27.12.2024 06:42Согласен со всем, кроме:
Научной статья становится после публикации в рецензируемом журнале
Статья Перельмана была опубликована просто онлайн, это не делает её менее научной. Журналы хотят как раз чтобы так и думали, якобы они и есть мерило того, что научно, а что - нет. Научной статья становится сразу же, если в ней используется научный метод. Даже если она будет лежать в столе до смерти автора, а потом её найдут потомки и прочтут - это не будет делать её менее научной. Тем более, что опубликовать статью в рецензиоуемом журнале доступно далеко не каждому. Работы Вольфрама и его команды публикуются тоже мимо журналов, но они от этого не становятся менее научными. Наука - это определённый метод познания, а не набор конкретных журналов и их редколлегий.
Seraphimt
27.12.2024 06:42На самом деле,это сложный вопрос. А как мы узнаем, что в статье действительно научный метод и всё хорошо, если не проверим с помощью рецензии? Вообще, да, я слишком категорично сказал, нужно было написать что-то вроде "пройдёт проверку в научном сообществе", посыл был именно в том, что нельзя считать что-то наукой, просто потому что автор так заявил.
Ваш пример с рукописью в столе не совсем верен, кстати, во времена потомков статья предка может уже не считаться научной, как не считаем сейчас научными методы составления гороскопов, например. А во времена Кеплера - вполне уважаемая наука.
VaVM
27.12.2024 06:42Статьи на Arxiv.org не рецензируются. Для публикации требуется подтвердить свою принадлежность научному сообществу либо своей корпоративной электронной почтой международно признанной научной организации (в том числе любого известного вуза или НИИ), либо рекомендацией двух специалистов в научной области публикации, имеющих в этой области препринты на Arxiv.org.
mbok Автор
27.12.2024 06:42Примерно так. На реальной практике: независимому исследователю без аффилиации для публикации препринта на arXiv необходимо пройти два фильтра: 1) получить "endorsment" от профессионала в данной области математики на свой препринт, 2) получить согласие модераторов arXiv на "submit" - окончательную публикацию. В моем случае модераторы не решились нажать последнюю кнопку.
wataru
27.12.2024 06:42И не зря везде требуют какую-то аффилиацию. Потому что шансы того, что кто-то "с улицы" вдруг окажется таким гением, что заметит что-то, что все научное сообщество никак не замечает - ничтожны. Если уж кто-то и является таким гением, то получить аффилиацию для них не составляет никакого труда.
Ссылка [2] на русскую версию не работает.
Ваша идея "развернуть" процесс не нова. Даже тут на хабре уже был автор, пришедший посрамить глупых математиков, которые такую очевидную идею не заметили. А в серьезных статьях с этой идеей игрались пол века назад, если не раньше. В вашей статье та же проблема, что и в той. И вы ее даже заметили, но замели под ковер.
Вы нигде так и не доказали, что из строки 1 получаются все строки. Возможно, есть какой-то цикл из очень больших чисел, кроме цикла 1-2-4-1. А может и нет, в этом и состоит задача - доказать это. Без этого ваша "идея" не стоит ничего. Она весьма простая и есть лишь тривиальная переформулировка задачи.
Как контрпример к вашей статье, рассмотрите процес 5n+1 вместо 3n+1. Там есть такой лишний цикл из весьма небольших, кстати, чисел. Там точно так же можно нарисовать таблицу и там точно такие же "желтые" ключи будут с регулярным интервалом попадаться. Вот вам надо будет как-то показать, чем 3 принципиально отличается от 5.
diakin
Не читал, но одобряю.
GospodinKolhoznik
А в самой статье есть строчка: критерий сходимости указанного алгоритма строится с помощью гипсокартона и алюминиевого профиля, т.к. до этого места статью всё равно читать никто не будет.
sshikov
столько всего построено, вполне можно считать, что метод эффективен.
AgentFire
А доказать, что эффективен для любого подходящего случая?