Как то раз, школьница племянница спросила меня: а как собираются магические квадраты в математике?
Я конечно вспомнил и показал как собирается обычный квадрат Сатурна 3 на 3.

Но потом задал себе вопрос, а как собрать 4 на 4? И тут меня понесло... Нашел в интернете множество вариантов, формул.

Затем посмотрел на квадрат с другой точки зрения, в силу своей фантазии:

Мы, люди разных национальностей и вероисповеданий по разному воспринимаем порядок вещей и явлений.
К примеру западной формы мышления - размещаем информацию слева направо, сверху вниз.
А в арабском мире (я как то изучал арабскую письменность в детстве) пишут справа налево, но при этом, также сверху вниз.
Так вот, если в таблице 3 на 3 заполнять по порядку 1,2,3... 9 и сравнить с порядком расположения чисел в магическом квадрате возникает ощущение, что заполняемость магического порядка, это некий иной порядок размещения чисел, скажем условно "инопланетянский".

Тогда я решил научится мыслить образно как "инопланетяне" и научится легко заполнять магические квадраты на пустых ячейках. Тем самым научившись логике и порядку - применять эти же знания в повседневной жизни и при разработках скриптов
Вариантов 4 на 4 квадратов было много, и один из самых известных это квадрат Юпитера, размещенный в гравюре Альбрехта Дюрера "Меланхолия".

Но она мне показалась не совсем идеальной, хотя по сути там присутствует логика вращения чисел на 180 градусов. Но в магическом квадрате 3 на 3, при отрисовки трека последовательностей, явно вырисовывается звезда Давида ( при трекинге 1,2,3 и 9,8,7), а в 4 на 4 из квадрата "Меланхолии"- скорее ее нет, она искажена.

А мне нужен был именно принцип-порядок чисел, по которому заполняется матрица 4 на 4.
И бинго, я нашел этот самый квадрат. Но не знал с какого края начать заполнять.

В поисках ответа, начал перебирать все древние книги, архитектурные строения, и обратил внимание что в принципе, во всем есть некий смысл, тот же "инопланетный" порядок.

В то время я разрабатывал сайт, где возник вопрос о выборе логотипа сайта. Еще до этого, мною было замечено, что многие известные логотипы по сути повторяют силуэты и образы из древней архитектуры и культуры. В то время разрабатывал сайт для СПА салона Тайского массажа, где спросили мое мнение о том, что я думаю о том, чтобы в логотипе использовать образ тайской короны.

Каково было мое удивление, когда я фактически увидел фрактал Мандельброта в образе тайской короны. Будто два дракона держат бесконечность в развернутом виде. По сути императоры, цари в руках держали скипетр и державу, которая также по сути интуитивно близка к фракталу Мандельброту. Для них это по сути являлось символом власти. Но откуда они знали как выглядит этот фрактал?

Тогда я начал везде искать образ фрактала Мандельброта в древних архитектурных и культурных предметах. И наткнулся я на тибетскую мандалу. Взглянув на нее, распознав фрактал Мандельброта, я увидел подсказку на свой вопрос о порядке магического квадрата 4 на 4. Данная мандала - это алгоритм перехода из обычного порядка в порядок магического квадрата.

Итак, обратите внимание на этот GIF рисунок тибетской мандалы из 10 кадров, давайте разберем мою интерпретацию:

В первом кадре изображена сама мандала.
Во втором кадре было обращено внимание на то, что здесь затронута теория чисел и магический математический квадрат 4 на 4, то есть согласно рисунку сидят вокруг 16 монахов.
В третьем кадре был отражен обычный порядок чисел 4 на 4 от 1 до 16 — расположенных слева направо, сверху вниз — то есть обычный порядок расположения чисел.
В четвертом кадре было указано что середина в мандале — это символ, знак постоянства, то есть ячейки 6,7,10,11 — при перемещении чисел по ячейкам — остаются на месте.
В пятом кадре также было отмечено, что монах сидит в позе лотоса, схожий по силуэту на фрактала Мандельброта.
В шестом кадре как раз идет отсылка на формулу вышеописанного фрактала.
В седьмом кадре идет попытка расшифровки инструкции схемы перемещения чисел — в результате которого обычный порядок чисел переходит в порядок чисел при магическом квадрате. (То что я называл образно «инопланетным» порядком)
В восьмом кадре показываются все перемещения чисел с обычного порядка к порядку магического квадрата: крайние угловые числа идут по диагонали, средние крайние — меняются местами, а середина остается постоянной. Данный принцип схож с переносом 3D геометрической фигуры тора в 2D плоскость и наоборот.
В девятом кадре — результат после перемещения чисел.
И в десятом кадре — тот же результат — без мандалы.

Таким образом,методом эмпирического наблюдения и абдукции у меня возникла гипотеза, что мотивацией создания древней мандалы - вероятно является попытка передать информацию древней цивилизации о пониманиях теории чисел и магических квадратах, а также о существовании разных порядках размещения чисел и особых их свойствах при переходе из одного состояния - в другое.

Далее, я попытался собрать магический квадрат 6 на 6, при этом, чтобы внутри нее был другой магический квадрат 4 на 4 исходя из данной инструкции:

Недолго думая, составил универсальную формулу для нахождения диапазона чисел любого вложенного слоя.

Допустим у нас магический квадрат, где - это размерность внешнего квадрата (например, 6 для магического квадрата 6 на 6)

— магическая константа нормального магического квадрата зависит только от порядка квадрата и определяется формулой:

к примеру:

— размерность искомого внутреннего квадрата (например, для ).

— стартовое число (начало диапазона) внутреннего квадрата.

— конечное число (конец диапазона) внутреннего квадрата.

— общее количество чисел в квадрате

Здесь действует принцип симметрии:
Диапазон чисел в магическом квадрате — это

Внутренний квадрат находится строго в центре этого диапазона чисел.
То есть, мы как бы обрезаем "кожуру" (маленькие числа в начале и большие числа в конце), оставляя сердцевину. Количество чисел, которые мы "срезаем" с обоих концов, должно быть одинаковым, чтобы сохранить баланс.

Разница в количестве ячеек: .
Значит, мы должны пропустить чисел с начала.

Начало диапазона ():

Конец диапазона ():

Пример 1. Квадрат 6x6 (Внутренний 4x4):

То есть, внутренний квадрат 4 на 4 - это 16 чисел, начиная от 11 до 26

Заполняем в обычном порядке эти числа:

Перемещаем числа, согласно инструкции тибетской мандалы, при этом середина - остаются на месте (числа 16,17,20,21), по краям размещаем крайние числа, так же как они были бы по обычному порядку 1,6,31,36:

В итоге получаем такой магический квадрат матрешку 6 на 6, внутри которой есть квадрат 4 на 4 (выделены жирными)

Обратите внимание, что если рассматривать суммы кластеров по 4 ячейки ( к примеру 1+8+10+26), то получится полумагический квадрат:

Далее, используя эти формулы, я составил по тому же принципу магический квадрат 8 на 8:

И я получил «Идеально Вложенный Магический Кристалл»

Это редчайшая математическая структура.
Центр (2×2): Общая сумма равна сумме краев. (Сумма краев 130).
Ядро (4×4): Идеально сбалансировано (Сумма краев 390, сумма рядов 130).
Слой (6×6): Идеально сбалансирован (Сумма краев 650, сумма рядов 195).
Оболочка (8×8): Идеально сбалансирована (Сумма краев 910, сумма рядов 260).
Получаем идеальную структуру в соотношении(1:3:5:7)

Более того, сумма кластеров является полу магическим квадратом:

Любопытно, что Chat-GPT, GROK, Gemini и другие AI при составлении подобных магических квадратов - часто совершают ошибки, например повторяются числа и т.д. Но я думаю, это временное явление, думаю нейросети тоже смогут когда-нибудь освоить метод абдукции.

Таким образом, данный пример составления магических квадратов можно использовать для оптимизации вычислений, при соблюдении инструкций предполагается меньше затрат электроэнергии.

Выводы, на основе моих исследований:

Мандалы, как и иные культурно-исторические образы предметы - это практически доказательства того, что в древности были цивилизации, которые знали о числах больше нас. И сохранили знания без учета того, какие символы мы будем использовать для обозначений чисел. Это как в вероятном случае ядерного апокалипсиса - сохранить знания математики для выживших потомков в образах, которые возможно распознать лишь эмпирическим путем. Так поступают безусловно из любви к потомкам, беспокоясь о том, чтоб они не забыли то, что они когда то знали. Эти знания могут помочь при проектировании программных обеспечений, идеальных кластеров как микроэлектронике, так и в тайм менеджменте каждого.