17.07.2026 17:09
ambrosia 0 12000 Источник

Глава 1. Инструкция по чтению статьи

Параграф 1. Путеводитель по статье

О чем эта статья? Основная цель статьи привести подробный маршрут доказательства теоремы Жордана о приведении матрицы к Жордановой нормальной форме. Подход, который используется основан на изучении корневых подпространств и нильпотентного оператора.

О содержании. Содержание нацелено не столько доказать саму теорему, сколько препарировать, выбранный маршрут. Я попытался раскрыть причины откуда возникают корневые подпространства и нильпотентные операторы. В каком-то смысле статья — попытка реконструировать, рассуждения, которые могли бы привести к ЖНФ.

Как читать эту статью?

  1. Рекомендуется посмотреть используемые мной обозначения, описанные в следующем параграфе.

  2. Параграф 3 этой главы носит исключительно обзорный характер. К нему стоит обращаться по ходу чтения статьи.

  3. Пререквизиты в параграфе 3 — это просто объявление тем, которые стоит хотя бы мало-мальски понимать.

  4. Статья читается по ходу глав.

  5. Если ваша цель разобраться в математике этой темы, то для вас к каждой теореме прикреплено доказательство под спойлером.

  6. Для первого чтения рекомендую не останавливаться на доказательствах теорема, а читать комментарии к ним.

  7. Если вам интересно идейно понять и математика не очень интересует, то рекомендую не останавливаться на доказательствах.

Параграф 2. Обозначения

  • \mathbb{V},\ \mathbb{K} — линейные пространства над полем \mathbb{F}.

  • Латинские буквы вида \mathcal A\ \mathcal B\ \mathcal E и т.д. обозначают линейные операторы, если не объявлено обратного.

  • Латинские буквы вида \mathbf A\ \mathbf B\ \mathbf E и т.д. обозначают матрицы линейных операторов соответствующей латинской буквы.

  • Латинские буквы вида x,\ y,\ v и т.д. обозначают векторы линейного пространства.

  • Греческие буквы вида \lambda,\ \mu, \ \alpha и т.д. обозначают скаляры из поля (если не обозначают какой-то другой объект.)

  • \mathcal E,\ \mathbf{E} — тождественный линейный оператор, единичная матрица соответствующего порядка (ее порядок обычно ясен из контекста, если не объявлено обратного).

  • Пусть \mathcal A — линейный оператор пространства \mathbb{V}, через \mathrm{r}(\mathcal A) обозначим \mathrm{dim}( \mathrm{im}\ \mathcal A) — ранг линейного оператора, через \mathrm{d}(\mathcal A) обозначим \mathrm{dim}(\ker \mathcal A) — дефект линейного оператора.

  • \mathcal A|_{U} или \mathcal A|U — ограничение отображения \mathcal A на подмножество U области определения, то есть если \mathcal A: X\to Y и U\subset X, то \mathcal A|U:U\to Y такое, что \forall\ x\in U:\mathcal A|_U(x)\overset{\text{def}}{=}\mathcal A(x).

  • \overset{\text{not}}{=} — обозначение правой части через левую. \mathrm{not} не значит отрицание!!! Это от слова notation.

  • \overset{\text{def}}{=} — равенство по определению.

  • Скобки вида \langle \dots\rangle означают линейную оболочку.

  • \dashv — знак линейной выразимости системы векторов слева через систему справа.

  • \sim – знак между системами векторов, означает их эквивалентность.

  • Знаки \leqslant\ < между линейными пространствами означают, что пространство слева есть подпространство пространства справа, причем первый означает нестрого вложение, а второй строгое вложение в смысле множеств.

  • Если в записи матрицы нет каких-либо символов, значит в этих местах нули.

  • ЖСВ, ЖБ, ЖТ — Жорданова система векторов, Жорданов базис, Жорданова таблица.

  • (Опр-N.M.К), (Т-N.M.К) — определение, теорема в главе N в параграфе M под номером К соответственно.

  • хар. многочлен — характеристический многочлен.

  • ЛК — линейная комбинация.

  • Пусть \lambda - собственное значение. Подпространство V_\lambda \overset{not}{=} \ker(\mathcal A - \lambda \mathcal E) называется собственным подпространством.

  • \mathcal L(\mathbb{V}) — алгебра линейных операторов пространства \mathbb{V}.

  • \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}) — алгебра матриц порядка n над полем \mathbb{F}.

  • В статье периодически возникают и пропадают знаки перед многочленами, например, перед (\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}}. Вообще говоря знак в рамках данной статьи не принципиален. Так что, можно считать, что я говорю об одном и том же многочлене с точностью до ассоциированности.

  • В статье все линейные пространства полагаются конечномерными.

Параграф 3. Внешние сведения

Основные пререквизиты для чтения статьи: метод Гаусса, линейное пространство, линейная оболочка, базис и размерность, сумма и прямая сумма подпространств, линейные отображения/операторы, матрица линейного отображения/оператора, собственный вектор и значения, характеристический многочлен инвариантное подпространство, оператор простой структуры.

Следующий список теорем приводится без доказательства. В течение статьи я буду на них ссылаться.

Теорема (1.3.1) Характеристический многочлен оператора ограничения на инвариантное подпространство делит характеристический многочлен всего оператора.

Теорема (1.3.2) Пусть \mathcal A:\mathbb{V}\to \mathbb{V} — линейный оператор и \mathbb{V} есть \bigoplus_{i=1}^n U_{i}, где U_{i} — \mathcal A-инвариантное, тогда \chi_{\mathcal A} и \mathbf{A} можно представить в виде:

\begin{align} & \chi_{\mathcal A}(\lambda)=\prod_{i=1}^n\chi_{\mathcal A|U_{i}} (\lambda) \\ & \mathcal A\longleftrightarrow \begin{pmatrix} A_{1} & .& \dots & .\\ . & A_{2} &... & .\\ \vdots& \vdots& \ddots & \vdots \\ . & . & \dots & A_{m} \end{pmatrix}\end{align}

Теорема (1.3.3) Пусть \mathcal A — линейный оператор пространства (\mathbb{V}, \mathbb{F}). Верны следующие утверждения:

  1. \forall\ n\in \mathbb{N}: \mathcal A(\ker \mathcal A^n) \subseteq \ker \mathcal A^n

  2. \forall\ n\in \mathbb{N}: \mathcal A(\mathrm{im}\ \mathcal A^n) \subseteq \mathrm{im}\ \mathcal A^n

  3. U\leqslant \mathbb{V}.\ \mathcal A(U)\subseteq U \iff (\mathcal A-\mu \mathcal E)(U)\subseteq U\ \ (\forall\ \mu\in \mathbb{F})

Теорема (1.3.4) (о собственном значении). Пусть \mathcal A:\mathbb V \to\mathbb V — линейный оператор. Скаляр \lambda является собственным значением оператора \mathcal A тогда и только тогда, когда \chi_{\mathcal A}(\lambda) = 0.

Теорема (1.3.5) Степень характеристического многочлена оператора совпадает с размерностью пространства, в котором он действует.

Теорема (1.3.6) (О сумме ранга и дефекта) Пусть \mathcal A — линейный оператор пространства \mathbb{V}. \mathrm{r}(\mathcal A) + \mathrm{d}(\mathcal A)=\mathrm{dim}\ \mathbb{V}.

Теорема (1.3.7) Пусть (\mathbb{V}, \mathbb{F}) — линейное пространство, V_{1},\ V_{2}\leqslant \mathbb{V} и их сумма прямая. \mathrm{dim} (V_{1}\oplus V_{2})=\mathrm{dim}\ V_{1} + \mathrm{dim}\ V_{2}.

Теорема (1.3.8) Пусть \mathbb{V} — линейное пространство над полем \mathbb{F}, \mathrm{dim}\ \mathbb{V}=n, тогда \mathcal L(\mathbb{V})\cong \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}).

Теорема (1.3.9) Пусть \lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{k} — попарно различные собственные значения линейного оператора \mathcal A и x_{1}, x_{2}, \dots,x_{k} соответственно их собственные векторы, тогда данная система векторов линейно независима.

Глава 2. Корневые подпространства

Параграф 1. Наводящие соображения

Среди алгебры \mathcal L(\mathbb{V}) можно откопать редкий алмаз — оператор простой структуры, его матрица является диагональной в некотором базисе:

\begin{pmatrix}\lambda_{1}&& \\ &\ddots& \\ & & \lambda_{n}\end{pmatrix}

Относительно пространства это означает, что можно найти “точку зрения” — базис, что матрица оператора будет диагональной.

Ясно, что не у каждого оператора матрица диагонализируема, и тем не менее возникает вопрос: а можно ли найти такую точку зрения, что воздействие оператора на пространство проглядывается явным образом, то есть чтобы его матрица выглядела максимально просто?

Зачем это нужно? Исторически задача возникла при решении системы линейных дифференциальных уравнений. Ее решение упрощалось, после приведения к ЖНФ.

Хорошим тоном в исследовании объектов в математике является нахождение их инвариантных свойств, чтобы найти закономерности в более общих ситуациях. В случае линейных пространств и операторов таковыми являются собственные векторы и инвариантные подпространства. Попробуем воспользоваться их свойствами, чтобы выявить общие закономерности среди операторов.

Параграф 2. Анализ характеристического многочлена

Определение (2.2.1) Пусть (\mathbb V, \mathbb F) – линейное пространство, \mathcal A:\mathbb V \to \mathbb V – линейный оператор. Спектром линейного оператора \mathcal A называется множество всех попарно различных корней его характеристического многочлена, в том числе и корни из расширения \mathbb F, обозначается \mathrm{Spec}\ \mathcal A.

  • Под словом “расширение” имеется в виду: если \mathbb{F} не алгебраически замкнуто, то его можно вложить в алгебраически замкнутое, тогда корни хар. многочлен будут из алгебраически замкнутого поля.

Пусть (\mathbb V, \mathbb F) – линейное пространство, \mathcal A:\mathbb V \to \mathbb V — линейный оператор c важным ограничением \mathrm{Spec}\ \mathcal A\subseteq\mathbb F, взглянем на его хар. многочлен

(2.2.1)\quad\chi_{\mathcal A}(\lambda)=(-1)^n(\lambda - \lambda_{1})^{k_{1}}(\lambda - \lambda_{2})^{k_{2}}\dots(\lambda - \lambda_{m})^{k_{m}}

Многочлен степени \mathrm{dim}\mathbb V=n, k_{i} — алгебраическая кратность корня \lambda_{i} многочлена \chi_{\mathcal A}.

Одно из свойств инвариантных подпространств теорема (1.3.2) из нее логично предположить — (\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}} хар. многочлен каких-то инвариантных, поскольку пространства V_{\lambda_{i}}, как не трудно понять, \mathcal A-инвариантные и матрица оператора \mathcal A|V_{\lambda_{i}} является скалярной с \lambda_{i} на главной диагонали, а значит

\chi_{\mathcal A|V_{\lambda_{i}}}(\lambda)=\det \begin{pmatrix} \lambda_{i} - \lambda & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_{i} - \lambda & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_{i} - \lambda \end{pmatrix}= (-1)^k(\lambda-\lambda_{i})^k

Подозрительно похоже, на сомножитель из разложения (2.2.1), но только вот кратность там k_{i}, а тут k — геометрическая кратность собственного значения \lambda_{i}. Из (Т-1.3.3) разложение (2.2.1) можно представить, как (-1)^k(\lambda-\lambda_{i})^{k}\ p(\lambda), тогда k\leqslant k_{i}.

Если k=k_{i}, то \mathcal A просто растягивает \mathbb{V} по гиперплоскости V_{\lambda_{i}}. При этом нетрудно убедиться (для этого можно воспользоваться (Т-1.3.9)): если у всех собственных значений геометрические кратности совпадают с алгебраическими, то \mathbb{V}=V_{\lambda_{1}}\oplus\dots\oplus V_{\lambda_{n}}. Это означает, что \mathcal A — оператор простой структуры, то есть матрица его диагонализируема.

Если для какого-то i верно, что k<k_{i}, то диагонализация матрицы потерпит fatality, поскольку \bigoplus_{i=j}^mV_{\lambda_{j}}< \mathbb{V}, то есть собственные векторы не образуют базис \mathbb{V}.

Закономерно встает вопрос: существует ли расширение V_{\lambda_{i}}, которое инвариантное и хар. многочлен ограничения равен (\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}}? Выходит, что собственных векторов не хватает, чтобы описать возникающие кратности, значит нужно найти какие-то еще…

У инвариантных подпространств матрица оператора в базисе инвариантного дополненного до \mathbb{V} является полураспавшейся

\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \cdot \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{pmatrix}

Значит чтобы расширить на инвариантное, при этом увеличить степень хар. многочлена хотя бы на единицу, в самом простом виде, новый базисный вектор должен после действия \mathcal A

  • Растянуться в \lambda_{i} раз.

  • Поскольку “собственных больше нет”, должен являться еще и ЛК базисных векторов V_{\lambda_{i}}.

  • Являться ЛК только базисных векторов V_{\lambda_{i}}, а остальные базисные должны отсутствовать в ЛК, чтобы сохранить инвариантность расширяемого подпространства. Эти условия нужны, чтобы в хар. многочлене, который является определителем матрицы, на диагонали возник \lambda_{i} и в столбце, в котором оно находится, под \lambda_{i} были нули, тогда вычислив определитель возникнет множитель (\lambda-\lambda_{i})^{k+1}. Вот такая идея.

Пусть k+q=k_{i},\ q>0. Возьмем базис e=(e_{1},\dots,e_{k}) пространства V_{\lambda_{i}}, e_{k+1} – новый базисный вектор, тогда с учетом описанного выше матрица \mathcal A должна принять вид

\mathcal A\longleftrightarrow\left(\begin{array}{llll|l} \lambda_{i} &&&\mu_{1}&* \\ &\cdot &&\cdot&\cdot \\ && \lambda_{i}& \mu_{k} & * \\ &&&\lambda_{i}&* \\ \hline &&&&*\end{array}\right)_{n\times n}

То есть нужно, чтобы e_{k+1} имел вид

\mathcal Ae_{k+1} = \lambda _{i} e_{k+1} + \sum_{j=1} ^k \mu _{j} e_{j}\iff(\mathcal A - \lambda_{i} \mathcal E ) e _{k+1} = \sum _{j=1} ^k \mu _{j} e_{j}\in V_{\lambda_{i}}

Значит (\mathcal A - \lambda {i} \mathcal E ) ^2 e {k +1} = 0. Таким образом нужно искать в \ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^2. Понятно, что V_{\lambda_{i}}\subseteq\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^2. Рука тянется взять e_{k+1}\in\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^2\setminus V_{\lambda_{i}}

Поскольку v\overset{\text{not}}{=}(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)e_{k+1}, значит \mathcal Ae_{k+1}=\lambda_{i}e_{k+1}+v и (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)v=0, тогда v\in V_{\lambda_{i}}, то есть он удовлетворяет нужному условию, при этом есть важное свойство \ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E) \subset\langle e_{1} , \dots, e_{k+1} \rangle \subseteq \ker (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^2.

Однако существует ли e_{k+1}? Возникает несколько вариантов:

  1. Если \ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E) \subset\ker (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^2, то он существует.

  2. Если \ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E) =\ker (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^2, либо можно найти s>2 такое, что будет строгое вложение, а значит вектор существует, либо \forall\ s>2 ядра соотносятся: \ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^s=\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E), а значит вектор нельзя найти, то есть расширение подобным способом полностью исчерпано.

Интуитивно кажется, что бесконечно векторов выдвинутой идеей набирать не получится, поскольку разность алгебраической кратности и геометрической конечна.

Предположим, что для достаточно большого q>0 можно взять много векторов, то есть для некоторого s>0 ядра соотносятся так

\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)\subset\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^2\subset\dots\subset\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^s=\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s+1}=\cdots

Тогда рассуждая индуктивно, можно уже построенное расширение выкидывать из ядра и из остатка брать векторы вида

e\mapsto(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)e\mapsto\cdots\mapsto(\mathcal A -\lambda_{i}\mathcal E)^{m-1}e\mapsto0

Охватывая все большее число ядер, и в конце концов упереться в барьер. Однако это утопический сценарий для такой последовательности. А как ведет себя последовательность для произвольного оператора? И даже если подобная последовательность существует, то будет ли хар. многочлен построенного расширения совпадать с (\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}}?

Параграф 3. Корневые подпространства

Займемся основательно последовательностями ядер и образов. Пусть \mathcal B_{i} \overset{\text{not}}{=} \mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E.

  • Башней ядер оператора \mathcal C:\mathbb{V}\to \mathbb{V} будем называть последовательность \{ \ker \mathcal C ^n\}, башней образов будем называть последовательность \{ \mathrm{im}\ \mathcal C^n \}. Понятно, что эти последовательности выстраиваются в с следующую цепочку:

\begin{align} & \ker \mathcal C \subseteq \ker \mathcal C ^{2} \subseteq \dots \subseteq \ker \mathcal C ^{n} \subseteq \dots \\ & \mathrm{im}\ \mathcal C \supseteq \mathrm{im}\ \mathcal C ^{2} \supseteq \dots \supseteq \mathrm{im}\ \mathcal C^{n}\supseteq\dots \end{align}

Исследуем два вопроса:

  1. Если с какого-то номера \mathrm{ker}\ \mathcal B_{i}^s = \ker \mathcal B_{i}^{s+1}, то будет ли \mathrm{ker} \ \mathcal B_{i}^{s + 1} = \ker \mathcal B_{i}^{s+2}, то есть будет ли пространство и дальше сплющиваться под действием \mathcal B_{i}?

  2. Если есть строгое вложение ядер, то произойдет ли стабилизация башни ядер на каком-то номере, или же для любого номера вложения будут строгими?

Ответим на первый вопрос. Возьмем произвольный x\in \ker \mathcal B_{i}^{s+2}. То что он лежит в ядре означает:

\begin{align} & \mathcal B_{i}^{s+2} x=0\implies \mathcal B_{i}^{s+1}(\mathcal B_{i} x)=0 \implies \mathcal B_{i}x\in\ker \mathcal B_{i}^{s+1}=\ker \mathcal B_{i}^s \\ &\implies \mathcal B_{i}^s(\mathcal B_{i}x)=0 \iff \mathcal B_{i}^{s+1}x=0\implies x\in\ker \mathcal B_{i}^{s+1}\end{align}

Из этого следует, что \ker \mathcal B_{i}^{s+2}\leqslant \ker \mathcal B_{i}^{s+1}, при этом понятно, что \ker \mathcal B_{i}^{s+1}\leqslant \ker \mathcal B_{i}^{s+2}, значит \ker \mathcal B_{i}^{s+1}=\ker \mathcal B_{i}^{s+2}. А далее рассуждая индуктивно, можно получить, что это верно для любого n\geqslant s+2. Таким образом, если два ядра совпали, то и следующие будут совпадать.

Ответим на второй вопрос. Рассмотрим башню ядер, строгих вложений:

\ker \mathcal B_{i} \subset \ker \mathcal B_{i}^{2} \subset \dots \subset \ker \mathcal B_{i} ^{s} \subset \dots

Будет ли она стабилизироваться? Предположим от противного, что нет, тогда раз вложения строгие, то \mathrm{d}(\mathcal B_{i}^s) < \mathrm{d}(\mathcal B_{i}^{s+1}) и при этом \ker \mathcal B_{i}^s\leqslant \mathbb V, в таком случае, начиная с некоторого номера \mathrm{d}(\mathcal B_{i}^n)\geqslant \mathrm{dim}\ \mathbb{V}, а значит подпространство будет иметь размерность больше, чем все пространство — кощунственное противоречие. Таким образом, обязан найтись номер, где происходит стабилизация.

Из ответов на первый и второй вопрос получаем, что башня из ядер степеней оператора \mathcal B_i будет иметь вид:

\ker \mathcal B_{i} \subset \ker \mathcal B_{i}^{2}\subset\dots\subset\ker \mathcal B_{i}^{s}=\ker \mathcal B_{i}^{s+1}=\dots

Для некоторого номераs. Из такого устройства автоматически следует, что башня из образов будет устроено схоже:

\mathrm{im}\ \mathcal B_{i} \supset \mathrm{im}\ \mathcal B_{i}^{2}\supset\dots\supset\mathrm{im}\ \mathcal B_{i}^{s}=\mathrm{im}\ \mathcal B_{i}^{s+1}=\dots

Поскольку, \mathrm{im}\ \mathcal B_{i}^s\geqslant \mathrm{im}\ \mathcal B_{i}^{s+1} и по теореме (1.3.6) о сумме ранга и дефекта будет размерности образов будут строго убывать, и по все той же теореме башня образов стабилизируются на номере s.

  • Под словом “стабилизация” понимается та часть последовательности ядер\образов, где они соответственно совпадают с последующими членами последовательности.

Определение (2.3.1) Корневым подпространством, соответствующем собственному значению \lambda_{i}, называется \ker (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}}\overset{\text{not}}{=}V(\lambda_{i}), где s_{i} — номер, начиная с которого башня ядер оператора (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E) стабилизируется.

  • Подпространство \mathrm{im}(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}}\overset{\text{not}}{=} \bar{V}(\lambda_{i}) называется ассоциированным с корневым подпространством V(\lambda_{i}). Скажем так, это визави корневого.

Проделанная препарация башни ядер оператора \mathcal B верна для произвольного линейного оператора (доказывается аналогичными рассуждениями).

Теорема (2.3.1) Башня ядер и образов любого линейного оператора стабилизируется.

Замечание: башня ядер и образов обязательно стабилизируется на номере совпадающем размерностью пространства, поскольку в противном случае получим:

\begin{align} & \ker \mathcal A \subset \ker \mathcal A^{2}\subset\dots\subset\ker\mathcal A^{\mathrm{dim} \mathbb{V}}\subset\dots\subset\ker \mathcal A^{s}=\ker \mathcal A^{s+1}=\dots \\ & \mathrm{d}(\mathcal A)<\mathrm{d}(\mathcal A^2)<\dots<\mathrm{d}(\mathcal A^{\mathrm{dim}\mathbb{V}})<\dots<\mathrm{d}(\mathcal A^s) \\ & \implies \mathrm{d(\mathcal A)}+\mathrm{dim}\ \mathbb{V}\leqslant\mathrm{d}(\mathcal A^{\mathrm{dim}\mathbb{V}})<\mathrm{d}(\mathcal A^s) \\ & \implies \mathrm{dim}\ \mathbb{V} < \mathrm{d}(\mathcal A^s)\end{align}

Но ядро подпространство \mathbb{V}, значит \mathrm{d}(\mathcal A^s)\leqslant\mathrm{dim}\ \mathbb{V} — противоречие.

Таким образом, корневое подпространство является предельным случаем вложения ядер оператора (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E). А мораль V(\lambda_{i}) в том, чтобы охватить помимо собственных векторов, еще и векторы которые “потенциально” являются собственными.

Параграф 4. Свойства корневых подпространств

  • В следующих теоремах полагаем: \mathcal A — линейный оператор линейного пространства (\mathbb{V}, \mathbb{F}) с ограничением \mathrm{Spec}\ \mathcal A\subseteq \mathbb{F} и \lambda_{i}\in\mathrm{Spec}\ \mathcal A.

Теорема (2.4.1) Пространства V(\lambda_{i}) и \bar V(\lambda_{i}) являются \mathcal A-инвариантными.

Доказательство

Из (Опр-2.3.1) V(\lambda_{i})\overset{\text{def}}{=}\ker (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}},\ \bar{V}(\lambda_{i})\overset{\text{def}}{=} \mathrm{im}(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}} и по (Т-1.3.3) следует, что они инвариантны относительно оператора (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E), а значит и инвариантны относительно оператора \mathcal A. Теорема доказана.

Эта теорема утверждает: \mathcal A|_{V(\lambda_{i})}:V(\lambda_{i})\to V(\lambda_{i}) и \mathcal A|_{\bar V(\lambda_{i})}:\bar V(\lambda_{i})\to \bar V(\lambda_{i}). Весьма очевидное свойство, учитывая построение.

Будет не по-джентельменски обойти стороной образ (\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}}, поскольку ядро и образ друг с другом тесно связаны.

Из строения башни ядер/образов они стабилизируется на одном и том же номере s_{i}. C точки зрения операторов это означает, что при последующих отображения новых векторов в V(\lambda_{i}) и \bar V(\lambda_i) появиться не может.

Таким образом, любой прообраз y\in \mathbb{V} вектора x\in V(\lambda_{i}) обязан лежать в корневом, поскольку

\begin{align}& y\mapsto\mathcal B_{i}y\mapsto\dots\mapsto\mathcal B^q_{i}y=x \\ & x\mapsto\mathcal B_{i}x\mapsto\dots\mapsto\mathcal B^{m-1}_{i}x\mapsto0\end{align}

При этом m\leqslant s_{i}. Это наводит на мысль: V(\lambda_{i})\cap\bar V(\lambda_{i})=\{ 0 \}, потому что раз любой прообраз вектора из корневого лежит в корневом, то прообраз обязательно испепелится оператором \mathcal B_{i}^{s_{i}}. Из (Т-1.3.6) это бы означало, что \bar V(\lambda_{i}) дополняет V(\lambda_{i}) прямой суммой до \mathbb{V}.

Теорема (2.4.2) \mathbb{V}=V(\lambda_{i})\oplus \bar V(\lambda_{i}).

Доказательство

Вначале поймем: V(\lambda_{i}) +\bar V(\lambda_{i})=V(\lambda_{i})\oplus \bar V(\lambda_{i}). Для этого покажем: V(\lambda_{i})\cap\bar V(\lambda_{i})=\{ 0 \}. Возьмем произвольный x\in V(\lambda_{i})\cap\bar V(\lambda_{i}). Раз он лежит в корневом, то \mathcal B_{i}^{s_{i}}x=0; раз он лежит в \bar V(\lambda_{i}), то \exists\ y\in \mathbb{V}:\ \mathcal B_{i}^{s_{i}}y=x, тогда \mathcal B^{s_{i}+s_{i}}_{i}y=\mathcal B_{i}^{s_{i}}x=0, тогда y\in\ker \mathcal B^{s_{i}+s_{i}}_{i}, а так как s_{i}+s_{i}>s_{i}, значит \ker\mathcal B^{s_{i}+s_{i}}_{i}=\ker\mathcal B_{i}^{s_{i}}\implies y\in\ker \mathcal B^{s_{i}}_{i}, то есть 0=\mathcal B_{i}^{s_{i}}y=x.

Раз эти пространства ядро и образ одного и того же линейного оператора, то по (Т-1.3.6) и (Т-1.3.7) \mathrm{dim}(V(\lambda_{i})\oplus \bar V(\lambda_{i}))=\mathrm{r}(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}}+\mathrm{d}(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}}=\mathrm{dim} \mathbb{V}, при этом V(\lambda_{i})\oplus \bar V(\lambda_{i})\leqslant\mathbb{V}, значит \mathbb{V}=V(\lambda_{i})\oplus \bar V(\lambda_{i}). Теорема доказана.

Утверждение ниже скорее техническое: вспомогательное для доказательства следующей теоремы. Тем не менее у него есть смысл: в корневом не может быть векторов, которые “растянулись” бы в отличное от \lambda_{i} раз.

Теорема (2.4.3) \forall\ \mu\in\mathbb F\backslash\{ \lambda_{i} \}:\ V(\lambda_{i})\cap\ker(\mathcal A-\mu\mathcal E)=\{ 0 \}

Доказательство

Возьмем x\in V(\lambda_{i})\cap\ker(\mathcal A-\mu\mathcal E). Раз вектор из \ker(\mathcal A-\mu\mathcal E), то \mathcal Ax=\mu x. Раз вектор из V(\lambda_{i}), то \mathcal B_{i}^{s_{i}}x=0. При этом верно:

\begin{align} & \mathcal B_{i}x=\mathcal Ax-\lambda_{i}x=(\mu-\lambda_{i})x \\ & \mathcal B_{i}^2x=(\mu-\lambda_{i})\mathcal B_{i}x=(\mu-\lambda_{i})^2x \\ & \cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot \\ &\mathcal B_{i}^{s_{i}}x=(\mu-\lambda_{i})^{s_{i}}x,\ \ \mu\ne\lambda_{i} \\ & \implies x =0\end{align}

То есть их пересечение \{ 0 \}. Теорема доказана.

Как показано в параграфе 3 этой главы последовательность

\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)\subset\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^2\subset\dots\subset\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}}=\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}+1}=\cdots

Стабилизируется. Вспоминая параграф 2 этой главы, можно расширить базис
\ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E), пока упремся в барьер \ker(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)^{s_{i}}, то есть пока не построим базис корневого. Возникает вопрос: а насколько много кратностей множителю (\lambda-\lambda_{i}) прибавится?

Учитывая свойства корневых, выходит, что \chi_{\mathcal A} можно распотрошить в произведение \chi_{\mathcal A | V(\lambda{i})} \cdot \chi_{\mathcal A | \bar V(\lambda{i})}, при этом в \bar V(\lambda_{i}) не может быть векторов из корневого. Из этого интуитивно понятно, что в \chi_{\mathcal A | \bar V(\lambda{i})} не может быть множителей (\lambda-\lambda_{i}), а значит \chi_{\mathcal A | V(\lambda{i})} поглотит всех их полностью, то есть \chi_{\mathcal A | V(\lambda_{i})}=(\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}}.

Теорема (2.4.4) Характеристический многочлен \mathcal A|_{V(\lambda_{i})} имеет вид (-1)^{k_{i}}(\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}}, где k_{i} — кратность корня \lambda_{i} характеристического многочлена оператора \mathcal A.

Доказательство

В силу (Т-2.4.1), (Т-2.4.2) и (Т-1.3.2) получаем:

(2.4.1)\quad\begin{align} & \chi _{\mathcal A} = \chi _{\mathcal A | V(\lambda_{i})} \cdot \chi _{\mathcal A | \bar V(\lambda_{i})} \\ & \chi _{\mathcal A} (\lambda) =(-1) ^n ( \lambda - \lambda _{1}) ^{k_1} \dots (\lambda -\lambda _{m} ) ^{k_{m}} \end{align}

где n=\mathrm{dim}\ \mathbb{V},\ n=k_{1}+\dots+k_{m}. Покажем, что \lambda_{j}\ (j\ne i) не корень \chi_{\mathcal A|V(\lambda_{i})} и \lambda_{i} не корень \chi_{\mathcal A|\bar V(\lambda_{i})}.

От противного: пусть \lambda_{j} корень \chi_{\mathcal A|V(\lambda_{i})}, то по (Т-1.3.4) \lambda_{j} собственное значение оператора \mathcal A|_{V(\lambda_{i})} действующего в пространстве V(\lambda_{i}), тогда

\begin{align} &\exists \ x\in V(\lambda_{i})\setminus \{ 0 \}:\ \mathcal A|_{V(\lambda_{i})}x =\lambda_{j}x \\ & \mathcal A|_{V(\lambda_{i})}x =\mathcal Ax\implies x\in\ker(\mathcal A-\lambda_{j}\mathcal E) \end{align}

Значит x\in V(\lambda_{i})\cap\ker(\mathcal A-\lambda_{j}\mathcal E). По (Т-2.4.3) x=0, но x\ne 0 по определению собственного вектора противоречие, тогда \chi_{\mathcal A|V(\lambda_{i})}(\lambda_{j})\ne0.

От противного: \lambda_{i} корень \chi_{\mathcal A|\bar V(\lambda_{i})}, то это собственное значение оператора \mathcal A|_{\bar V(\lambda_{i})} действующего в пространстве \bar V(\lambda_{i}), тогда

\begin{align} & \exists \ x\in \bar V(\lambda_{i})\setminus \{ 0 \}:\ \mathcal A|_{\bar V(\lambda_{i})}x=\lambda_{i}x \\ & \mathcal A|_{\bar V(\lambda_{i})}x=\mathcal Ax\Rightarrow x\in\ker(\mathcal A-\lambda_{j}\mathcal E)\leqslant\ker \mathcal B_{i}^{s_{i}}\overset{\text{def}}{=}V(\lambda_{i}) \end{align}

Значит x\in V(\lambda_{i})\cap\bar V(\lambda_{i}), но из доказательства (Т-2.4.2) V(\lambda_{i})\cap\bar V(\lambda_{i})=\{ 0 \}, значит x=0, но он является собственным вектором, значит x\ne 0 — противоречие.

Покажем, что многочлена \chi_{\mathcal A|V(\lambda_{i})} вообще есть корни. Из равенства (2.4.1) в доказательстве теоремы (2.4.4) следует: \chi_{\mathcal A|V(\lambda_{i})}(\lambda_{i})\cdot\chi_{\mathcal A|\bar V(\lambda_{i})}(\lambda_{i})=0, поскольку \lambda_{i}\in \mathrm{Spec}\ \mathcal A, а из доказанного выше следует, что \chi_{\mathcal A|V(\lambda_{i})}(\lambda_{i})=0.

Из равенства (2.4.1) и доказанного выше следует, что \chi_{\mathcal A|V(\lambda)}(\lambda_{i}) равно (-1)^{k_{i}}(\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}}, причем кратность такая, поскольку \chi_{\mathcal A|\bar V(\lambda_{i})}(\lambda_{i})\ne0 . Теорема доказана.

Следствие 1. Размерность V(\lambda_{i}) совпадает с кратностью корня \lambda_{i} характеристического многочлена \chi_{\mathcal A}.

Доказательство

Степень хар. многочлен \mathcal A|_{V(\lambda_{i})} равна \mathrm{dim}\ V(\lambda_{i}). Это верно по (Т-1.3.5) и (Т-2.4.1). Теорема доказана.

Cледствие 2. Для подпространства \bar V(\lambda_i) верны следующие свойства:

\begin{align} & \chi_{\mathcal A|\bar V(\lambda_{i})}(\lambda)=\prod_{j\ne i}(-1)^{k_{j}}(\lambda-\lambda_{j})^{k_{j}} \\ & \mathrm{dim}\ \bar V(\lambda_{i})=\sum_{j\ne i}k_{j} \end{align}
Доказательство

Из доказательства (Т-2.4.2) следует: \chi_{\mathcal A|\bar V(\lambda_{i})}(\lambda_{i})\ne0 и \chi_{\mathcal A|V(\lambda_{i})}(\lambda)=(-1)^{k_{i}}(\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}}. Из (2.4.1) в доказательстве теоремы (2.4.4) получаем искомое равенство, а по (Т-1.3.5) размерность пространства равна искомой. Теорема доказана.

Таким образом, если алгебраическая кратность отличается от геометрическое корня \lambda_{i} многочлена \chi_{\mathcal A}, то V_{\lambda_{i}} можно расширить до V(\lambda_{i}) — \mathcal A-инвариантное подпространство с \chi {\mathcal A | V(\lambda{i})}=(\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}}.

Параграф 5. Факторизация пространства по корневым подпространствам

Теперь взглянем на общую картину: есть “инвариантный объект” — корневое подпространство. Рассмотрев их вместе по свойствам получается, что \mathrm{dim}\ V(\lambda_{1})+\dots+\mathrm{dim}\ V(\lambda_{m})=\mathrm{dim}\ \mathbb{V} и \chi_{\mathcal A} = \chi_{\mathcal A|V(\lambda_{i})}\dots\chi_{\mathcal A|V(\lambda_{m})}.

Все это смахивает на (Т-1.3.2). Поэтому логично предположить, что \mathbb{V} представимо в виде прямой суммы корневых. Как это увидеть?

Не грех воспользоваться разложением V=V(\lambda_{1})\oplus\bar V(\lambda_{1}). По устройству ассоциированного оно как бы дополняет корневое и из следствия 2 кажется, что вся остальная движуха корневых будет сосредоточена в \bar V(\lambda_{1}), то есть в нем можно вычленить корневое по \lambda_{2} и ассоциированное с ним и повторить ту же логику так далее, пока не испепелим весь спектр, и поскольку везде суммы были прямыми, то и итоговая тоже будет прямой. Реализуем эту идею строго.

Теорема (2.5.1) Пусть \mathcal A:\mathbb{V}\to \mathbb{V} — линейный оператор, действующий в (\mathbb V, \mathbb{F}) и \mathrm{Spec}\ \mathcal A\subset \mathbb{F}. \mathbb{V} представимо в виде \bigoplus_{\lambda\in \mathrm{Spec}\ \mathcal A}V(\lambda).

Доказательство

Пусть \mathcal A:\mathbb{V}\to \mathbb{V} — линейный оператор пространства (\mathbb{V},\mathbb{F}) и \mathrm{Spec}\ \mathcal A\subset \mathbb{F}, cостоит из m значений. Возьмем \lambda_{1}\in \mathrm{Spec}\ \mathcal A по (Т-2.4.2) \mathbb{V}=V(\lambda_{1})\oplus\bar V(\lambda_{1}). Из следствия 2 и (Т-2.4.1) получаем, что \mathcal A|_{\bar V(\lambda_{1})}:\bar V(\lambda_{1})\to\bar V(\lambda_{1}) и \mathrm{Spec}\ \mathcal A|_{\bar V(\lambda_{1})}=\mathrm{Spec} \ \mathcal A\setminus \{ \lambda_{1} \}.

Докажем теорему индукцией по числу m — значений в спектре.

База индукции m=1, тогда \mathbb{V}=V(\lambda_{1})\oplus\bar V(\lambda_{1}) по (Т-2.4.2), при из следствия 2 \mathrm{dim}\ \bar V(\lambda_{1})=0, то есть пространство нулевое, а значит \mathbb{V}=V(\lambda_{1}).

Шаг индукции m>1, считаем утверждение доказанным для меньших m докажем для m+1. \mathrm{dim}\ \bar V(\lambda_{1})=n-k_{1}, тогда по предположению индукции \bar V (\lambda_{1})=W(\lambda_2)\oplus\dots\oplus W(\lambda_m), где W(\lambda_{i})=\ker(\mathcal A|_{\bar V(\lambda_{1})}-\lambda_{i}\mathcal E|_{\bar V(\lambda_{1})})^{c_{i}} — корневое подпространство, \bar W(\lambda_{i})=\mathrm{im}(\mathcal A|_{\bar V(\lambda_{1})}-\lambda_{i}\mathcal E|_{\bar V(\lambda_{1})})^{c_{i}} — ассоциированное с этим корневым.

По устройству W(\lambda_{i}), проглядывается, что W(\lambda_{i})\leqslant V(\lambda_{i}). Покажем это. Пусть \bar {\mathcal B}_{i}\overset{\text{not}}{=}\mathcal A|_{\bar V(\lambda_{1})}-\lambda_{i}\mathcal E|_{\bar V(\lambda_{1})}. Видно, что \bar{\mathcal B}_{i}=\mathcal B_{i}|_{\bar V(\lambda_{1})}, поскольку

\forall\ x\in\bar V(\lambda_{1})\subseteq \mathbb{V}:\mathcal B_{i}|_{\bar V(\lambda_{1})}x=\mathcal B_{i}x=\mathcal Ax-\lambda_{i}x=\mathcal A|_{\bar V(\lambda_{1})}x-\lambda_{i}\mathcal E|_{\bar V(\lambda_{1})}x=\bar {\mathcal B_{i}}x

Возьмем s=\mathrm{max}\{ s_{i}, \ c_{i} \}, тогда

\ker \bar {\mathcal B}_{i}^{c_{i}}=\ker \bar {\mathcal B}_{i}^{s}=\ker\mathcal B_{i}^s|_{\bar V(\lambda_{1})}\leqslant\ker{\mathcal B}_{i}^{s}=\ker{\mathcal B}_{i}^{s_{i}}

Неравенство \ker\mathcal B_{i}^s|_{\bar V(\lambda_{1})}\leqslant\ker{\mathcal B}_{i}^{s} имеет место, в силу того, что оператор действует на большем множестве, чем его ограничение.

Поскольку W(\lambda_{i}),\ V(\lambda_{i}) – корневые, значит по следствию 1 их размерности равны k_{i}, тогда W(\lambda_{i})=V(\lambda_{i}). Это верно для произвольного i, значит \mathbb{V}=V(\lambda_{1})\oplus\dots \oplus V(\lambda_{m}). Теорема доказана.

Подводя итоги, \mathbb{V} можно факторизовать на \mathcal A-инвариантные блоки V(\lambda_{i}), которые соответствуют множителям (\lambda-\lambda_{i})^{k_{i}} из \chi_{\mathcal A}. Причем такая “нарезка” упростит вид матрицы \mathcal A, что весьма кстати в решении проблемы Жордана, по (Т-1.3.2) получится

(2.5.1)\quad\mathcal A\longleftrightarrow\begin{pmatrix} \mathbf A_{1} &&& \\ & \mathbf A_{2} && \\ && \ddots & \\ & & & \mathbf A_{m} \end{pmatrix}

Где \mathbf{A}_{i} \leftrightarrow \mathcal A|V(\lambda_{i}). Остается понять устройство черных ящиков \mathbf{A}_{i}. Этому будет посвящена следующая глава.

Глава 3. Нильпотентный оператор и Жорданов базис

Параграф 1. Нильпотентный оператор

Взглянув на путь проделанный в прошлой главе, нельзя не обратить внимание на интересный оператор, который попался нам на глаза, а именно оператор \mathcal B_{i}. Мы показали, что его башня из ядер стабилизируется:

\ker \mathcal B_{i} < \ker \mathcal B^{2}_{i}<\dots<\ker \mathcal B^{s}_{i}=\ker \mathcal B^{s+1}_{i}=\dots

Действуя в пространстве \ker \mathcal B_{i}^{s}\overset{\text{not}}{=}\mathbb{K}, оператор \mathcal B_{i}, начиная с некоторой степени, будет “выжигать” его \mathcal B^s(\mathbb{K})=\{ 0 \}.

Рассматривая в контексте только пространства \mathbb{K}, совсем не типичным и весьма интересным выглядит это свойство, учитывая, что такой оператор действует в корневом подпространстве, появляется некий резон изучить свойства данного оператора поподробней, чтобы выяснить какой базис можно подобрать, в котором клетки \mathbf{A}_{i} представления (2.5.1) будут выглядеть максимально просто.

В этой главе рассматриваемое пространство будем обозначать \mathbb K, оператор обозначать \mathcal Q и его степень — q.

Определение (3.1.1) Оператор \mathcal Q:\mathbb K \to\mathbb K называется нильпотентным, если какая-то его степень отображает все пространство \mathbb K в нулевое.

Понятно, что если оператор в какой-то степени аннулирует пространство, то и все последующие его степени аннулируют пространство. Тогда следующее определение будет корректно.

Определение (3.1.2) Пусть \mathcal Q:\mathbb K \to\mathbb K — нильпотентный оператор. Степень q называется ступенью нильпотентности, если \forall\ p<q:\ \mathcal Q^p(\mathbb K)\ne \{ 0 \},\ \mathcal Q^q(\mathbb{K})=\{ 0 \}.

Рассмотрим последовательность ядер

\ker \mathcal Q \subset \ker \mathcal Q^{2}\subset\dots\subset\ker \mathcal Q^{q}=\mathbb K

Она стабилизируется по (Т-2.3.1). При этом раньше, чем q стабилизации не может быть, так как q — наименьшая степень, а значит все остальные не отобразят все пространство в ноль.

Теорема (3.1.1) Ступень нильпотентности нильпотентного оператора не превосходит размерности пространства.

  • Эта теорема верна в силу замечания про стабилизацию башни ядер из главы 2 параграфа 3.

Параграф 2. Ниль-слои, циклические подпространства, матрица нильпотентного оператора

Теперь поисследуем пространство \mathbb{K} с нильпотентным оператором \mathcal Q, а именно его действие на векторы пространства. Для этого попробуем изучить системы векторов. Поскольку \mathcal Q^q(\mathbb{K})=\{ 0 \}, тогда каждый вектор в v\in \mathbb K\backslash\{ 0 \} начиная с некоторой степени m\leqslant q обратится в ноль:

v\mapsto \mathcal Qv\mapsto\dots\mapsto \mathcal Q^{m-1}v\mapsto 0

То есть с каждый вектором v можно ассоциировать конечную цепочку отображений, которая гарантированно обратится в ноль.

Определение (3.2.1) Пусть v\in \mathbb{K}\setminus \{ 0 \}. Ниль-слоем вектора v длины m называется система векторов \nu_{m}(v)\overset{\text{def}}{=}\{v, \mathcal Qv, \dots, \mathcal Q^{m-1}v \}, где \forall\ n < m:\mathcal Q^nv\ne 0 и \mathcal Q^mv=0.

  • У любого ниль-слоя \nu_{m}(n) длина меньше ступени нильпотентности \mathcal Q.

У нас уже возникала похожая цепочка (2.2.2), значит, изучив их, можно понять устройство матрицы оператора, ограниченного на расширение собственного подпространства.

Весьма логичный вопрос: как связаны между собой векторы ниль-слоя? Из конструкции цепочки отображений проглядывается, что векторы линейно независимы.

Рассмотрев \beta_{0}v+\beta_{1}\mathcal Qv+\dots+\beta_{m-1}\mathcal Q^{m-1}v=0, можно последовательно отобразить \mathcal Q^kv, начиная с k=0, до \mathcal Q^{m-1}v, тогда все векторы степени, которых больше k, перейдут в ноль, и останется только \beta_{k}\mathcal Q^{m-1}v=0, поскольку \mathcal Q^{m-1}v\ne{0}\implies\beta_{k}=0, это верно для любого k, значит \nu_{m}(v) — линейно независимая система векторов.

Определение (3.2.2) Пусть v\in \mathbb{K}\setminus \{ 0 \}. Циклическим подпространством \mathbb K, порожденным вектором v, называется \langle \nu_{m}(v)\rangle \overset{\text{not}}{=} Z(v).

  • Вектор порождающий циклическое подпространство будем называть циклическим.

Естественно рассмотреть такое подпространство, ведь у него проглядываются весьма интересные свойства.

Свойство 1. Ниль-слой \nu_{m}(v) является базисом циклического подпространства Z(v), поскольку векторы ниль-слоя полностью порождают пространства, а также линейно независимые.

Свойство 2. Z(v) является \mathcal Q-инвариантным, так как, подействовав им на произвольный вектор Z(v), который есть ЛК векторов \nu_{m}(v), получится какая-то ЛК векторов \nu_{m}(v).

Свойство 3. Рассмотрим матрицу оператора \mathcal Q|_{Z(v)} в базисе \nu_{m}(v):

\mathcal Q|_{Z(v)}\leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &\dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 &\dots & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 &\dots & 0 & 0\\ \vdots &\vdots & \vdots & \ddots &\vdots &\vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 &0 \end{pmatrix}_{m\times m}

И действительно \mathcal Q^kv\mapsto\mathcal Q^{k+1}v, то есть переходит в следующий базисный вектор, а последний перейдет в 0. Матрицу нильпотентного оператора, ограниченного на циклическое подпространство, будем называть нильпотентной клеткой.

Данное представление делает матрицу максимально простой на вид. Но это работает только для одного вектора, а можно ли как-нибудь получить векторы базиса, которые состоят из ниль-слоев? Если такой базису существует, то \mathbb K будет представимо, как Z(v_1)\oplus\cdots\oplus Z(v_n), а значит

(3.2.1)\quad\mathcal Q\leftrightarrow \begin{pmatrix} \mathbf{Q}_{1} &&& \\ & \mathbf{Q}_{2} && \\ && \ddots & \\ && & \mathbf{Q}_{n} \end{pmatrix} \quad \mathcal Q|_{Z(v_{i})} \leftrightarrow \mathbf{Q}_{i}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix}

Это весьма поможет в приведении матрицы, к наиболее простому виду.

Параграф 3. Жорданова система векторов и ниль-свертка

Теперь логично будет поисследовать системы векторов, составленные из ниль-слоев и найти какие-нибудь примечательные свойства, чтобы понять: можно ли найти базис из ниль-слоев? В начале дадим несколько определений.

Определение (3.3.1) Система векторов, составленная из векторов ниль-слоев, называется Жордановой системой векторов.

Определение (3.3.2) Базис пространства называется Жордановым, если он является Жордановой системой векторов.

Определение (3.3.3) Пусть V=\{\nu_{m_{i}}(v_{i})\ |\ 1\leqslant i \leqslant n\} — ЖСВ. Ниль-сверткой системы V называется множество \{\mathcal Q^{m_{i}-1}v_{i}\ | \ 1\leqslant i \leqslant n\}\overset{\text{not}}{=}\mathcal N(V).

Возьмем Жорданову систему векторов V=\{\nu_{m_{1}}(v_{1}),\nu_{m_{2}}(v_{2}), \dots, \nu_{m_{n}}(v_{n})\}. Как охарактеризовать ее? Что можно выделить такого, показывающее его устройство?

Попробуем разобраться, когда система будет линейно независимой. Рассмотрим произвольную ЛК векторов из V равную нулевому вектору:

(3.3.1)\quad\begin{align}& \lambda_{1,0}v_{1}+\lambda_{1,1}\mathcal Qv_{1}+\dots+\lambda_{1,m_{1}-1}\mathcal Q^{m_{1}-1}v_{1}+ \\ & \lambda_{2,0}v_{2}+\lambda_{2,1}\mathcal Qv_{2}+\dots+\lambda_{2,m_{2}-1}\mathcal Q^{m_{2}-1}v_{2}+ \\ & .\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad .\\ &\lambda_{n,0}v_{n}+\lambda_{n,1}\mathcal Qv_{n}+\dots+\lambda_{n,m_{n}-1}\mathcal Q^{m_{n}-1}v_{n}=0\end{align}

Логично будет взять m=\mathrm{max}\{ m_{i}\ |\ 1\leqslant i\leqslant n \} и подействовать оператором \mathcal Q^{m-1}:

\lambda_{1,0}\mathcal Q^{m-1}v_{1}+\dots+\lambda_{n,0}\mathcal Q^{m-1}v_{n}=0

Фактически, линейная зависимость/независимость V определяется системой \{ \mathcal Q^{m_{1}-1}v_{1},\ \mathcal Q^{m_{2}-1}v_{2},\dots,\ \mathcal Q^{m_{n}-1}v_{n}\}\overset{\text{def}}{=}\mathcal N(V), то есть произвольную ЛК системы V можно отобразить в ЛК \mathcal N(V).

Таким образом, если \mathcal N(V) линейно независим, то произвольную ЛК системы V можно последовательно отображать в ЛК \mathcal N(V), аннулируя часть \lambda_{i,j}. Через конечное число шагов, все скалярные множители \lambda_{i,j} будут равны нулю.

Теорема (3.3.1) Жорданова система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ее ниль-свертка линейно независима.

Доказательство

Необходимость вытекает из того, что любая под система линейно независимой системы линейно независима.

  • В достаточности не будем применять идею доказательства из рассуждений выше, поскольку ее смысл “на пальцах” показать, как устроена ЖСВ. Конечно, с помощью нее можно доказать по индукции, но доказательство выходит весьма громоздким.

Достаточность. Докажем, обратную теорему: “из линейной зависимости системы следует линейная зависимость ниль-свертки”. Раз система линейна зависима, то в таблице можно выбрать векторы и подобрать к ним не нулевые коэффициенты, что их ЛК будет равна нулю. Возьмем m равное максимальной разности длины ниль-слоя и степени \mathcal Q среди векторов участвующих в ЛК, тогда подействовав на ЛК \mathcal Q^{m-1} получится нетривиальная ЛК векторов из ниль-свертки, равная нулю, значит ниль-свертка — линейно зависима. Теорема доказана.

Таким образом, идея этого параграфа в том, чтобы охарактеризовать линейную зависимость/независимость ЖСВ ее можно сплющить в меньший объем векторов — ниль-свертку.

Параграф 4. Жорданов базис и Жорданова таблица

Теперь достаточно естественно взять какой-нибудь базис пространства \mathbb K и из него сотворить V — ЖСВ, где каждый ниль-слой образован из базисного вектора. Очевидно \langle V\rangle=\mathbb{K}, но V линейно зависимая. Логичный вопрос: а можно ли из нее сварганить линейно независимую?

Цель на этот параграф: придумать такой способ преобразовать V, чтобы она оставалась Жордановой, то есть сохранить структуру ниль-слоев.

Как мы выяснили в прошлом параграфе, линейную независимостьVопределяет ниль-свертка \mathcal N(V). В этой связи, нужно найти способ сделать \mathcal N(V) линейно независимой. Первое, что приходит в голову — метод Гаусса для \mathcal N(V), но его нужно модифицировать, поскольку нам нужно сохранить структуру ниль-слоев.

Если записать ЖСВ в виде ниль-слоев, то получается что-то похожее на таблицу:

\begin{align} v_{1} \mapsto \mathcal Qv_{1} \mapsto \mathcal Q^2v_{1} \mapsto \dots \mapsto \mathcal Q^{l_{1}}v_{1} \mapsto \dots \mapsto \mathcal Q^{m_{1}-1}v_{1} \mapsto 0 \\ v_{2} \ \ \ \mapsto \mathcal Qv_{2} \ \ \mapsto\dots\mapsto \mathcal Q^{l_{2}}v_{2}\mapsto \dots \mapsto \mathcal Q^{m_{2}-1}v_{2} \mapsto 0 \\ . \qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\\ v_{n}\mapsto \mathcal Qv_{n}\mapsto \mathcal Q^{2}v_{n}\mapsto\dots\mapsto \mathcal Q^{m_{n}-1}v_{n}\mapsto 0 \end{align}

Возникает идея преобразовывать цепочку целиком, а не отдельные векторы, то есть работать с ЖСВ, как с таблицей, преобразовывая ее построчно.

Далее я ввиду понятия для строго определения таблицы и ее преобразований.

Определение (3.4.1) Пусть m\in \mathbb{N} и v\in \mathbb{K}\setminus \{ 0 \}. Ниль-строкой v длины m называется упорядоченная система векторов z_{m}(v)=\{ \mathcal Q^n v \ | \ 0\leqslant n\leqslant m - 1\}.

  • В отличии от ниль-слоя в ниль-строке могут быть нулевые векторы.

Определение (3.4.2) Пусть V=\{ v_{1},\dots,v_{n} \} — упорядоченная система векторов, L=\{ m_{1},\dots,m_{n} \} — упорядоченная система \mathbb{N}. Жордановой таблицей называется упорядоченная система ниль-строк \mathrm{JT}(V,L)=\{z_{m_{i}}(v_{i})\ |\ 1\leqslant i\leqslant n \}.

Определение (3.4.3) Сверткой ЖТ называется \mathcal J(V,L)\overset{\text{def}}{=}\{ \mathcal Q^{m_{i}-1}v_{i}\ | \ 1\leqslant i\leqslant n \}.

Определение (3.4.4) Матрицей свертки ЖТ называется матрица \mathbf{J}(V,L), составленная из координатных строк векторов в некотором свертки ЖТ.

Определение (3.4.5) Системой векторов ЖТ называется система векторов, составленная из векторов всех ниль-строк ЖТ.

  • Будем считать, что порядок векторов свертки и матрицы свертки совпадает с порядком векторов в ЖТ.

  • Когда я говорю, строка “ниже” или “выше”, имеется в виду соответственно “левее” или “правее” в записи \mathrm{JT}(V,L)=\{z_{m_{i}}(v_{i})\ |\ 1\leqslant i\leqslant n \}. Однако у такого косноязычия есть оправдание: визуально ЖТ можно представить, как ниль-строки расставленные друг под другом, но с формальной точки зрения они записываются слева направо.

Определение (3.4.6) Элементарными преобразованиями ниль-строк ЖТ называется следующий список:

  1. Перестановка ниль-строк местами

  2. Умножением ниль-строки z_{m}(v) ЖТ на скаляр \beta\in \mathbb{F}\setminus \{ 0 \} называется замена данной ниль-строки на ниль-строку z_{m}(\beta v).

  3. Пусть z_{m_{i}}(v_{i}),\ z_{m_{j}}(v_{j}) такие, что m_{i} \leqslant m_{j}. Прибавлением ниль-строки j к ниль-строки i называется замена z_{m_{i}}(v_{i}) на : v_{i}+\mathcal Q^{l}v_{j}\mapsto \mathcal Qv_{i} + \mathcal Q^{l+1}v_{j}\mapsto\dots\mapsto\mathcal Q^{m_{i}-1}v_{i}+\mathcal Q^{m_{j}-1}v_{j}, где l=m_{j}-m_{i}.

  4. Уменьшение длины некоторой ниль-строки, так чтобы она состояла из ненулевых векторов. Если ниль-строка состоит из нулевых векторов, то строка удаляется полностью.

В чем смысл?

  • Первые два преобразования достаточно естественные для реализации метода Гаусса и для сохранения будущих ниль-слоев.

  • В методе Гаусса для матриц строки можно было складывать какие угодно, но в случае ЖТ нужно не нарушить структуру будущих ниль-слоев, поэтому 3-е преобразование выглядит таким образом. Условно говоря, строки складываются “считая от конца”.

  • 4-ое преобразование нужно, чтобы избавляться от нулевых векторов из таблицы, которое получаются после преобразований, чтобы приводить ниль-строки ЖТ к ниль-слоям.

Следующая теорема показывает, что таблица переходит в таблицу после преобразований. Чисто формальная теорема, чтобы удостовериться в введенных преобразованиях.

Теорема (3.4.1) Элементарные преобразования Жордановой таблицы порождают Жорданову таблицу.

Доказательство

Пусть \mathrm{JT}(V,L)=\{z_{m_{i}}(v_{i})\ |\ 1\leqslant i\leqslant n \}

1) Поменяв ниль-строки местами, получится упорядоченное множество ниль-строк — Жорданова таблица.

2) Из определения очевидно, что получится упорядоченная система ниль-строк.

3) Возьмем z_{m_{1}}(v_{1}) и z_{m_{2}}(v_{2}) и без ограничения общности m_{2}\geqslant m_{1}. Выполним преобразование 3 получим:

\begin{align} & v_{1}+\mathcal Q^{l}v_{2}\mapsto \mathcal Qv_{1} + \mathcal Q^{l+1}v_{2}\mapsto\dots\mapsto\mathcal Q^{m_{1}-1}v_{1}+\mathcal Q^{m_{2}-1}v_{2} \\ & (v_{1}+\mathcal Q^{l}v_{2})\mapsto \mathcal Q(v_{1} + \mathcal Q^{l}v_{2})\mapsto\dots\mapsto\mathcal Q^{m_{1}-1}(v_{1}+\mathcal Q^{l}v_{2})\end{align}

Поскольку m_{2}\geqslant m_{1}, а их разность l, то складывая их таким образом к v_{1} добавится вектор в l+1 клетке и можно последовательно вынести оператор, тогда получается ниль-строка z_{m_{1}}(v_{1}+\mathcal Q^{l}v_{2}).

4) Очевидно.

Теорема доказана.

Следующая теорема показывает, что подпространства, которые порождают системы векторов ЖТ остаются равными после преобразований.

Теорема (3.4.2) Системы векторов исходной ЖТ и ЖТ, порожденной элементарными преобразования, эквивалентны.

Доказательство

Пусть \mathrm{JT}(V, L) и \mathrm{JT}(V', L') — исходная и преобразованная ЖТ соответственно. Пусть U и U' — их системы векторов соответственно.

  1. Очевидно, переставив ниль-строки местами, U\sim U'.

  2. Ясно, что векторы неизмененных ниль-строк можно выразить как через U, так и через U'. Ту строку, которую изменили можно получить из U умножением на скаляр, на который умножили. В U' изначальную строку можно получить умножением векторов обратный к скаляру. Значит U\sim U'.

  3. Выразить измененную строку через U можно тем же путем, которым изменили. Выразить изначальную строку через U' можно вычитанием того, что добавили. Остальные векторы понятно, что можно выразить через обе системы.

  4. Очевидно, убрав нулевые векторы системы останутся эквивалентными.

    Теорема доказана.

  • Будем ставить знак \sim между таблицами после элементарных преобразований и называть их эквивалентными таблицами. Это имеет смысл, поскольку преобразования порождаются таблицы, у которых системы векторов эквивалентны исходным.

Следующая лемма чисто техническая. Она требуется, чтобы строго обосновать построение Жорданова базиса.

Лемма (3.4.1) Если ниль-строки ЖТ является ниль-слоям, то после элементарных преобразований 1, 2, 3 длина ниль-слоя, содержащегося в ниль-строке, может лишь уменьшится.

Доказательство

  1. Очевидно, переставив строки длина ниль-слоя не изменится.

  2. Очевидно, переходя от z_{m_{i}}(v_{i}) к z_{m_{i}}(\beta v_{i}), не нулевые векторы останутся не нулевыми, а нулевые останутся нулевыми, поэтому длина ниль-слоя не изменится.

  3. При сложении строк, новая строка будет иметь вид z_{m_{i}}(v_{i}+\mathcal Q^lv_{j}). От противного предположим, что \nu_{l_{i}}(v_{i}+\mathcal Q^lv_{j}) имеет l_{i}>m_{i}, тогда \mathcal Q^{m_{i}}(v_{i}+\mathcal Q^lv_{j})\ne 0, но поскольку при сложении ниль-слоев вектор \mathcal Q^{m_{i}-1}(v_{i}+\mathcal Q^lv_{j})\mapsto 0 получается противоречие, значит l_{i}\leqslant m_{i}.

Теперь покажем, что свойств и преобразований ЖТ достаточно, чтобы реализовать метод Гаусса для матрицы свертки ЖТ. Теорема доказана.

Лемма (3.4.2) Элементарными преобразованиями 1, 2, 3 матрицу свертки ЖТ можно привести к ступенчатому виду.

Доказательство

Пусть \mathrm{JT}(e, L)=\{ z_{m_{i}}(e_{i})\ |\ 1\leqslant i\leqslant n \}, где L=(m_{1},\dots ,m_{n}) и e=\{ e_{1},\dots, e_{n} \}.

  • Когда я буду говорить об “упорядочивании строк по возрастанию длины”, имеется в виду упорядочивание в записи \{ z_{m_{1}}(e_{1}),z_{m_{2}}(e_{2}), \dots, z_{m_{n}}(e_{n}) \}, то есть с визуальной точки зрения: упорядочивание снизу вверх по возрастанию длины.

Покажем, что можно провести матрицу \mathbf{J}(e, L) к ступенчатому виду, применяя элементарные преобразования ниль-строк. Докажем индукцией по числу строк. Прежде элементарным преобразованием (1) упорядочим строки по возрастанию длины: \mathrm{JT}(e, L)\sim\dots\sim \mathrm{JT}(e', L'), где L'=(l_{1},\dots,l_{n}).

База индукции: одна строка в таблице. Тогда в \mathbf{J}(e',L') одна строка — матрица имеет ступенчатый вид. База индукции доказана.

  • Отождествим строки \mathbf{J}(e',L') со строками \mathrm{JT}(e',L') для краткости записи.

Шаг индукции:
0) Предполагаем, что таблицу из строк n можно привести к ступенчатому виду. Докажем, что таблицу из n+1 строки тоже можно привести к ступенчатому виду.

  1. Выберем строку i, у которой скаляр из 1-го не нулевого столбца j матрицы \mathbf{J}(e',L') не нулевой и длина l_{i} среди всех остальных строк максимальная (такой столбец найти можно, поскольку состоит из \mathcal J(e', L') не нулевых векторов).

    • Без ограничения общности можно считать, что все строки над i содержат нулевые коэффициенты в столбце j, поскольку если и есть с не нулевым над i, то они должны иметь длину, совпадающей с l_{i} в силу максимальности длинны l_{i} и упорядоченности по возрастанию, тогда элементарным преобразованием 1 их можно переставить под i.

  2. Поскольку l_{k}\leqslant l_{i} для любой строки k, имеющий не нулевой коэффициент в столбце j, тогда элементарными преобразованиями 1, 2, 3 можно c помощью нее аннулировать строку k:

    1. Возьмем произвольную строку l ниже i.

    2. Пусть \alpha_{i},\ \alpha_{k} — коэффициенты строк i и k в столбце j.

    3. Если \alpha_{k}=0, то ничего не меняем.

    4. Элементарным преобразованием 2 умножим строку i на -(\alpha_{i}^{-1}\alpha_{k}) и элементарным преобразованием 3 прибавим i к k, тогда коэффициент в строке k столбца j станет равен нулю.

    5. Элементарным преобразованием 2 умножим строку i на -(\alpha_{i}\alpha_{k}^{-1}).

  3. Шаг 2 верен для любой строки ниже i, тогда все коэффициенты в столбце j ниже строки i можно аннулировать c помощью строки i, причем все строки над i будут иметь 0 в столбце j.

  4. После шага 3 в столбце j останется один не нулевой элемент в строке i. Элементарным преобразованием 1 переместим строку i на первое место, а остальные строки упорядочим по возрастанию.

  5. Пусть \mathrm{JT}(e', L') преобразуется в \mathrm{JT}(e'',L'') после всех преобразований выше. В \mathbf{J}(e'', L'') все столбцы до j нулевые, а в столбце j в первой строке отличный от нуля элемент, в остальных k строках данного столбца нули.

  6. k строк \mathrm{JT}(e'',L''), отсчитывая от 2-ой, образуют ЖТ \mathrm{JT}(\varepsilon, \ell), где \varepsilon=e\setminus \{ e''_{1} \} и \ell=L\setminus \{ l''_{1} \}. К под-ЖТ \mathrm{JT}(\varepsilon, \ell) применим предположение индукции, тогда ее можно привести к эквивалентной \mathrm{JT}(\varepsilon',\ell'), у которой матрица свертки имеет ступенчатый вид.

  7. Раз системы векторов \mathrm{JT}(\varepsilon, \ell) и \mathrm{JT}(\varepsilon',\ell') эквивалентны, то \mathrm{JT}(e'', L'')\sim \mathrm{JT}(e''_{1}\cup\varepsilon', l''_{1}\cup\ell'), поскольку добавив первую ниль-строку ее с помощью обоих систем векторов можно выразить, а остальные векторы из ниль-строк можно выразить в силу эквивалентности под-ЖТ.

  8. Тем самым выходит, что матрица свертки \mathrm{JT}(e''_{1}\cup\varepsilon', l''_{1}\cup\ell')\overset{\text{not}}{=}\mathrm{JT}(e''', L''') будет иметь ступенчатый вид. Шаг индукции доказан.

В силу теорем (3.4.1) и (3.4.2) \mathrm{JT}(e, L)\sim \mathrm{JT}(e''', L'''). Теорема доказана.

Фактически лемма выше позволяет получить конструктивный способ построения Жорданова базиса. В следующей теореме, как раз-таки это и покажем.

Теорема (3.4.3) Пусть \mathcal Q:\mathbb K\to\mathbb K — нильпотентный оператор, тогда в \mathbb K существует Жорданов базис.

Доказательство

Возьмем произвольный базис e=(e_{1},\dots,e_{n}) пространства \mathbb{K}. Построим V=\{ \nu_{m_{i}}(e_{i})\ |\ 1\leqslant i\leqslant n \} — ЖСВ. Понятно, что \langle V\rangle= \mathbb{K}. Составим ЖТ вида \mathrm{JT}(e, L)=\{ z_{m_{i}}(e_{i})\ |\ 1\leqslant i\leqslant n \}, где L=(m_{1},\dots ,m_{n}). Ясно, что система векторов ЖТ совпадает с V и \mathcal J(e, L)=\mathcal N(V).

В силу леммы (3.4.2) \mathrm{JT}(e, L)\sim \mathrm{JT}(e', L'), где \mathbf{J}(e', L') имеет ступенчатый вид. Часть векторов в некоторых ее строках и ниль-строках ЖТ могут аннулироваться, тогда элементарным преобразованием 4 уберем их: \mathrm{JT}(e', L')\sim \mathrm{JT}(e'', L''), при этому удалятся нулевые векторы, то есть линейная оболочка системы векторов \mathrm{JT}(e'',L'') все еще будет порождать \mathbb{K}.

  • Заметим, что изначально ниль-строки совпадают с ниль-слоями.

В cилу леммы (3.4.1) те ниль-строки, часть которых не аннулировалась, все еще будут образовывать ниль-слои. У остальных ниль-строк, их часть будет образовывать ниль-слой, убрав нулевые векторы, ниль-строка снова будет совпадать с ниль-слоем. Тем самым система строк ЖТ станет ЖСВ.

Если в \mathbf{J}(e'', L'') не оказалось нулевых строк, то в \mathcal J(e'',L'') нет нулевых векторов, при этом в силу ступенчатости матрицы свертки, векторы свертки будут линейно независимыми, а раз ниль-строки являются ниль-слоями, тогда система векторов \mathrm{ JT}(e'', L'') является ЖСВ и эквивалентна базису e, значит данная ЖСВ является базисом \mathbb{K}.

В противном случае, применяется элементарное преобразование 4, тогда \mathbf{J}(e'', L'') может перестать быть ступенчатой, тогда снова методом Гаусса приводим матрицу свертки к ступенчатому виду, пока свертка ЖТ не станет линейно независимой.

Процесс приведения свертки ЖТ к линейно независимому виду конечен. Покажем это от противного: пусть после приведения матрицы свертки к ступенчатому виду система остается линейно зависимой, тогда при каждом приведении в свертки ЖТ должен оказаться хотя бы один нулевой вектор, в противном случае система будет линейно независимой, значит на каждом шаге количество векторов в системе векторов ЖТ будет уменьшаться хотя бы на один, тогда через некоторое количество шагов количество векторов будет \leqslant \mathrm{dim}\ \mathbb{K}, при этом ее линейная оболочка порождает \mathbb{K}, значит она станет базисом, а значит линейно независимой — противоречие.

Таким образом, после конечного числа шагов описанного выше процесса можно привести матрицу свертки ЖТ к ступенчатому виду без нулевых векторов, а в силу леммы (3.4.1) ниль-строки ЖТ будут совпадать с ниль-слоями, значит система векторов ЖТ будет ЖСВ и свертка ЖСВ будет линейно независимой, а силу эквивалентности ЖСВ базису \mathbb{K}, данная ЖСВ является базисом \mathbb{K}. Теорема доказана.

Визуально эту теорему можно представить, как таблицу, где ниль-строки это ее строки, выровненные по правому краю. Эдакий слоеный пирог или choco pie

\begin{align} v_{1} \mapsto \mathcal Qv_{1} \mapsto \mathcal Q^2v_{1} \mapsto \dots \mapsto \mathcal Q^{l_{1}}v_{1} \mapsto \dots \mapsto \mathcal Q^{m_{1}-1}v_{1} \\ v_{2} \ \ \ \mapsto \mathcal Qv_{2} \ \ \mapsto\dots\mapsto \mathcal Q^{l_{2}}v_{2}\mapsto \dots \mapsto \mathcal Q^{m_{2}-1}v_{2} \\ . \qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\qquad .\\ v_{n-1}\mapsto \mathcal Qv_{n-1}\mapsto\dots\mapsto \mathcal Q^{m_{n-1}-1}v_{n-1} \\ v_{1} \mapsto \mathcal Qv_{1} \mapsto \dots \mapsto \mathcal Q^{l_{1}}v_{1} \mapsto \dots \mapsto \mathcal Q^{m_{1}-1}v_{1} \end{align}

Свертка ЖТ будет выглядеть, как последний столбец этой таблицы. По сути построение Жорданова базиса в такой записи заключается в приведении последнего столбца к линейно независимому виду и сдвигу строк вправо, убирая нулевые векторы.

Как элегантное следствие теоремы выше, пространство \mathbb{K} можно факторизовать по циклическим подпространствам.

Теорема (3.4.4) Пусть \mathcal Q:\mathbb K\to\mathbb K — нильпотентный оператор, тогда существуют e_{1},\dots,e_{m}\in \mathbb{K}:\ \mathbb K=Z(e_{1})\oplus Z(e_{2})\oplus\dots\oplus Z(e_{m}).

Доказательство

По (Т-3.4.3) существует ЖБ e=(\nu_{m_{i}}(e_{i})\ | \ 1\leqslant i \leqslant n) в \mathbb{K}, поскольку e — линейно независима, то

\forall\ i:\ Z(e_{i})\cap \sum_{j\ne i}Z(e_{j})=\{ 0 \}

Значит сумма циклических прямая. При этом e является базисом \bigoplus_{i=1}^nZ(e_{i}), значит \mathbb{K}=Z(e_1)\oplus\dots\oplus Z(e_n). Теорема доказана.

Если быть внимательным, то можно заметить, что размерность \mathbb{K} в ЖБ напрямую связана с количеством ниль-слоев \mathrm{dim}\ \mathbb K= n_{1}+2n_{2}+\dots+tn_{t}, где t — длина максимального ниль-слоя, n_{l} — кол-во ниль-слоев длины l. При действии \mathcal Q крайние векторы в табличной записи будут аннулироваться и если проделать этот процесс, пока \mathbb{K} не аннулируется, то можно заметить, что длины ниль-слоев не зависят от выбора ЖБ. Подробнее об этом в доказательстве следующей теоремы.

Теорема (3.4.5) Пусть \mathcal Q:\mathbb{K}\to \mathbb{K} — нильпотентный оператор, n_{l} — число ниль-слоев базиса длины l пространства \mathbb{K}. Число n_{l} есть инвариант и имеет место равенство: n_{l}=\mathrm{r}(\mathcal Q^{l-1})-2\cdot \mathrm{r}(\mathcal Q^l) + r(\mathcal Q^{l+1}).

Доказательство

Пусть n_{l} — кол-во ниль-слоев длины l в каком-то Жордановом базисе. Пусть максимальная длина ниль-слоя в равна t. В слое длины l ровно l векторов, тогда число базисных векторов \mathbb K равно:

\mathrm{dim}\ \mathbb K= n_{1}+2n_{2}+\dots+tn_{t}=r(\mathcal Q^0)\overset{\text{not}}{=}r_{0}

Конечно, некоторых ниль-слоев определенной длинны может и не содержаться, если таковых нет полагаем их кол-во равным нулю. Посмотрим, что происходит при отображении пространство оператором \mathcal Q:

\begin{align} & r_{0}=r(\mathcal Q^0)=n_{1} + 2n_{2} + \dots+tn_{t} \\ & r_{1} = r(\mathcal Q^1)=n_{2} +2n_{3}+\dots+(t-1)n_{t} \\ &.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad. \\ &r_{l-1} = r(\mathcal Q^{l-1}) = n_{l} + 2n_{l+1} + \dots+(t-l+1)n_{t} \\ &r_{l}= r(\mathcal Q^l) = n_{l+1} + 2n_{l+2} + \dots+(t-l)n_{t} \\ &r_{l+1} = r(\mathcal Q^{l+1}) = n_{l+2} + 2n_{l+3} + \dots+(t-l-1)n_{t} \\ &.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\qquad.\\ &r_{t-1} = r(\mathcal Q^{t-1}) = n_{t} \end{align}

Так как при первом отображении все векторы ниль-слоя длины 1 перейдут в 0, то их количество останется равным нулю, все векторы ниль-слоя длины 2 перейдут в ниль-слои длины 1, то есть от каждого из ниль-слоев пропадет последний вектор, т.е. их кол-уменьшится на q_{2}, также для длины 3 и так далее. Мы понимаем вот, что

\begin{align} & r_{l-1}-r_{l}=n_{l} + n_{l+1} +\dots+n_{t}\\ & r_{l}-r_{l+1} = n_{l+1} + n_{l+2} +\dots+n_{t} \\ & \Longrightarrow\ n_{l} =r_{l-1} -2r_{l}+r_{l+1} \end{align}

Теорема доказана.

Таким образом, в любом ЖБ количество ниль-слоев некоторой длины — инвариант, то есть матрица \mathcal Q в разных ЖБ будет отличаться расстановкой нильпотентных клеток на главной диагонали.

Глава 4. Жорданова нормальная форма

Параграф 1. Теорема Жордана

Теперь мы собрали все камни бесконечности. Соединим же их в одной перчатке. Пусть \mathcal A:\mathbb V\to\mathbb V — линейный оператор пространства (\mathbb{V}, \mathbb{F}) такой, что \mathrm{Spec}\ \mathcal A=\{ \lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{m} \}\subset\mathbb F. Условие на спектр автоматически выполняется для алгебраически замкнутого поля.

Оператор \mathcal B_{i}|_{V(\lambda_{i})}=(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)|_{V(\lambda_{i})} является нильпотентным, тогда в пространстве V(\lambda_{i}) по (Т-3.4.4) \exists \ e_{1},\dots,e_{l_{i}}\in V(\lambda_{i}) такие, что V(\lambda_{i})=Z(e_{1})\oplus Z(e_{2})\oplus\dots\oplus Z(e_{l_{i}}).

Пусть \mathcal A|_{Z(e)}\leftrightarrow \mathbf{J}_{m}(\lambda_{i}),\ \mathcal B_{i}|_{Z(e)}\leftrightarrow \mathbf{B}, где e — произвольный циклический вектор из e_{1},\dots, e_{l_{i}}, m — длина ниль-слоя, образованного e. По (Т-1.3.8) получаем, что \mathcal A|_{Z(e)}=\mathcal B_{i}|_{Z(e)}+\lambda_{i}\mathcal E|_{Z(e)}\leftrightarrow \mathbf{J}_{m}(\lambda_{i})=\mathbf{B}_{i}+\lambda_{i}\mathbf{E}. Матрицу \mathbf{J}_{m}(\lambda_{i}) будем называть Жордановой клеткой порядка m соответствующей собственному значению \lambda_{i}. По свойствам циклических подпространств:

\mathbf{B}_{i}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 &\dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 &\dots & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 &\dots & 0 & 0\\ \vdots &\vdots & \vdots & \ddots &\vdots &\vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 &0 \end{pmatrix}_{m\times m}\quad \mathbf{J}_{m}(\lambda_{i})=\begin{pmatrix} \lambda_{i} & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 1 & \lambda_{i} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda_{i} & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda_{i} \end{pmatrix}_{m\times m}

Таким образом, если взять ЖБ корневого подпространства, то

\mathcal A|_{V(\lambda)i}\longleftrightarrow \mathbf{J}(\lambda_{i})=\begin{pmatrix} \mathbf{J}_{m_{1}}(\lambda_{i}) & & & \\ & \mathbf{J}_{m_{2}}(\lambda_{i}) & & \\ & & \ddots & \\ & & & & \mathbf{J}_{m_{n}}(\lambda_{i})\end{pmatrix}

По теореме (3.4.5) длины ниль-слоев в ЖБ есть инвариант, тогда в разных ЖБ Жордановы клетки будут отличаться лишь расстановкой на главной диагонали. По теореме (2.5.1) \mathbb{V} можно факторизовать в по корневым \mathbb V=V(\lambda_{1})\oplus\dots\oplus V(\lambda_{m}), тогда объединив ЖБ каждого из корневых получим:

\mathcal A\longleftrightarrow\mathbf{J}=\begin{pmatrix} \mathbf{J}(\lambda_{1}) && \\ & \ddots & \\ && \mathbf{J}(\lambda_{m})\end{pmatrix}

То есть существует базис, в котором матрицу \mathcal A можно однозначно, с точностью до перестановок Жордановых клеток на главной диагонали, представить в клеточно-диагональном виде, где клетки устроены максимально просто. Приведение матрицы к такому виду называется приведением матрицы к Жордановой нормальной форме.

Теорема (Жордана). Над алгебраически замкнутым полем \mathbb F матрицу линейного оператора, действующего в линейном пространстве (\mathbb V, \mathbb F), можно однозначным образом, с точностью до перестановки Жордановых клеток на главной диагонали, привести к Жордановой нормальной форме.

Параграф 2. Алгоритм приведения матрицы к Жордановой нормальной форме.

Как правило в прикладных задачах используются не произвольные поля, а \mathbb{R} или \mathbb{C}. Фактически все приведение можно разделить на 3-и части: поиск спектра, поиск корневых и поиск жорданова базиса.

Если задача решается только над \mathbb{R}, то принципиально, чтобы спектр был вещественным, чтобы все применяемые теоремы имели смысл. Для \mathbb{C} это условие автоматически выполняется в силу основной теоремы алгебры.

Пусть (\mathbb{V}, \mathbb{F}) — конечномерное линейное пространство, \mathcal A\in\mathcal L(\mathbb{V}) и \mathbf{A} — матрица оператора в некотором базисе, его будем называть исходным.

Шаг 1. Находим корни \chi_{\mathcal A}. Они есть собственные значения по (Т-1.3.4). В академических задачах, как правило это какие-то красивые значения, а для чисто практических нужд можно довольствоваться приближениями.

  • Если задача чисто над \mathbb{R}, то в случае не разложения многочлена в произведение линейных скобок, возведенных в некоторые степени, можно собирать чемоданы и объявить о невозможности привести матрицу к ЖНФ.

Шаг 2. Допустим после первого шага чемоданы не собраны. Пусть \lambda — какое-то собственное значение, k — алгебраическая кратность корня \lambda многочлена \chi_{\mathcal A}, \mathbf{A-\lambda\mathbf{E}}\overset{\text{not}}{=}\mathbf{B} — матрица оператора \mathcal A-\lambda\mathcal E в исходном базисе.

Чтобы найти корневое подпространство можно несколько раз воспользоваться известным алгоритмом одновременного поиска базиса ядра и образа.

О алгоритме: нужно приписать слева к матрице \mathbf{B}^{\mathrm{T}} единичную матрица \mathbf{E}, получится новая матрица (\mathbf{E}|\mathbf{B}^{\mathrm{T}}). Далее методом Гаусса приводим ее правую часть преобразованием строк к ступенчатому виду. Получаем (\mathbf{\mathbf{A}_{1}}|\mathbf{B}_{1}): не нулевые строки \mathbf{B}_{1} — базис \mathrm{im}(\mathcal A-\lambda\mathcal E), строки матрицы \mathbf{A}_{1}, продолжение которых на правую часть есть нулевые строк, — базис \ker(\mathcal A-\lambda\mathcal E).

Нас в частности будет интересовать базис ядра. После первого отображения, если количество векторов базиса ядра не совпадает с k, то fatality… Придется еще раз помучаться отобразить оператором \mathcal A-\lambda \mathcal E. На матричном языке это означает: \mathbf{B}\cdot \mathbf{B_{1}}\overset{\text{not}}{=}\mathbf{C}. Запишем новую матрицу (\mathbf{A_{1}}|\mathbf{B_{1}}|\mathbf{C}) и снова преобразовываем правую часть матрицы к ступенчатому виду, изменяя строки всей матрицы.

Делаем так далее, пока в матрице n-го шага (\mathbf{A}_{n}|\mathbf{B}_{n}|\cdots|\mathbf{C}_{n}) в клетке \mathbf{C}_{n} не окажется k нулевых строк. На этом 2-ой шаг заканчивается.

В чем смысл? Фактически, сейчас уже мы строим ниль-слои, то есть цепочки:

e\mapsto(\mathcal A-\lambda_{i}\mathcal E)e\mapsto\cdots\mapsto(\mathcal A -\lambda_{i}\mathcal E)^{m-1}e\mapsto0

Каждое n-ое умножение \mathbf{B} на \mathbf{C}_{n-1} и приведение клетки правой части матрицы (\mathbf{A}_{n}|\mathbf{B}_{n}|\cdots|\mathbf{C}_{n}) к ступенчатому виду — нахождение базиса \ker(\mathcal A-\lambda\mathcal E)^n.

\begin{align} & \ker(\mathcal A-\lambda\mathcal E)\subset\ker(\mathcal A-\lambda\mathcal E)^2\subset\dots\subset\ker(\mathcal A-\lambda\mathcal E)^n \\ & \quad\ \ \ \ \uparrow\qquad\qquad\qquad \ \uparrow \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \uparrow \\ & \qquad\mathbf{A}_{n} \qquad\qquad\qquad \mathbf{B}_{n} \qquad\quad \dots\qquad\quad\ \ \mathbf{C}_{n}\end{align}

Когда в конце k строк в \mathbf{C}_{n} будет иметь 0, значит мы построили ЖСВ некоторого базиса \mathbb{V}. При этом количество отображений, которое придется сделать, не превышает k.

Шаг 3. Выбираем из матрицы (\mathbf{A}_{n}|\mathbf{B}_{n}|\cdots|\mathbf{C}_{n}) строки, которые в \mathbf{C}_{n} имеют нули. Составляем из них таблицу. Фактически это и есть Жорданова таблица, но только вектора в ней записаны в виде координатных строк в исходном базисе:

\begin{align} & \left| x_{1}^{(1,1)},\dots,x_{n}^{(1,1)} \right| \left| x_{1}^{(1,2)},\dots,x_{n}^{(1,2)} \right| \left| x_{1}^{(1,3)},\dots,x_{n}^{(1,3)} \right| \cdots \left| x_{1}^{(1, m_{1}-1)},\dots,x_{n}^{(1, m_{1}-1)} \right| \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \left| x_{1}^{(3,1)},\dots,x_{n}^{(3,1)} \right| \cdots \left| x_{1}^{(3, m_{2}-1)},\dots,x_{n}^{(3, m_{3}-1)} \right| \\ & \qquad\qquad\qquad\ \ \ \ \ \left| x_{1}^{(3,1)},\dots,x_{n}^{(3,1)} \right| \left| x_{1}^{(3,2)},\dots,x_{n}^{(3,2)} \right| \cdots \left| x_{1}^{(3, m_{2}-1)},\dots,x_{n}^{(3, m_{3}-1)} \right| \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad \cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot\qquad\cdot \\ & \qquad\qquad\qquad\ \ \ \ \ \left| x_{1}^{(k,1)},\dots,x_{n}^{(k,1)} \right| \left| x_{1}^{(k,2)},\dots,x_{n}^{(k,2)} \right| \cdots \left| x_{1}^{(k, m_{k}-1)},\dots,x_{n}^{(k, m_{k}-1)} \right| \\ \end{align}

где x^{(i,j)}_{q} — q-ая координата j-ого вектора i-ой строки, n в данной записи не номер шага, а \mathrm{dim}\ \mathbb{V}.

В этой таблице реализовываем метод Гаусса, приводя последний столбец к ступенчатому виду; если там появляются нулевые векторы, то их выкидываем и сдвигаем строки вправо, выровняв по правому краю. Когда векторов останется ровно k, значит получился Жорданов базис V(\lambda).

Шаг 4. Выбираем порядок расстановки ниль-слоев для Жорданова базиса V(\lambda). Далее для каждого ниль-слоя составляем Жорданову клетку и объединяем их в один блок в выбранном порядке расположения ниль-слоев:

\mathbf{J}_{m}(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 1 & \lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda \end{pmatrix}_{m\times m} \mathbf{J} (\lambda)=\begin{pmatrix} \mathbf{J}_{m_{1}}(\lambda) & & & \\ & \mathbf{J}_{m_{2}}(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & & \mathbf{J}_{m_{k}}(\lambda)\end{pmatrix}

Шаг 5. Проделываем шаги 2-4 для каждого \lambda\in \mathrm{Spec}\ \mathcal A. Объединяем все ЖБ, в единый базис — базис \mathbb{V}, и в выбранном порядке объединения базисов, расставляем блоки в матрице Жордановой нормальной формы:

\mathcal A\longleftrightarrow\mathbf{J}=\begin{pmatrix} \mathbf{J}(\lambda_{1}) && \\ & \ddots & \\ && \mathbf{J}(\lambda_{m})\end{pmatrix}

Матрица \mathbf{X}, составленная из векторов построенного базиса, записанных в координатах исходного базиса, есть матрица перехода, а тогда будет верно: \mathbf{X}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{J}.

На этом приведение матрицы к Жордановой нормальной форме заканчивается, а значит можно паковать чемоданы, надевать шляпу и идти отдыхать…

Комментарии (0)