Вычислим следующий несобственный интеграл:

Данный интеграл называется интеграл Гаусса. Он играет очень большую роль в математике, особенно в теории вероятностей.

Я тут приведу классический способ его вычисления. Его можно найти во многих учебниках по дифференциальному и интегральному исчислению в разделах кратных интегралах. Я, например, его взял из учебника Н. С. Пискунова “Дифференциального и интегрального исчисления для втузов” Москва издательство “Наука” 1985г. Но проанализировав это решение, мы выведем необычную аппроксимацию интеграла:

которой, можно пользоваться для вычисления данного интеграла на практически всей числовой оси, исключая небольшой отрезок в начале координат.

Для этого умножим исходный несобственный интеграл на интеграл:

Мы получили следующий двойной несобственный интеграл

Определенный интеграл от одной и той же функции с одинаковыми верхними и нижними пределами всегда равны, независимо какой буквой мы обозначим переменную. Следовательно, данное произведение будет равно квадрату исходного интеграла.

Внеся подынтегральное выражения левого интеграла под правый, получим следующий двойной интеграл:

Перейдя в полярную систему координат, мы получим:

Так как внутренний интеграл не зависит от θ, то их можно представить как произведение двух независимых интегралов. Внутренний несобственный интеграл представим как произведением двух независимых интегралов. Внутренний несобственный интеграл представим как предел при R стремящейся к бесконечности от интеграла с пределами от нуля до R:   

Так как выше было показано, что данный интеграл является квадратом исходного интеграла, то имеем:

Мы нашли значение интеграла Пуассона. Но давайте посмотрим на выражение, которое мы получили в пределе. Оно монотонно возрастает с R и имеет определенное значение при R=∞. При этом мы показали, что данный придел является квадратом исходного интеграла. Следовательно:

Исследуем следующее выражение:

Фактически данное выражение является абсолютной ошибки предполагаемой предложенной формулы аппроксимации и точного значения интеграла Гаусса при разных пределах

Ниже приводится график абсолютной ошибки, причем ось ординат имеет логарифмический масштаб:

Из графика видно, что максимальное значение данной функции в районе 0.7 и составляет примерно 0.200. Ниже приводится таблица точного интеграла, интеграла, вычисленного по предложенной формуле для аппроксимации и ее ошибки, при разных пределах интегрирования.

На основание этих данных можно оценить интеграл:

с помощью выражения:

При a>2 с достаточно высокой точностью можно вычислить данный интеграл.

Предложенная формула не является строгим следствием приведённого выше рассуждения, однако численный анализ показывает её высокую точность в указанном диапазоне. Для точных вычислений рекомендуется использовать функцию ошибок, но данная аппроксимация удобна для быстрых инженерных оценок.