Сотрудники Бристольского университета и Массачусетского технологического института смогли представить число 3 в виде суммы трех кубов целых чисел. Они показали 21-разрядное решение задачи.
Задача представлена в виде уравнения 
. Если ограничить значения всех переменных в нем множеством целых чисел, то получится диофантово уравнение. При определенных значениях k целочисленные решения для x, y и z могут вырасти до огромных чисел. Иногда сама возможность найти такое решение в отношении некоторых чисел ставится математиками под сомнение. Так, для k =29 и 30 решение находится, а для k=31 и 32 его нет.
Необходимость разложить k на кубы требует использования большого количества вычислительных мощностей. В сентябре 2019 года британские математики Энди Букер и Эндрю Сазерленд, используя объединенную мощность полумиллиона домашних ПК по всему миру, впервые нашли решение для k=42.
Для k=3 уже есть два решения. Это последовательности 4, 4, -5 и 1, 1, 1. О необходимости найти третью последовательность заявил еще в 1953 году математик Луис Морделл. В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что для каждого натурального числа, кроме тех, которые дают в остатке 4 и 5 при делении на 9, есть бесконечно много разложений на кубы целых чисел. При этом, по его мнению, они будут сильно отличаться по величине x, y и z.
Для k=3 его удалось найти с помощью распределенных компьютерных вычислений. Для этого потребовалось 4 млн часов совокупной работы более 400 тысяч компьютеров, подключенных к глобальной сети Charity Engine.
Сначала математики слегка видоизменили уравнение, чтобы увеличить скорость перебора возможных x, y, z: 
. С помощью теории чисел они сократили пространство перебираемых значений (x+y) для заданных k и z. Перебор вариантов разбили на большое количество параллельных потоков.
Вот такое решение получилось для k=3:
Букер отмечает, что для нахождения следующего разложения тройки может потребоваться в 100 млн раз большее количество устройств. «Я не знаю, найдем ли мы когда-нибудь четвертое разложение. Но я верю, что оно где-то там», — заявил Сазерленд.
В настоящее время среди натуральных чисел до 1000 остаются «неразложенными» семь: 114, 390, 627, 633, 732, 921 и 975.
ovsale
k=0 это частный случай теоремы Ферма?
BInc
В теореме Ферма речь идёт о сумме двух степеней и только о натуральных числах, ноль к ним не относится.
Pinguin
Теорему Ферма можно формулировать либо в натуральных числах, либо в целых, это эквивалентные формулировки. В статье википедии о теореме показано, почему.
Комментатор выше прав, при k == 0 данная задача эквивалентна частному случаю теоремы Ферма для n == 3.
BInc
Да, точно, прошу прощения, натуральные там только степени.
babylon
Я решил теорему Ферма для произвольного n ещё в 9-м классе.
Если n бесконечно то и то и другое верно. Но тех которых нельзя представить, меньше чем тех которых можно.
Относитесь к числу как к последовательной композиции из цифр и не выходите из этой парадигмы.