Математики считают, что абстрактные инструменты из области симплектической геометрии могут помочь в планировании полётов к далёким спутникам и планетам.

В октябре с мыса Канаверал во Флориде должна стартовать тяжёлая ракета Falcon Heavy с миссией НАСА Europa Clipper. Миссия стоимостью 5 миллиардов долларов призвана выяснить, может ли Европа, четвёртый по величине спутник Юпитера, поддерживать жизнь. Но поскольку Европу постоянно бомбардирует интенсивное излучение, создаваемое магнитным полем Юпитера, космический аппарат «Клипер» не сможет выйти на орбиту самого спутника. Вместо этого он будет двигаться по эксцентрической орбите вокруг Юпитера и собирать данные, неоднократно пролетая мимо Европы — в общей сложности 53 раза, — а затем удаляясь от места наибольшего излучения. Каждый раз, когда космический аппарат будет огибать Юпитер, его траектория будет немного отличаться, что позволит ему делать снимки и собирать данные от полюсов Европы до её экватора.

Для планирования таких запутанных маршрутов, как этот, специалисты по планированию траекторий используют компьютерные модели, которые тщательно просчитывают траекторию шаг за шагом. При планировании учитываются сотни требований миссии, и в этом помогают десятилетия математических исследований орбит и способов их соединения в сложные маршруты. Сейчас математики разрабатывают инструменты, которые, как они надеются, можно будет использовать для создания более систематического понимания того, как орбиты связаны друг с другом.

«Всё, что у нас есть, — это предыдущие расчёты, которыми мы руководствовались при выполнении текущих расчётов. Но это не полная картина всех вариантов, которые у нас есть", — говорит Дэниел Шерес, аэрокосмический инженер из Университета Колорадо в Боулдере.

«Думаю, это было моим самым большим разочарованием, когда я был студентом», — говорит Даюнг Кох, инженер из Лаборатории реактивного движения НАСА. «Я знаю, что эти орбиты существуют, но не знаю, почему». Учитывая стоимость и сложность миссий к спутникам Юпитера и Сатурна, отсутствие понимания того, почему орбиты находятся именно там, где они находятся, является проблемой. Что, если существует совершенно другая орбита, кото рая помогла бы справиться с задачей с меньшими затратами? Как сказала Кох: «Нашёл ли я их все? Есть ли ещё те, что я не нашёл? Я не могу этого сказать».

Получив докторскую степень в Университете Южной Калифорнии в 2016 году, Кох заинтересовалась тем, как орбиты можно каталогизировать по семействам. Орбиты Юпитера, которые находятся далеко от Европы, образуют такое семейство; то же самое можно сказать и об орбитах, близких к Европе. Но другие семейства менее очевидны. Например, для любых двух тел, таких как Юпитер и Европа, существует промежуточная точка, в которой гравитационные эффекты двух тел уравновешиваются, создавая стабильные точки. Космические аппараты могут вращаться вокруг этой точки, даже если в центре орбиты ничего нет. Такие орбиты образуют семейство, называемое орбитами Ляпунова. Добавьте немного энергии объекту, находящемуся на такой орбите, запустив двигатель космического корабля, и сначала вы останетесь в том же семействе орбит. Но добавьте достаточно много, и вы перейдёте в другое семейство — скажем, в то, которое включает Юпитер в свои орбиты. Некоторые семейства орбит могут требовать меньше топлива, чем другие, постоянно находиться под солнечным светом или обладать другими полезными свойствами.

В 2021 году Кох наткнулась на статью, в которой обсуждалось, как разобраться с хаотическими орбитами с точки зрения симплектической геометрии — абстрактной области математики, которая обычно далека от неприглядных деталей реального мира. Она начала подозревать, что симплектическая геометрия может обладать инструментами, необходимыми для лучшего понимания орбит, и связалась с Агустином Морено, автором статьи. Морено, в то время работавший постдоктором в Уппсальском университете в Швеции, был удивлён и рад услышать, что кто-то в НАСА заинтересовался его работой. «Это было неожиданно, но в то же время довольно интересно и в какой-то степени мотивирующе», — сказал он.

Они начали работать вместе, пытаясь применить абстрактные методы Морено к системе Юпитера и Европы, а также к Сатурну и его спутнику Энцеладу, в подземном океане которого, как и на Европе, может существовать жизнь. За последний год вместе с другими сотрудниками они написали ряд работ, в которых создали основу для каталогизации орбит. В январе Морено, который сейчас является профессором Гейдельбергского университета, завершил работу над ранним проектом, который превращает его обзорную работу в книгу по этой теме. С помощью этой книги он хочет сделать абстрактную область симплектической геометрии полезной для инженеров, которые пытаются планировать космические полёты. Если ему это удастся, он объединит области исследований, существовавшие порознь на протяжении веков.

В геометрию нет простого пути

Симплектическая геометрия уходит своими корнями в физику. В качестве простого примера представьте себе маятник. Его движение можно описать двумя параметрами: углом и скоростью. Если скорость достаточно мала, маятник будет колебаться вперёд-назад. Если скорость будет выше, то он будет вращаться по кругу. Как только вы выбрали начальный угол и скорость, поведение системы с идеальным маятником без трения определено на все времена.

Вы можете построить график с углом в качестве оси x и скоростью в качестве оси y. Но поскольку путешествие на 360 градусов возвращает вас в начало пути, вы можете сшить вместе вертикальные линии, где x равен нулю градусов и где x равен 360 градусов. Получится цилиндр. Цилиндр не отражает непосредственно физическую реальность — он не показывает пути, которые прокладывает маятник, — скорее, каждая точка на нём представляет собой определённое состояние маятника. Цилиндр вместе с законами, определяющими траектории движения маятника, образует симплектическое пространство.

С начала XVII века, когда Иоганн Кеплер сформулировал свои законы, физики и математики хорошо понимали, как описать движение двух тел под действием гравитации. В зависимости от скорости движения их траектории образуют эллипс, параболу или гиперболу. Соответствующие симплектические пространства сложнее, чем для маятника, но всё же поддаются описанию. Но введение третьего объекта делает невозможным вычисление точных, аналитических решений. И всё становится только сложнее, если добавить в модель больше тел. «Без аналитического подхода вы почти всегда стреляете в темноту», — говорит Шерес.

Космический аппарат, который может свободно двигаться в любом направлении — справа налево, вверх и вниз, спереди назад, — нуждается в трёх координатах для описания своего положения и ещё трёх — для описания скорости. Таким образом, получается шестимерное симплектическое пространство. Чтобы описать движение трёх тел, например Юпитера, Европы и космического корабля, нужно 18 измерений: по шесть на каждое тело. Геометрия пространства определяется не только количеством измерений, но и кривыми, которые показывают, как описываемая физическая система изменяется с течением времени.

Морено и Кох работали над «ограниченной» версией задачи трёх тел, в которой одно из тел (космический корабль) настолько мало, что не оказывает никакого влияния на два других (Юпитер и Европу). Чтобы ещё больше упростить задачу, исследователи предположили, что орбита спутника идеально круглая. Вы можете взять её круговую орбиту как устойчивый фон, на котором можно рассматривать траекторию космического зонда. В симплектическом пространстве нужно учитывать только положение и скорость космического аппарата, поскольку движение Юпитера и Европы легко описать. Поэтому вместо 18-мерного, соответствующее симплектическое пространство является шестимерным. Когда траектория в этом шестимерном пространстве образует петлю, она представляет собой периодическую орбиту космического аппарата через систему планета-спутник.

Когда Кох связалась с Морено, её интересовали случаи, когда добавление совсем небольшого количества энергии приводит к переходу орбиты космического аппарата из одного семейства в другое. Такие точки встречи между семействами орбит называются точками бифуркации. Часто многие семейства пересекаются в одной точке. Это делает их особенно полезными для планировщиков траекторий. «Понимание бифуркационной структуры даёт вам дорожную карту, где находятся интересные траектории, на которые вам стоит обратить внимание», — говорит Шерес. Кох хотел узнать, как определить и предсказать точки бифуркации.

Получив информацию от Кох, Морено обратился к нескольким другим геометрам: Урса Фрауэнфельдера из Университета Аугсбурга, Ченгиза Айдина из Гейдельбергского университета и Отто ван Коерта из Сеульского национального университета. Фрауэнфельдер и ван Коерт уже давно изучают проблему трёх тел с помощью симплектической геометрии и даже открыли потенциально новое семейство орбит. Но хотя инженеры, планирующие полёты космических кораблей, использовали огромное количество математических инструментов, в последние десятилетия их пугала всё большая абстрактность симплектической геометрии.

В течение последующих месяцев инженер и четыре математика постепенно знакомились с областями знаний друг друга. «Когда вы занимаетесь междисциплинарной работой, требуется некоторое время, чтобы, скажем, преодолеть языковой барьер», — сказал Морено. «Но после того, как вы терпеливо проделали работу, она начинает приносить свои плоды».

Набор инструментов

Команда собрала ряд инструментов, которые, как они надеются, будут полезны для планировщиков миссий. Один из них — число, называемое индексом Конлея-Зендера, которое помогает определить, когда две орбиты принадлежат к одному семейству. Чтобы рассчитать его, исследователи изучают точки, которые находятся рядом с орбитой, которую они хотят изучить, но не на ней. Представьте, например, что космический аппарат движется по эллиптической орбите вокруг Юпитера под влиянием гравитации Европы. Если сдвинуть его с траектории, то новая траектория будет имитировать исходную орбиту, но лишь грубо. Новая траектория будет закручиваться по спирали вокруг исходной орбиты, возвращаясь в несколько иную точку после облёта Юпитера. Индекс Конлея-Зендера — это показатель того, насколько сильно закручивается спираль.

Удивительно, но индекс Конлея-Зендера не зависит от того, как именно вы подталкиваете космический аппарат — это число, зависящее от самой орбиты. Более того, оно одинаково для всех орбит одного семейства. Если вы вычислите индекс Конлея-Зендера для двух орбит и получите два разных числа, вы можете быть уверены, что орбиты принадлежат к разным семействам.

Другой инструмент, называемый числом Флоера, может подсказать ещё не открытые семейства орбит. Предположим, несколько семейств сталкиваются в точке бифуркации, когда энергия не достигает определённого числа, и ещё несколько семейств разветвляются от этой точки бифуркации, когда энергия становится выше. Таким образом, образуется сеть семейств, центральным узлом которой является бифуркация.

Вы можете вычислить число Флоера, связанное с этой точкой бифуркации, как простую функцию от индексов Конлея-Зендера, связанных с каждым соответствующим семейством. Вы можете вычислить эту функцию как для всех семейств, энергия которых чуть меньше энергии точки бифуркации, так и для семейств, энергия которых больше. Если два числа Флоера отличаются, это подсказка, что существуют скрытые семейства, связанные с вашей точкой бифуркации.

«Мы предоставляем инструменты, с помощью которых инженеры проверяют свои алгоритмы», — говорит Морено. Новые инструменты призваны помочь инженерам понять, как семейства орбит сочетаются друг с другом, и подтолкнуть их к поиску новых семейств, если это оправдано; они не призваны заменить методы поиска траекторий, которые оттачивались десятилетиями.

В 2023 году Морено представил свою работу на конференции, организованной «Комитетом по механике космических полётов», и вступил в контакт с инженерами, изучающими космические траектории, в том числе с некоторыми из JPL и лаборатории Шереса в Боулдере. Шерес приветствовал смешение областей: Он давно знал о симплектическом подходе к планетарному движению, но чувствовал себя не в своей тарелке с математической точки зрения. «Было очень интересно увидеть, как математики пытаются перенести свой опыт на инженерную сторону», — говорит он. Сейчас группа Шереса работает над более сложной системой, включающей четыре тела.

Эд Белбруно, консультант по планированию траекторий (и бывший орбитальный аналитик JPL), который работал с Фрауэнфельдером, предупреждает, что применение не является прямым. «Хотя математические методы, такие как симплектическая геометрия, могут предложить действительно классные траектории, и вы получите их целую кучу, может оказаться, что очень, очень немногие, если вообще какие-либо, удовлетворяют ограничениям», которые могут понадобиться реальной миссии, сказал он.

Хотя траектории «Клипера» уже в значительной степени определены, Морено стремится к изучению следующей планеты: Сатурна. Он уже представил свои исследования специалистам по планированию миссий в JPL, которые надеются отправить космический аппарат к спутнику Сатурна Энцеладу. Морено надеется, что симплектическая геометрия «станет частью стандартного набора инструментов для космических миссий».