Доказать одно из самых основных свойств числа: можно ли записать его в виде дроби — удивительно сложно. Новый всеобъемлющий метод может помочь решить этот древний вопрос

В июне 1978 года организаторы крупной математической конференции в Марселе, Франция, объявили о последнем добавлении в программу. Во время обеденного перерыва математик Роджер Апери представит доказательство того, что одно из самых известных чисел в математике — «дзета от 3», или ζ(3), как пишут математики, — не может быть выражено в виде дроби двух целых чисел. Оно оказалось тем, что математики называют «иррациональным числом».

Участники конференции отнеслись к этому скептически. Дзета-функция Римана является одной из центральных функций в теории чисел, и математики на протяжении веков пытались доказать иррациональность ζ(3) — числа, которое дзета-функция выдаёт при входном значении 3. Апери, которому было 61 год, не считался ведущим математиком. У него был говор, напоминающий деревенский, и репутация провокатора. Многие участники, предполагая, что Апери затеял сложный розыгрыш, пришли готовые ответить ему тем же. Как позже вспоминал один математик, они «пришли, чтобы навести шороху».

Лекция быстро превратилась в хаос. С минимальными пояснениями Апери представлял уравнение за уравнением, некоторые из которых включали невозможные операции, такие как деление на ноль. На вопрос о происхождении его формул он ответил: «Они растут в моем саду». Математики встречали его утверждения взрывами смеха, перекрикивались с друзьями через весь зал и бросали бумажные самолётики.

Но по крайней мере один человек — Анри Коэн (сейчас в Университете Бордо) — вышел с лекции убеждённым, что Апери прав. Коэн сразу же начал расписывать аргументы Апери; в течение нескольких месяцев вместе с небольшой группой других математиков он завершил доказательство. Когда он представил их выводы на последующей конференции, один из слушателей пробормотал: «Победа французского крестьянина».

После того как математики, хоть и c неохотой, приняли доказательство Апери, многие ожидали вала дальнейших результатов, касающихся иррациональности разных чисел. Иррациональные числа значительно превосходят по количеству рациональные: если вы случайным образом выберете точку на числовой прямой, она почти наверняка окажется иррациональной. И хотя числа, фигурирующие в математических исследованиях, по определению не случайны, математики считают, что большинство из них также должно быть иррациональным. Но хотя математикам удалось доказать этот базовый факт для некоторых чисел, таких как π и e, для большинства других чисел это остаётся невероятно сложной задачей. Метод Апери, как надеялись математики, наконец позволит им продвинуться вперёд, начиная с других значений дзета-функции, кроме ζ(3).

«Все верили, что это вопрос одного или двух лет, чтобы доказать, что каждое значение дзета-функции иррационально», — сказал Вадим Зудилин из Университета Радбауд в Нидерландах.

Но ожидаемый поток результатов не появился. Никто по-настоящему не понимал, откуда взялись формулы Апери, и когда «у вас есть доказательство, которое настолько чуждо, не всегда легко обобщить его, повторив магию», — сказал Фрэнк Калегари из Чикагского университета. Математики стали рассматривать доказательство Апери как изолированное чудо.

Но теперь Калегари и два других математика — Веселин Димитров из Калифорнийского технологического института и Юнцин Тан из Калифорнийского университета в Беркли — показали, как расширить подход Апери в гораздо более мощный метод для доказательства иррациональности чисел. В процессе они установили иррациональность бесконечной коллекции значений, подобных дзета-функции.

Жан-Бенуа Бост из Университета Париж-Сакле назвал их открытие «явным прорывом в теории чисел».

Математики воодушевлены не только результатом, но и подходом исследователей, который они использовали в 2021 году для решения 50-летней гипотезы о важных уравнениях в теории чисел, называемых модулярными функциями. «Возможно, теперь у нас достаточно инструментов, чтобы продвинуть эту тему гораздо дальше, чем считалось возможным», — сказал Франсуа Шарль из Высшей нормальной школы в Париже. «Это очень захватывающее время».

В то время как доказательство Апери казалось появившимся из ниоткуда — один математик описал его как «смесь чудес и загадок» — новая работа вписывает его метод в обширную структуру. Эта дополнительная ясность повышает надежду на то, что достижения Калегари, Димитрова и Тан будут легче развиваться, чем доказательство Апери.

«Надеюсь, — сказал Дэниел Литт из Университета Торонто, — мы скоро увидим золотую лихорадку связанных доказательств иррациональности».

Доказательство, которое пропустил Эйлер

С самых ранних эпох математических открытий люди задавались вопросом, какие числа являются рациональными. Два с половиной тысячелетия назад пифагорейцы искренне считали, что каждое число можно записать через соотношение двух целых чисел. Они были шокированы, когда член их школы доказал, что квадратный корень из 2 таковым не является. Согласно легенде, возмутителя спокойствия в наказание утопили.

Квадратный корень из 2 был только началом. Особые числа появляются во всех областях математических исследований. Некоторые, такие как π, возникают при вычислении площадей и объёмов. Другие связаны с определёнными функциями — например, e является основанием натурального логарифма. «Это вызов: вы задаёте себе число, которое естественно возникает в математике, и задаётесь вопросом, рационально ли оно», — сказал Коэн. «Если оно рациональное, то это не очень интересное число».

Многие математики придерживаются принципа бритвы Оккама: если нет веской причины, по которой число должно быть рациональным, оно, вероятно, таковым не является. В конце концов, математики давно знают, что большинство чисел иррациональны.

Тем не менее, на протяжении веков доказательства иррациональности конкретных чисел были редкими. В 1700-х годах математический гигант Леонард Эйлер доказал, что e иррационально, а другой математик, Иоганн Ламберт, доказал то же самое для π. Эйлер также показал, что все чётные значения дзета-функции — числа ζ(2), ζ(4), ζ(6) и так далее — равны некоторому рациональному числу, умноженному на степень π, что стало первым шагом к доказательству их иррациональности. Доказательство было окончательно завершено в конце 1800-х годов.

Но статус многих других простых чисел, таких как π + e или ζ(5), остаётся загадкой даже сейчас.

Может показаться удивительным, что математики до сих пор борются с таким базовым вопросом о числах. Но даже несмотря на то, что рациональность — это элементарное понятие, у исследователей мало инструментов для доказательства иррациональности данного числа. И часто эти инструменты не срабатывают.

Когда математикам удаётся доказать иррациональность числа, основная часть их доказательства обычно опирается на одно базовое свойство рациональных чисел: они не любят находиться близко друг к другу. Например, если вы выберете две дроби, одна с знаменателем 7, другая с знаменателем 100, чтобы измерить расстояние между ними (вычитая меньшую дробь из большей), вам придётся переписать дроби так, чтобы у них был одинаковый знаменатель. В этом случае общий знаменатель — 700. Таким образом, независимо от того, с каких двух дробей вы начнёте, расстояние между ними будет равно некоторому целому числу, делённому на 700, — а это значит, что дроби должны отстоять друг от друга как минимум на 1/700. Если вам нужны дроби, которые находятся ближе, чем 1/700, вам придётся увеличить один из двух исходных знаменателей.

Переверните это рассуждение, и оно превратится в критерий для доказательства иррациональности. Предположим, у вас есть число k, и вы хотите выяснить, рационально ли оно. Возможно, вы замечаете, что расстояние между k и 4/7 меньше 1/700. Это означает, что k не может иметь знаменатель 100 или меньше. Затем, возможно, вы находите новую дробь, которая позволяет исключить возможность того, что k имеет знаменатель 1000 или меньше, — а затем ещё одну дробь, которая исключает знаменатель 10 000 или меньше, и так далее. Если вы можете построить бесконечную последовательность дробей, которая постепенно исключает каждый возможный знаменатель для k, то k не может быть рациональным.

Почти каждое доказательство иррациональности следует такой линии рассуждения. Но вы не можете просто взять любую последовательность дробей, которая приближается к k, — вам нужны дроби, которые приближаются к k достаточно быстро по сравнению с их знаменателями. Это гарантирует, что исключаемые знаменатели продолжают расти. Если ваша последовательность не приближается к k достаточно быстро, вы сможете исключить знаменатели только до определённого предела, а не все возможные знаменатели.

Нет общего рецепта для построения подходящей последовательности дробей. Иногда хорошая последовательность сама падает вам в руки. Например, число e (приблизительно 2,71828) эквивалентно следующей бесконечной сумме:

Если вы остановите эту сумму на любом конечном шаге и сложите члены, вы получите дробь. И требуется немного больше, чем школьная математика, чтобы показать, что эта последовательность дробей приближается к e достаточно быстро, чтобы исключить все возможные знаменатели.

Но этот трюк не всегда работает. Например, иррациональное число Апери, ζ(3), определяется как следующая бесконечная сумма:

Если вы остановите эту сумму на каждом конечном шаге и сложите члены, полученные дроби не приближаются к ζ(3) достаточно быстро, чтобы исключить каждый возможный знаменатель для ζ(3). Есть вероятность, что ζ(3) может быть рациональным числом с большим знаменателем, чем те, которые вы исключили.

Гениальность Апери заключалась в том, чтобы построить другую последовательность дробей, которые приближаются к ζ(3) достаточно быстро, чтобы исключить каждый знаменатель. Его конструкция использовала математику, которую использовали несколько веков назад — одна статья назвала это «доказательством, которое пропустил Эйлер». Но даже после того, как математики поняли его метод, они не смогли распространить его успех на другие интересующие их числа.

Как и каждое доказательство иррациональности, результат Апери мгновенно подразумевал, что множество других чисел также иррациональны — например, ζ(3) + 3 или 4 × ζ(3). Но математики не могут слишком радоваться таким «подаркам». Что они действительно хотят, так это доказать, что «важные» числа иррациональны — числа, которые «появляются в одной формуле, затем в другой, и вообще в самых разных разделах математики», — сказал Зудилин.

Мало чисел соответствуют этому стандарту более полно, чем значения дзета-функции Римана и родственные функции, известные как L-функции. Дзета-функция Римана, ζ(x), преобразует число x в следующую бесконечную сумму:

Например, ζ(3) — это бесконечная сумма, которую вы получаете, подставляя x = 3. Дзета-функция давно известна как управляющая распределением простых чисел. Между тем, L-функции — которые похожи на дзета-функцию, но имеют различные числители — управляют распределением простых чисел в более сложных числовых системах. За последние 50 лет L-функции приобрели особую значимость в теории чисел благодаря их ключевой роли в программе Ленглендса, амбициозной попытке построить «великую объединённую теорию» математики. Но они также появляются в совершенно других областях математики. Например, возьмём L-функцию, числители которой следуют шаблону 1, −1, 0, 1, −1, 0, повторяясь. Вы получите:

Помимо своей роли в теории чисел, эта функция, которую мы назовём L(x), неожиданно появляется в геометрии. Например, если вы умножите L(2) на простой множитель, вы получите объём самого большого правильного тетраэдра с «гиперболической» геометрией, искривлённой геометрией седловидных форм.

Математики размышляли над L(2) как минимум два столетия. За эти годы они придумали семь или восемь различных способов приблизить его последовательностями рациональных чисел. Но ни одна из этих последовательностей не приближается к нему достаточно быстро, чтобы доказать его иррациональность.

Исследователи, казалось, зашли в тупик — пока Калегари, Димитров и Тан не решили сделать его центральным элементом своего нового подхода к иррациональности.

Доказательство, которое пропустил Риман

В доказательстве иррациональности вы хотите, чтобы ваша последовательность дробей исключала все большие знаменатели. У математиков есть любимая стратегия для понимания такой последовательности: они упаковывают её в функцию. Изучая функцию, они получают доступ к арсеналу инструментов, включая все методы математического анализа.

В этом случае математики строят «степенной ряд» — математическое выражение с бесконечным числом членов, например, 3 + 2x + 7x² + 4x³ + …, где каждый коэффициент определяется путём сочетания изучаемого числа с одной дробью в последовательности по определённой формуле. Первый коэффициент в итоге отражает размер знаменателей, исключённых первой дробью; второй коэффициент отражает размер знаменателей, исключённых второй дробью, и так далее.

Грубо говоря, коэффициенты и исключённые знаменатели имеют обратную зависимость, что означает, что ваша цель — доказать, что исключённые знаменатели стремятся к бесконечности, — эквивалентна тому, чтобы показать, что коэффициенты стремятся к нулю.

Преимущество этой упаковки в том, что вы можете попытаться контролировать коэффициенты, используя свойства степенного ряда в целом. В этом случае вы хотите изучить, какие значения x заставляют степенной ряд «раздуваться» до бесконечности. Члены степенного ряда включают все более высокие степени x, поэтому, если они не связаны с чрезвычайно малыми коэффициентами, большие значения x заставят степенной ряд раздуваться. В результате, если вы можете показать, что степенной ряд не раздувается даже для больших значений x, это говорит о том, что коэффициенты действительно стремятся к нулю, как вы и хотите.

Чтобы применить особенно богатый набор инструментов для решения этого вопроса, математики рассматривают «комплексные» значения для x. Комплексные числа объединяют действительную и мнимую части и могут быть представлены как точки на двумерной плоскости.

Представьте, что вы начинаете с числа ноль на плоскости комплексных чисел и «надуваете» диск до тех пор, пока не столкнётесь с первым комплексным числом, которое заставляет ваш степенной ряд «раздуваться» до бесконечности — то, что математики называют сингулярностью. Если радиус этого диска достаточно велик, можно сделать вывод, что коэффициенты степенного ряда уменьшаются до нуля достаточно быстро, чтобы доказать, что ваше число иррационально.

Доказательство Апери и многие другие результаты об иррациональности можно переформулировать в этих терминах, хотя изначально они были записаны иначе. Но когда дело доходит до L(2), диск оказывается слишком мал. Для этого числа математики посчитали подход через степенные ряды тупиковым.

Но Калегари, Димитров и Танг увидели возможный путь. Сингулярность не всегда представляет собой конечную точку остановки — это зависит от того, как всё выглядит при достижении сингулярности. Иногда граница диска сталкивается с множеством сингулярностей. Если это происходит, вам не повезло. Но в других случаях на границе может быть всего несколько изолированных сингулярностей. В таких случаях можно попытаться «раздуть» диск в большую область на комплексной плоскости, избегая сингулярностей.

Именно это и надеялись сделать Калегари, Димитров и Танг. Возможно, подумали они, дополнительная информация, содержащаяся в этой большей области, позволит им получить необходимый контроль над коэффициентами степенного ряда. Некоторые степенные ряды, как сказал Калегари, могут иметь «чудесную жизнь за пределами диска».

В течение четырёх лет Калегари, Димитров и Танг разработали, как использовать этот подход для доказательства того, что L(2) иррационально. «Они разработали совершенно новый критерий для определения, является ли данное число иррациональным», — сказал Зудилин. «Это воистину удивительно».

Как и в случае с доказательством Апери, новый метод является возвратом к более ранней эпохе, и в значительной степени опирается на обобщения математического анализа XIX века. Бост даже назвал новую работу «доказательством, которое упустил Риман», имея в виду Бернхарда Римана, одного из величайших математиков XIX века, в честь которого названа дзета-функция Римана.

Новое доказательство не ограничивается L(2). Мы конструируем это число, заменяя единицы в числителях ζ(2) на повторяющийся паттерн из трёх чисел: 1, −1, 0, 1, −1, 0 и так далее. Можно создать бесконечное множество других вариантов ζ(2) с повторяющимися числителями — например, повторяющийся паттерн 1, 4, 10, 1, 4, 10 …, который даёт бесконечную сумму:

Исследователи доказали, что каждая такая сумма также иррациональна (при условии, что она не равна нулю). Они также использовали свой метод для доказательства иррациональности совершенно другого набора чисел, образованных произведениями логарифмов. Такие числа ранее были «совершенно недостижимы», сказал Бост.

Исследователи предполагают, что следующим шагом могут стать варианты ζ(2) с повторяющимися паттернами из четырёх чисел. В частности, они возлагают надежды на доказательство иррациональности «постоянной Каталана» — варианта с повторяющимся паттерном 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0 …, который изучается уже более 150 лет.

«Каталан так близок», — сказал Коэн.

Результаты, достигнутые командой на данный момент, являются «доказательством концепции того, что их методы способны зайти очень, очень далеко, гораздо дальше, чем мы ожидали пару лет назад», — сказал Чарльз. «Это точно не конец истории».

После стольких лет, проведённых в тумане, математики наконец начинают чётко различать множество ориентиров в одном из своих самых фундаментальных ландшафтов — числовой прямой.