Наверное все хотя бы раз видели картинки с фракталами и примерно представляют себе, что это такое. Кажется, будто они были с нами всегда — тем удивительнее, что и самому слову, и его математической базе, и визуальному воплощению — всего лишь полвека. Рассказываем историю одного из самых удивительных (и красочных) математических открытий XX века.
Как это было
Бенуа Мандельброт (1924-2010) родился в Польше, в семье литовских евреев. В силу известных исторических событий молодой человек, обнаруживший необычайное математическое дарование, сначала переехал в Париж — где получил образование в Политехнической школе, а потом в США — где с блеском окончил Калифорнийский технологический институт.
С 1958 года Мандельброт работал (как и многие другие талантливые эмигранты того времени) в компании IBM, тогдашнем технологическом флагмане США. Известно, что его спектр интересов был очень широк: от лингвистики и теории игр до астрономии, физики и, — особо это отметим, — экономики.
Относительно того, как у молодого ученого получилось совершить свое открытие, есть разные версии. Например, такая:
…Бенуа вспомнил совет своего дяди-математика Шолема Мандельброта — попробовать создать что-то, опираясь на малоизвестные теории итерации, разработанные французскими математиками Пьером Фату и Гастоном Жюли. Их работы привлекли внимание ученых со всего мира и центрировались вокруг простейшего уравнения: z = z² + c. С переменной «z» и параметром «c» это уравнение отображает значения на комплексной плоскости, где ось «x» представляет действительную часть комплексного числа, а ось «y» — мнимую часть (i) комплексного числа.
При штудировании экономической статистики в начале 1960-х Мандельброт впервые заметил странные математические аномалии, не подчиняющиеся стандартному Гауссовому распределению. Исследуя такую специфическую тему, как колебание цен на хлопок за столетний промежуток, Мандельброт впервые смог доказать (The Variation of Certain Speculative Prices, 1963), что кажущаяся случайность в тенденциях изменения цен определяется некоей симметрией в длительных и кратковременных колебаниях.
Благодаря широте своих интересов, Мандельброт не стал копать эту тему глубже (хотя впоследствии к ней вернулся в 1980-х и доказал более основательно, выпустив затем две книги), а пошел вширь. Ему было интересно, действительно ли удалось нащупать некую глобальную математическую структуру, которая до этого была скрыта, но на самом деле встречалась практически во всем, чего он касался.
Следующая значимая работа Мандельброта была сделана вообще в другой области: речь, конечно, про публикацию «Какова длина побережья Великобритании?». Сам этот парадокс был известен с 1951 года, когда его заметил математик Льюис Фрай Ричардсон (однако, не давший удовлетворительного объяснения явлению), но разрешил его именно Мандельброт.
Суть парадокса береговой линии в следующем: чем меньше минимальный отрезок измерения, тем больше получается общая длина побережья. На примере Англии Ричардсон показал, что если брать отрезки по 100 километров, то суммарно береговая линия составляет 2800 километров. А если брать отрезки по 50 километров — то уже 3400! Если последовательно уменьшать длину минимальных отрезков, то длина побережья Англии и вовсе возрастает, стремясь к бесконечности.
Именно в этой работе про парадокс береговой линии Мандельброт впервые использует математическое понятие фрактала (еще не используя само это слово).
Он отталкивается от предположений Ричардсона и использует также в качестве опорной точки Снежинку Коха, математический самоподобный объект, который был придуман еще в 1904 году, как один из предшественников фрактала (подробнее об этом дальше).
В работе о побережье Англии Мандельброт не утверждает, впрочем, что вообще любая береговая линия или географическая граница на самом деле имеют дробную размерность. Но он указывает, что такие географические кривые могут быть смоделированы с помощью случайных самоподобных фигур дробной размерности. И отмечает, что такие случайные статистически самоподобные фигуры «повсеместно встречаются в природе».
Отсюда оставалось сделать один шаг до самого главного открытия, что же это за фигуры, и Мандельброт совершил его в 1975 году, опубликовав на французском языке прорывную работу «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность» (английский перевод последовал через два года):
Я придумал слово fractal от латинского прилагательного fractus. Соответствующий латинский глагол frangere означает «ломать»: создавать нерегулярные фрагменты. Поэтому разумно, ... что в дополнение к «фрагментированному» ... fractus также должен означать «нерегулярный».
В своей книге Мандельброт ввел и популяризировал понятие фрактальной размерности, которое описывает, насколько сложна форма объекта. Это число, как правило, не является целым, что отличается от традиционной евклидовой геометрии. Фрактальные объекты самоподобны, то есть, выглядят одинаково на разных уровнях увеличения. Таким образом можно обнаружить скрытую структуру в процессах, которые кажутся случайными (например, те самые береговые линии или принципы формирования облаков).
В общем и целом книга подчеркивает красоту (в техническом смысле) фракталов как математического инструмента для описания сложных явлений, ранее не поддававшихся точному описанию.
В 1978 году Роберт Брукс и Питер Мательски, основываясь на этой работе, определили математическую структуру, названную «множеством Мандельброта» (ученый, конечно, не возражал).
Ее визуализации сегодня обычно и называют в широком смысле «фракталами». В них каждой точке задается цвет в зависимости от количества итераций, за которые получается определить ее принадлежность множеству.
Множество Мандельброта
Вот она, формула, которая генерирует целый мир:
Вики: Визуально внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду. Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой.
Как справедливо отмечают вот в этой хабростатье, это очень красиво, бесконечная сложность при предельной простоте исходной посылки. Прямо как наш мир. Вот еще чуть более подробно, как это все работает.
Первые визуализации MМ выглядели не совсем так, как мы (избалованные визуальными технологиями) привыкли.
Но уже в 1980-м Мандельброт (который ранее делал сам множество набросков и примеров визуализации открытых им структур) подключил мощности родного IBM и стало намного красивее.
Современные визуализации (особенно анимированные) позволяют в полной мере ощутить всю математическую красоту и всю универсальность множества Мандельброта.
Широкое признание в научных кругах и мировая известность пришли к Мандельброту в 1982 году с публикацией его книги «Фрактальная геометрия природы». Она представляла собой дополненную, расширенную и популяризированную версию его научной работы 1975 года.
Смотрите, говорил Мандельброт, — фракталы везде. То, как устроены деревья (ствол, ветвь, сучок), как устроены облака, как закручиваются лепестки капусты или чешуйки шишки, везде мы находим самоподобные фигуры, большое складывается из подобного малого. Возможно, вся вселенная складывается из фракталов.
Да, некоторые из математических объектов, представленных Мандельбротом во «Фрактальной геометрии природы» (вроде той же Снежинки Коха или Треугольника Серпинского), ранее были открыты и описаны другими авторами. Но Мандельброт был первым, кто собрал это все воедино и показал — перед нами не странные и умозрительные диковинки, наоборот, это основа строения природы вообще. Мандельброт считал, что «фракталы вовсе не являются чем-то неестественным, напротив, во многих отношениях они более интуитивны и естественны, чем искусственно сглаженные объекты традиционной евклидовой геометрии».
Народу фракталы понравились. И очень быстро визуализации по мотивам множества Мандельброта стали частью всего, от анимации в кино до скринсейверов на персональных компьютерах.
Кстати, Мандельброт подписывался как Benoit B. Mandelbrot, но, не будучи американцем, он на самом деле не имел среднего имени. Это породило забавную шутку, что «B.» означает на самом деле «Benoit B. Mandelbrot», что превращает в самоподобный фрактал само имя их открывателя.
Фракталы своими руками
Интернет предлагает множество программ для генерации «честных» фракталов (то есть, основанных на формуле Мандельбротова множества). Есть как платные, так и бесплатные, как 2D так и 3D варианты.
Некоторые популярные у пользователей генераторы:
Apophysis
Mandelbulb 3D
Ultra Fractal
Fractorium
JWildfire
Фракталы и мы
Мандельброт был настроен практически мессиански относительно своего открытия, применяя его ко всему подряд — и почти всегда получалось (хотя с космологией вышло не очень, несмотря на визуальную схожесть ММ и фотографий множества галактик). Его открытие оказало очевидное и значительное влияние на множество дисциплин, включая математику, физику, биологию и даже когнитивные науки.
О последнем. Один из пока нерешенных моментов: можно ли описать очень сложные динамические системы, такие, как работа нейронных связей мозга, через хаотические и фрактальные модели?
Кажется правдоподобным, что сознание работает не как линейная система, а как динамическая нелинейная структура, где каждая часть взаимодействует с целым, что соответствует фактической архитектуре мозгового «железа». Как ритмы мозга (альфа-, бета-, гамма-волны) имеют фрактальную временную структуру, так и сами нервные сети в мозге имеют свойства фракталов: дендритные деревья и аксоны нейронов организованы в ветвящиеся (подобно буквальным деревьям) структуры. Эти ветвления оптимизируют сбор информации от других нейронов, увеличивая площадь контакта при минимальных затратах энергии.
Но это все пока еще остается предметом изучения будущего.
Дальнейшее чтение для заинтересовавшихся:
The fractal brain: scale-invariance in structure and dynamics
Applications of fractal analysis techniques in enhancing MRI image interpretation and diagnostics
Aesthetics and Psychological Effects of Fractal Based Design
Recent progress in applying fractals in domains like antenna design and cooling systems