Какого размера может быть диван, который можно занести за угол? Спустя 58 лет мы наконец-то получили ответ

Математики услышали мольбы тех, кому приходилось протискивать громоздкий диван за угол и волноваться: «Пройдёт ли он вообще?». Задача геометрии «о перестановке дивана» — это попытка найти самую большую фигуру, которая может повернуть под прямым углом в узком коридоре и при этом не застрять. Проблема оставалась нерешённой почти 60 лет, пока в ноябре Джинеон Бэк, постдок из Университета Йонсей в Сеуле, не опубликовал в Интернете статью, в которой утверждалось, что она решена. Доказательство Баека ещё не прошло тщательную экспертную оценку, но первые отзывы математиков, знакомых с Баеком и проблемой движущегося дивана, выглядят оптимистично. Только время покажет, почему Баеку понадобилось 119 страниц, чтобы написать то, что Росс Геллер из сериала «Друзья» сказал одним словом:

Решение вряд ли поможет вам в день переезда, но по мере того, как передовая математика становится всё более заумной, математики испытывают особую любовь к нерешённым проблемам, которые может понять каждый. На самом деле, популярный математический форум MathOverflow ведёт список «Не особенно известных, давно открытых проблем, которые может понять каждый», и проблема перестановки дивана в настоящее время занимает второе место в этом списке. Тем не менее, каждое доказательство расширяет наше понимание, и методы, использованные для решения задачи с переезжающим диваном, вероятно, пригодятся и для решения других геометрических головоломок в будущем.

Правила задачи, которую канадский математик Лео Мозер впервые официально поставил в 1966 году, предполагают жёсткость фигуры — так, чтобы подушки не прогибались при нажатии, — поворачивающейся под прямым углом в коридоре. Диван может быть любой геометрической формы; он не обязательно должен напоминать настоящий диван. И форма, и коридор — двумерные. Представьте, что диван весит слишком много, чтобы его поднять, и вы можете его только сдвинуть.

Беглый экскурс в историю проблемы показывает, сколько усилий приложили к ней математики — они уж точно не любили зря валяться на диванах. Если перед вами пустой коридор, какую самую большую фигуру вы можете в него протиснуть? Если длина каждого отрезка коридора равна единице (конкретная единица измерения не имеет значения), то мы легко можем протащить через проход квадрат размером один на один. Удлинить квадрата до прямоугольника не получится, потому что, как только он попадает на изгиб коридора, места для разворота у него не останется.

Однако математики поняли, что можно пойти дальше, введя изогнутые формы. Рассмотрим полукруг с диаметром (прямым основанием) 2. Когда он доходит до поворота, большая его часть всё ещё нависает над первой частью коридора, но закруглённый край оставляет достаточно места, чтобы преодолеть угол.

Помните, что цель — найти самый большой «диван», с которым можно завернуть за угол. Вспомнив школьные формулы по геометрии, мы можем вычислить площадь полукруга как π/2, или примерно 1,571. Полукруг значительно превосходит квадрат, площадь которого составляла всего 1. К сожалению, оба варианта будут странно смотреться в гостиной.

Решение проблемы перестановки дивана требует оптимизации не только размера фигуры, но и пути, который она проходит. Условия задачи допускают два типа движения: скольжение и вращение. Квадратный диван только скользил, в то время как полукруг скользил, затем вращался вокруг изгиба, а затем снова скользил по другой стороне. Но объекты могут скользить и вращаться одновременно. Математик Дэн Ромик из Калифорнийского университета в Дэвисе отметил, что решение проблемы должно задействовать оба типа движения одновременно.

Британский математик Джон Хаммерсли в 1968 году обнаружил, что растягивая полукруг, можно получить более просторный диван, если вырезать из него кусок, чтобы справиться с этим досадным углом. Кроме того, диван Хаммерсли использует гибрид скользящего и вращательного движения. В результате диван выглядит как трубка стационарного телефона:

Оптимизация различных переменных даёт диван с площадью π/2 + 2/π, или примерно 2,2074. Это огромный шаг вперёд по сравнению с полукругом, сродни переходу от двухместного дивана к трёхместному. Но на этом прогресс остановился на целых 24 года. Следующее значительное улучшение стало последним. В 1992 году Джозеф Гервер представил шедевр математического столярного искусства, который, как мы теперь знаем, является самым большим из возможных диванов.

Вы можете испытать что-то вроде дежа вю. Диван Гервера выглядит почти идентично дивану Хаммерсли, но его конструкция гораздо сложнее. Гервер сшил вместе 18 различных кривых, чтобы сформировать его форму. При ближайшем рассмотрении вы можете заметить некоторые отличия, особенно скошенные края у основания округлого выреза.

Площадь триумфа Гервера составляет 2,2195 единицы. Удивительно, но относительно простой диван Хаммерсли не дотягивал до оптимального размера всего на 0,012 единицы. Несмотря на то, что он лишь на йоту больше своего предшественника, Гервер подозревал, что его находка достигла максимально возможного размера. Однако доказать это он не мог. Как и никто другой в течение 32 лет.

В 2024 году Бэк защитил докторскую диссертацию по проблеме перестановки дивана, учтя в ней несколько новых открытий. В том же году он собрал все свои свежие идеи во впечатляющий опус, который доказывает, что ни один диван больше, чем диван Гервера, не может протиснуться через прихожую. Решить давно открытую проблему — мечта любого математика, тем более в самом начале его карьеры. Если работа Баека выдержит проверку, он, скорее всего, будет востребован на профессорских должностях. Если только он не переключится на производство мебели.