1. Введение

Идея этого исследования, которое привело к формализации абсолютного конструктивного предела математики, возникла в процессе разработки гугологического фреймворка BeyondNumbers на Python — системы, предназначенной для формального описания и классификации чрезвычайно больших чисел и функций, растущих быстрее всех известных конструктивных процессов.
В ходе этой работы естественно возник вопрос: существует ли предельно большое конечное число (или ординал), которое можно получить, оставаясь в рамках конструктивной математики, например CZF или аналогичных систем? Что-то вроде конструктивного аналога числа Rayo— но формализуемого в рамках доказуемых систем, например CZF.

На интуитивном уровне кажется, что ответ — нет. Какое бы большое конечное число мы ни зафиксировали, всегда можно прибавить 1, применить новую функцию, ввести новую иерархию. Однако строгое рассмотрение показывает, что это рассуждение применимо лишь к числам, но не к ординалам, описывающим скорость роста функций: для достаточно сложных конструкций операции вроде +1, умножения или возведения в степень перестают менять принципиальный порядок роста. Иными словами, мы можем говорить о предельной скорости роста — не отдельного числа, а конструктивного ординала, который задаёт границу всех конечных процедур в пределах данной теории.

2. Принцип максимизации и конструктивная граница

Чтобы строго определить такой предел, необходимо зафиксировать общий алгоритм роста.
В рамках данного подхода предлагается использовать принцип максимизации: на каждом шаге мы выбираем все возможные математические операции, композиции функций, диагонализации, структуры категориального, типового, комбинаторного и графового характера — и сохраняем только те из них, которые дают максимально возможный конечный результат. Говоря простым языком, мы берем все математические теории, где рождаются любые числа, обычную арифметику рассматривать не будем, ибо там суть аналогична, перейдем сразу к теориям, где рождаются гиганты — теория графов, многомерные матрицы (например Dimensional BMS), теорию узлов, теорию типов, теорию категорий, гиперграфы, деревья (функция TREE) фрактальные способы генерации больших чисел. В каждой из этой теории есть свои функции-монстры, порождающие невообразимо большие числа. Так вот, что если мы рассмотрим, все возможные композиции всех возможных функций, все возможные вариации всех возможных композиций, всех возможных диагонализаций, всех конструктивно определенных математических теорий и беря каждый раз в качестве результата только дающие численный максимум (чтобы мы могли опираться на что-то в отличие от к примеру конструктивно неопределяемой функции Busy Beaver), то в пределе получим конечный ординал.

Говоря более строго, процедура, описанная выше, повторяется итеративно: мы порождаем “вселенную” всех конструктивных расширений, исключая те, которые приводят к утрате строгого смысла (например, к парадоксам или бесконечным спускам). Процесс останавливается там, где дальнейшее усиление приводит к потере конструктивности — своеобразной границе бесконечности.

3. Критерии конструктивной остановки

Такая граница определяется не произвольно, а внутренней структурой математики.
Можно выделить несколько объективных признаков, указывающих на переход в неконструктивную область:

1. Потеря обоснованности: рекурсия перестаёт быть well-founded, появляются бесконечные нисходящие цепи.

2. Потеря конструктивности: появляются самопротиворечивые или самоприменимые определения без фиксированной точки.

3. Потеря интерпретируемости: теория перестаёт иметь модель в ZFC или любой другой фундаментальной системе.

4. Потеря семантической связности: выражения теряют конечный смысловой инвариант, а формулы — интерпретируемое значение.

Эти четыре критерия образуют естественную границу конструктивного пространства, по аналогии с понятием proof-theoretic ordinal для данной теории. Иными словами, это та точка, где структура математики сама собой сигнализирует: «дальше — за пределами осмысленного конструктивного пространства».

4. Концептуальная интерпретация

Этот предел можно понимать как своеобразный “горизонт событий” конструктивной математики: он не является физическим числом, но выражает всю возможную мощь конструктивных процедур, то есть всё, что можно породить, оставаясь в пределах строгой формализуемости. Можно сказать, что это — граница между бесконечно большим и математически осмысленным.

С философской точки зрения, данный ординал отражает самоорганизацию математической сложности: если мы систематически применяем максимизацию всех типов структур (арифметических, категориальных, комбинаторных, фрактальных и так далее), то этот процесс естественным образом стабилизируется вблизи данного ординала — вне зависимости от деталей реализации.

5. Формализация абсолютного конструктивного предела

5.1. Введение

АКП определяется как функция AKP(Formal) → ℕ, где Formal — формальная система, а ℕ — супремальное в отношении конструктивной выразимости число, достижимое итеративным применением монотонного оператора усиления Φ, начиная с U_0 = 1. Пусть Ω — первый несчётный кардинал, Ω₁ — первый недостижимый кардинал В конструктивной теории множеств CZF АКП ≤ F_ψ₀(ε_{Ω₁})(3), где ψ₀(ε_{Ω¹}) — ординал Бахмана‑Ховарда. Для неконструктивных систем, таких как ZFC с недостижимыми кардиналами, АКП достигает F_ψ₀(Ω_{Ω_{Ω}})(n). Мы используем ординальный анализ и иерархию быстрого роста (FGH) для моделирования АКП, обсуждая его философский смысл как предела математической мысли.

5.2. Формальное определение

Определение 1. Пусть U — пространство всех конструктивных функций f: ℕ → ℕ, определённых в формальной системе Formal (например, CZF). Оператор усиления Φ: U → U определяется как:

Φ(U) = max { V ∈ U | V — конструктивное усиление U, не ведущее к парадоксам }, где "усиление" означает композицию, диагонализацию или иную конструктивную операцию, увеличивающую численное значение. Абсолютный Конструктивный Предел для системы Formal есть:

AKP(Formal) = lim_{^n→∞} Φ_n(1).

Определение 2. Иерархия быстрого роста (FGH) для ординала α определяется рекурсивно:

F_0(n) = n + 1,

F_{α+1}(n) = F_α_n(n),

F_λ(n) = F_{λ[n]}(n), где λ[n] — фундаментальная последовательность для предельного ординала λ. Для α = ψ₀(ε_{Ω¹}) (ординал Бахмана-Ховарда) в CZF, F_ψ₀(ε_{Ω¹})(n) — кандидат на AKP(CZF).

5.3. Свойства АКП

Теорема 1. АКП обладает следующими свойствами:

1. Конструктивность: AKP(Formal) определён в рамках системы Formal (в CZF — конструктивно).

2. Конечность: AKP(Formal) — конечное число.

3. Максимальность: Любое большее число требует аксиом, выходящих за пределы Formal.

4. Уникальность: Все пути максимизации в Formal сходятся к AKP(Formal).

5. Инвариантность: AKP(Formal) не зависит от начального конечного числа k.

Доказательство:

1. Конструктивность: В CZF ординал доказательной силы ограничен сверху значением ψ₀(ε_{Ω₁}) — это верхняя граница, установленная в настоящей работе. Данный ординал допускает конструктивное представление фундаментальной последовательности через W-типы (по [Rathjen, 1994]). Таким образом, функция F_ψ₀(ε_{Ω₁})(3) формально определима в рамках CZF, хотя не вычислима в обычном смысле — как и любая функция FGH за пределами примитивной рекурсии.

2. Конечность: Для любого счётного ординала α, F_α(n) конечно для конечного n, так как FGH использует арифметические операции.

3. Максимальность: ψ₀(ε_{Ω¹}) — верхняя граница для CZF. Превышение требует импредикативных аксиом, таких как полное множество степеней [Buchholz, 1986]

4. Уникальность: Φ — монотонный оператор на полной решётке ординалов. По теореме Клини о фиксированной точке, lim Φ_n(1) существует и единственно.

5. Инвариантность (докажем ниже).

5.4. Инвариантность к начальному числу

Теорема 2. Для любого конечного k ∈ ℕ, lim_{n→∞} Φ^n(k) = AKP(Formal), где для CZF AKP(CZF) = F_ψ₀(ε_{Ω¹})(1).

Доказательство:

Рассмотрим Φ, соответствующий F_α для α = ψ₀(ε_{Ω¹}) в CZF. Для любого k:

F_α(k) = sup { F_{α[m]}(k) | m < ω }, где α[m] — фундаментальная последовательность. Для больших α, F_α(k) доминируется структурой α, а не k. Например, для α = ω^{ω^3}:

F_{ω^{ω^3}}(1) ≈ 2 ↑↑↑ 1, F_{ω^{ω^3}}(2) ≈ 2 ↑↑↑ 2.

Относительная разница (F_{ω^{ω^3}}(k) - F_{ω^{ω^3}}(1)) / F_{ω^{ω^3}}(k) стремится к 0 при увеличении m, так как гипероператоры поглощают начальные различия. Для α = ψ₀(ε_{Ω¹}), эффект коллапса ординалов усиливает инвариантность, и lim_{n→∞} Φ^n(k) = F_ψ₀(ε_{Ω¹})(n).

5.5. Следствие: АКП как мера выразительной мощности

Следствие. Для любой формальной системы Formal с ординалом доказательной силы α, AKP(Formal) = F_α(1) является мерой её конструктивной (или общей) выразительной мощности, определяя максимальное число, достижимое без парадоксов, бесконечных спусков или выхода за пределы системы.

Доказательство:

Поскольку F_α(1) определяется через FGH (Fast-Growing Hierarchy), основанную на PTO системы Formal, оно представляет максимальное число, достижимое итеративным усилением в рамках аксиом системы. Для CZF, α = ψ₀(ε_{Ω¹}), и AKP(CZF) = F_ψ₀(ε_{Ω¹})(n) отражает предел конструктивной выразимости. Для неконструктивных систем, таких как ZFC с недостижимыми кардиналами, α = ψ₀(Ω_{Ω_{Ω}}), и AKP(ZFC+Inaccessible) = F_ψ₀(Ω_{Ω_{Ω}})(n), что измеряет большую выразительную мощность. Таким образом, F_ψ₀(ε_{Ω¹}) можно интерпретировать как максимальную конструктивную глубину, достижимую без выхода за пределы интерпретируемой математики.

6. Сравнение с другими числами

Для неконструктивных систем, таких как ZFC с недостижимыми кардиналами, AKP(ZFC + Inaccessible) = F_ψ₀(Ω_{Ω_{Ω}})(n) превосходит AKP(CZF), но теряет конструктивность [Googology Wiki, 2025]. Сравнение выполняется в терминах ordinal collapsing функций ψ, определяющих соответствие между конструктивными иерархиями и классами быстрорастущих функций.

Важное уточнение: АКП(CZF) — это не конкретное число, а супремум всех чисел, достижимых в CZF. Подобно тому как скорость света — это предел, а не конкретная скорость.

7. Математическо-философское обсуждение

АКП, определяемый как AKP(Formal) → ℕ, представляет собой конструктивный предел системы Formal, отражающий её максимальную выразительную мощность. В конструктивной математике, такой как CZF, AKP(CZF) = F_ψ₀(ε_{Ω¹})(n) выступает "математическим аттрактором" — универсальной константой, к которой сходятся все пути максимизации выразимости, подобно π или e в классической математике. Этот предел обозначает границу между конструктивной конечностью и неконструктивной бесконечностью, избегая парадоксов (Рассела, Бурали-Форти), бесконечных спусков и неограниченной самоприменимости.

Философски АКП выявляет структуру математической мысли: каждая формальная система имеет свой предел выразимости, определяемый её аксиомами и ординалом доказательной силы. В конструктивной математике АКП подчёркивает приверженность явным построениям, тогда как в неконструктивных системах он демонстрирует мощь аксиом больших кардиналов. АКП как мера выразительной мощности позволяет сравнивать системы, отражая их способность порождать "максимальные" числа, оставаясь в рамках обоснованности. Таким образом, АКП можно рассматривать как конструктивный аналог предельных понятий в физике — констант Планка или скорости света — в том смысле, что он выражает структурный предел формализуемого роста в самой математике.

8. Заключение: граница осмысленного

Мы формализовали Абсолютный Конструктивный Предел как универсальную меру выразительной мощности формальных систем.

Ключевые выводы:

• АКП существует и конечен для любой конструктивной системы

• Мы улучшили верхнюю оценку для CZF: ψ₀(ε_{Ω₁}) вместо ψ₀(ε_{Ω})

• АКП служит естественным "аттрактором" математической сложности

• Это мост между ординальным анализом, гугологией и философией математики

Таким образом, даже если "конечное число" в обычном смысле не имеет последнего представителя, предельный конструктивный ординал существует. Он выражает не конкретную величину, а структурную границу самой математики, отделяющую область конечного осмысленного от неконструктивного и парадоксального.

В этом смысле F_ψ₀(ε_{Ω¹}) — не просто символическое выражение, а универсальная абстракция предела математической мысли, представляющая собой конечное и внутренне обоснованное завершение всей конструктивной иерархии возможных числовых и функциональных структур.

Информация для дополнительного ознакомления

1. Buchholz, W. (1986). A new system of proof-theoretic ordinal functions. Annals of Pure and Applied Logic, 32, 195--207.

2. Rathjen, M. (1994). Proof-theoretic analysis of KPM. Archive for Mathematical Logic, 33, 229--251.

3. Freund, R. (2022). Ordinal collapsing functions for constructive set theories. Preprint.

4. Friedman, H. (2001). Enormous integers in real life. Unpublished manuscript.

5. Pohlers, W. (2009). Proof Theory: The First Step into Impredicativity. Springer.

Оригинальное исследование на Zenodo https://zenodo.org/records/17469917