* Как работает математика черной дыры (Геодезические)

Чтобы свет огибал черную дыру так, как это предсказывает Общая теория относительности (ОТО), мы не можем использовать обычную евклидову геометрию (где свет летит по прямой). Нам нужно решить уравнение геодезической линии в метрике Шварцшильда.

Вместо того чтобы отслеживать декартовы координаты луча (x,y,z)(x,y,z) шаг за шагом, мы используем трюк из теоретической физики. Мы знаем, что орбита фотона лежит в одной плоскости. Поэтому мы переходим к полярным координатам и используем величину u=1/ru=1/r (обратный радиус).

Уравнение траектории фотона в метрике Шварцшильда выглядит так:

d2udϕ2+u=3Mu2dϕ2d2u​+u=3Mu2

(или u′′=−u+3Mu2u′′=−u+3Mu2)

Где:

• uu — обратный радиус (1 / расстояние до центра).

• ϕϕ — угол поворота луча вокруг черной дыры.

• MM — масса черной дыры (в нашем коде M=1M=1).

• Слагаемое 3Mu23Mu2 — это и есть эффект ОТО. Если его убрать, получится уравнение прямой линии (классическая оптика).

Как это решается в шейдере?
Аналитического решения у этого уравнения нет, поэтому мы решаем его численно. В коде используется метод Рунге-Кутты 4-го порядка (RK4) — золотой стандарт для физических симуляций. Мы делаем маленькие шаги hh по углу ϕϕ и на каждом шаге вычисляем, как меняется uu и её производная.

glsl

// Упрощенный кусок кода из шейдера
float u = 1.0 / length(ro); // Начальный обратный радиус
float du = -u * vr / vphi;  // Производная
float phi = 0.0;

for (int i = 0; i < MAXSTEP; i++) {
    // Вычисляем шаг методом RK4
    float k1w = -u + 3.0 * M * u * u;
    // ... (промежуточные вычисления k2, k3, k4) ...
    u += h * (k1u + 2.0 * k2u + 2.0 * k3u + k4u) / 6.0;
    du += h * (k1w + 2.0 * k2w + 2.0 * k3w + k4w) / 6.0;
    phi += h;
}

Как только uu становится слишком большим (луч пересек горизонт событий, r≤2Mr≤2M), мы останавливаем цикл. Если луч улетел бесконечно далеко, мы берем его финальный вектор направления и рисуем на его месте звезды.

* Аккреционный диск: Доплер, красное смещение и турбулентность

Аккреционный диск — это раскаленное вещество, вращающееся вокруг дыры. Рендеринг диска — самая зрелищная часть шейдера, но она требует учета нескольких релятивистских эффектов.

* Пересечение плоскости
Пока луч летит, мы проверяем, не пересек ли он экваториальную плоскость (y=0y=0). Если пересек, мы берем радиус rr в этой точке и сэмплируем диск.

* Вращение и эффект Доплера
Диск вращается по кеплеровской орбите (быстрее у центра, медленнее на окраинах). Из-за этого часть диска летит на нас, а часть — от нас.
Скорость движения вещества: β=M/rβ=M/r​.
Эффект Доплера: свет от приближающейся стороны становится ярче и «синее», от удаляющейся — тусклее и «краснее».
В коде это считается через фактор δ=1/(γ(1−β⃗⋅n⃗))δ=1/(γ(1−β​⋅n)), где γγ — Лоренц-фактор.

* Гравитационное красное смещение
Фотону нужно потратить энергию, чтобы выбраться из гравитационного колодца. Поэтому свет с окраин диска кажется краснее, чем с внутренних краев.
Фактор замедления: z=1−2M/rz=1−2M/r​.

* Температура и цвет
Мы не задаем цвет диска вручную. Мы считаем его температуру по закону Стефана-Больцмана. Температура падает с радиусом: T∝r−3/4T∝r−3/4. В коде есть функция blackbody(T), которая по температуре (с учетом сдвигов Доплера и гравитации) вычисляет реальный RGB-цвет.

* Турбулентность (Шум)
Чтобы диск не выглядел как плоский блин, мы накладываем на него 3D-шум (FBM — фрактальный броуновский шум). Луч проходит сквозь разные слои «газа» на разных радиусах и углах, накапливая яркость (альфа-блендинг). Именно поэтому у диска есть объем и закрученные вихри.

* Итог: Почему это работает быстро?

Секрет в том, что мы вообще не используем полигоны (треугольники) для черной дыры. Каждый пиксель на экране — это независимый математический расчет (Raymarching). Видеокарта просто запускает этот шейдер параллельно для миллионов пикселей, выдавая 60 кадров в секунду даже на встроенной графике.