Каким может быть график, скажем, линейной функции вещественного аргумента f(x) = x + c, c – константа, если операцию сложения определить иначе, нежели обычно? А каким будет множество решений уравнения x + c = d с неизвестным x в таком случае?
(Оговоримся: на протяжении всей заметки, автор будет опускать подробности строгих математических определений, чтобы не заслонять ими простой смысл материала.)
Не знаю, как с вами обошлись бы века тому назад, предложи вы, чтобы в «особых целях было 2 + 2 = 5», но в наше время n-арная алгебраическая операция определяется на множестве М как отображение, ставящее в соответствие упорядоченной n-ке элементов из М элемент того же М, и эта свобода сохраняет вас от тяжелых последствий.
Ради удобства, групповые операции могут называться умножением или сложением. Обе не обязаны совпадать с известными со школы действиями. Скажем, умножением для свободной группы с двумя образующими будет соединение двух слов определенного типа в одно и следующее за ним сокращение пар некоторого типа. Сейчас не нужно силиться понимать предыдущее предложение. Важно уловить: уже давно математика позволяет вам называть сложением (умножением) что-то другое. Таким образом, + в выражении 2 + 2 = 5 можно назвать сложением и оно будет алгебраической операцией.
Мы не даем здесь определения неклассической арифметики. На самом деле, сделать это не просто. Некоторые вещи иногда вообще целесообразнее не определять, по крайней мере, на каких-то этапах: Б. Мандельброт в одной из своих книг явно указывал полезность воздержания от определения фрактала. В рамках нашей заметки, операцию +i в выражении a +i b = c будем называть сложением неклассической арифметики, если оно хотя бы для одной пары чисел a, b дает результат c, отличный от результата школьной арифметики. Модульная арифметика соответствует критерию, но мы не будем ее называть неклассической. Это же применимо и к другим арифметикам, которые уже давно «классичны». Кроме сложения, неклассическая арифметика может содержать вычитание, умножение, деление и т. д., понимаемые в указанном смысле.
Приступим к разнообразиям. Это слово очень похоже на «многообразие». Из веера математических объетов, называемых им, нам нужно остановиться только на алгебраических многообразиях как множествах решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Если в этих системах уравнения снабжены неклассической арифметикой, быть может, не одной и, быть может, в ней присутствует классическая арифметика, то это система уравнений разнообразия, а множество ее решений – разнообразие. Но таковым мы будем называть еще множество значений функции f разнообразия и последовательность значений f, поскольку и уравнения, и функции имеют общее – графики.
Теперь повторим вопрос начала заметки: «Какими могут быть графики функций разнообразия?» И отвечаем: «Например, такими как здесь: https://youtu.be/Bu8CYo7D_Yg». Неклассической арифметикой функций является DR+ (от англ. «diversities of reals»), арифметика неотрицательных вещественных чисел.
Уже набор графиков всего лишь двадцати одной функции демонстрирует сильное отличие от функций классической арифметики. Может случиться, что элементарные средства неклассических арифметик (не только их элементарные функции и уравнения) позволят просто решать задачи, доступные лишь изощренным инструментам классической арифметики. Собственно, только что мы сформулировали обоснование разработки неклассических арифметик и теории разнообразий.
Отмечаем: некоторые графики отличаются друг от друга как один вид кошек отличается от другого; вторые разнятся как кошки от рыб; третьи как птицы от кошек и рыб; и т. д. Это косвенно свидетельствует о богатстве разнообразий в пределах уже одной арифметики, богатство форм – о богатстве возможных функциональных зависимостей, математических моделей и приложений вообще.
Назовем арифметику богатой, если она позволяет строить либо бесконечное семейство попарно неэквивалентных функций, либо очень крупную конечную их совокупность. Такое требование проистекает из предыдущего абзаца. Оно разумно. Существуют ли богатые арифметики? Определение алгебраической операции и функции представляет запрет существования маловероятным. Поэтому бесполезность неклассических арифметик и разнообразий скорее сказка, чем быль.
Комментарии (8)
belch84
20.01.2022 16:40Я правильно понимаю, что, если использовать вместо термина «операция» (+) термин «функция», в статье изображены графики функций (точнее, кривых), удовлетворяющих уравнению f(x,y) = c, т.е. просто заданные неявно?
Refridgerator
21.01.2022 06:02Да. Функция это и есть отображение, и она вовсе не обязана быть всюду непрерывной и определённой.
ukhanov
21.01.2022 23:20Подскажите, пожалуйста, где можно почитать про неклассическую арифметику. Беглый поиск даёт ссылки только на эту статью.
diversiter Автор
22.01.2022 18:52В контексте ответа пользователю Zenitchik не могу подсказать. Возможно, Ваш опыт поиска указывает на новизну идеи (опять-таки в смысле моего ответа Zenitchik'у). Видимо Вы посчитаете советом не по существу, если об операциях вообще я посоветую посмотреть такие темы как группы, алгебры, магмы, ...?
Zenitchik
Замечательно. А в чём новизна?
diversiter Автор
Восполняю пробел и поста, и препринта (в первом приближении).
Предлагаемая идея использования неклассических арифметик удовлетворяет одновременно следующим пунктам:
Мы используем наборы числовых алгебраических операций (арифметик), которые имеют смысл при подстановке в конструкции с классической арифметикой, а именно: функции, уравнения, матрицы и т.д. Т.е.: берем конструкцию, заменяем в ней классическую операцию; если это имеет смысл — наша процедура реализует идею использования неклассических арифметик.
В работу берутся конечно определенные (эффективные) операции на бесконечных подмножествах R^n.
В этом контексте идея отличается от операций в конечных группах, например. Другие из используемых в математике операций либо не допускают замену в смысле п. 1, либо такая замена не производилась. Разнообразия можно считать новым видом многообразий*, если речь идет о множествах решений уравнений, поскольку известные многообразия — это решения уравнений с классической арифметикой. И, наконец, новой является арифметика DR+ с функциями на ее основе.
__________
*Конкретно разноообразия уравнений арифметики DR+ уже многообразий, поскольку она определена только для неотрицательных вещественных.
Zenitchik
А каково её практическое применение?
diversiter Автор
Введение содержит список из двенадцати графиков актуальных исследований, опубликованных в рецензируемых журналах;* темы исследований перечислены у меня там же. Вот они намекают на практическое применение, которое планируется искать.
Для ясности: первая версия препринта ничего не знала о графиках из статей; спустя несколько месяцев волей случая я наткнулся на публикации. Поверьте, что очень непросто для абстрактной идеи найти реальные** цели, особенно с таким сходством, как в первых шести ссылках. Даже самое слабое родство в источниках 8, 9, 10 важно отметить, как и то, что можно поработать с параметрами, смотря на цели, а не вслепую, как раньше.
Предположим, что в конкретной задаче DR+ потерпит неудачу. Пусть даже она в целом будет не пригодной для практических задач - первый абзац введения препринта нам сообщает иерархию идей: неклассические арифметики, разнообразия, DR+. На основании аргумента естественного математического понимания мы можем смело говорить о существовании полезных арифметик.*** С каких-то из наборов операций нам нужно начинать? Нужно. DR+ - наш первый шаг... Не самый плохой.
Завтра отдыхаю. Счастливых выходных!
__________
*Нас не должно останавливать, когда графики имеют статистическую, а не функциональную зависимость.
**Хотя бы гипотетические.
***Уже только одна классическая арифметика дала много приложений.