Александр Иванович Корейко, один из ничтожнейших служащих ГЕРКУЛЕС’а, был человек в последнем приступе молодости, ему было 38 лет. На красном сургучном лице сидели желтые пшеничные брови и белые глаза. Английские усики цветом даже походили на созревший злак. Лицо его казалось бы совсем молодым, если бы не грубые ефрейторские складки, пересекавшие щеки и шею. На службе Александр Иванович вел себя как сверхсрочный солдат: не рассуждал, был исполнителен, трудолюбив, искателен и туповат.
— Робкий он какой-то, — говорил о нем начальник финсчета, — какой-то уж слишком приниженный, преданный какой-то чересчур. Только объявят подписку на заем, как он уже лезет со своим месячным окладом. Первым подписывается. А весь оклад-то 46 рублей. Хотел бы я знать, как он существует на эти деньги.
Была у Александра Ивановича удивительная особенность. Он мгновенно умножал и делил в уме большие трехзначные и четырехзначные числа. Но это не освободило Александра Ивановича от репутации туповатого парня.
— Слушай, Александр Иванович, — спрашивал сосед, — сколько будет 836 на 423?
(«Золотой теленок», Илья Ильф, Евгений Петров )
Перечитывая роман «Золотой теленок», я решил повторить расчеты подпольного миллионера. Я не обладаю способностью перемножать в уме большие числа и не ставлю перед собой задачу таковую способность развить. Моя цель скромнее — найти способ быстрого вычисления вышеприведенного примера. В качестве инструмента я решил использовать коллекцию красивых произведений, которую собрал по дороге на работу и храню в сотовом телефоне. Вот некоторые из них:
- 13*23 =299
- 17*47 =799
- 7*11*13=1001
Первое, что я сделал — нашел разложение на множители:
Теперь перепишем исходный пример в следующем виде:
423*836=4*99*(47*17+47*2)=4*99*799+4*99*94
4*99*799=4*(100-1)*(800-1)=4*(80000-900+1)=320 000-3 600+4
4*99*94=376*(100-1)=37 600-376
Осталось сложить полученные выражения:
320 000 + (37 600-3 600) + (4-376) = 320 000 + 34 000 — 372 = 354 000 — 372 = 353 628
— 353.628, — отвечал Корейко, помедлив самую малость. И сосед не проверял результата умножения, ибо знал, что туповатый Корейко никогда не ошибается.
Наш результат совпадает с ответом Корейко. Разумеется, в уме приведенные расчеты выполнить, скорее, всего, невозможно. Мне помогали карандаш и бумага. Вопрос о том, как вычислить пример устно, остается открытым.
Жду советов.
Прочитав полученные комментарии, я должен признать, что не нашел того, что искал. По-видимому, неверно изложил свою мысль. В прекрасной книге «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» есть глава, которая называется «Счастливые числа». В ней Ричард Фейнман рассказывает о своей коллекции методов и чисел для быстрых вычислений.
Я запомнил значения нескольких логарифмов и начал замечать, что происходит. Например, если кто-то спрашивает: «Чему равно 28 в квадрате?», замечаешь, что квадратный корень из двух равен 1, 4, а 28 — это 20, умноженное на 1, 4, поэтому 28 в квадрате должно примерно равняться 400, умноженному на 2, или 800.
Если кто-нибудь спрашивает, сколько получится, если разделить 1 на 1, 73, то можно сразу ответить, что 0, 577, потому что знаешь, что 1, 73 — это почти квадратный корень из 3, поэтому 1/1, 73 равно одной трети квадратного корня из 3. А если нужно определить отношение 1/1, 75, оно равно величине обратной дроби 7/4, а вы помните, что если в знаменателе стоит 7, то десятичные цифры повторяются: 0, 571428…
Я надеялся, что кто-то располагает своей коллекцией счастливых чисел, из которой получается число Корейко.
Кстати, счастливые числа встречаются в самых неожиданных местах. В той же главе у Фейнмана есть такой эпизод.
Это весьма обеспокоило японца, потому что он явно прекрасно умел выполнять арифметические операции с помощью счёт, а тут его почти победил какой-то посетитель ресторана.
«Raios cubicos!» — мстительно говорит он. Кубические корни! Он хочет брать кубические корни с помощью арифметики! Трудно найти более сложную фундаментальную задачу в арифметике. Должно быть, это был его конёк в упражнениях со счетами.
Он пишет на бумаге число — любое большое число — я до сих пор его помню: 1729, 03. Он начинает работать с этим числом и при этом что-то бормочет и ворчит: «Бу-бу-бу-хм-гм-бу-бу», — он трудится как демон! Он просто погружается в этот кубический корень!
Я же тем временем просто сижу на своём месте.
Один из официантов говорит: «Что Вы делаете?»
Я указываю на голову. «Думаю!» — говорю я. Затем пишу на бумаге 12. Ещё через какое-то время — 12, 002.
Человек со счетами вытирает со лба пот и говорит: «Двенадцать!»
«О, нет! — возражаю я. — Больше цифр! Больше цифр!» Я знаю, что, когда с помощью арифметики берёшь кубический корень, то каждая последующая цифра требует большего труда, чем предыдущая. Это работа не из лёгких.
Он опять уходит в работу и при этом бормочет: «Уф-фыр-хм-уф-хм-гм…». Я же добавляю ещё две цифры. Наконец, он поднимает голову и говорит: «12, 0!»
Официанты просто светятся от счастья. Они говорят японцу: «Смотрите! Он делает это в уме, а Вам нужны счёты! И цифр у него больше!»
Он был абсолютно измотан и ушёл, побеждённый и униженный. Официанты поздравили друг друга.
Каким же образом посетитель выиграл у счётов? Число было 1729, 03. Я случайно знал, что в кубическом футе 1728 кубических дюймов, так что было ясно, что ответ немногим больше 12. Излишек же, равный 1, 03, — это всего лишь одна часть из почти 2000, а во время курса исчисления я запомнил, что для маленьких дробей излишек кубического корня равен одной трети излишка числа. Так что мне пришлось лишь найти дробь 1/1728, затем умножить полученный результат на 4 (разделить на 3 и умножить на 12). Вот так мне удалось получить целую кучу цифр.
А ведь число 1729 обладает интересным свойством. Однажды Годфри Харди приехал навестить в больнице Сриниваса Рамануджана. Харди приехал на такси с номером 1729 и по ходу беседы с Рамануджаном заметил, что, мол, удивительно скучное число ему попалось в качестве номера. На это индиец ответил, что это не правда — 1729 является минимальным натуральным числом, представимым в виде суммы кубов двух натуральных чисел двумя разными способами. Действительно,
1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3.
Не правда ли, удивительное совпадение?
Тем не менее, я не оставлял попыток найти приемлемое решение для примера Корейко. Этот метод мне понравился, хотя и он несовершенен.
836*423=(840-4)*(420+2)+836=840*420-8+836=2*42*42*100+828=8*21*21*100+828
11*11=121, это я помню. Разность двух квадратов 21 и 11 это 320, поэтому 21 в квадрате 441. 441*8=3200+320+8=3528.
И окончательно, 352800+828=353 628.
Посмотрев на решение, увидел еще одно упрощение.
8*21*21*100+828=800*21*21+800+28=800*(21*21+1)+28=800*442+28=353600+28=353 628.
Комментарии (19)
FFormula
14.10.2015 13:45+7Как перемножить именно эти числа, не скажу,
но поделюсь способом возведения в квадрат чисел, близких к сотне.
Например, возведём 92 в квадрат.
от 92 отнимаем столько, сколько не хватает до 100, то есть восемь.
И приписываем квадрат этой восьмёрки.
92 — 8 = 84, 8*8 = 64.
Ответ: 8464.
FFormula
14.10.2015 13:50+1Аналогично можно возводить в квадрат числа чуть больше сотни, только теперь нужно будет складывать.
Например, 107 в квадрате: 107 + 7 = 114, 7*7 = 49, Ответ: 11449.
avas
14.10.2015 15:50поделюсь своим способом возводить в квадрат любые двузначные числа например 49*49=
возвожу в квадрат обе цифры — имеем в уме 16 и 81
далее берем удвоенное произведение этих цифр 72
2ку из 72 добавим к старшему разряду 82 — 102 вот у нас получился конец результата 02
у нас получился перенос 1 к старшему разряду результата
поэтому добавим 1 к 7 = 8
и последний шаг эту 8ку к младшему разряду 16ти = 24
поставив две половинки друг за другом получим 2402
интересно — дописал и понял, что как-то не очень просто, в уме быстрее получалось
но я использовал этот способ еще в школе, а там времени на тренировки хоть отбавляй!
zelyony
14.10.2015 14:03+10в уме (с «2 ячейками памяти» — сумма и остаток) можно перемножать любые числа, надо только их видеть или держать в голове
836 * 423 =?
reverse-ируем второе число и погнали со сдвигами
836 324 = 3*6 = 18: R=1 и .......8 836 324 = 1+6*2+3*3 = 22: R=2 и ......28 836 324 = 2+6*4+3*2+8*3 = 56: R=5 и ......628 836 324 = 5+3*4+8*2 = 33: R=3 и .....3628 836 324 = 3+8*4 = 35 итого: 353628
Eternalko
14.10.2015 19:56Так точно.
В лет 16, когда больше математики в жизни было и иногда способность быстро считать или
прикидывать помогала.
В один момент дошел до того, что мозгового «ОЗУ» вполне хватало чтобы множить трехзначные числа.
Достаточно быстро. Почти точный ответ выходил за секунды 2-3, точный 5-6.
Именно так и считал. Сейчас конечно-же лень и способность испарилась.
omikad
14.10.2015 14:43+1В уме можно, минут за 10:
836 * 423 = (1000 — 164) * (500 — 77) = (500к — 77к — 82к) + 164 * 77 = 341к + 164 * 77
341к запоминаем и считаем второе слагаемое:
164 * 7 = 700 + 420 + 28 = 1148
164 * 77 = 11480 + 1148 = (11к + 480) + (1к + 148) = 12к + 628 = 12628
итого 341к + 12628 = 355 628
Keyten
14.10.2015 15:39+1Есть в книге Пекелиса «Твои возможности, человек» такая глава:
Скрытый текст
jazzl0ver
15.10.2015 19:05+1На TEDе есть замечательное выступление Артура Бенджамина «Матемагия»:
www.ted.com/talks/arthur_benjamin_does_mathemagic
Очень рекомендую. Там он как раз показывает чудеса счета в уме, используя «вербальные замены» (если так можно это назвать)
Randl
14.10.2015 15:45+1Получилось перемножать трехзначные числа в уме после тренировок. Двухзначные получается всегда. В столбик.
Помогает округление. Например 83*27=83*3*10-83*3
В данном случае 423*836=425*836-2*836=400*836+836/4*100-2*836=334400+20900-2*863=355300-1672=353628 (честно посчитал в уме, один раз сбился и начал заново)
michael_vostrikov
14.10.2015 18:51+3Да можно перемножать в уме 3-значные числа, просто как уже верно заметили нужна концентрация, а точнее способность держать в уме одновременно 9 слагаемых. Сам развлекался подобным в старших классах по дороге из лицея домой (2 часа на автобусе). Мне только непонятно, что это делает на главной хабра?
michael_vostrikov
14.10.2015 19:08Нахлынули воспоминания… Еще придумал такой способ коротать время в автобусе — рандомно тыкаем кнопки на калькуляторе, пока табло не заполнится. Затем начинаем делить на целые числа: 2 — 3 — 5 — 7 — 113 — 12421… Получилась дробь — значит не делится, проверяем дальше. Глупо, конечно, но что делать, когда надоело в окно смотреть, а в сумке только калькулятор…
SemenovVV
15.10.2015 14:08представим
836 = 2 * 4 * 100 + 4 * 10 - 4
умножаем 1 раз
423 * 4 = 1692 ( в уме )
складываем и вычитаем
169200 + 169200 + 16920 - 1692 = 355628
SemenovVV
15.10.2015 14:38можно еще упростить
423 * 4 = 1692 = 1700 — 8
складываем и вычитаем
170000 + 170000 + 17000 - (1692 + 800 + 800 + 80 ) = 355628 сумма в скобках = 1692+ 1680 =3372
whitepen
16.10.2015 12:24Ваще то Ильф и Петров здесь потешаются над известным правилом — чем некрасивее, тем умнее, чем красивее, тем тупее.
k12th
Вообще-то в уме даже и трехзначные числа можно вычислять «в столбик». Другое дело, что это потребует некоторой концентрации:)
icoz
… и тренировки.