Вводная

Я услышал множество хороших отзывов о книге  Calculus Made Easy by Silvanus P. Thompson. Начал читать и правда, это была самая простая книжка на английском, которую я читал (советую попробовать почитать в оригинале), причем понял лучше, чем на родном языке.

Но зачем ее читать взрослым людям, знакомым с математикой не понаслышке?

В этом вопросе все просто: наверняка у многих уже есть дети или скоро будут, поэтому прививать любовь к знаниям и науке нужно с малых лет, иначе школа с их скупым языком испортит у ребенка все желание тянуться к прекрасному.

Но это не только для детей книга. Взрослым может посмотреть, а тому ли его учили в школе и не перепутал он ничего из-за долгих лет планирования бизнес-логики. Или, может, быть кто-то также как и я не знал некоторых англоязычных терминов для математики.

Особенно поможет людям, которые мечтали стать хардкорными "дата-сатанистами" и прочими гениями современности, но как-то все не складывалось. Для множества тестеров, эйчаров, проект менеджеров, кто нашел себя в айти, но хочет еще развиваться.

Перевод довольно вольный, я не профессиональный переводчик и даже не учился в MIT, но постарался предать максимально понятно и близко к смыслу текста. Приму ваши замечания к сведению. Перевел тестовый кусок, чтобы понять интересно ли вам такое, чтобы замотивироваться. Первый кусочек принадлежит кому-то, кто написал вводную книги, а второй оригинальному автору, что еще интереснее и забавнее. Ну что, полетели.

Вычислять легко

Предварительная глава 1 ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ?

Никакое понятие в математике, особенно в исчислении[1], не является более фундаментальным, чем понятие функции. Термин впервые был использован Готфридом Вильгельмом Лейбницем в письме 1673 года, немецкий математик и философ, который изобрел исчисление независимо от Исаака Ньютона. С тех пор термин претерпел
постепенное расширение смысла.

В традиционном исчислении функция определяется как отношение между двумя членами [term], называемые переменными, потому что их значения различаются. Назовите члены х и у. Если каждому значению x соответствует ровно одно значение y, то говорят, что y является функцией от x. Обычно x используют для того, что называется независимой переменной, а y для того, что называется зависимая переменная, потому что ее значение зависит от изменения значения x.

Как объясняет Томпсон в главе 3, буквы в конце алфавита традиционно применяется к переменным, а буквы в других частях алфавита (обычно первые буквы, такие как a,b,c...)
применяется к константам.

Константы — это члены уравнения, которые имеют фиксированное значение. Например, в y = ax + b переменными являются x и y, но a и b являются константами. Если y = 2x + 7, константы равны 2 и 7. Они остаются неизменными при изменении x и y.

Простым примером геометрической функции является зависимость площади квадрата от длины его стороны. В этом случае функция называется однозначной функцией, потому что зависимость идет в обе стороны. Сторона квадрата также является функцией его площади.

Площадь квадрата – это произведение длины его стороны на себя.

Чтобы выразить площадь как функцию стороны, представим у - площадь, х -
стороной, то сможем записать:

y = x²

Предполагается, конечно, что x и y являются положительными.

Чуть более сложный пример однозначной функции - отношение стороны квадрата к его диагонали. Диагональ квадрата является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника. Мы знаем, что по теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. В таком случае стороны равны.

Чтобы выразить диагональ как функцию от стороны квадрата: пусть у будет диагональ, х сторона, и запишем как:

y=²√(2*x²),

Или более просто:

y=x√2

Чтобы выразить сторону как функцию диагонали, пусть y будет стороной, x диагональю, и напишите:

y= √(x²/2) или более просто: y= (x/√2)

Самый распространенный способ обозначить функцию — заменить зависимой переменной, где f(x)—f будет первой буквой "функции". Таким образом, y = f(x) = x² означает, что y, зависимая переменная, является квадратом x.

Вместо, скажем, у = 2х - 7 мы пишем y = f(x) = 2x - 7. Это означает, что y, функция x, зависит от значения x в выражении 2x - 7. В таком виде выражение называется явной [explicit] функцией x. Если уравнение имеет эквивалентную форму 2x - y - 7 = 0, оно называется неявной функцией [implicit] x, потому что явная форма подразумевается уравнением.

Это легко получить из уравнения перестановкой членов. Вместо f(x) часто используются другие символы.

Если мы хотим дать числовые значения x и y в примере
y = f(x) = 2x - 7, мы заменяем x любым значением, скажем, 6, и пишем
y = f(6) = (2 . 6) - 7, что дает зависимой переменной y значение 5.

Если зависимая переменная является функцией одной независимой переменной, функция называется функцией одной переменной. Привычные примеры, все взаимно-однозначные функции:

Окружность или площадь круга по отношению к его радиусу.

Поверхность или объем сферы по отношению к ее радиусу.

Логарифм числа по отношению к числу.

Синусы, косинусы, тангенсы и секансы называются тригонометрическими функциями.

Логарифмы — это логарифмические функции.

Экспоненциальные функции - это функции, в которых x, независимая переменная, является показателем степени в уравнении, например, y = 2x. Есть, конечно, бесконечное количество других примеров более сложных функций одной переменной, которым даны имена.

Функции могут зависеть более чем от одной переменной. Опять же, этих примеров бесконечно. Гипотенуза прямоугольного треугольника зависит от двух сторон, не обязательно равных. (Конечно, в этой функции участвуют три переменные, но она называется функцией двух переменных, поскольку имеет две независимые переменные.)

Если z — гипотенуза, мы из теоремы Пифагора знаем, что z = √( x² + y²)

Примечательно, что это не однозначная функция. Знание x и y дает z, это уникальное значение, но знание z не дает уникальных значений для x и у.

Два других знакомых примера функций двух переменных, площадь треугольника как функция его высоты и основания, и площадь прямого кругового цилиндра как функция от его радиуса и высоты.

Функции одной и двух переменных широко распространены в физике.

Период маятника зависит от его длины. Расстояние брошенного камня, и его скорость зависит от времени, прошедшего с момента его сброса. Атмосферное давление – это функция высоты. Энергия пули - функция двух переменных, зависящих от его массы и скорости. Электрическое сопротивление провода зависит от длины провода и диаметра его круглого сечения.

Функции могут иметь любое количество независимых переменных. А простым примером функции трех переменных является объем прямоугольной комнаты. Это зависит от двух сторон комнаты и ее высоты. Объем четырехмерной гиперкомнаты является функцией четырех переменных.

Начинающий студент, изучающий математику, должен знать, как уравнения с двумя переменными можно моделировать кривыми на Декартовой (Картезианской) плоскости. (Плоскость названа в честь французского математика и философа Рене Декарта, который ее изобрел.)

Независимая переменная представлена ​​точками вдоль горизонтальной оси х. Значения зависимой переменной представлены точками вдоль вертикальной оси y. Точки на плоскости обозначают упорядоченную пару чисел x и y. Если функция линейна, то есть если она имеет одну форму y = ax + b, то кривая, представляющая упорядоченные пары — прямая. Если функция не имеет форму ax + b, то кривая не является прямой линией.

Обратите внимание, что шкалы различны по двум осям.

Фигура 1 представляет собой декартов график y = x²

Кривая представляет собой параболу.

Точки вдоль каждой оси представляют действительные числа (рациональные и иррациональные), положительные справа от оси х, отрицательные — слева, положительные вверху оси Y, отрицательные внизу.

Исходная точка графика, где пересекаются оси, представляет собой ноль. Если х - сторона квадрата, мы предполагаем, что она не равна нулю и не отрицательна, поэтому соответствующая кривая будет только правой стороной параболы.

Предположим, что сторона квадрата равна 3. Двигайтесь вертикально вверх от 3 на ось x к кривой, затем идите налево к оси y, где вы обнаружите, что квадрат 3 равен 9. (Прошу прощения у читателей, для которых все это «Старая шляпа»).

Если функция включает три независимые переменные, декартов график должен быть расширен до трехмерного пространства с осями x, y и z.

Однажды я услышал о профессоре, имени которого я не знаю, дольше вспоминать, который любил драматизировать об этом пространстве для своих студентов, бегая взад и вперед, он восклицал: «Это ось X!». Затем он бегал взад и вперед по центральному проходу, крича: «Это оси Y!", и, наконец, прыгал вверх и вниз, крича "Это ось z!".

Для функций более трех переменных требуется декартово пространство с более чем тремя осями. К сожалению, профессор не мог драматизировать оси выше трех, только бегая или прыгая.

Обратите внимание на метки «домен» и «диапазон» на рисунке 1. В последнее десятилетия стало модным обобщать определение функции. Значения, которые может принимать независимая переменная называются доменом переменной. Значения, которые может принимать зависимая переменная называется диапазоном. На декартовой плоскости домен состоит из чисел вдоль горизонтальной оси (x), диапазон состоит из чисел вдоль вертикальной оси (y).

Домены и диапазоны могут быть бесконечными множествами, такими как множество реальных чисел или набор целых чисел; или любой из них может быть конечным множеством, например, часть действительных чисел.

Цифры на термометре, например, представляют собой конечный интервал действительных чисел. Если используются для измерения температуры воды, цифры обозначают интервал между температурами замерзания воды и кипения. Здесь высота ртутного столба относительно температуры воды является взаимно однозначной функцией одной переменной.

В современной теории множеств этот способ определения функции может быть распространен на совершенно произвольные наборы чисел для функции, которая описывается не уравнением, а набором правил. Простейший способ указать правила — таблица.

Например, На рис. 2 показана таблица с набором произвольных чисел, составляющих домен слева. Соответствующий набор произвольных [arbitary] чисел находится в диапазоне справа. Правила, регулирующие эту функцию, указаны стрелками. Эти стрелки показывают, что каждое число в домене соответствует одному числу справа. Как вы можете увидеть, более чем одно число слева может привести к такому же числу справа, но не наоборот.

Другой такой пример показан на рис. 3 вместе с графиком, состоящим из 6 изолированных точек на плоскости.

Поскольку каждое число слева ведет ровно к одному числу справа, мы можем сказать, что числа справа являются функцией из тех, что слева. Некоторые авторы говорят, что цифры справа “правильные изображения" тех, что слева. [здесь игра слов]

Говорят, что стрелы обеспечивают«сопоставление» [“mapping”] домена с диапазоном. Некоторые называют стрелки «правилами соответствия», которые определяют функцию.

Для большинства функций, встречающихся в исчислении, область определения состоит из одного интервала действительных чисел. Областью может быть вся ось x, как это для функции y = x^2.

Или это может быть интервал, ограниченный, например, областью определения y = arcsin x.

Что состоит из всех x таких, что -1 < x < 1.

Или он может быть ограничен с одной стороны и неограниченный с другой стороны; например, область определения y = √(x), состоит из всех x > 0.

Назовем такую ​​функцию непрерывной, если ее график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, и «прерывистой» в противном случае. (Полное определение непрерывности, которое также применимо к функциям с более сложными областями определения, выходит за рамки этой книги.)

Фигура 4. Эта функция называется функцией наибольшего целого числа, потому что она
сопоставляет каждое действительное число (по оси x) с наибольшим целым числом по оси y равным или меньшим действительного числа.

Например, все три только что упомянутые функции непрерывны. На рис. 4 показан пример прерывистой функции.

Ее область определения состоит из всех действительных чисел, но ее граф [график, схема, паттерн] имеет бесконечно много частей, которые не связаны друг с другом.

В этой книге мы будем почти полностью заниматься непрерывными функциями.

Обратите внимание, что если вертикальная линия от оси x пересекает более одной точки на кривой, кривая не может представлять [репрезентовать — выражать, отражая] функцию, потому что она отображает число x в более чем одно число y.

Фигура 5 - это график, который явно не является функцией, потому что вертикальные линии, такие как показано пунктиром, пересекают график в трех точках. (Это
следует отметить, что Томпсон не использовал современное определение «функции». Например, график, показанный на рисунке 30 в Главе XI не проходит проверку вертикальной линии, но Томпсон считает, что это функция.)

В этом обобщенном определении функции, функция с одной переменной — это любой набор упорядоченных пар чисел, такой, что каждое число в одном наборе связано ровно с одним числом в другом наборе.

Иными словами, в упорядоченных парах ни одно число x не может повторяться, хотя у число может.

Представляя функции таким образом, мы будем считать произвольные комбинации сейфа или последовательности кнопок, которые нужно нажать, чтобы открыть дверь, функциями подсчета чисел. Чтобы открыть сейф, вы должны повернуть ручку назад и вперед, чтобы получить случайный набор целых чисел. Если комбинация сейфа, скажем, 2-19-3-2-19, то эти числа необходимо получить, чтобы открыть сейф, или порядок, в котором нужно нажать кнопки.

В подобном пути высоты крохотных «пиков» доли ключа цилиндрового замка являются произвольной функцией позиций по длине ключа.

В последние годы математики расширили понятие функции даже стали включать вещи, которые не являются числами. В самом деле, они могут быть чем угодно, что является элементами множества. Функция — это просто соотношение каждого элемента в одном наборе ровно с одним элементом другого набора. Это приводит ко всем видам использования слова функция, которые кажутся абсурдными.

Если у Смита рыжие волосы, у Джонса черные волосы, а у Робинсона белые волосы, цвет волос - функция трех мужчин. Позиции городов на карта являются функцией их положения на земле. Количество пальцев в стандартной семье есть функция числа людей в семье. У разных людей может быть одна и та же мать, но ни у кого не может быть более одной матери. Это позволяет говорить о том, что матери являются функцией людей.

Матери слонов — это функция слонов, но не бабушек, потому что у слонихи может быть две бабушки. Как недавно выразился один математик, функции были обобщены «к небесам и вниз под землю».

Полезный способ думать о функциях в этом обобщенном виде состоит в том, чтобы представлять себе черный ящик с входными и выходными отверстиями. Любой элемент в домене, числа или что-то другое, помещается в поле. Во вне выталкивает один элемент в каком-то диапазоне. Механика внутри коробки волшебным образом обеспечивает корреляции, используя любые правила соответствия, управляющие его функцией. В исчислении входы и выходы почти всегда являются действительными числами, а механизм в черном ящике работает по правилам, заданным уравнениями.

Поскольку обобщенное определение функции приводит к странным крайностям, многие преподаватели сегодня, особенно те, кто имеет инженерное образование, считают, что вводить такое широкое определение функций в начало исчисления сбивает с толку и не нужно ученикам, тем не менее, все большее количество современных учебников про исчисления тратят много страниц на обобщенное определение. Их авторы считают, что определение функции как отображения элементов от любого набора к любому другому набору является сильной объединяющей концепцией, которую следует преподавать всем студентам, изучающим математику.

Противники этой практики считают, что исчисление не должно касаться пальцев ног, городов, матерей и слонов. Его домены и диапазоны должны быть ограничены, как это всегда было, реальными числами, функции которых описывают непрерывное изменение.
Это удачный и удивительный факт, что основные законы нашей фантастической суетливой вселенной основаны на относительно простых уравнениях. Если бы это было иначе, мы, конечно, знали бы меньше, чем теперь мы знаем, как ведет себя наша Вселенная, и Ньютон, и Лейбниц, вероятно, никогда бы не изобрели (или не открыли?) исчисление.

[1] Исчисление - раздел математики, занимающийся нахождением и свойствами производных и интегралов функций методами, первоначально основанными на суммировании бесконечно малых разностей. Двумя основными типами являются дифференциальное исчисление и интегральное исчисление.

Пролог.

Учитывая то, как много дураков умеет совершать вычисления, удивительно, что это немыслимо сложная или утомительная задача для любого другого дурака, который пытается узнать, как освоить те же трюки.

Некоторые вычислительные трюки довольно легки. Некоторые из них чрезвычайно трудны.

Дураки, которые пишут учебники по высшей математике - и они, в основном, умные дураки - редко утруждаются, чтобы показать вам, насколько легки простые расчеты. Напротив, они, кажется, желают поразить вас своей огромной ловкостью, идя при этом по самому трудному пути.

Будучи удивительно глупым парнем, мне пришлось отучить себя от этих трудностей, и теперь пора предоставить моим коллегам-дуракам главы, которые не столь трудны в понимании. Освойте их тщательно, а остальное появится вслед за этим. Ибо что может сделать один дурак, сможет и другой.

***

ГЛАВА I. Твое избавление от начальных терзаний

Первый ужас, от которого задыхается большинство выпускников, даже не попробовав себя в вычислениях, может быть отброшен раз и навсегда - стоит лишь показать им, что значат с точки зрения здравого смысла два основных символа, которые используются при вычислении.

Эти ужасные символы:

(1) d, что просто означает «немного».

Таким образом, dx означает немного x; Или du означает немного u.

Математики-заучки считают более вежливым сказать «элемент», Вместо «немного». Как вам угодно.

Но вы увидите, что эти небольшие множества (или же элементы) могут считаться бесконечно малыми.

(2) ∫ который является просто длинным S и может быть назван (если вам нравится) "суммой",

таким образом,

∫dx означает сумму всех малых частей x;

или ∫ dt означает Сумма всех малых частей от t.

Обычные математики называют этот символ "интеграл от". Теперь любой дурак может видеть, что если представить, что число x собрано из множества маленьких частей, каждая из которых называется dx, то если вы

сложите их вместе, вы получите сумму всех dx (что то же самое, что целый x). Слово «интеграл» просто означает «Целое».

Если вы думаете о продолжительности времени в течение одного часа, вы можете (если Вам нравится) подумать о том, что он состоит из 3600 маленьких кусочков, которые называются секундами. Все 3600 кусочков, сложенных вместе, составляют один час.

Когда вы увидите выражение, которое начинается с этого ужасающего символа, вы впредь будете знать, что он помещен туда только для того, чтобы дать вам инструкции по выполнению операции (если это возможно), чтобы просуммировать все маленькие части, обозначенные этими символами.

Это все.

ГЛАВА II.

О РАЗЛИЧНЫХ СТЕПЕНЯХ МАЛОГО

Мы увидим, что в наших расчетах мы имеем дело с небольшим количеством различных степеней малого.

Нам также нужно будет узнать, при каких обстоятельствах мы можем считать малые количества настолько малыми, что мы можем их отбросить из рассмотрения. Все зависит от относительной детальности [minuteness].

Прежде чем мы установим какие-либо правила, давайте подумаем о знакомых случаях.

Так 60 минут составляют час, 24 часа - день, 7 дней - неделю.

Следовательно, есть 1440 минут в день и 10080 минут в неделю.

Очевидно, что 1 минута - это очень малое количество времени по сравнению с целой неделей.

Действительно, наши предки считали ее мимолетной в сравнении с часом и называли «одна минута», [one minute] имея ввиду "минутная доля", а именно - одна шестидесятая часа.

Когда настало время создать еще меньшие деления, то каждая минута была поделена на еще 60 частей, которые во времена королевы Елизаветы называли «вторые минуты» [second minutes] (то есть небольшие количества второго порядка малости).

В наши дни мы называеми эти части второго порядка [second orders] малости - "секунды" [seconds]. Но мало кто знает, почему они так называются.

Теперь, если одна минута настолько мала по сравнению с целым днем, то насколько мала секунда?!

Опять же, подумайте о фартинге по сравнению с совереном (названия медной и золотой английских монет) : разница гораздо больше 1/1000. Фартинг относительно имеет очень малый номинал по сравнению с совереном: его, безусловно, можно рассматривать как малую величину.

Но сравните фартинг с 1000 фунтов: это относительно большая сумма, в которой фартинг имеет значение не более 1/1000, как в случае с совереном и фартингом. Даже золотой соверен составляет относительно ничтожную величину в богатстве миллионера.

Теперь, если мы зафиксируем любую численную дробь как составляющую пропорцию, которую для любых целей мы называем относительно малой, мы можем легко указать другие доли более высокой степени малого.

Таким образом, если наша цель время, то 1/60 - малая доля, а 1/60 от 1/60 малая доля малой доли (фракции[fraction] или же деления), что можно рассматривать как небольшое количество второго порядка малости. *1

Или, если для любой цели мы возьмем 1 за каждый цент [per cent] (т.е. 1/100) в качестве малой доли, затем 1% от 1% (1/10 000), то это будет деление второго порядка малости; И 1/1 000 000 будет частью третьего порядка малости и так далее.

Наконец, предположим, что для какой-то очень точной цели мы должны рассматривать 1 / 1,000,000 как «маленький». Таким образом, если первоклассный хронометр не теряет или получает больше, чем полминуты в год, он должен держать время с точностью до 1 ошибки каждые 1, 051, 200 хода.

Теперь, если для этой цели мы посчитаем 1/1 000 000 (или одну миллионную) как небольшое количество, тогда 1/1 000 000 1/1 000 000, то есть 1/1 000 000 000 000 (или одна миллиардная) будет небольшим количеством второго порядка малости и может быть совершенно не учтена в сравнении.

*

Тогда мы видим, что чем меньше малая величина, тем более пренебрежимо малым стало соответствующее количество второго порядка.

Отсюда мы знаем, что во всех случаях мы ограничиваемся пренебрежением небольшого количества - второго или третьего (или более высокого) - порядка, если только мы принимаем малую величину первого порядка как достаточную.

Но, нужно помнить, что малые величины, если они появляются в наших выражениях как множители, умноженные на какой-то другой коэффициент, могут стать важными, если другой коэффициент сам по себе большой. Даже фартинг становится важным, если только он умножается на несколько сотен.

*

Теперь в исчислении мы пишем dx для части от x. Такие штуки, как dx, du и dy, называются «дифференциалами» - дифференциал от x, или от u, или от y, в зависимости от обстоятельств. [Вы читаете их как "Дэ-Икс", "Дэ-Ю" и "Дэ-Вай"]

Если dx - небольшая часть от x и относительно небольшая в отношении себя, то из этого не следует, что такие величины, как

х * dх, или х^2 * dx, или а * Dx незначительны. Но dx * dx будет пренебрежимо малой величиной второго порядка.

Это можно очень просто проиллюстрировать.

Представим x как величину, которая может расти на небольшое значение: x + dx, где dx - малый прирост, добавленный ростом.

Квадрат этого равен x ^ 2 + 2x · dx + (dx) ^ 2.

Второй член не принимается в расчет, потому что это количество первого порядка; в то время как третий порядок является вторым порядком малости, будучи частью части x^2.

Таким образом, если мы возьмем dx для численного значения, скажем, 1/60 от x, тогда второй элемент (член) должен быть 2/60 от x^2, третий - будет 1/3600 от x^2. Этот последний элемент явно менее важен, чем второй. Но если мы пойдем дальше и возьмем dx, чтобы означать только 1/1000 от x, тогда второй элемент будет 2/1000 x / 2, а третий - будет равен 1/1 / 100,000 от x ^ 2.

[Рисунок 1]

Геометрически это можно изобразить следующим образом: нарисуйте квадрат (рис.1), сторону которого мы возьмем для представления x. Предположим теперь, что квадрат возрастает, когда каждая часть добавляется к его размеру.

Увеличенный квадрат состоит из исходного квадрата x^2 с двумя прямоугольника сверху и справа, каждый из которых имеет площадь x * dx (Или вместе 2x * dx), и маленький квадрат в верхнем правом углу, которым является (dx)^2. На рисунке 2 мы приняли dx как довольно большую долю от х - около 1/5. Но предположим, что мы взяли его только 1/100 - примерно толщина чернильной линии, нарисованной мелким пером. Тогда маленький уголок квадрата будет иметь площадь всего 1/10 000 от x^2 и станет практически невидимым.

Ясно, что (dx)^2 пренебрежимо мала, только если мы рассматриваем приращение dx к самому себе достаточное малое количество раз.

Давайте рассмотрим сравнение.

*

Теперь, если мистер Миллионер получил в течение следующей недели 1000 фунтов стерлингов, секретарь получит 10 фунтов стерлингов, а мальчишка 2 шиллинга.

Десять фунтов небольшое количество по сравнению с 1000 фунтов стерлингов; Но два шиллинга - это крайне мало, действительно, имеет весьма вторичный порядок.

Но какова была бы диспропорция, если эта доля, вместо 1/100, была рассчитана на уровне 1/1000 часть? Затем, в то время как мистеру Миллионеру достались 1000 фунтов стерлингов, г-н Секретарь получит только 1 фунт стерлингов, а мальчик вовсе меньше, чем один фартинг!

*

Остроумный Д. Свифт однажды написал:

Паразиты извечно кусаются, Разнятся едва ли на дюйм.

Видно это бесконечно случается,

Ибо натуралист хранит золото дум:

"На каждом затылке и спинке сидит стая блох.

Вот ты, вот кот, вот бог - в этом смысле никто не плох".

Кот может заботиться о блохе обычного размера - маленьком существе. Первый порядок малости.

Но, вероятно, он не утруждал бы себя, в поисках блох у блохи - бытия второго порядка малости, которое было бы для него незначительным. Даже большим количеством кот мог бы пренебречь.

*

[1] Математики говорят о втором порядке «величины» (то есть величии), когда они действительно указывают на второй порядок малости. Это очень сбивает с толку

начинающих.

[2]«Поэзия: рапсодия» (стр. 20), напечатанная 1733 г. - обычно неверно цитируется.

[Перевод сделан мной, смысл передан]