Автор статьи: Артем Михайлов
Сингулярный спектральный анализ (SSA) – это метод анализа временных рядов, который использует линейную алгебру и теорию сигналов для извлечения информации из данных. Суть метода заключается в том, что временной ряд разбивается на компоненты сингулярного разложения и затем эти компоненты используются для анализа и прогнозирования.
SSA широко применяется в различных областях, таких как транспортная доступность, анализ экономических данных, мониторинг технического состояния оборудования и других.
Одним из преимуществ SSA является его способность работать с короткими и неполными данными, что делает его особенно полезным для анализа ряда, который представляет собой смесь разных сигналов. Кроме того, SSA также имеет свои ограничения, в основном связанные с некоторыми предположениями, которые делаются в процессе анализа. В частности, SSA предполагает, что временной ряд имеет стационарные и слабо зависимые компоненты.
В целом, SSA представляет собой мощный инструмент анализа данных, который может дополнить и усилить существующие методы анализа. Правильно примененный, SSA может сделать ценный вклад в понимание сложных процессов, которые могут влиять на поведение ряда.
Принципы работы SSA
Принцип работы сингулярного спектрального анализа (SSA) заключается в декомпозиции временного ряда на его составляющие, называемые эмпирическими компонентами (EС).
Для начала разбиваем временной ряд на оконные последовательности, затем каждая последовательность преобразуется в траекторную матрицу. Траекторная матрица - это матрица, в которой время представлено в виде строк, а взаимодействие между элементами временной последовательности в виде столбцов.
Затем с помощью сингулярного разложения траекторной матрицы можно выделить эмпирические компоненты ряда. Сингулярное разложение - это метод аппроксимации матрицы через линейную комбинацию базисных векторов. В нашем случае, базисные векторы получаются из диагональных элементов матрицы сингулярных значений, а эмпирические компоненты - из произведения матрицы левых сингулярных векторов на транспонированную матрицу правых сингулярных векторов.
Каждая эмпирическая компонента содержит информацию о ряде определенной частоты и длины внутри оконной последовательности. Таким образом, мы можем разделить временной ряд на отдельные компоненты, которые могут быть анализированы и использованы для прогнозирования. Применение SSA включает в себя анализ, прогнозирование и извлечение информации из различных типов временных рядов. SSA может использоваться для прогнозирования будущих значений временного ряда, а также для анализа и извлечения информации из длинных временных рядов с сложной структурой. SSA также может быть применен для анализа многомерных временных рядов.
Описание шагов анализа
Формирование траекторной матрицы. Изначально временной ряд разбивается на фиксированные окна одинаковой длины, а затем из окон формируется траекторная матрица. Таким образом, каждая строка матрицы представляет собой вектор со значениями временного ряда, который соответствует одному из окон. Число строк в матрице соответствует размеру окон, а число столбцов - размеру временного ряда.
Разложение траекторной матрицы на сингулярные вектора и значения. Для того чтобы проанализировать временной ряд, траекторная матрица вначале должна быть разложена на сингулярные значения и вектора. Сингулярное разложение (SVD) может быть применено к траекторной матрице, т.к. она представляет собой матрицу, которую можно представить в виде произведения трех матриц. В результате разложения получаются сингулярные вектора и значения.
-
Выделение элементов цикла и тенденции из сингулярных векторов.
На этом этапе выполняется выборка сингулярных значений и соответствующих им сингулярных векторов из траекторной матрицы. Это делается таким образом, чтобы отобрать векторы, которые наиболее соответствуют циклическим или линейным компонентам временного ряда. Метод SSA позволяет выбрать наиболее важные компоненты ряда, исходя из статистических критериев, которые помогают определить, какие циклы и тренды в данных являются статистически значимыми, и какие можно отнести к шуму. Сингулярные вектора и значения, соответствующие выбранным компонентам, используются на следующем этапе для восстановления циклических и линейных компонент ряда.
-
После того как мы выбрали определенное количество сингулярных значений и соответствующих им сингулярных векторов, следующим шагом является восстановление цикла и тенденции.
Для восстановления цикла и тенденции мы используем умножение выбранных сингулярных векторов и значений. Восстановленные компоненты цикла и тенденции можно использовать для дальнейшего анализа и прогнозирования временного ряда. Восстановленный цикл показывает повторяющиеся паттерны в данных, такие как сезонность. Тенденция показывает общее направление движения данных, например, рост или спад.
Кроме того, можно восстановить остаточный ряд, вычитая из исходного ряда восстановленный цикл и тенденцию. Остаточный ряд отражает дисперсию временного ряда, которая не была объяснена циклом и тенденцией.
Восстановление цикла и тенденции - это важный шаг в анализе временных рядов и может помочь вам понять основные влияющие факторы и прогнозировать будущие значения временного ряда.
Выделение шума из временного ряда. После того, как цикл и тренд восстановлены, их можно вычесть из исходного временного ряда, чтобы получить шум. Этот шум поможет лучше понять различные закономерности, которые могут быть скрыты в данных.
Преимущества и недостатки
Одним из ограничений SSA является необходимость знания длины исходной последовательности и выбор размерности окна, что может быть затруднительным в случае, когда длина ряда может быть изменчива или неизвестна. Также SSA требует наличия стационарности данных, иначе метод может давать неверные результаты.
Другим недостатком SSA является его вычислительная сложность. Разложение временного ряда на компоненты происходит путем вычисления матриц ковариации, что может быть затратно по времени, особенно для больших рядов. Кроме того, SSA имеет тенденцию к переподгонке (overfitting) - когда метод "настраивается" на шум и неустойчив к небольшим изменениям данных. Наконец, SSA не всегда является достаточно гибким для анализа сложных временных рядов, таких как многомерные и нелинейные ряды.
Примеры применения
Сингулярный спектральный анализ(SSA) может быть применен во многих областях, основательно облегчая анализ данных с большим числом измерений и сложной структурой. Рассмотрим несколько примеров, где SSA использован для анализа различных типов данных:
Анализ временных рядов: SSA может быть использован для анализа временных рядов, таких как индексы цен на товары, курс валюты или метеорологические данные. Например, SSA может быть использован для выделения циклов и трендов в индексе акций, чтобы выделить периодические движения в ценах на акции и изучить их причины.
Обработка изображений: SSA может быть применен к изображениям для анализа их основных компонент и выделения структур. Например, SSA может быть использован для анализа снимков со спутников, где SSA может помочь выделить основные компоненты изображений и убрать шумы искажения из-за изменения угла искривления спутника.
Обработка звука: SSA может использоваться для анализа звуковых сигналов, например для распознавания речи или обработки музыки. SSA может выделять гармонические составляющие звука, такие как аккорды в музыке, и указывать на тенденции изменения речи, чтобы лучше понять о чем говорят люди.
Анализ экономических данных: SSA может быть использован для анализа статистических данных, например для прогнозирования экономических показателей. Например, SSA может использоваться для анализа данных о продажах в магазинах, чтобы выделить основные компоненты, определить моменты наибольшего спроса и подготовиться к следующим тенденциям на рынке.
Заключение
В заключении можно отметить, что Сингулярный спектральный анализ является мощным методом анализа временных рядов, который может использоваться в различных областях, от гидрологии и климатологии до экономики и финансов. SSA позволяет выявлять скрытые циклы, тренды и паттерны в данных, что позволяет предсказывать будущие значения временных рядов и принимать обоснованные решения на основе полученных результатов. Однако, как и любой другой метод, SSA имеет свои ограничения и требует определенных знаний и навыков для его применения. В целом, Сингулярный спектральный анализ является эффективным и перспективным инструментом для анализа временных рядов, который будет непременно развиваться и улучшаться в будущем.
Напоследок хочу порекомендовать бесплатный вебинар от OTUS, где преподаватели покажут как настроить мониторинг PostgreSQL с помощью grafana и Prometheus.