Привет, дорогие читатели Хабра!
С радостью хочу поделиться с вами своей статьей о параметризованных кривых, написанная простыми словами. Математика вдохновляет своей красотой и применимостью, и параметризованные кривые – это увлекательная область, которая заслуживает внимания.
В этой статье мы рассмотрим:
Параметризованные кривые: В тексте рассматривается понятие параметризованных кривых как векторных функций, которые позволяют описывать движение и форму объектов в пространстве. Они играют важную роль в математике, физике и других науках.
Параметризация и её применение: Рассматривается метод параметризации для представления кривых в пространстве с помощью переменных. Этот подход полезен для описания движения объектов и анализа их формы.
Свойства параметризованных кривых: Говорится о гладкости и регулярности параметризованных кривых, а также о классах гладкости, которые определяют степень дифференцируемости кривой.
Диффеоморфизмы и вычисление длины дуги: Вводится понятие диффеоморфизмов как гладких отображений между многообразиями, а также рассматривается вычисление длины дуги параметризованных кривых через интеграл длины дуги.
Задание линий в геометрии: Обсуждается понятие линии как геометрического объекта и способы её задания с использованием параметризованных кривых.
Заключение
Введение
Параметризованные кривые играют важную роль в математике, физике и других науках, позволяя описывать и изучать движение и форму объектов в пространстве. В этой статье мы рассмотрим понятие параметризованных кривых, их использование, свойства и классы гладкости.
Параметризованные кривые и их свойства
Определение:
Параметризованная кривая – это векторная функция скалярного аргумента, которая принимает скалярное значение в качестве аргумента и возвращает векторное значение. Она задается как , где
,
и
– скалярные функции, определяющие компоненты вектора в зависимости от параметра
.
Параметризация и её применение
Параметризация – метод представления кривой, поверхности или объекта в пространстве с помощью одной или нескольких переменных, называемых параметрами. Параметризация позволяет описывать траекторию объекта на кривой или поверхности, изменяя значение параметра. Это гибкий подход для изучения и анализа форм и движений объектов.
Примером использования параметризованных кривых является описание движения объектов в пространстве в зависимости от времени или других переменных. Такие функции также применяются в других научных областях, где векторы зависят от одной переменной.
Носитель параметризованной кривой
Носитель параметризованной кривой – это множество точек в пространстве, которые кривая охватывает в течение своего параметризованного диапазона. Это область, где находятся все точки, соответствующие значениям параметра, используемым для параметризации кривой.
Если у нас есть параметризованная кривая с параметром
и координатами
, то носителем этой кривой будет множество всех точек, представленных как
при изменении параметра
в интервале, на котором кривая определена.
Примеры параметризованных кривых:
Окружность в двумерном пространстве:
Рассмотрим параметрические уравнения, описывающие движение точки по окружности:
Здесь – радиус окружности, а
– параметр времени. Такие уравнения задают векторную функцию скалярного аргумента
. При различных значениях параметра
, точка будет двигаться по окружности радиуса
в двумерном пространстве.
![Окружность в двумерном пространстве Окружность в двумерном пространстве](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3ad/ba6/d72/3adba6d7295591a7c90fe520e08d7718.png)
Винтовая линия в трёхмерном пространстве:
Винтовая линия описывает спиральное движение в трёхмерном пространстве. Её параметризация может выглядеть следующим образом:
Здесь – параметр (угол поворота),
– радиус спирали,
– высота подъема за каждый полный оборот,
,
,
– начальные координаты.
![Винтовая линия в трёхмерном пространстве Винтовая линия в трёхмерном пространстве](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/6ee/0ca/991/6ee0ca9912ab7f8e76161d7b6d9a7304.png)
Свойства параметризованных кривых:
(Гладкость и регулярность)
Гладкость кривой означает отсутствие резких углов и изломов. Кривая считается гладкой, если её компоненты имеют непрерывные производные.
Регулярность кривой связана с отсутствием самопересечений и сохранением интринсических характеристик. Регулярные кривые не имеют вырожденных точек и параметризация не теряет информацию о кривой.
Познакомившись с двумя выше определениями, можно рассмотреть Классы Гладкости.
Кривая принадлежит классу , если её компонентные функции также принадлежат этому классу. Классы гладкости
определяются степенью непрерывной дифференцируемости кривой.
: Непрерывная кривая.
: Кривая с непрерывной первой производной.
: Кривая с непрерывными первой и второй производными.
: Кривая с непрерывными производными до
-го порядка.
Чем выше класс гладкости, тем плавнее и "естественнее" выглядит кривая.
Диффеоморфизмы, Длина дуги и Задание линий в Геометрии
Диффеоморфизм класса C^k:
Диффеоморфизм класса C^k - это биективное отображение между двумя гладкими многообразиями, которое обладает определенной гладкостью. Формально, диффеоморфизм класса C^k - это гладкое отображение f: M -> N, где M и N - гладкие многообразия класса C^k, удовлетворяющее условиям:
f является биективным отображением.
Обратное отображение f^(-1) также принадлежит классу C^k.
Диффеоморфизмы позволяют устанавливать гладкую эквивалентность между различными кривыми или многообразиями. Если две параметризованные кривые связаны диффеоморфизмом, то они считаются диффеоморфно эквивалентными и могут быть рассмотрены как одна и та же кривая с различными параметризациями. Такие диффеоморфные кривые принадлежат одному классу эквивалентности, что позволяет сохранять геометрические свойства при различных параметризациях.
Пример:
Для лучшего понимания, представьте две параметризованные кривые r1(t) и r2(t), между которыми существует диффеоморфизм f, то есть r1(t) = f(r2(t)). В этом случае r1(t) и r2(t) считаются диффеоморфно эквивалентными кривыми. Это означает, что они обладают одинаковой гладкостью и регулярностью в зависимости от параметра t.
Введем первую кривую, которая образуется по параметризации x = cos(t), y = sin(t), а вторая кривая получается из первой кривой путем поворота на угол θ и изменения масштаба в α раз. Обе кривые являются эквивалентными, так как можно сопоставить каждой точке на одной кривой точку на другой кривой без пересечений.
![Пример эквивалентных кривых Пример эквивалентных кривых](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/165/79c/307/16579c30755013092e87bf082dba2951.png)
Вычисление длины дуги параметризованных Кривых.
Длина дуги между двумя точками на параметризованной кривой играет важную роль в геометрии. Для её вычисления используется интеграл длины дуги, который зависит от производной параметризации.
Математически, длина дуги вычисляется по формуле:
Здесь r(t) - векторная функция, параметризующая кривую, r'(t) - её производная по параметру t (тангенциальный вектор), |r'(t)| - модуль этого вектора.
Немножко про линии в геометрии
Линия - это геометрический объект, представляющий собой подмножество М трехмерного пространства R^3. В контексте трехмерного пространства, параметризованные кривые часто используются для описания линий.
Линию M пространства R^3 считают линией, если для каждой точки α на ней существует параметризованная кривая (I, r), носитель которой r(I) является окрестностью точки α. Понятие "точка α", "регулярная параметризованная кривая" и "носитель" играют важную роль:
Точка α: Точка на линии, подлежащая покрытию параметризованной кривой.
Регулярная параметризованная кривая (I, r): Функция r, отображающая интервал I в пространство R^3.
Носитель r(I): Множество точек r(t) для t из интервала I, описывающее окрестность точки α.
Таким образом, каждая точка на линии может быть охвачена параметризованной кривой, что позволяет задавать линию с использованием параметризованных кривых.
Если для линии существует параметризация, покрывающая всю линию, она называется простой линией. Глобальная параметризация охватывает всю линию, обеспечивая полное описание каждой точки на ней. Линии в трехмерном пространстве могут иметь различные формы и свойства. Некоторые из них являются прямыми линиями, которые не имеют изгибов или изломов, а другие могут быть закрытыми кривыми, образующими окружности или эллипсы.
![Простая линия, которая соединяет указанные точки (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 5) и (5, 3). Простая линия, которая соединяет указанные точки (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 5) и (5, 3).](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/823/154/999/8231549996b1c6271c2a52a1bda5ed2d.png)
Заключение
Параметризация кривых и линий открывает перед нами возможность изучать их свойства и поведение под различными условиями. Регулярность функций позволяет нам определить гладкость кривых и линий, а диффеоморфизмы позволяют нам описать их преобразования, сохраняющие основные геометрические свойства. Эта тема даёт нам глубокий взгляд в мир форм и структур.
Геометрические аспекты параметризации кривых и линий также имеют широкое применение в компьютерной графике, криптографии и других областях.
Комментарии (6)
mikko_kukkanen
09.08.2023 03:18Тема хорошая. Есть ли у Вас примеры использования параметризованных кривых (например, кривых Безье) в бинарной классификации?
Refridgerator
Ну то есть всё, что вы смогли нарисовать — это кружок и пружинка? Слабоватый уровень для хабра. Деформируйте для начала этот кружок в суперэллипс или яйцо, а пружинку оберните вокруг другой пружинки или хотя бы тора.
belch84
Отсюда
Refridgerator
В вас я не сомневался)
belch84
Ну, тогда уж и формулы укажите. Мне проще, у меня это трехмерная параметрическая кривая, а формулы можно найти по ссылке. У вас торообразная пружинка выглядит как поверхность, формулы для неё, поди, посложнее будут ...
Refridgerator
Да там всё то же самое, только смещение дополнительно добавляется вдоль тора.
i:=-pi,pi,400;
j:=0,0.1,1;
begin
n:=20;
r:=0.7+sin(i*n)/4;
z:=cos(i*n)/4;
x:=r*cos(i)-j*sin(i);
y:=r*sin(i)+j*cos(i);
end.
i,j — исходные координаты на плоскости в 2D.