В рамках серии материалов о различных старинных счетных устройствах мы уже познакомились со сложными механизмами, в основном предназначенными для сложения чисел. Операции умножения во всех случаях требовали выполнения ряда сложных действий, но в одном из устройств (Считающие часы Вильгельма Шиккарда) этот процесс был упрощен благодаря устройству под названием «Палочки Непера» или «Кости Непера», которые в XVII веке изобрел шотландский математик Джон Непер. Сегодня мы уделим им особое внимание, а также поговорим про «Шпаргалку» — еще одно устройство Непера для облегчения расчетов.

Джон Непер

Джон Непер родился 1 февраля 1550 года в Эдинбурге (Шотландия) в богатой дворянской семье (лэрд, нетитулованное дворянство Шотландии): отец лэрд Арчибальд Непер и мать Джанет Босуэлл, дочь известного шотландского политика Фрэнсиса Босуэлла. Джон был 8-м лэрдем Мерчистона из клана Непер, но, несмотря на это, до наших дней дошло очень мало информации о его детстве и обучении.

Вероятно, Джон находился на домашнем обучении и проживал в замке Мерчистон, где и родился. В 1563 году отец Джона, Арчибальд Непер, отправил сына в колледж Св. Спасителя (Сент‑Салвейтор) Сент‑Эндрюсского университета. При этом в 1560 году в своем письме Адам Босуэлл, брат Джанет Босуэлл, умолял Арчибальда отправить мальчика на обучение в университеты континентальной Европы и высказывал большие сомнения относительно качества Шотландского образования, в том числе частного.

В год поступления в колледж умерла мать Джона. Судя по документам, оставшимся после ее смерти, молодой Джон во время учебы в колледже находился под опекой директора учебного заведения. Но, несмотря на это, имя Непера не значится в списках кандидатов на поступление на бакалавриат и магистратуру в 1566 и 1568 годах. Скорее всего, в колледже Непер получил только начальное образование, или вовсе в какой‑то момент бросил обучение и направился в континентальную Европу получать образование по совету дяди Адама.

Непер путешествовал по Европе, учился в Нидерландах, Франции и Италии. Он вернулся на родину в 1571 году и через год заключил брак с Элизабет Стерлинг, благодаря которому получил в собственность новые имения, но полноценный доход с них он стал получать только с 1608 года после смерти своего отца. В 1574 году пара переехала в замок в Гартнессе (Шотландия). В 1579 году Элизабет умерла, и через пару лет Джон женился на ее троюродной сестре Агнесс Чисхолм. От второго брака у Джона Непера появилось еще десять детей. В 1608 году Непер вернулся в замок Мерчистон и прожил там остаток жизни. В 1617 году он умер от подагры. 

Жизнь Джона Непера омрачали гражданские и религиозные войны. Однако его семье удалось избежать серьезных последствий этих конфликтов. Непер занимался изучением философии и математики и даже опубликовал несколько религиозных трудов. В частности, в 1593 году он создал, на его взгляд, самый важный труд его жизни — «Простое объяснение всех откровений св. Иоанна» (A Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John), где на английском языке (не латинском, в отличие от остальных трудов), используя математический анализ Книги Откровения, он попытался установить дату Апокалипсиса (по его предположению, в 1688 либо в 1700 году). Также ходили слухи, что Непер занимался оккультизмом, но они не подтвердились со временем — в записях и трудах Джона не обнаружилось ничего, что намекало бы на увлечение оккультизмом.

Однако интересные нам ключевые достижения и труды Джона Непера заключаются не в религиозных трактатах и спорах по поводу реформации. В 1614 году Непер публикует сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов» (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio) в двух частях — революционный для своего времени труд. В первой части ученый описывает логарифмы и их свойства, во второй — плоскую и сферическую тригонометрию. Появление логарифмов значительно упрощает процессы умножения, вычитания и извлечение корня из числа, что и являлось целью написания труда. Открытия в области плоской и сферической тригонометрии, например, формулы аналогии Непера, также облегчили расчеты.

Есть мнение, что, создавая логарифмы, Непер вдохновлялся идеей немецкого математика Михаэля Штифеля и его книгой «Полная арифметика» (Arithmetica integra, 1544 год). В ней Штифель заложил идею логарифма, но до практической реализации в итоге не дошел. Достоверно неизвестно, читал ли Джон Непер этот труд, но он стал первым, кто опубликовал четкую и ясную концепцию с таблицами для практического применения.

«Убедившись в том, что нет ничего другого… что вызывало бы бо́льшие трудности в математической практике, а также мешало и досаждало бы вычислителям, чем умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней, каковые операции помимо утомительной траты времени являются основным источником многочисленных ошибок, я начал размышлять над тем, каким надёжным и лёгким способом я мог бы устранить эти препятствия. И, обдумывая различные средства, пригодные для достижения этой цели, я, наконец, нашёл замечательные короткие правила, которыми можно будет пользоваться в дальнейшем. Среди всех этих правил нет более полезных, чем те, что… исключают из вычислений числа, которые должны быть перемножены, разделены или превращены в корни, и на их месте ставят другие числа, с помощью которых все вычисления выполняются только сложением, вычитанием или делением на два или три». Источник.

Палочки Непера и «Шпаргалки»

В 1617 году, уже после смерти Джона Непера, его сын посмертно опубликовал труд отца «Рабдология», в котором описаны два изобретения: уже известные вам «Палочки Непера», а также «Шпаргалки» (Promptuary). Оба изобретения, как и сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов», главной целью ставили упрощение сложных математических вычислений. Ко всему прочему, они были настолько просты в изготовлении, что абсолютно любой желающий мог смастерить их из подручных материалов, в отличие от вычислительных машин и арифмометров, о которых мы говорили ранее.

«Шпаргалка» включала:

— узкие длинные вертикальные полоски с большими цифрами вверху и пятью квадратами, внутри которых по 9 секторам расположены цифры;

— набор перфорированных полосок (горизонтальные);

— доску для выполнения расчетов (исключительно для удобства, ее отсутствие не мешало расчетам);

— коробку для хранения.

В каждом квадрате было 9 секторов для 9 разных цифр в множителе соответственно. То есть при наложении горизонтальной полоски в перфорации открывалась цифра, соответствующая сектору множителя, как на представленной картинке.

Множимое число выкладывалось из вертикальных полосок. То есть цифры вверху полосок составляли то самое множимое число. В свою очередь, множитель составлялся из горизонтальных полосок и накладывался сверху на множимое. В результате перфорированные полоски перекрывали нижние вертикальные полоски, оставляя лишь часть цифр открытыми.

Дальше вычисления проводятся от крайнего правого ряда (косые, выделены красным) в перфорации к левому. Складываются все видимые цифры. Если число превышает 10, десятки переносятся на сложение в следующую строку. Самый крайний правый ряд соответствует крайней правой цифре в итоговом числе, второй ряд — второй цифре и так далее.

На примере ниже 1-й ряд содержит только цифру 2, 2-й ряд — 8, 1 и 2, то есть складываем их вместе, пишет 1 и десяток переносим на следующий ряд как при сложении в столбик. В итоге должно получится число 305712.

Такой способ требовал от человека максимально простых и понятных действий по сложению, при этом по итогу даже при умножении больших чисел максимально быстро и просто получался итоговый результат.

«Палочки Непера» имеют схожую концепцию, но их можно использовать, для умножения, деления и даже извлечения квадратного корня. Набор включал:

• доску для выполнения расчетов (исключительно для удобства, ее отсутствие не мешало расчетам);

• набор из 10 палочек (прямой параллелепипед), на которых аналогично полоскам из «шпаргалки» нанесены крупные цифры сверху, но вот нижние блоки выглядят совсем иначе, вернемся к этому далее;

• 11-я палочка с цифрами от 1 до 9;

• 12-я карточка для операций по вычислению квадратных корней.

Каждая из 10 палочек для расчетов имела форму прямого параллелепипеда. Вверху располагались цифры от 0 до 9 — по цифре на каждую палочку. Ниже размещены еще 8 блоков, каждый из которых разделен по диагонали. Все 9 блоков соответствуют результату умножения цифр:

1-й — 1х1 = 1, соответственно, вверху единица;

2-й — 1х2 = 2, во втором сверху блоке будет 0 / 2;

3-й — 1х3 = 3, будет 0 / 3;

и так далее.

Для цифр при умножении которых получается двузначное число, будет следующая картина:

8х1 = 8, соответственно, вверху 8;

8х2 = 16, то есть на палочке будет записано 1 / 6;

8х3 = 24, то есть 2 / 4;

И так далее.

Таблица умножения была нанесена на все четыре грани каждой из палочек. Но в поздних вариантах устройства таблички уже становились плоскими с таблицей умножения лишь на одной из сторон. Первоначально палочки делали из дерева, металла или слоновой кости, но вскоре начали использовать и обычную бумагу, что абсолютно не портило результаты расчетов. Появлялись варианты с нанесением таблиц на валики, как отдельно, так и в составе счетных устройств, в частности — в тех же считающих часах Вильгельма Шиккарда.

Для умножения необходимо было сначала поставить первую палочку с цифрами от 1 до 9. К ней по правой стороне выкладываются палочки в зависимости от множимого числа. То есть, если множимое это, допустим, 856, то первой идет палочка с цифрой 8 в верхнем секторе, потом с 5 и крайней левой — с 6.

Множитель определяется по первой палочке. Если он содержит только одну цифру, то берем только тот горизонтальный ряд, что этой цифре соответствует. Допустим, мы умножаем 856 на 7. Значит берем седьмой ряд, и получаем 5 / 6, 3 / 5 и 4 / 2. Их нужно сложить по примеру шпаргалки, то есть по диагонали и с переносом десятком. В данном случае с 2 ничего не граничит, оставляем ее как крайнюю правую цифру в итоговом числе. После складываем 4 и 5, получаем 9. Далее 6 и 3, тоже 9. пятерку складывать не с чем. В итоге получаем — 5992.

Если нужно умножить 856, например, на 324, то мы берем несколько строк в соответствии с множителем. В данном случае — строки 3, 2 и 4. Для каждой строки считаем число по предыдущему примеру, получаем 2568, 1712 и 3424. Складываем их в столбик, вверху — крайнее правое число, соответствующее крайней правой цифре множителя, к нижним числам в конце прибавляем нули. То есть: 3424 + 17120 + 256800. Складываем в столбик с переносом десятков и получаем 277344. Попробуйте поэкспериментировать со своими примерами. :) 

Для деления палочки сначала выкладывались аналогичным образом, как и для умножения, но с одним изменением. Вертикальные палочки теперь обозначали делитель. Разделим 277344 обратно на 324. Нам нужны вертикальные палочки с цифрами 3, 2 и 4, составляем из них делитель. Тут необходимо суммировать результат для каждого ряда.

Получившиеся числа очевидно меньше делимого по разрядности. Мы игнорируем «лишние» разряды множителя и выбираем наибольшее число с учетом этой общей разрядности. Или можно добавить разряды (с помощью 0) числам из таблицы, такой способ тоже используют для удобства, но мне удобнее не писать лишние нули. Проще показать на примере.

Напоминаю, что мы делим 277344 на 324. Поскольку делимое шестиразрядное, а все числа из таблицы до 4 разрядов, опускаем для первой итерации последние цифры 4 и 4 и отнимаем от делимого самое близкое число. Получаем 181, возвращаем ему два «лишних» разряда и получаем 18144. Опускаем один разряд и по аналогии с первой итерацией проводим вторую. Так делаем до тех пор, пока результат таких вычитаний не станет меньше делителя, в нашем случае — меньше 324.

Результат мы получаем, ориентируясь на номер строк. 2592 мы взяли из 8-й строки, значит первая цифра результата — 8. 1620 взято из 5-й строки, значит пишем 5. 1944 — из 6-й строки. Дальше не было итераций, в результате получаем 856. 277344 : 324 = 856.

Чтобы получить десятые доли результата, увеличиваем остаток в 10 раз и заново проводим все операции, пока не получите нужную точность или расчеты не приведут вас к 0.

Извлечение квадратного корня сложнее, потребует специальной палочки и нескольких этапов расчетов. Возьмем для примера число 466489. Для наглядности этот пример можно будет посмотреть в видео разборе ниже. Делим числа по парам, начиная с правого края: 46 64 89. Вычисления при этом начинаем с первой пары цифр.

Берем 46 и палочку для извлечения квадратного корня. В первом ряду палочки ищем максимально близкое к 46 число по аналогии с делением, в нашем случае это будет 36. Записываем в результат 6-ю строку (как первая цифра), вычитаем из 46 - 36 и получаем 10. Записываем 10-ку в столбике.

Для следующей операции смотрим на правое от 3 / 6 число — 12. Берем палочки обычные и выкладываем число 12, а палочку для извлечения квадратного корня ставим как крайнюю правую. Вычисляем значения из первых двух палочек и первого ряда третьей, по принципам из прошлых разов.

У нас получается следующая картина.

При вычитании первой пары цифр изначального числа мы получили в результате 10. К этим 10 приставляем вторую пару цифр и получаем уже 1064. Теперь ищем из чисел, которые мы только что рассчитали, наиболее близкое (но не большее) к 1064. Это будет 1024, взятое из 8-й строки. В итоге у нас уже есть две цифры из результата — 68. 1064 - 1024 = 40, записываем.

Далее также берем второй ряд восьмой строки на палочке для извлечения квадратного корня. В данном случае это будет 16. Но мы не меняем 12 на 16, а складываем, прибавляя разрядность первому числу. То есть в итоге первые три палочки складываются в число 136. Выписываем значения уже из трех палочек в ряд по аналогии с предыдущим примером. К 40 добавляем оставшуюся пару цифр и получаем 4089. В данном примере мы обнаруживаем, что в получившихся значениях есть такое же число, оно находится в 3 строке. Записываем. 4089 - 4089 = 0. Вычисления закончены, больше не с чем вычислять. В итоге квадратный корень 466489 — это 683.

По аналогии с делением, в случае необходимости определения десятых долей к итогу прибавляется 00. Например, если у вас осталось 13, после добавления будет 1300. Повторяем действия по указанному алгоритму пока не придете к 0 или не получите нужную точность.

Разбирая принцип работы палочек Непера, я удивилась, насколько все оказалось простым и удобным. Для умножения, деления и извлечения корней из сложных многоразрядных чисел от меня требовались только базовые знания таблицы умножения, принципов вычитания и сложения, что знает любой школьник начального класса.

Конечно, сейчас у нас для вычислений имеются разнообразные калькуляторы, но палочки Непера — очень удобная вещь, которая всегда будет с тобой, даже если не делать эти палочки. Таблицу заполнить и воспроизвести довольно легко, как и запомнить принципы расчетов. Если есть на чем писать и чем, ты всегда сможешь посчитать что-то сложное. Даже сейчас палочки Непера кажутся заслуживающими внимания, не говоря уже про XVII век, когда они были по-настоящему нужными и востребованными.