15.01.2025 08:31
alexlyk314 4 836 Источник

Разберём одну красивую задачу, подводящую к важному понятию аффинной геометрии —центру масс.

Пират зарыл клад на острове среди 20 деревьев и написал, как его искать: надо встать к первому дереву, пройти половину расстояния до второго, затем повернуть к третьему и пройти треть расстояния до него, и т. д., наконец, повернуть к двадцатому и пройти двадцатую часть расстояния до него. Увы, пират забыл указать, как занумерованы деревья! Сколько разных ям придётся выкопать кладоискателям, чтобы гарантированно найти клад?

Решим задачу для любого числа деревьев. Для двух деревьев надо вырыть одну яму посередине между ними. В случае трёх деревьев в вершинах треугольника мы пойдём по стороне, свернём на медиану и пройдём треть её длины, а значит, окажемся в точке пересечения медиан, независимо от нумерации деревьев. Снова достаточно одной ямы. "По законам жанра" так должно быть всегда. Докажем это.

Выберем произвольную точку O (начало отсчёта) и отождествим каждую точку A с её радиус-вектором \overrightarrow{OA}. Нам понадобится простой факт: точка, делящая отрезок A_1A_2 в отношении m_2:m_1, считая от A_1, имеет вид (рисунок слева)

Выберем произвольную точку O (начало отсчёта) и отождествим каждую точку A с её радиус-вектором \overrightarrow{OA}. Нам понадобится простой факт: точка, делящая отрезок A_1A_2 в отношении m_2:m_1, считая от A_1, имеет вид (рисунок слева)

A_1+\dfrac{m_2}{m_1+m_2}(A_2-A_1)=\dfrac{m_1 A_1+m_2 A_2}{m_1+m_2}. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (1)

Пусть A_1,\ldots,A_n — как-то занумерованные деревья (точки). Согласно формуле (1), первые два шага к кладу будут такими (рисунок справа):

A_1\to \dfrac{A_1+A_2}{2}\to \dfrac{2\cdot \dfrac{A_1+A_2}{2}+ \dfrac{A_3}{3}}{2+1}=\dfrac{A_1+A_2+A_3}{3}. \;\;\;\; (2)

Вообще, если для n-1 деревьев мы оказались в точке B=\dfrac{A_1+\ldots+A_{n-1}}{n-1}, то для n деревьев мы окажемся в точке

\dfrac{(n-1)B+A_n}{n}=\dfrac{A_1+\ldots+A_n}{n}.

Утверждение задачи доказано, так как полученная точка не зависит от нумерации деревьев. Более того, она не зависит от выбора точки O, поскольку положение клада в инструкции пирата определялось только положениями деревьев. Такие понятия — не зависящие от выбора начала отсчёта — относятся к аффинной геометрии. Так, например, можно говорить о полусумме точек A и B, но не об их сумме: конец вектора \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} зависит от положения точки O, а конец вектора \tfrac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2} — не зависит, всякий раз оказываясь в середине отрезка AB:

Автор статьи: Андрей Канунников, к. ф.-м. н., преподаватель ШАД Хелпер.

Статья подготовлена при поддержке ШАД Хелпер.

Комментарии (4)


  1. EvieLynn
    15.01.2025 08:54
    #27784890

    красиво!


  1. SebastianP
    15.01.2025 08:54
    #27785190

    Таким методом ищут центр масс любой сложной фигуры. Нет нужды деталь разбивать на простые элементы.


    1. wataru
      15.01.2025 08:54
      #27786028

      Не совсем. Обычно просто суммируют все а потом делят. В статье же происходит последовательное вычисление и деление кажый раз.

      Но это мелочи. Главное, что для сложной фигуры как раз надо разбивать на треугольники. Центр масс каждого считается как среднее трех точек, а потом для всех кусков надо взять взвешенное среднее с массами равными площадям треугольников. Нельзя просто взять среднее вершин многоугольника. Даже выпуклого. Это работает только для треугольников.

      Это просто доказать. Представьте квадрат со сторонами параллельными осям. Тут центр масс ясно где - среднее всех точек. Теперь возьмите правый верхний угол и сдивньте его чуть-чуть вверх. У вас получается трапеция. И центр масс в ней уже будет правее, потому что фигура справа толще. Но вы изменили лишь Y координату одной точки, а значит среднее по оси OX не сдвинется вообще и так же будет давать середину фигуры, что неверно.


      1. Naf2000
        15.01.2025 08:54
        #27786180

        Вы подменяете понятия центра масс разных фигур:

        1. четырехугольника, масса которого распределена по его площади

        2. четырехугольника, масса которого сосредоточена в его вершинах