Амплитуэдр — это геометрическая фигура, обладающая почти мистическими свойствами: вычислив её объём, вы получите ответ на ключевой вопрос физики о том, как взаимодействуют частицы.
Молодой математик из Корнеллского университета Павел (Паша) Галашин обнаружил, что амплитуэдр связан с оригами — искусством складывания бумаги. В доказательстве (октябрь 2024) он показал: узоры оригами можно перевести в набор точек, образующих амплитуэдр. Иными словами: способ складывания бумаги и способ столкновения частиц приводят к одной и той же геометрической форме.
«Паша уже проделал блестящую работу, связанную с амплитуэдром», — сказал Нима Аркани-Хамед, один из авторов идеи амплитуэдра, изобретённого в 2013 году. «Но это для меня совершенно новый уровень».
Опираясь на связь с оригами, Галашин решил открытую гипотезу: импульсный амплитуэдр можно разрезать на простые части, соответствующие физическим расчётам. Проще говоря, части амплитуэдра действительно соединяются так, как и должно быть.
Результат не только связывает две разные области — математики уже исследуют, какие ещё идеи можно перенести по этому мосту. Они используют его, чтобы лучше понять амплитуэдр — и ответить на другие вопросы в гораздо более широком диапазоне контекстов.
Взрывные вычисления
Физики стремятся предсказать, что произойдёт при взаимодействии элементарных частиц. Например, когда сталкиваются две субатомные частицы, называемые глюонами, они могут отскочить друг от друга без изменений, породить дополнительную пару глюонов или сделать что-то совершенно другое. Вероятность каждого исхода задаётся математической величиной — амплитудой рассеяния.
На протяжении десятилетий физики рассчитывали амплитуды рассеяния двумя способами. Первый использовал диаграммы Фейнмана — рисунки с прямыми и волнистыми линиями, описывающие движение и взаимодействие частиц. Каждая диаграмма даёт своё математическое слагаемое, а сумма по всем слагаемым даёт амплитуду рассеяния. Но по мере увеличения числа частиц в столкновении количество необходимых диаграмм Фейнмана растёт взрывным образом. Ситуация быстро выходит из-под контроля: вычисление амплитуд рассеяния для относительно простых событий может потребовать сложения тысяч или даже миллионов членов.
В начале 2000-x был разработан рекурсивный метод Бритто-Качазо-Фенга-Виттена (BCFW). Он разбивает сложные взаимодействия частиц на более мелкие и простые, которые легче изучать. Можно вычислить амплитуды для этих более простых взаимодействий и отслеживать их с помощью наборов вершин и рёбер, называемых графами (1). Эти графы показывают, как объединить более простые взаимодействия, чтобы вычислить амплитуду рассеяния исходного столкновения.
Рекурсивный метод BCFW требует меньше вычислений, чем диаграммы Фейнмана. Вместо сложения миллионов членов может потребоваться сложить всего лишь сотни. Однако обоим методам присуща одна и та же проблема: окончательный ответ часто оказывается гораздо проще, чем обширные вычисления, необходимые для его получения, поскольку многие члены в итоге сокращаются.
Затем, в 2013 году, Аркани-Хамед и его аспирант Ярослав Трнка сделали удивительное открытие: оказалось, что сложная математика столкновений частиц на самом деле представляет собой замаскированную геометрию.
Тайная геометрия
В начале 2000-х годов Александр Постников, математик из Массачусетского технологического института, изучал геометрический объект, известный как положительный грассманиан.
Положительный грассманиан, который является предметом математического интереса с 1930-х годов, строится весьма абстрактным способом. Во-первых, возьмём n-мерное пространство и рассмотрим все плоскости некоторой заданной, меньшей размерности, которые находятся внутри него. Например, в трёхмерном пространстве, в котором мы живём, можно найти бесконечно много двухмерных плоскостей, простирающихся во всех направлениях.
Каждую плоскость — по сути, срез более крупного n-мерного пространства — можно определить с помощью набора чисел, называемого матрицей. Из этой матрицы можно вычислить определённые значения — миноры, которые рассказывают о свойствах этой плоскости.
Рассмотрим плоскости, у которых все миноры положительны. Совокупность всех таких особых «положительных» плоскостей образует сложное геометрическое пространство — положительный грассманиан.
Чтобы лучше понять структуру положительного грассманиана, математики делят его на различные области, так что каждая область состоит из набора плоскостей, обладающих определёнными общими свойствами. Постников, стремясь упростить эту задачу, придумал способ отслеживать различные области и то, как они соотносятся друг с другом. Он изобрёл так называемые планарные двухцветные графы (planar bicolored, сокращённо plabic-графы, оригинальная статья, конспект). Они представляют собой наборы из чёрных и белых вершин, соединённых рёбрами так, что никакие из рёбер не пересекаются. Каждый plabic-граф описывал одну область положительного грассманиана и предоставлял математикам визуальный язык для того, что в противном случае определялось бы сложными алгебраическими формулами.
Почти через десять лет после того, как Постников представил plabic-графы, Аркани-Хамед и Трнка пытались вычислить амплитуды рассеяния различных столкновений частиц. Работая над своими рекурсивными формулами BCFW, они заметили нечто удивительное. Графы, которые они использовали для отслеживания своих вычислений, выглядели точно так же, как plabic-графы Постникова. Заинтригованные, они отправились в Массачусетский технологический институт, чтобы встретиться с ним.
«За обедом мы сказали: „Это странно, мы видим совершенно одно и то же“», — вспоминал Аркани-Хамед.
Они оказались правы. Для вычисления амплитуды рассеяния при столкновении n частиц физикам пришлось бы суммировать множество членов BCFW, и каждый из этих членов соответствовал области положительного грассманиана в n-мерном пространстве.
Аркани-Хамед и Трнка поняли, что эта геометрическая связь может упростить вычисление амплитуд рассеяния. Используя данные о столкновении частиц — например, импульсы частиц — они определили низкоразмерную проекцию положительного грассманиана. Общий объем этой проекции оказался равным амплитуде рассеяния.
Так и появился амплитуэдр.
Это было только начало истории. Физики и математики хотели подтвердить, например, что те же самые plabic-графы, которые определяли области положительного грассманиана, могут также определять части амплитуэдра — и что эти части не будут иметь пробелов или перекрытий, идеально стыкуясь друг с другом, чтобы охватить весь точный объем этой фигуры. Эта идея получила название гипотезы о триангуляции. Суть её в том, можно ли аккуратно разделить амплитуэдр на более простые части — как на строительные блоки.
Доказательство этого утверждения закрепило бы видение Аркани-Хамеда и Трнки. Сложные формулы BCFW, которые позволяют (хотя и неэффективно) вычислить амплитуду рассеяния, можно понимать как сумму объёмов составных частей амплитуэдра.
Это была непростая задача. Во-первых, с самого начала стало ясно, что существует фактически два варианта амплитуэдра. Первый был определён в координатах импульсных твисторов — это хитрая математическая перемаркировка, которая упростила работу с этой фигурой, поскольку она естественным образом связана с положительным грассманианом и plabic-графами Постникова. Математики смогли доказать гипотезу о триангуляции для этой версии амплитуэдра в 2021 году.
Другая его версия — импульсный амплитуэдр, была определена непосредственно через импульсы сталкивающихся частиц. Физиков больше интересовала именно эта вторая версия, поскольку она использовала тот же язык, что и реальные эксперименты по столкновению и рассеянию частиц. Однако её было сложнее описать математически. В результате гипотеза о триангуляции оставалась нерешённой.
Если бы триангуляция оказалась неприменимой к импульсному амплитуэдру, это означало бы, что амплитуэдр не является правильным способом интерпретации формул BCFW для вычисления амплитуд рассеяния.
Более десяти лет сохранялась неопределённость, пока изучение способов складывания бумаги не подсказало возможное решение.
В поисках снежного человека
Павел Галашин изначально не ставил перед собой цель изучать оригами или амплитуэдр. В 2018 году, будучи аспирантом Постникова, он вместе со своим коллегой доказал интригующую связь между положительным грассманианом и моделью Изинга. Эта модель широко используется для изучения таких систем, как ферромагнетики (2). Теперь Галашин пытался применить эти знания, чтобы понять известное доказательство, касающееся модели Изинга. Речь идёт об особых симметриях, которые она демонстрирует.
Работая над доказательством в течение следующих нескольких лет, Галашин наткнулся на несколько интригующих статей. В них исследователи использовали схемы линий изгибов для оригами, чтобы упростить геометрические построения
Может показаться странным, что здесь вообще речь идёт об оригами. Однако за прошедшие годы математика оригами оказалась на удивление глубокой. Некоторые задачи оригами, например, можно ли сложить фигуру по заданной схеме так, чтобы её можно было развернуть без разрывов, оказались вычислительно сложными. И теперь известно, что оригами можно использовать для выполнения любых типов вычислений. (3)
В 2023 году, изучая, как оригами используется в работах, посвящённых модели Изинга, Галашин наткнулся на вопрос, который привлёк его внимание. Предположим, у вас есть информация только о внешней границе схемы изгибов — границе листа бумаги, которую изгибы делят на различные отрезки. В частности, предположим, у вас есть информация только о том, как эти отрезки расположены в пространстве до и после складывания. Всегда ли можно найти полную схему изгибов, которая одновременно удовлетворяет этим ограничениям и создаёт фигуру оригами, которую можно правильно расправить? Математики предполагали, что ответ — да, но никто не мог этого доказать.
Галашин счёл это предположение поразительным, поскольку в его обычной области исследований, которая занимается положительным грассманианом, изучение границы объекта — распространённый способ получения информации о нём.
Однако в течение нескольких месяцев он не мог продвинуться в этом вопросе. Затем его внезапно осенило: эта проблема не просто похожа по своей сути на его собственную область исследований. Её можно переформулировать на языке амплитуэдра. Причём именно импульсного амплитуэдра.
«Это заняло гораздо больше времени, чем мне хотелось бы», — сказал он. «Вы не ожидаете такой связи, поэтому никогда её не замечаете. Вы же не ожидаете увидеть снежного человека на Манхэттене».
Но сможет ли он это доказать?
Применяем оригами
Галашин рассмотрел столкновение с участием некоторого количества частиц и начал с граничной схемы складок, которая была разделена на соответствующее количество отрезков линий.
Он описал каждый отрезок прямой с помощью вектора из двух чисел. Затем он записал векторы, описывающие новое положение тех же отрезков после складывания. Эти векторы были определены на основе информации об импульсах частиц в рассматриваемом им процессе столкновения.
Для каждого сегмента он затем объединил векторы «до» и «после» в один четырёхмерный вектор. Взяв числа во всех этих векторах как единый набор координат, Галашин смог определить точку в многомерном пространстве. И эта точка находилась не где угодно, а именно в импульсном амплитуэдре.
Галашин показал, что ответ на вопрос об оригами, касающийся схем изгибов для плоского складывания, действительно утвердительный. Всякий раз, когда такая схема изгибов может быть найдена для заданной границы, точка, закодированная этой границей, должна находиться внутри амплитуэдра.
Это был совершенно новый способ осмысления этой формы. «Для меня самое удивительное в работе Паши — это то, что связь с оригами даёт невероятно красивое и лаконичное определение импульсного амплитуэдра», — сказал Аркани-Хамед.
Новая интерпретация Галашина, основанная на оригами, подсказала ему идею, как наконец решить главную загадку импульсного амплитуэдра. Он мог бы доказать гипотезу о триангуляции, если бы смог показать, что каждая точка, полученная с помощью оригами, расположена не просто внутри амплитуэдра, а внутри конкретной области — таким образом, чтобы эти области плотно прилегали друг к другу без зазоров и перекрытий.
Для этого он разработал алгоритм, который принимал на вход контурный рисунок и присваивал ему уникальный рисунок изгибов. Этот рисунок всегда должен был соответствовать правилам, связывающим его с геометрией амплитуэдра: а именно, при складывании бумага должна была оставаться плоской.
Затем Галашин представил схему изгибов в виде plabic-графа: сначала он нарисовал точку в центре каждой области схемы складок, раскрасив её в белый цвет, если эта область будет обращена вверх после складывания бумаги, и в чёрный цвет, если область будет обращена вниз. Затем он провёл ребро между вершинами в областях, которые разделены линией изгиба.
В заключение он показал, что этот граф образует область внутри амплитуэдра. Точка, закодированная границей этой схемы складок, находилась внутри нужной области.
Этого было достаточно, чтобы решить вопрос с триангуляцией. Если бы две области в амплитуэдре перекрывались — то есть, если бы одна точка в амплитуэдре принадлежала двум разным областям — это было бы эквивалентно возможности сопоставить один и тот же граничный шаблон двум разным схемам складок. Но Галашин разработал свой алгоритм таким образом, чтобы он выдавал уникальное соответствие, поэтому это было невозможно. Аналогично, алгоритм также подразумевал отсутствие пробелов: каждая точка в амплитуэдре могла быть переформулирована как граница, и каждая граница, будучи подана на вход алгоритма, аккуратно попадала внутрь какой-либо области.
Амплитуэдр был собран идеально.
Новые мечты
Математиков поразила элегантность этого доказательства.
«Связать две, казалось бы, несвязанные идеи — это всегда очень красиво», — сказала Лорен Уильямс, математик из Гарвардского университета. «Раньше я не задумывалась о схемах складок оригами, поэтому для меня стало неожиданностью увидеть их связь с амплитуэдром».
Галашин разделил её удивление. «У меня нет убедительного объяснения того, почему границы оригами совпадают с точками в амплитуэдре», — сказал он. «Априори нет никаких причин, по которым одно должно быть связано с другим». Однако он надеется, что будущие исследования позволят выявить более глубокую причину этой связи.
Он также надеется, что этот результат поможет ему в изначальной цели — понять модели ферромагнетизма с помощью положительного грассманиана. Возможно, в этом может помочь оригами.
В более широком смысле, физики и математики хотят выяснить, смогут ли они узнать больше об амплитуэдре — и использовать его в более широком спектре теоретических расчётов столкновений частиц — рассматривая его с точки зрения оригами. Например, одна из целей — уметь вычислять амплитуду рассеяния при столкновении частиц непосредственно из объёма амплитуэдра, не разбивая его на части. Возможно, дальнейшее изучение связи между схемами изгибов и столкновениями частиц поможет осуществить эту мечту.
«Как физик, я бы никогда в жизни не додумался до этого», — сказал Аркани-Хамед. «Но я считаю это потрясающим результатом, и я хочу изучить его подробнее и понять, что он может нам рассказать».
Примечания
1) Этот пример показывает, насколько широко теория графов применяется в разных сферах науки и инженерии, не говоря уже про саму математику. Мы уже публиковали статьи о применении теории графов в информатике (Учёные нашли оптимальный способ обхода графа) и в гиперболической геометрии (Гений Марьям Мирзахани и её математическое наследие). Это также и пример того, что совершенно разные по своей природе физические явления могут моделироваться при помощи одного и того же математического аппарата.
Но это вовсе не значит, что «книга природы написана на языке математики» (вольная цитата Галилео Галилея, вот её оригинал). Скорее наоборот, математика является частью физики, и это легко объяснить. Мы используем в математике такие инструменты, как бумагу, ручку, компьютер и человеческий мозг. Все они — физические объекты, которые подчиняются законам физики нашей Вселенной. Поэтому с их помощью можно сформулировать только те математические теории, которые возможны в нашей физической реальности. По крайней мере именно такого мнения придерживается великий британский физик и философ Дэвид Дойч.
2) Про модель Изинга и её роль в изучении спиновых стёкол и появлении нейронных сетей вы можете прочитать в статье Странная физика, которая дала жизнь Искусственному Интеллекту. Вот так модель Изинга с одной стороны через положительный грассманиан связана с физикой элементарных частиц, а с другой стороны – через спиновые стёкла – с нейронными сетями.
3) Более подробно о вычислениях при помощи оригами можно прочесть в статье Как собрать компьютер из оригами.
4) В процессе перевода мы снабдили статью многочисленными ссылками (по возможности русскоязычными) на используемые термины и советуем вам изучить их, если хотите более глубоко понять излагаемые вещи.
Автор перевода @arielf
НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:
— 15% на заказ любого VDS (кроме тарифа Прогрев) — HABRFIRSTVDS.