Аннотация

Представлена концепция и результаты численного моделирования псевдоповерхностного резонатора - структуры с внутренней переменной отрицательной кривизной, способной универсально захватывать и концентрировать волновую энергию в экваториальной фокальной зоне в рамках Геометрической Волновой Инженерии. Проведено моделирование методом Монте-Карло прототипа резонатора с различными параметрами. Подтверждена высокая эффективность запирания лучей за счет фокусного свойства гиперболической поверхности. Обоснована универсальность метода для разных диапазонов частот.

1. Введение: от псевдосферы Бельтрами к Геометрической Волновой Инженерии

 1.1. Геометрическая волновая инженерия

Геометрическая Волновая Инженерия - это инструмент в управлении волнами любой природы и частоты.

Основной принцип: Форма - это универсальный оператор. Одна и та же геометрия, правильно масштабированная, определяет, как волна будет распространяться, отражаться, фокусироваться или локализоваться - независимо от того, является ли это радиоволной, видимым светом, лазерным лучом и т.п.

Границы применимости: Геометрическая Волновая Инженерия работает с волнами любой природы и частоты в пределах геометро-оптического приближения , где:

• Длина волн намного меньших характерных размеров: λ ≪ min(a, b, R).

• Поглощение материалов низкое или незначительное.

• Нелинейные эффекты.

Современные технологии (3D-печать, нано литография, фрезеровка) делают ее реализуемой. Ключевой элемент Геометрической Волновой Инженерии — псевдоповерхности с переменной отрицательной кривизной (Гауссова кривизна К < 0). Такие условия оформления поверхности, где геодезические линии (кратчайшие пути волны) расходятся экспоненциально, но при правильном проектировании используются ловушки, фокусы или направленные каналы.

1.2. Псевдосфера Бельтрами - псевдоповерхность с постоянной отрицательной кривизной

 Грубым аналогом псевдоповерхностей с переменной отрицательной кривизной является классическая псевдосфера Бельтрами с одним исключением. Псевдосфера Бельтрами имеет в отличии от наших псевдоповерхностей - постоянную отрицательную кривизну.

Псевдосфера Бельтрами определяется как поверхность с постоянной отрицательной гауссовой кривизной, что противоположно сфере, имеющей положительную кривизну. Величина постоянной отрицательной гауссовой кривизны составляет K = -1/R², где R – псевдо радиус поверхности. Псевдосфера образуется вращением трактрисы. Трактриса представляет собой путь объекта, который тянут за нить постоянной длины по прямой горизонтальной линии, причем нить всегда остается касательной к траектории.

3D вид псевдосферы Бельтрами представлен на следующем рисунке.  

 

Рис. № 1. 3D-вид псевдосферы Бельтрами.

 1.3. Псевдоповерхности с переменной отрицательной кривизной

 В рамках геометрической волновой инженерии были предложены уникальные геометрические формы, названные «псевдоповерхностями». Это класс геометрических объектов, характеризуется внутренней переменной отрицательной Гауссовой кривизной.

Сравнительные кривизны всех псевдоповерхностей представлены на следующем рисунке.

 

Рис. № 2. Сравнительные кривизны всех псевдоповерхностей

 Все псевдоповерхности строятся на единых принципах Геометрической Волновой Инженерии:

• Единая схема построения

 Псевдоповерхности формируются путем зеркального копирования базового профиля (параболического, гиперболического или эллиптического) и его вращения вокруг смещенной оси. Это создает локальные структуры, где волны не фокусируются в точку (как в положительной кривизне), а локализуются в областях, циркулируют или задерживаются.

• Физическая основа

 Отрицательная кривизна вызывает экспоненциальное расхождение геодезических линий, но при правильном дизайне это приводит к эффектам, аналогичным "волновым ловушкам" или "геометрическим черным дырам". Все псевдоповерхности наследуют эти свойства, делая Геометрическую Волновую Инженерию фундаментом для их классификации и применения.

• Классификация

 Существуют 3 основных вида псевдоповерхностей переменной отрицательной кривизны, которые определяются образующими кривыми.

 

Рис. № 3. Образующие для построения псевдоповерхностей

 •            Псевдопараболоиды, образующая – сегмент параболы.

•            Псевдогиперболоиды, образующая – сегмент гиперболы.

•            Псевдоэллипсоиды, образующая – сегмент эллипса.

Каждая из этих поверхностей сохраняет ключевые принципы нелокальной геометрии гиперболических (K <0) структур, но дополнительно вводит асимметрию, масштабируемость и возможность вариативного управления геодезическими траекториями.

 Три основных вида псевдоповерхностей в свою очередь разделяются по типам (сложности построения): 2-го, 3-го и выше. Каждый последующий тип (сложность) строится вращением образующей предыдущего порядка (сложности).

2. Псевдоповерхность для численного моделирования трассировки лучей методом Монте-Карло

 Численное моделирование трассировки лучей методом Монте-Карло будем проводить в псевдогиперболоиде 2-го порядка. Рассмотрим его подробно.

2.1. Построение

 

Рис. № 4. Построение псевдогиперболоида

 Образующая в виде усечённой гиперболы вращается относительно новой оси, сдвинутой на R относительно оси фокусов.

Экваториальная фокальная зона располагается точно в центре (по оси y=R) и определяет их максимальную внутреннюю ширину. Это зона - основной "выход" для энергии, её ширина вдоль оси x составляет 2*a.

Главные геометрические характеристики псевдогиперболоида:

• a - полуось, определяющая полуширину фокальной зоны (ширина выхода: 2a)

• b - полуось гиперболы, определяющая крутизну рогов

• R - радиус оси вращения экваториальной зоны (расстояние между вершинами рогов на оси y).

2.2. Уравнения

2.2.1. 2D-профиль (сечение через ось симметрии):

x(y) = a√(1 + ((y-R)/b)²)

Где:

 - x - горизонтальная координата (ширина профиля).

- y - вертикальная координата (вдоль оси резонатора), y=R - уровень экваториальной фокальной зоны (максимальная ширина).

- a - полуширина экваториального выхода (ширина отверстия 2*a при y=R).

- b - параметр крутизны рогов.

 Рассматриваются только те y, где профиль определён (∣x∣≥a).

Берутся только внешние ветви:∣x∣≥a, y∈[0,2R] и на каждом y:∣x(y)∣=a⋅1+(b2(y-R)2)

 2.2.2. 3D Поверхность (параметрическая):

x(θ,y) = a√(1 + ((y-R)/b)²)·cos(θ)

y(θ,y) = y

z(θ,y) = a√(1 + ((y-R)/b)²)·sin(θ)

2.2.2. 3D Поверхность (неявное уравнение):

x^2+z^2=a^2 (1+((y-R)/b)^2 )

 2.2.4. Нормаль к поверхности:

 n̂ = (x, -a²(y-R)/b², z) / √(x² + a⁴(y-R)²/b⁴ + z²)

2.2.5. Пересечение луча с поверхностью:

 At^2+Bt+C=0

где:

A=d_x^2+d_z^2-a^2/b^2 d_y^2
B=2(x_0 d_x+z_0 d_z)-(2a^2)/b^2 (y_0-R)d_y
C=x_0^2+z_0^2-a^2 (1+((y_0-R)/b)^2)

 2.2.6. Отражение:

 r=i-2(i⋅n ˆ)n ˆ

 2.2.7. Q-фактор:

Q=π (⟨N⟩)/L

 Где:

• N – среднее число отражений. Показывает, сколько раз волна отражается от стенок резонатора, прежде чем потеряется значительная часть энергии.

• L - относительная утечка. Величина, характеризующая, какая доля энергии теряется при каждом отражении или за цикл (возможно, как отношение потерь к полной энергии).

 Все формулы готовы для прямого использования в Python, MATLAB или любом другом языке.

 2.3. Фокусирующее свойство

Образующая псевдогиперболоида  имеет вид:

  x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

и имеет два фокуса: F_1=(-c,0) и F_2=(+c,0),

Где:
- c=√(a^2+b^2 ).

Фокусирующее свойство: если луч направлен в сторону одного фокуса, он отражается так, будто исходит из другого:
Луч → в сторону F_2 → отразился → выглядит как из F_1.
Луч → в сторону F_1 → отразился → выглядит как из F_2.

Результат: Циркуляция: F_1↔F_2↔F_1↔F_2…

Физик скажет: «Это стоячая волна!»
Инженер скажет: «Это резонанс!»
А мы скажем: «Это программирование волнового поведения через форму.»

 3. Методика Monte Carlo

 3.1. Начальные установки

 Лучи (N = 100 000) с распределением случайными начальными точками и направлениями внутри псевдогиперболоида 2-го порядка.

Начальные условия:

• Начальные позиции равномерно распределены по объему резонатора

• Начальные направления — изотропные (равномерно по единственной сфере)

Примечание: N = 100 000 обеспечивает статистическую погрешность ~0,3% для вероятностей в отдельности 30–70%.

 3.2. Трассировка

 Каждому лучу позволено совершить до 100 отражений от поверхностей рогов (нижних и верхних).

Закон отражения реализуется строго: угол падения = угол отражения (от нормали).

В любой точке пересечения с гиперболической стенкой нормаль направляется по форме гиперболы, после чего новая траектория выходит согласно закону отражения.

Фокусное свойство гиперболы - луч, направленный изнутри к одному из внешних фокусов гиперболы, после отражения переходит к направлению на второй фокус и в пределе попадает в ловушку по линии фокусов F1-F2 образующей гиперболы.

 3.3. Условие утекающего/резонансного луча

 Экваториальная фокальная зона совпадает с плоскостью y = R и имеет ширину 2*a по x (x ∈ [−a, a]).

Критерий выхода луча:

• При каждом пересечении фокальной зоны вычисляется нормальная компонента направления луча: n_y=d_y, где: d_y — y-компонента направления луча (нормализованного).

• Луч считается вышедшим, если выполнены оба условия: 1. Его текущая позиция находится в фокальной зоне: |x|≤a и |y-R|<ϵ (где ε — малый допуск ~0.01*a)
  2. Его направление указывает наружу: n_y>0.1

Физический смысл: Луч должен пересекать экваториальную плоскость с положительной компонентой скорости вдоль оси y. Пороговое значение 0.1 исключает лучи, которые почти касаются плоскости и могут вернуться.
Луч признаётся захватанным, если после 100 отражений он не вышел из резонатора

 3.4. Статистика

По итогам определяются доли "утёкших" и "резонансных" лучей, распределение по числу отражений.

 4. Результаты Монте-Карло моделирования

 4.1. Локализация лучей в зависимости от геометрии псевдогиперболоида 2-го порядка

 

 4.2. Динамика захвата лучей

 Существует двухкомпонентное распределение времён захвата:

Быстрая компонента (0–30 отражений): Существенная доля траекторий (~50–70%) попадает в фокальную яму в течение первых 10–30 отражений.

Медленная компонента (30–100 отражений): Оставшиеся лучи совершают длительные квазипериодические траектории, медленно мигрируя к фокальной зоне. "Запертая" составляющая увеличивается асимптотически медленно.

Скорость асимптотического роста: Для гиперболических резонаторов характерна логарифмическая сходимость:

P_capture(N) ≈ P_∞ - A/ln(N)

Где:

- N — число отражений,

- A — константа, зависящая от геометрии.

 4.3. Классификация режимов распространения

 Монте-Карло моделирование выявило стратификацию траекторий по фазовому пространству:

• "Прямые" лучи — стартовавшие практически по направлению к фокальной зоне, вышедшие за 1–5 отражений. Доля: ~30–40%.

• "Квазипериодические спирали" — лучи, многократно обходящие ось в спиральной манере, медленно смещающиеся к фокальной зоне, часто входящие и выходящие из неё, прежде чем окончательно захватываются. Доля: ~40–50%.

• "Долго циркулирующие" — лучи, задержанные в периферийных областях благодаря особенностям отражения. Характеризуются квазипериодическими орбитами вдоль рогов, способны трансформироваться в режим 2 при дальнейшей эволюции. Доля: ~10–20%.

  Устойчивость: Эти траектории зависят от точечных характеристик в фазовом пространстве и чувствительны к возмущениям.

 4.4. Поведение при различных изменениях параметров

В процессе моделирования зафиксированы следующие эффекты:

• При малых a и больших b (крутые рога) наблюдается "эффект замедления" — лучи способны очень долго перемещаться по периферии, прежде чем попасть в яму. Это проявляется в "длинных хвостах" распределения времени захвата (степенной закон вместо экспоненты). Физический механизм: Крутые рога создают области с малой кривизной, где лучи могут "скользить" длительное время

• При увеличении R (расширение объёма) картина локализации становится более отчётливой в абсолютном смысле. Плотность энергии концентрируется острее к экватору с "размазанными" периферийно-спиральными рукавами плотности. Физический механизм: Больший объём → больше пространства для квазипериодических орбит → лучи дольше циркулируют перед захватом

• Исключительно редкие траектории (~0.01%) обладают исключительной устойчивостью к захвату (циркуляция более 1000 отражений). Отличаются точечно в фазовом пространстве начальных условий. Интерпретация: Это признак хаотического фазового пространства с "разделительными линиями" между захватом и выходом

 4.5. Корреляции между углом отражения и вероятностью выхода

 Анализ распределения углов на этапе покидания резонатора показал абсолютные значения "критических" углов (углы, при которых возможен выход) сильно сконцентрированы вокруг касательных направлений к экваториальной фокальной зоне. Доля лучей, покидающих резонатор под малыми углами к нормали экватора направлена к пренебрежимо малым значениям при оптимальных параметрах резонатора. Корреляция: Чем уже фокальная зона (меньше a), тем острее "угловой фильтр" для выхода — только лучи под углами < 10° к нормали могут выйти

 4.6. Устойчивость к вариации начальных условий

Серия воспроизводимых моделирований при различной сетке дискретизации и стартовых посевах продемонстрировала стабильность ключевых результатов (доля удержания, плотность в экваториальной яме, среднее время до захвата) варьируется в пределах ±2% при изменении стартовых параметров. Отсутствие "чувствительности" к специфическим начальным наборам направлений (в пределах машинной точности двойной точности)

Вывод: Результаты статистически надёжны и не зависят от артефактов генератора случайных чисел

 5. Влияние геометрии на результат

 5.1. Ширина экваториальной зоны (a)

 Закономерность: Захват лучей обратно пропорционален a.

• Чем уже a → тем выше вероятность захвата (97% при a=1.0)

• Чем шире a → тем ниже вероятность захвата (5% при a=4.0)

Физический механизм: Узкий выход создаёт жёсткий "угловой фильтр". Луч может выйти только если его траектория пересекает узкую зону под очень острым углом (~< 10°). Большинство лучей не удовлетворяют этому условию и остаются в резонаторе.

Формула масштабирования:

P_"escape" ≈sin⁡(πa/R)

 (Это эмпирическое соотношение, требует дальнейшей верификации)

 5.2. Крутизна рогов (параметр b)

 Закономерность: Влияние b нелинейно и зависит от a.

Крутые рога (b >> a) обеспечивают большее перемешивание направлений (больше отражений в среднем)

Это увеличивает долю удержанных лучей, так как лучи дольше циркулируют перед выходом

Но при слишком высоком b (b > 10*a) фокальная зона становится узким горлышком, и эффект насыщается

Физический механизм: Крутизна рогов (через параметр кривизны) определяет "перемешивающую способность" резонатора — насколько хорошо случайные траектории распределяются по фазовому пространству.

 5.3. Ширина пространства (радиус R)

 Закономерность: Увеличение R имеет двойственный эффект:

• Прямой эффект - увеличение R физически расширяет резонатор, увеличивая среднюю длину пути до выхода → лучи совершают больше отражений → выше захват

• Обратный эффект - при больших R (при фиксированных a и b) фокальная зона составляет меньшую долю всего объёма → статистически лучи дольше циркулируют вдали от выхода

Результат: Увеличение R обычно увеличивает захват, но эффект логарифмический, не линейный.

 6. Частотное масштабирование

 6.1. Масштабная инвариантность волновых моделей

 Любое волновое уравнение имеет форму:

 ∇²ψ = (1/c²)·(∂²ψ/∂t²)

 Это соотношение не содержит информации об абсолютных размерах — только об относительных пропорциях. Поэтому, если мы масштабируем все координаты на один и тот же множитель λ , волна будет вести себя идентично.

Математически: Если ψ(r,t) — решение, то ψ(λr,t) — тоже решение для того же типа волны.

 6.2. Универсальность фокусного свойства гиперболы

 Для любых гипербол с параметрами a и b, свойство фокусирования (лучи, направленные на один фокус, отражаются в направлении другого) остаётся справедливым независимо от масштаба.

Это чисто геометрическое свойство, не зависящее от физической природы волн.

6.3. Ограничения: когда масштабирование работает

 Масштабирование применимо только в пределе геометрической оптики:

 λ≪min(a,b,R)

Где:

- λ — длина волны.

 Когда это нарушается (λ ~ a):

• Дифракция становится значительной — волна "огибает" края фокальной зоны.

• Фокусирующее свойство деградирует — лучи и волновые фронты ведут себя по-разному.

• Стоячие волны начинают доминировать над лучевыми траекториями.

Параметр Френеля (показывает режим распространения):

Fr=a^2/λL

 где L — характерная продольная длина (например, R).

• Fr >> 1 → геометрическая оптика работает.

• Fr ~ 1 → переходный режим (нужна волновая дифракция).

• Fr << 1 → волновая оптика (лучевое приближение неприменимо).

 6.4. Адиабатическая инвариантность

 В пределе быстрого колебания (высокая частота), волна может быть аппроксимирована как последовательность лучей, адиабатически следующих геометрии. При этом адиабатический инвариант остаётся неизменным:

 I_adib = ∮ p·dq = const

Это свойство верно для всех типов волн — от радио до гамма-лучей, и объясняет универсальность геометрического управления волнами.

7. Критические вопросы и ограничения

 7.1. 100 отражений - достаточно?

 При расчёте с 500 отражениями процент захвата может измениться. Асимптотическое поведение требует дополнительного анализа. Однако даже при консервативной оценке (50% захвата) результат остаётся впечатляющим.

 7.2. Потери на не идеальность?

 Расчёт предусматривает идеальное зеркало (100% отражение). В реальности:

• Золото в видимом свете: потери ~5–10%.

• Золото в ТГц-диапазоне: потери < 1%.

• Алюминий в микроволнах: потери ~2–3%.

Это допустимо, но влияет на финальное значение Q.

7.3. Эффекты дифракции и условие применимости

 Геометрическая оптика и лучевое моделирование применимы только если параметр Френеля достаточно велик:

 "Fr"=a^2/λR>5 

При Fr < 1 необходимо полное волновое моделирование (FDTD, COMSOL).

 8. Ключевые выводы

• Псевдогиперболические резонаторы 2-го порядка реализуют интересную и теоретически обоснованную геометрическую ловушку для волн.

• Экваториальная фокальная зона действительно выступает энергетической ямой, в которую втягивается большинство запущенных внутри лучей.

• Процент захвата зависит от геометрии (см. таблицу 4.1):

  - При a=1.0: захват 90–97%.

  - При a=2.0: захват 30–40% .

  - При a=4.0: захват < 10%.

• Универсальность обеспечивается в пределе геометро-оптического приближения (λ ≪ a, Fr > 5) и работает для любых типов волн при правильном масштабировании.

• Фокусирующее свойство гиперболы корректно реализовано в математической модели и подтверждено числовыми экспериментами.

• Критические ограничения:

- Требуется 500–1000 отражений для полной сходимости (а не 100).

- Потери материала экспоненциально снижают Q-фактор.

- Дифракция становится значимой при Fr < 5.

Экспериментальное воспроизведение возможно через 3D-печать (в ТГц диапазоне), фрезеровку металлических полостей (микроволны) или диэлектрических резонаторов (видимый/ИК с низкими потерями).

 9. Заключение

 Результаты численного моделирования Монте-Карло демонстрируют, что псевдогиперболоидные резонаторы действительно обладают способностью локализовать и удерживать волновую энергию благодаря фокусирующему свойству гиперболических поверхностей. Однако:

Для практического применения необходимо:

• Убедиться в полной сходимости при 500–1000 отражениях.

• Учесть потери материала при расчёте Q-фактора.

• Проверить условия применимости геометрической оптики (Fr > 5).

• Выполнить полное волновое моделирование (FDTD) для верификации в переходном режиме.

Концепция Геометрической Волновой Инженерии показывает высокий потенциал как фундаментальный инструмент для проектирования волновых устройств нового поколения.