Автор оригинала: Alex Stone

Новая топологическая модель связывает парадокс голосования, известный с XVIII века, с поверхностью, у которой нет отдельной внутренней и внешней стороны.

Иллюстрация: Kristina Armitage / Quanta Magazine

С точки зрения математики демократия почти невозможна.

Звучит как тема шестичасового подкаста очередного миллиардера из Кремниевой долины, но на деле это утверждение об удивительно упрямой задаче: как превратить набор индивидуальных предпочтений в один общий выбор?

В 1785 году французский математик и философ Никола де Кондорсе обнаружил, что большинство иногда загоняет само себя в логическую петлю. На выборах с тремя и более кандидатами каждый избиратель может расставить кандидатов совершенно ясно и последовательно, и всё же после подсчёта голосов каждый кандидат проигрывает в очной схватке кому-то из соперников. Смена правил помогает лишь до определённого предела: как позже доказал экономист Кеннет Эрроу, любой способ сложить индивидуальные рейтинги в общий порядок обязан пожертвовать хотя бы одним требованием, которое кажется вполне разумным для демократии.

Теперь трое исследователей показали, что у 240-летнего парадокса Кондорсе есть форма, и форма под стать ему странная: бутылка Клейна, поверхность без отдельной внутренней и внешней стороны. Результат даёт математикам геометрический способ изучать, почему разумные на вид правила коллективного выбора иногда невозможно согласовать между собой.

Каждый кому-то проигрывает

Когда вариантов всего два, волю народа понять легко: если нет ничьей, побеждает тот, кого предпочло большинство. Но стоит добавить третьего претендента, начинаются странности. Внезапно проблемой становится даже договориться, что значит «победить».

Можно просто избрать того, кто набрал больше всех голосов, как на типичных американских выборах. Но допустим, Алиса получила 35% голосов, Боб 34%, Кэрол 31%. Побеждает Алиса. Однако если все сторонники Кэрол предпочитают Боба Алисе, то 65% избирателей хотели бы видеть на этом месте Боба. По одному вполне разумному определению правила большинства победил не тот кандидат.

Пока никто не потянулся за шапочкой из фольги, уточним: все бюллетени подсчитаны правильно. Вопрос в том, что считать победой.

Одно из решений — попросить избирателей ранжировать кандидатов и выбрать того, кто обыграет каждого соперника в очной схватке. Но рассмотрим такой сценарий:

• Треть избирателей ставит Алису выше Боба, а Боба выше Кэрол.

• Треть ставит Боба выше Кэрол, а Кэрол выше Алисы.

• Треть ставит Кэрол выше Алисы, а Алису выше Боба.

Теперь сравним кандидатов попарно:

• Алиса обыгрывает Боба: её предпочитают первая и третья группы.

• Боб обыгрывает Кэрол: его предпочитают первая и вторая группы.

• Кэрол обыгрывает Алису: её предпочитают вторая и третья группы.

У каждого избирателя совершенно связный рейтинг, а вместе они получили результат, который ходит по кругу.

Никола де Кондорсе, французский математик, философ и политик, отстаивал права женщин и помог запустить движение за отмену рабства во Франции в конце XVIII века. Умер в тюрьме во время Французской революции. Литография Жозефа Борда, музей Карнавале, Париж

На этот парадокс в конце XVIII века наткнулся Кондорсе, страстно веривший в демократию. Как секретарь Французской академии наук, он искал способ убедиться, что академия справедливо выбирает новых членов. (Опередивший большинство современников, Кондорсе усомнился и в демократической арифметике, которая исключает половину населения: в эссе 1790 года он прямо защищал политические права женщин. Через несколько лет, во время якобинского террора, революция, которую он поддерживал, посадила его в тюремную камеру; через два дня после ареста его нашли мёртвым.)

За прошедшие века математики, политологи и реформаторы придумали поразительное разнообразие систем голосования в надежде выйти из тупика Кондорсе. Но у каждого метода свои слабые места. Поменяйте систему — и вполне может поменяться победитель, даже если избиратели и их предпочтения остались ровно теми же.

В 1951 году экономист Кеннет Эрроу показал, насколько глубока проблема. Он искал систему голосования, которая оставалась бы последовательной и при этом выполняла всего несколько простых демократических требований. Избиратели вправе ранжировать кандидатов в любом порядке. Ни один избиратель не должен единолично определять исход выборов. (Читай: никаких королей.) Если все предпочитают один вариант другому, общий рейтинг должен это отражать. И порядок двух кандидатов должен зависеть только от того, как избиратели сравнивают именно их двоих: место Кэрол в бюллетенях не должно влиять на то, поставит ли группа Алису выше Боба.

Каждое требование по отдельности звучит вполне разумно. Но, как показал Эрроу, ни один метод не может выполнить их все. «Довольно часто воли народа просто не существует», — говорит Иэн Маклин из Оксфордского университета.

Теорема Эрроу о невозможности, как теперь называют этот результат, вывела парадокс Кондорсе за пределы правила большинства и установила фундаментальный предел того, как индивидуальные голоса можно сложить в групповое решение. Разные системы голосования могут менять, какое из требований Эрроу нарушается, но ни одна система не может сохранить их все. «Как проектировщик системы, вы должны решить, нарушение какого условия обойдётся дешевле всего», — говорит Маклин.

В 1980 году, чтобы лучше понять это явление, математик и экономист Грасиэла Чичильниски обратилась к топологии — области математики, где фигуры считаются одинаковыми, если одну можно растянуть в другую без разрывов. В сноске она заметила, что о парадоксе Кондорсе в частности можно думать как о топологической задаче.

Теперь математики доказали, что интуиция её не подвела.

Форма парадокса

Так как же парадокс голосования выглядит?

Чтобы ответить на этот вопрос, новая работа опирается на модель, которую в 1993 году предложил Юлий Барышников, ныне профессор Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне. Сначала возьмём бюллетень одного избирателя на выборах с тремя кандидатами. Расставить их можно шестью способами. Каждый такой способ можно изобразить треугольником:

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Каждая вершина этого треугольника соответствует одному из сравнений, которые следуют из бюллетеня: Алиса выше Боба, Боб выше Кэрол, Алиса выше Кэрол.

Другой бюллетень, где Алиса первая, Кэрол вторая, а Боб третий, совпадает с первым в двух сравнениях из трёх: оба ставят Алису выше обоих соперников. Значит, у их треугольников две общие вершины, и треугольники можно склеить по соединяющему их ребру.

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Теперь склеим все шесть треугольников (то есть все возможные бюллетени) по совпадающим рёбрам. Получится полоса:

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Рёбра на двух её концах тоже совпадают. Поэтому согнём полосу и склеим эти рёбра, сверяя подписи. Получится трубка с отверстием на каждом конце (в оригинале это показано анимацией).

Барышников использовал эту модель, чтобы дать новое топологическое доказательство теоремы Эрроу.

Но посмотрите, что происходит на краях трубки. По одному краю сравнения читаются так: Алиса выше Боба, Боб выше Кэрол, Кэрол выше Алисы. По другому тот же цикл идёт в обратную сторону.

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Перед нами циклы Кондорсе — результаты голосования, которые ходят по кругу. Барышников эти края не рассматривал. Но 30 лет спустя, в апреле 2025 года, Ори Ливсон, аспирант Сиднейского университета, вернулся к ним. В конце концов, иногда такие круговые отношения допустимы, как в правилах игры «камень, ножницы, бумага». Проблемы начинаются там, где от этих отношений ждут непротиворечивого рейтинга, например на выборах. Ливсону нужна была топологическая модель, которая различала бы случаи, где циклы разрешены, и случаи, где нет.

Вместе со своим научным руководителем Михаилом Прокопенко и его давним коллегой Сиддхартом Притамом из Ченнайского математического института он взялся смоделировать этот проблемный случай.

Каждый цикл на краях трубки приводит к одному и тому же невозможному выводу: каждый кандидат стоит выше каждого другого. В этом смысле оба края говорят одно и то же. А в топологии, «как только вы поняли, что две вещи одинаковы, их можно склеить», говорит Ливсон.

Как же соединить края?

Аспирант Ори Ливсон (в центре), его научный руководитель Михаил Прокопенко (справа) и Сиддхарт Притам показали, что у знаменитого парадокса голосования, которому несколько веков, есть геометрическая форма: бутылка Клейна, странная поверхность без внутренней и внешней стороны. Фото: Srishti Saloni; Georgia Callinan; Natalia Kishigami

Если согнуть трубку так, чтобы её отверстия встретились, получится поверхность в форме бублика — тор. Но при такой склейке отдельные рёбра одного края соединяются с рёбрами другого в пары, которые описывают несовместимые отношения. Например, ребро «Боб выше Алисы, Алиса выше Кэрол» склеивается с ребром «Боб выше Кэрол, Кэрол выше Алисы». Исследователям нужен был способ соединить края без таких противоречий.

Решение? Перекрутить. Вместо того чтобы сопоставлять края точка в точку в одном и том же порядке, перекрут позволил исследователям обратить порядок предпочтений вдоль одного из краёв, и циклы стали равнозначны. «Склейка с перекрутом — единственный допустимый вариант», — говорит Ливсон.

Если перекрутить бумажную полоску и склеить её концы, получится поверхность всего с одной стороной — лента Мёбиуса. А что будет, если перекрутить трубку? Получится нечто удивительное и странное: бутылка Клейна.

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Как и у ленты Мёбиуса, у бутылки Клейна одна сторона, нет отдельной внутренней и внешней. В отличие от ленты Мёбиуса, у неё нет края. (Если кажется, что поверхность пересекает сама себя, так и есть — в трёх измерениях. Математики обходят это, строя бутылку Клейна в четырёх измерениях, где она замыкается без самопересечений.)

Модель у троицы была готова. Каждый избиратель может дать связный рейтинг, и всё же предпочтения избирателей в целом отказываются укладываться в единый порядок. Точно так же любой небольшой участок бутылки Клейна будто бы имеет две стороны, но различить эти стороны последовательно по всей поверхности невозможно. В обоих случаях то, что имеет смысл по кусочкам, рассыпается, когда мы пытаемся сложить куски вместе.

Для Ливсона, Притама и Прокопенко это сходство поднимает вопрос шире: может ли топология объяснить другие фундаментальные пределы того, что способна математика? Возможно, разные теоремы о невозможности, если придать им форму, окажутся следствиями одной более глубокой геометрической причины.

Так что же это значит для демократии?

Топология делает парадокс осязаемым, но выбор системы голосования всё равно остаётся выбором из зол. Математика может сказать, из чего состоят компромиссы. А какие из них стоит принять, решают наши приоритеты. Этого никакая теорема за нас не решит. «На самом деле это спор не математический, — говорит Маклин. — Это спор о ценностях».