Наткнулась на эту задачу совершенно случайно. У меня знакомая через год после окончания магистратуры снова решила учиться и начала готовиться к поступлению. А значит что-то нужно просто повторить и вспомнить, ну и разобраться с чем-то новым. Вот сидела она над какой-то задачей, я проходила мимо. Задача показалась весьма простой (школьного уровня), но надо немного подумать.

Итак, рассматриваемая здесь задача звучит так: даны угол и точка внутри него. Через эту точку провести отрезки, имеющие концы на сторонах угла, так, чтобы полученный треугольник имел наименьший периметр.

Задачка является частью доказательства задачи Фаньяно.

Сама задача Фаньяно звучит следующим образом:
Рассматриваются всевозможные треугольники $DEF$, вершины $D$, $E$ и $F$ которых лежат на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника $ABC$.


Ортоцентрический треугольник
Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника.

Первые мысли, которые приходят в голову, это, наверное, построить перпендикуляры (как кратчайшее расстояние до сторон). Отображаем точку $D$ симметрично относительно $AC$ и $AB$ (получаем точки $D_1$ и $D_2$).

У некоторых сразу же может возникнуть искушение соединить точки пересечения перпендикуляров и сторон угла $BAC$. После чего появляется ложное впечатления «я сделяль», и кажется, что $KDL$ — это тот самый треугольник.

Всё не так. Тот факт, что две стороны треугольника — кратчайшие (перпендикуляры до прямой), еще не делает периметр треугольника минимальным.

На самом деле поиск треугольника с наименьшим периметром использует утверждение: кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая. Дополнительные построения должны привести к тому, чтобы все длины сторон искомого треугольника оказались на прямой. Соединяем точки $D_1$ и $D_2$. Точки пересечения прямой $D_1D_2$ со сторонами угла и есть оставшиеся искомые вершины треугольника.



$FK$ и $EL$ являются медианами и высотами(точка $D$ симметрично отображена относительно сторон угла) треугольников $D_2DF$ и $DD_1E$ соответственно, значит треугольники $D_2DF$ и $DD_1E$ — равнобедренные. Видно, что периметр треугольника $DEF$ равен длине отрезка $D_1D_2$. Треугольник с меньшим периметром найден.

Возьмем какие-нибудь другие точки($F$ и $E$) на сторонах угла.


Периметр этого треугольника $DEF$ оказывается больше, чем длина отрезка $D_1D_2$.

Вот и все. Удачи всем поступающим!
Поделиться с друзьями
-->

Комментарии (28)


  1. maximw
    03.06.2017 17:40
    +6

    Что-то не совсем понял доказательство минимальности использованного решения.

    UPD. Понял.


    1. romankonstant
      04.06.2017 19:29

      Что-то не совсем понял, когда задачи для 9 класса стали появляться на Хабре.

      UPD. Я шучу, конечно, сам когда-то сидел ломал над ней голову.


    1. Bronx
      05.06.2017 07:09

      В принципе, это оптический метод: зная, что из всех альтернативных путей свет выбирает кратчайший, мы можем представить, что AB и АС — это отражающие поверхности, и искомый треугольник будет образован лучом света, испускаемым из D и попадающим обратно в D. Решением будет путь, при котором угол падения луча DF (или DL) равен углу отражения луча FE (или LF). D1 и D2 — это изображения D в зеркалах.


  1. novoselov
    03.06.2017 18:00
    +2

    Блин, я подумал у меня экран грязный :)


  1. ky0
    03.06.2017 18:18

    Краткость — сестра таланта, а не кроткость.


  1. samodum
    03.06.2017 18:51
    +4

    Решал я такую задачку в Euclidea. Под номером 8.1


    1. PoznyakBogdan
      04.06.2017 10:39

      На мой взгляд это наиболее решение, чем то что описывалось в статье.


      1. ser-mk
        04.06.2017 13:01

        Интереснее подробнее узнать какие преимущества это решение обладает по сравнению с доказательством из статьи


      1. IamMaster65
        05.06.2017 11:31
        +1

        Нет, это три окружности и треугольник. Где тут показано, что это наименьший периметр?


  1. msdos9
    03.06.2017 23:45
    +4

    даже условие не понял…


  1. Zenitchik
    04.06.2017 00:15
    +3

    Пардон за оффтоп, но у меня первой мыслью было вывести функцию периметра треугольника от его стороны, лежащей на одной из сторон данного угла, и минимизировать её.

    Спасибо за решение, прочитал с интересом. На досуге повторю, чтобы врубиться в доказательство.


  1. mbait
    04.06.2017 02:00

    Условие можно трактовать двояко. Было бы лучше уточнить, что искомый треугольник это DD1D2, а не AD1D2, например.


    1. ndiezel
      04.06.2017 14:30

      Сначала так и подумал. Мол будет бесконечно малый периметр. Всю статью не понял, что автор пытался сделать.


  1. progress_man
    04.06.2017 08:42

    Что-то я не понял, так как были найдены точки D1 и D2?


    1. AnROm
      04.06.2017 08:47

      D1 и D2 строятся симметрично относительно AC и AB: проводятся перпендикуляры к прямым, на продолжении перпендикуляров с другой стороны от прямых откладываются равные отрезки. В данном случае DL = LD1 и DK= KD2.


      1. progress_man
        04.06.2017 09:39

        А, теперь понял, спасибо! Без Вашего разъяснения не понял, что DL = LD1 и DK= KD2


  1. sanu001
    04.06.2017 17:57

    Эту задачу мне задали на вступительных экзаменах на Физтех в 1984 году — дали 5 минут на решение.


    1. AgentSmith
      04.06.2017 19:08

      Спасибо, это была очень важная и полезная информация.


  1. maisvendoo
    04.06.2017 21:07

    Классная задачка

    Задачка из той же оперы, но в 3D
    Внутри прямоугольной комнаты, имеющей 30 футов в длину и по 12 футов в ширину и высоту, на середине одной из торцовых стен в 1 футе от потолка сидит паук (точка А). Муха сидит на середине противоположной стены в 1 футе от пола (точка В). Каково кратчайшее расстояние, каким паук может добраться до неподвижной мухи? Разумеется, паук никогда не падает и не использует для передвижения паутины.


    1. LoadRunner
      05.06.2017 08:36

      А почему задачка из той же оперы? Там есть какой-то скрытый подвох и неочевидное решение? Она-то как раз в лоб легко решается через построение перпендикуляров.


      1. Bronx
        05.06.2017 08:39

        Если у вас получилось «42», то это ответ к совсем другой задаче :) У этой правильный ответ — «40»


        1. LoadRunner
          05.06.2017 08:41

          Так в чём же подвох тогда?


          1. Bronx
            05.06.2017 08:48

            Сделайте разные развертки параллелепипеда, поищите возможные «кратчайшие» (т.е. прямолинейные) пути на развёртке (их там больше одного) и сравните их длины.


            1. LoadRunner
              05.06.2017 09:41

              Всего возможны две принципиально разные развёртки (другие зеркальны первым двум). По одной из них кратчайшее расстояние — путь от паука до пола вниз по стене, потом до стены, потом до мухи вверх по стене. Это 42.
              По другой — гипотенуза треугольника с катетами 42 и 10. Но гипотенуза будет уже больше 42, так что этот вариант отметаем.
              Я опять не понимаю, что упускаю из вида и как у Вас получается 40.


              1. AnROm
                05.06.2017 10:05
                +3



                1. LoadRunner
                  05.06.2017 10:12

                  Мой мозг сломался так же, как эта прямая линия. Теперь вижу, что развёрток больше двух :)


  1. master65
    05.06.2017 08:56

    И где доказательство?


  1. master65
    05.06.2017 19:52

    Начал читать википедию. Очнулся вечером. В школе явно не было такой геометрии