Математики придумали, как удлинить загадочный мост, соединяющий два далёких континента математического мира

Когда в начале 1990-х Эндрю Джон Уайлс доказал Великую теорему Ферма, это стало монументальным шагом не только для математиков, но и для всего человечества. Формулировка теоремы очень проста – она утверждает, что у уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ нет целых положительных решений при n > 2. Однако это простое заявление привлекало огромное количество желающих доказать его более 350 лет, с тех пор, как французский математик Пьер де Ферма небрежно набросал формулировку теоремы в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Знаменита и формулировка Ферма: он «нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Столетиями профессиональные математики и энтузиасты-любители искали доказательство Ферма – или какое угодно ещё.

Доказательство, полученное в итоге Уайлсом (с помощью Ричарда Тейлора) никогда бы не пришло Ферма в голову. Оно не затрагивало теорему напрямую, а строило огромный мост, который, по мнению математиков, должен был существовать – мост между двумя отдаленными математическими «континентами». Доказательство Уайлса сводилось к определению этого моста, соединяющего два небольших клочка земли двух континентов. Доказательство было полно новых и глубоких идей, и породило каскады новых результатов по обе стороны этого моста.

С этой точки зрения повергающее в трепет доказательство Уайлса решило крохотную часть гораздо большей загадки. Его доказательство стало «одним из лучших событий в математике XX века», — сказал Тоби Ги из Имперского колледжа Лондона. И всё же оно относилось к «крохотному участку» моста, известному, как геометрическое соответствие Ленглендса.

Весь мост целиком позволил бы математикам пролить свет на огромные пространства математики, передавая концепции из одной её части в другую. Множество задач, включая Великую теорему Ферма, кажутся сложными с одной стороны моста, однако быстро превращаются в более лёгкие задачи, перейдя на другую его сторону.

После того, как Уайлс придумал своё доказательство, другие математики стали с энтузиазмом расширять этот мост на всё более крупные участки двух континентов. А потом они столкнулись с препятствием. Существует два естественных направления для расширения этого моста, однако в обоих из них метод Тэйлора-Уайлса столкнулся, казалось, с непреодолимым барьером.


Математик Эндрю Уайлс, доказавший Великую теорему Ферма, и получивший в 2016 году абелевскую премию

«Люди давно хотели это сделать, — сказала Анна Карайани из Имперского колледжа Лондона. Но „мы, вообще говоря, не думали, что это в принципе возможно“.

Теперь две работы – представляющие кульминацию трудов более десяти математиков – преодолели этот барьер, по сути, решив обе проблемы. Когда-нибудь эти открытия могут помочь математикам доказать Великую теорему Ферма для какой-либо числовой системы, выходящей за пределы положительных целых чисел.

Это „главнейшие результаты“, сказал Мэтью Эмертон из Чикагского университета. „Они раскрывают несколько фундаментальных явлений из теории чисел, и мы только начинаем разбираться в том, что они собой представляют“.

Игла в вакууме

Одна из сторон моста Ленглендса сконцентрирована на чуть ли не самых простых уравнениях, которые только можно записать: это диофантовы уравнения, или комбинации переменных с экспонентами и целочисленными коэффициентами, к примеру, y = x² + 6x + 8, или x³ + y³ = z³. Тысячелетия математики пытались понять, какие комбинации целых чисел удовлетворяют тому или иному диофантову уравнению. В основном их мотивация основана на простоте и естественности этого вопроса, однако в последнее время часть их работ получила неожиданное продолжение в таких областях, как криптография.

Со времён древней Греции математикам известен способ находить целочисленные решения диофантовых уравнений, у которых всего две переменных, и нет степеней более 2. Однако в случае с более высокими степенями поиск целочисленных решений никак нельзя назвать простым делом – начиная уже с эллиптических кривых. Это такие уравнения, у которых слева от знака равенства стоит y², а справа – комбинация членов с максимальной степенью 3, к примеру, x³ + 4x + 7. Ги сказал, что по сравнению с уравнениями с меньшими степенями, эти представляют собой „кардинально более сложную проблему“.

С другой стороны моста живут объекты, именуемые автоморфными формами, и похожие на раскраску плиток с очень высокой степенью симметрии. В изученных Уайлсом случаях плитки могут напоминать что-то похожее на мозаику Эшера, где изображённые на дисках рыбы или ангелы с демонами уменьшаются по мере приближения к границе. В более общей вселенной Ленглендса плитки могут замощать трёхмерный шар или другую фигуру в более высоких измерениях.

Два этих типа математических объектов совершенно не похожи друг на друга. И всё же в середине XX века математики начали раскрывать глубокие взаимоотношения, их связывающие, а к началу 1970-х Роберт Ленглендс из Института передовых исследований высказал гипотезу, что диофантовы уравнения и автоморфные формы можно определённым образом сопоставить друг с другом.


Роберт Ленглендс, выдвинувший гипотезу о соответствии 50 лет назад, читает лекцию в Институте передовых исследований в Принстоне, Нью-Джерси, в 2016 году.

А именно: как у диофантовых уравнений, так и у автоморфных форм существует естественный способ генерировать бесконечные последовательности чисел. У диофантовых уравнений можно подсчитать количество решений в модульной арифметике (её можно представить себе в виде чисел, расположенных как на циферблате часов; например, в случае с 12-часовым циферблатом, 10 + 4 = 2). А для таких автоморфных форм, которые появляются в соответствии Ленглендса, можно получить бесконечный список чисел, аналогичных уровням квантовой энергии.

Если использовать модульную арифметику только на основе простых чисел, то, по предположению Ленглендса, два этих вида последовательностей будут совпадать в потрясающе широком спектре различных условий. Иначе говоря, для любой автоморфной формы её уровни энергии управляют модульной последовательностью какого-либо диофантова уравнения, и наоборот.

Эта связь „более странная, чем даже телепатия, — сказал Эмертон. – То, как две эти стороны общаются друг с другом, кажется мне потрясающим и невероятным, хотя я изучаю это явление более 20 лет“.

В 1950-х и 1960-х математики нащупали первые признаки существования этого моста в одном из направлений: как перейти от определённых автоморфных форм к эллиптическим кривым с коэффициентами, являющимися рациональными числами (дробями, состоящими из целых чисел). Затем в 1990-х Уайлс с участием Тейлора нашёл другое направление моста для определённого семейства эллиптических кривых. Их результат автоматически выдал доказательство Великой теоремы Ферма, поскольку математики уже показали, что если бы она была неверна, то, по меньшей мере, у одной из этих эллиптических кривых не существовало бы соответствующей автоморфной формы.

Великая теорема Ферма оказалась далеко не единственным открытием, следовавшим из строительства этого моста. К примеру, математики использовали её для доказательства гипотезы Сато-Тейта, задачи возрастом в несколько десятков лет, связанной со статистическим распределением количества модульных решений эллиптической кривой, а также для доказательства гипотезы, касающейся энергетических уровней автоморфных форм, которую высказал легендарный математик начала XX века Сриниваса Рамануджан Айенгор.

После того, как Уайлс и Тейлор опубликовали свои открытия, стало ясно, что у их метода ещё полно возможностей. Вскоре математики поняли, как расширить его на эллиптические кривые с рациональными коэффициентами. Позже математики придумали, как покрыть коэффициенты с простыми иррациональными числами, типа 3 + v2.

А вот чего у них не получалось, так это расширить метод Тейлора-Уайлса на эллиптические кривые с комплексными коэффициентами, такими, как i (v-1) или 3 + i, или v2i. Также они не справлялись с диофантовыми уравнениями со степенями значительно больше, чем у эллиптических кривых. Уравнения со степенями 4 с правой стороны знака равенства вместо 3 легко решались при использовании метода Тейлора-Уайлса, но как только степень возрастала до 5, метод уже переставал работать.

Математики постепенно начали понимать, что проблема с этими двумя естественными расширениями моста Ленглендса состояла не в том, чтобы просто придумать небольшое улучшение метода Тейлора-Уайлса. Судя по всему, препятствие оказалось фундаментальным.

Это были „просто следующие примеры, приходившие в голову, — сказал Ги. – Но тебе говорили: Нет, эти вещи безнадёжно недосягаемы“.

Проблема была в том, что метод Тейлора-Уайлса находит соответствующую диофантову уравнению автоморфную форму через последовательное приближение к ней при помощи других автоморфных форм. Однако когда в коэффициентах уравнений встречаются комплексные числа или степень выше 4-й, автоморфных форм становится крайне мало – так мало, что почти у любой автоморфной формы наверняка не будет ближайших к ней автоморфных форм, которыми можно было бы воспользоваться для приближения к ней.

В условиях Уайлса нужная нам автоморфная форма подобна „иголке в стоге сена, однако этот стог всё же существует, — сказал Эмертон. – И это можно сравнить со стогом металлических опилок, к которому вы подносите магнит – опилки выравниваются и указывают на нужную вам иголку“.

Однако в случае с комплексными коэффициентами или степенями более высокого порядка, по его словам, это больше „напоминает иголку в вакууме“.

Полёт на Луну

Многие из сегодняшних специалистов по теории чисел взрослели в то время, когда Уайлс вывел своё доказательство. „Это был единственный пример математики, которую я видел на первых страницах газет, — вспоминает Ги, которому в тот момент было 13 лет. – Многих людей это вдохновило, они хотели разобраться в этом, и в итоге именно по этой причине начали работать в этой области“.

Поэтому когда в 2012 году двое математиков – Фрэнк Калегари из Чикагского университета и Дэвид Джерати (сейчас работающий исследователем в Facebook) – предложили способ преодолеть препятствие, не дававшее расширять метод Тэйлора-Уайлса, эта идея вызвала восторженные отзывы у нового поколения специалистов по теории чисел.

Их работа продемонстрировала, что „это фундаментальное препятствие, мешавшее нашему продвижению, оказалось вовсе никаким не препятствием“, — сказал Ги. Он пояснил, что на самом деле кажущиеся ограничения метода Тейлора-Уайлса говорят о том, что „вы нащупали только тень реального, более общего метода, представленноо нам Калегари и Джерати“.


Дэвид Джерати в Бостонском университете в 2015 году

В тех случаях, когда препятствие внезапно возникает, автоморфные формы живут на плитках более высоких измерений, чем двумерные плитки эшеровского толка, которые изучал Уайлс. В этих мирах высших измерений неудобно то, что автоморфные формы встречаются очень редко. Зато плитки высших измерений часто дают более богатую структуру, чем могут предложить двумерные. Калегари и Джерати придумали использовать эту богатую структуру для компенсации недостатка автоморфных форм.

Точнее, для каждой конкретной автоморфной формы можно использовать „раскраску“ её плиток в качестве измерительного инструмента, способного подсчитать средний цвет любого участка выбранной вами плитки. В двумерной ситуации автоморфные формы, по сути, являются единственным подобным измерительным инструментом из доступных. Но у плиток высших измерений появляются новые инструменты, т.н. классы кручения, и с их помощью каждому участку плитки можно назначить не средний цвет, а число из модульной арифметики. И таких классов кручения хоть пруд пруди.

Калегари и Джерати предположили, что для некоторых диофантовых уравнений может получиться найти соответствующую автоморфную форму через аппроксимацию не другими автоморфными формами, а классами скручивания. „Эта их идея оказалась фантастической“, — сказала Карайани.

Калегари и Джерати представили схему построения куда как более широкого моста от диофантовых уравнений до автоморфных форм по сравнению с тем, что построили Уайлс и Тейлор. Однако их идею нельзя было считать полноценным мостом. Чтобы она заработала, сначала нужно было доказать три больших теоремы. По словам Калегари, это можно сравнить с тем, что их с Джерати работа описывает схему полёта на Луну, если только у желающего найдётся космический корабль, ракетное топливо и скафандры. И эти три теоремы „были совершено вне нашей досягаемости“, — сказал Калегари.

В частности, метод Калегари и Джерати требовал наличие готового моста, идущего в другом направлении, от автоморфных форм к диофантовым уравнениям. И этот мост должен был объединять не только автоморфные формы, но и классы скручивания. „Думаю, многие люди считали эту задачу безнадёжной, когда Калегари и Джерати впервые описали свою программу“, — сказал Тейлор, ныне работающий в Стенфордском университете.

Менее чем через год после публикации работы Калегари и Джерати, Петер Шольце – молодой гений из Боннского университета, получивший филдсовскую премию, высочайшую награду для математика – поразил специалистов по теории чисел, сообразив, как перейти от классов скручивания на сторону диофантовых уравнений в случае эллиптических кривых, чьи коэффициенты являются простыми комплексными числами, вроде 3 + 2i или 4 ? v5i. „Он сделал много чего потрясающего, но это, возможно, самое потрясающее его достижение“, — сказал Тейлор.


Математик Петер Шольце

Шольце доказал первую из трёх теорем Калегари и Джерати. А парочка последовавших совместных работ Шольце и Карайани крайне близко подошла к доказательству второй теоремы, демонстрирующей наличие правильных свойств у моста, найденного Шольце.

Появилось ощущение, что эту программу вполне можно осилить, поэтому осенью 2016 Карайани и Тейлор организовали, по определению Калегари, „секретную мастерскую“ в Институте передовых исследований, направленную на достижение дальнейшего прогресса. „Мы заняли там одну аудиторию, и никого не пускали“, — сказал Калегари.

После пары дней подготовительных бесед участники мастерской начали понимать, как можно одновременно расправиться со второй теоремой и обойти третью. „И, может быть, в течение дня после формулирования всех задач мы их все решили“, — сказал Ги, один из участников проекта.

Остаток недели участники посвятили детальной проработке различных аспектов доказательства, и в течение следующих двух лет оформили свои открытия в работе за авторством десяти человек – такое количество неслыханно для работ по теории чисел. По сути, их работа устанавливает наличие моста Ленглендса для эллиптических кривых с коэффициентами из любой числовой системы, составленной из рациональных чисел и простых иррациональных и комплексных чисел.


Анна Карайани и Ричард Тэйлор

»Мастерскую организовывали в основном для того, чтобы понять, насколько близко можно подойти к решению, — сказал Ги. – Не думаю, что кто-то из нас ожидал, что мы всё докажем".

Продолжение моста

Тем временем разворачивалась ещё одна история, связанная с продолжением моста за пределы эллиптических кривых. Калегари и Ги работали с Джорджем Боксером (сейчас работающим в Высшей нормальной школе в Лионе, Франция) над теми случаями, когда самой большой степенью диофантовых уравнений оказывается 5 или 6 (а не 3 и 4, как уже известных случаях). Однако трое математиков застряли на ключевом моменте своего доказательства.

А затем, на следующих же выходных после проведения «секретной мастерской» Винсент Пиллони из Высшей нормальной школы опубликовал работу, показывающую, как можно обойти то самое препятствие. «Теперь нам надо притормозить нашу работу и начать сотрудничество с Пиллони!» – так, по словам Калегари, сразу же сказали друг другу трое исследователей.

За несколько недель четверо математиков решили и эту задачу, хотя на это ушло пара лет работы и почти 300 страниц подробного описания идей. Их работа, а также работа за авторством 10 человек, были опубликованы в интернете в декабре 2018 года, с разницей в четыре дня.


Фрэнк Калегари, Тоби Ги и Винсент Пиллони

«Это очень серьёзное достижение», — прокомментировал Эмертон две этих работы. Он назвал их и предшествовавшие им строительные кирпичики «произведением искусства».

Хотя две эти работы, по сути, доказывают, что загадочная телепатическая связь диофантовых уравнений и автоморфных форм переносится и в новые условия, тут есть один подвох: они не выстраивают идеальный мост между двумя математическими берегами. Работы лишь заявляют о «потенциальном наличии автоморфизма». Это означает, что у каждого диофантова уравнения есть соответствующая автоморфная форма, однако нам точно не известно, живёт ли эта автоморфная форма на том участке континента, где, по мнению учёных, она должна находиться. Однако потенциального автоморфизма достаточно для множества приложений – к примеру, для гипотезы Сато-Тейта насчёт статистики модульных решений диофантовых уравнений, работоспособность которой на значительно более широком ландшафте, чем до этого, смогли доказать десять авторов работы.

Математики уже начинают понимать, как улучшить эти результаты с потенциальным автоморфизмом. В октябре трое математиков – Патрик Аллен из Иллинойского университета в Урбана-Кемпейн, Чандрасекар Харе из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе и Джек Торн из Кембриджского университета – доказали, что у значительной части эллиптических кривых, рассматривавшихся в работе с 10 авторами, имеются мосты, приходящие как раз в нужные места.

Мосты с такой точностью более высокого порядка в будущем могут позволить математикам доказать целую кучу новых теорем, включая обобщение Великой теоремы Ферма столетней давности. Последнее утверждает, что у уравнения этой теоремы по прежнему не будет решений, даже когда вместо x, y и z мы будем подставлять не только целые значения, а комбинации из целых чисел и мнимой единицы.

Две работы в рамках программы Калегари-Джерати дают важное доказательство работоспособности концепции, сказал Майкл Харрис из Колумбийского университета. Они, по его словам, «демонстрируют, что метод применим в широком спектре».

И хотя новые работы соединяют мостами куда как более широкие участки континентов Ленглендса, чем ранее, они всё равно оставляют обширные территории неизведанными. Со стороны диофантовых уравнений в эти территории входят все уравнения со степенями больше 6, а также уравнения с числом переменных более двух. С другой стороны к неизведанным территориям принадлежат автоморфные формы, живущие на боле сложных симметричных пространствах, чем изученные до сего момента.

«На сегодня эти работы представляют собой вершину успеха, — сказал Эмертон. – Но в какой-то момент их будут расценивать как один из шагов к достижению цели».

Сам Ленглендс никогда не задумывался о скручивании, изучая автоморфные формы, поэтому одной из трудных задач для математиков будет поиск объединённого взгляда на два этих разных подхода. «Мы расширяем наш диапазон, — сказал Тейлор. – Мы в некотором роде сошли с дороги, проторённой для нас Ленглендсом, и уже не знаем, куда идём».