В процессе разработки одного приложения столкнулся с необходимостью рисования эллипсов под произвольным углом в canvas на JavaScript. Пользоваться какими-либо фреймворками в столь простом проекте не хотелось, так что я отправился на поиски статьи-мануала на эту тему. Поиски не увенчались успехом, так что пришлось разбираться с задачей самостоятельно, и я решил поделиться с вами полученным опытом.

Формализуем задачу. Нам требуется функция drawEllipse(coords, sizes, vector), где:

• coords — координаты центра эллипса — массив [x, y]
• sizes — длины большой и малой полуосей эллипса — массив [a, b]
• vector — вектор [x, y] наклона эллипса

В статье приведено три способа решения данной задачи.

---

В качестве первого метода были выбраны кривые Безье. Для построения такой кривой требуются четыре точки: начальная, конечная и две контрольные.



Искомый эллипс будет состоять из двух таких кривых, причем нетрудно догадаться, что вышеупомянутые точки у каждой из них будут вершинами прямоугольника. Давайте исследуем наш эллипс.

1. Имеем некоторый вектор
   Найдем единичный вектор
   
   
   Найдем единичный вектор
   Для этого вспомним свойство скалярного произведения векторов обращаться в ноль в случае, если они перпендикулярны:
   Таким образом:
2. Найдем векторы , точки A₁, A₂, B₁, B₂
   
   
   
   
   
   
3. Найдем векторы , точки C₁, C₂, C₃, C₄
   
   
   
   
   
   
4. Вспомним, что для рисования эллипса нам нужны две кривые Безье:
   
   • 1-я имеет начальную точку B₁, конечную B₂, проходит через точку A₁
   • 2-я имеет начальную точку B₂, конечную B₁, проходит через точку A₂
   Вспомним также, что для построения кривых Безье нам требуются контрольные точки. Недолго думая, я сначала подставил в качестве таковых вершины прямоугольника, в который вписан эллипс. Это решение оказалось ошибкой, ведь если мы рассмотрим построение кривой Безье, то обнаружим, что она не касается отрезка, соединяющего две контрольные точки.
   Изобразим момент построения кривой Безье в точке, в которой она (кривая) будет наиболее близка к отрезку между контрольными точками. В нашем случае это будет выглядеть так:
   
   
   
   Из рисунка очевидно, что расстояние от этой точки (A₁) до отрезка между контрольными точками (C₁, C₂) будет составлять четверть от расстояния между центром искомого эллипса (O) и тем же отрезком (C₁, C₂), то есть:
   
   
5. Обозначим ОА через x. Решим уравнение
   
   
   Таким образом, для получения эллипса с нужными параметрами нам необходимо умножить вектор на параметр , после чего вернуться к вычислениям, описанным в пунктах 1-4. В результате получаем наборы точек (B₁, C₁, C₂, B₂ и B₂, C₃, C₄, B₁) для построения двух кривых Безье, вместе представляющих искомую фигуру.
   

---

Собственно демо и код:

function drawEllipse(ctx, coords, sizes, vector) {
	var vLen = Math.sqrt(vector[0]*vector[0]+vector[1]*vector[1]); // вычисляем длину вектора
	var e = [vector[0]/vLen, vector[1]/vLen]; // единичный верктор e || vector
	var p = 4/3; // параметр

	var a = [e[0]*sizes[0]*p, e[1]*sizes[0]*p]; // находим вектор a, используя параметр
	var b = [e[1]*sizes[1], -e[0]*sizes[1]]; // находм вектор b
	// находим точки A1, B1, A2, B2
	var dotA1 = [coords[0]+a[0], coords[1]+a[1]]; 
	var dotB1 = [coords[0]+b[0], coords[1]+b[1]];
	var dotA2 = [coords[0]-a[0], coords[1]-a[1]];
	var dotB2 = [coords[0]-b[0], coords[1]-b[1]];

	// находим вектора c1, c2
	var c1 = [a[0]+b[0], a[1]+b[1]]; 
	var c2 = [a[0]-b[0], a[1]-b[1]];
	// находим точки C1, C2, C3, C4
	var dotC1 = [coords[0]+c1[0], coords[1]+c1[1]];
	var dotC2 = [coords[0]+c2[0], coords[1]+c2[1]];
	var dotC3 = [coords[0]-c1[0], coords[1]-c1[1]];
	var dotC4 = [coords[0]-c2[0], coords[1]-c2[1]];

	// рисуем наш эллипс
	ctx.strokeStyle = 'black';
	ctx.beginPath();
	ctx.moveTo(dotB1[0], dotB1[1]); // начальная точка
	ctx.bezierCurveTo(dotC1[0], dotC1[1], dotC2[0], dotC2[1], dotB2[0], dotB2[1]); // рисуем кривую Безье
	ctx.bezierCurveTo(dotC3[0], dotC3[1], dotC4[0], dotC4[1], dotB1[0], dotB1[1]); // и вторую из точки, где закончили рисовать первую
	ctx.stroke();
	ctx.closePath();

	// возвращаем вектору a изначальную длину
	a = [e[0]*sizes[0], e[1]*sizes[0]];

	// отрисовываем красным большую и малую оси эллипса, чтобы проверить, правильно ли мы отобразили запрошенный эллипс
	ctx.beginPath();
	ctx.moveTo(coords[0]+a[0], coords[1]+a[1]);
	ctx.lineTo(coords[0]-a[0], coords[1]-a[1]);
	ctx.moveTo(coords[0]+b[0], coords[1]+b[1]);
	ctx.lineTo(coords[0]-b[0], coords[1]-b[1]);
	ctx.strokeStyle = 'red';
	ctx.stroke();
	ctx.closePath();
}

---

Upd. Ознакомившись с комментариями, написал функцию рисования эллипса через параметрическое уравнение, и оказалось, что фигура, которая получается с помощью кривых Безье не вполне точно совпадает с эллипсом. На наложении фигур видно, что нарисованный кривыми Безье объект (красный) местами шире, чем правильный эллипс (синий). Вот демо наложения фигур.

function drawEllipseParam(ctx, coords, sizes, angle, segments) {
	ctx.save();
	ctx.translate(coords[0], coords[1]);
	ctx.rotate(angle);
	ctx.beginPath();
	var x, y, firstTime=true;
	var dt = 2*Math.PI/segments;

	for(var t=0; t<2*Math.PI; t+=dt) {
		x = sizes[0]*Math.cos(t);
		y = sizes[1]*Math.sin(t);
		if(firstTime) {
			firstTime = false;
			ctx.moveTo(x, y);
		} else {
			ctx.lineTo(x, y);
		}
	}

	ctx.strokeStyle = 'blue';
	ctx.stroke();
	ctx.closePath();
	ctx.restore();
}

---

Upd. В комментариях подсказали более нативный и простой способ отрисовки наклонного эллипса (спасибо subzey). Оставлю здесь, чтобы не затерялся. Вот демо.

function drawEllipse(ctx, coords, sizes, angle) {
    ctx.beginPath();
    ctx.save(); // сохраняем стейт контекста
    ctx.translate(coords[0], coords[1]); // перемещаем координаты в центр эллипса
    ctx.rotate(angle); // поворачиваем координатную сетку на нужный угол
    ctx.scale(1, sizes[1]/sizes[0]); // сжимаем по вертикали
    ctx.arc(0, 0, sizes[0], 0, Math.PI*2); // рисуем круг
    ctx.restore(); // восстанавливает стейт, иначе обводка и заливка будут сплющенными и повёрнутыми
    ctx.strokeStyle = 'green';
    ctx.stroke(); // обводим
    ctx.closePath();
}