![](https://habrastorage.org/webt/jj/o3/im/jjo3imfk9fcte8-fq-rdumj3pym.png)
Существует несколько методов нахождения корней полиномиального уравнения 4-ой степени.
Однако они не очень удобны при решении уравнений с коэффициентами, которые представляют собой выражения с параметрами.
Инстаграм
1. Формула решения уравнения 4 степени
Рассмотрим уравнение 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю. Коэффициенты могут быть вещественными или комплексными.
![](https://habrastorage.org/webt/fv/sz/sl/fvszslhi5yxxljnqjinwyjwjiom.png)
Произведение следующих двух квадратов тождественно рассматриваемому уравнению 4-ой степени.
![](https://habrastorage.org/webt/xb/z1/ws/xbz1ws_vxcobzgq1ijz2vggrymk.png)
Значение R является решением следующего кубического уравнения.
![](https://habrastorage.org/webt/_g/kl/4v/_gkl4vkqbww4-qyq9vdvzdrauik.png)
Почти такое же уравнение появляется при решении уравнения 4-ой степени путем разложения на разность полных квадратов. Будем называть данное кубическое уравнение вспомогательным.
Вычислим произведение двух квадратов new.
![](https://habrastorage.org/webt/px/z1/yy/pxz1yyof7141vlr54a6zxk3jon4.png)
То же самое, но в форме коэффициентов при степенях x (в порядке убывания степеней).
![](https://habrastorage.org/webt/oa/5j/u3/oa5ju3rpxamgw_pmnjivvtkyama.png)
Упростим выражения для коэффициентов при второй и первой степени x.
Приведенное выражение для первой степени x.
![](https://habrastorage.org/webt/io/if/n_/ioifn_hbrpjiqz4i7jf9qlxernu.png)
В итоге получаем k1.
Приведенное выражение для второй степени x.
![](https://habrastorage.org/webt/x-/xr/1q/x-xr1qdh6yi4xdvc7h4hv_ftsbs.png)
Или
![](https://habrastorage.org/webt/h3/b3/9o/h3b39o4kidmyfpoqcxlj1hinvt4.png)
Подставив выражение для R^3 получим
![](https://habrastorage.org/webt/8v/lt/d8/8vltd8stbgurswf20khvgosbams.png)
Или k2.
Итак, new тождественно уравнению 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю.
Осталась проблема со вспомогательным кубическим уравнением.
Конечно можно использовать традиционные методы решения. Но тогда потребуется преобразовывать уравнение к каноническому виду и отдельно рассматривать три варианта решения в зависимости от значений коэффициентов. Для коэффициентов представляющих из себя выражения с параметрами это не всегда удобно.
2. Решение кубического уравнения методом преобразования Чирнгаузена
Рассмотрим решение кубического уравнения не очень широко распространенным методом преобразования Чирнгаузена.
Итак, решаем исходное уравнение
![](https://habrastorage.org/webt/gl/vs/xu/glvsxubpmdtpayg3xkaaz7azoi4.png)
методом Чирнгаузена.
Суть метода заключается в следующих преобразованиях.
1. Вводится уравнение для y
![](https://habrastorage.org/webt/m5/ui/8a/m5ui8aalgrrm9eafysuly4gfojc.png)
2. Обе части равенства из п.1 умножаются на x
![](https://habrastorage.org/webt/gu/tx/gk/gutxgkmevd6dzknhdnun2ixeuus.png)
Затем выражение для x^3 заменяется на
![](https://habrastorage.org/webt/ui/pl/va/uiplvahx4da720buehaukaqvkb8.png)
Получается выражение
![](https://habrastorage.org/webt/te/og/93/teog93aesxaksfwkn7kppbpce7y.png)
В общем описанные в п.2 преобразования не являются тождественными. Но если считать интересными только значения x, которые являются корнями исходного уравнения, то данные преобразования можно считать квазитождественными. И тогда y представляется выражением, соответствующим корням исходного уравнения.
3. Для кубического уравнения операция в п.2 производится еще один раз. В итоге получается система из 3 уравнений по x, которая имеет три ненулевых решения, соответствующих корням исходного уравнения. Из коэффициентов x формируем матрицу
![](https://habrastorage.org/webt/ct/-a/mh/ct-amhokoakyudg60il17zqfbi4.png)
4. Находим определитель матрицы, который представляется кубическим выражением по y.
Вычисляем значения, обеспечивающие равенство определителя нулю.
![](https://habrastorage.org/webt/y2/ed/oh/y2edohln9ww1xumasyn4no1uwoc.png)
5. В уравнении по y имеются два параметра P и Q. Вычислим их так, чтобы нулю равнялись коэффициенты при второй и первой степени y.
![](https://habrastorage.org/webt/u2/dr/hj/u2drhjkfbyoifc4r2lvv6p0za68.png)
Любое P
![](https://habrastorage.org/webt/uf/9t/ko/uf9tkonepqn92jxfb-huvqouldu.png)
, где
![](https://habrastorage.org/webt/2e/nl/o3/2enlo3awbrsopy1wcvg9s1sis6m.png)
6. В итоге имеем уравнение c тремя кратными корнями для y
![](https://habrastorage.org/webt/vu/wd/yl/vuwdylxxh0ntgi7ucqz4yjnhoey.png)
7. Остается решить квадратное уравнение с известными y, P, Q
![](https://habrastorage.org/webt/m5/ui/8a/m5ui8aalgrrm9eafysuly4gfojc.png)
Одно из решений будет решением исходного уравнения.
3. Параметры решения вспомогательного кубического уравнения
Для конкретных значений коэффициентов все выглядит не таким страшным образом.
Отметим, что для формулы решения уравнения 4-ой степени требуется только один корень R вспомогательного кубического уравнения.
Для конкретных коэффициентов вспомогательного уравнения имеем
![](https://habrastorage.org/webt/nf/-o/xz/nf-oxzp5ru2r3keofv-p671arsw.png)
![](https://habrastorage.org/webt/dc/_7/ye/dc_7ye9wo2yjjjjicqnxx9rn9xs.png)
![](https://habrastorage.org/webt/yc/dg/la/ycdglaiav2hrpzjzpty7uj78r7q.png)
![](https://habrastorage.org/webt/t3/1q/js/t31qjskb6-fys0cndivuxml_hro.png)
При использовании формулы решения уравнения 4-ой степени необходимо ссылаться — «Метод ftvmetrics».
Интересные задачи присылайте в Direct Инстаграмм.
kapas19
Советую для написания формул использовать либо word + pandoc, либо сервис upmath.me (есть и др. возможности)
anonymous Автор
Спасибо за совет и участие.
Но, мне кажется, что проблема не в написании формул: во многих других работах спокойно присутствуют огромные скрины листингов программ.
Приведенные фрагменты программ позволяют избегать ошибок в написании, так как они исполнялись и давали верные результаты.
Другая причина использования скринов — показать реальность и практичность новых подходов в достаточно консервативной сфере.