Математика опционов или модель Блэка-Шоулза / forpes.ru

Главная
Математика опционов или модель Блэка-Шоулза

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза +11

13.04.2021 12:19

geoandreev 7 3300 Источник

Всеобщий интерес к модели Блэка-Шоулза (далее - БШ) вызван тем, что в свое время ее авторы произвели революцию сфере оценки справедливой стоимости опционов и иных производных финансовых инструментов. В дальнейшем они получили Нобелевскую премию за свои открытия, а выведенная ими аналитическая формула, стала пожалуй, самой фундаментальной и известной в мире финансов.

Не меньший интерес модель БШ вызывает с точки зрения низкоуровневого математического и теоретико-вероятностного анализа. В статье подробно рассмотрен процесс обоснования опорных и ключевых принципов модели БШ, а также выводится аналитическая формула, которая используется для оценки справедливой стоимости опционов.

Базовые понятия

Опцион - договор, по которому покупатель опциона получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу данного актива по заранее оговорённой цене, которая называется ценой исполнения или страйк.

Для целей дальнейшего анализа такой финансовый инструмент наиболее точно представим в виде функции, которая описывает выплаты по опциону в момент экспирации контракта. Для более простого и интуитивного понимания, будем рассматривать опцион типа Call, функция выплат по которому выглядит следующим образом.

где, цена базового актива, цена страйк.

С практической точки зрения, функция предполагает получение выгоды покупателем опциона в случае, если цена базового активапревысит цену страйк x_s и которая будет совпадать с разностью [x-x_s] . В противном случае, держатель опциона получит убыток равный, уплаченной премии за приобретение опционного контракта.

Понятие справедливой стоимости наглядно иллюстрируется тем, что в момент заключения сделки ни одна из сторон не должна находится в преимущественном положении. Такая расстановка сил окажется возможной только в том случае, если стоимость опциона будет равна ожидаемой прибыли по нему. Иначе говоря, мы будем готовы заплатить за опцион ровно столько, сколько сможем на нем заработать (в среднем).

Исходя из вышесказанного, логичным становится исследование функции C= max(x - x_s; 0) , как случайного процесса, зависящего от цены базового активаи времени , поскольку данная функция будет определять получаемую по опциону прибыль в конкретный момент времени, а следовательно и его справедливую стоимость.

Уравнение БШ в частных производных

Чтобы продвинутся в направлении вывода формулы БШ необходимо обратиться к лемме Ито, позволяющей найти дифференциал функции, аргументом, которой является стохастический процесс. При этом необходимо знать стохастическое уравнение самого аргумента, являющегося случайным процессом.

Проанализируем применимость леммы Ито для нашего конкретного случая.

В самом деле, функция выплат C= max(x - x_s; 0) в качестве аргумента содержит случайный процесс x(t) . В силу того, что процесс x(t) является ценой базового актива, то наиболее логично допустить его описание дифференциальным уравнением логарифмического случайного блуждания: $dx = xrdt + x\sigma \delta W$ *. В итоге получим две компоненты, требуемые для применения леммы Ито.

Подставив имеющиеся у нас данные в формулу Ито получим соотношение представленное ниже:

$dC = \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \qquad (1)$

Нашему взору предстанет очень сложное дифференциальное стохастическое уравнение, которое имеет мало перспектив интегрирования в таком виде. Для упрощения уравнения (1) , требуется в первую очередь избавится от стохастической составляющей. Сделать это возможно путем формирования дельта-нейтрального портфеля.

$\Pi = \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \qquad (2)$

где, $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ - дельта опциона или первая производная по .

Далее полагаем, что дельта опциона практически не меняется с изменением, таким образом $\Delta = const$ и дифференциальная форма дельта-нейтрального портфеля имеет следующий вид: $d \Pi = \Delta \cdot dx - dC$ . Заметим, чтонам известно, как логарифмическое случайное блуждание *, аберем из соотношения (1) . В итоге получаем:

$d \Pi = \Delta(xrdt + x\sigma \delta W) - \left [ \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \right ] \qquad (3)$

Если не забыть, что $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ и раскрыть скобки, то стохастическая составляющая $x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W$ сократится и останется:

$d \Pi = - \left [\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right]dt \qquad (4)$

Дифференциальное уравнение выглядит уже вполне пригодно, однако требуется провести еще несколько преобразований. Заменяем переменнуюна $\tau$ , как $\tau = T-t$ , где период. Обе переменные определяют срок до экспирации опциона, однако в случаенаш срок увеличивается, а после замены на $\tau$ , срок будет сокращаться. На уровне производных, осуществленная замена приведет к следующему тождеству: $\frac{\partial C}{\partial t } = - \frac{\partial C}{\partial \tau }$ .

Опираясь на принципы B,S - рынка можно перейти к новому равенству: $d \Pi = \Pi rdt$ , гдебезрисковая ставка. Левую часть этого равенства заменяем соотношением (4) , а вместо $\Pi$ в правой части уравнения подставляем формулу (2) .

$\frac{\partial C}{\partial \tau }dt - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}dt =\left( \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \right ) rdt$

Раскроем скобки, разделим обе части наи получим уравнение БШ в частных производных:

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} + rx\frac{\partial C}{\partial x } \qquad (5)$

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Получив дифференциальное уравнение БШ, вопрос о поиске его решения остается актуальным. Забегая вперед, окажется, что такое уравнение можно свести к дифференциальному уравнению теплопроводности, решение которого хорошо известно.

Процесс получения уравнения теплопроводности из уравнения БШ носит чисто аналитический характер. Преобразования начинаются с замены $y = \ln x$ . Делается это для того чтобы избавится от функцийи x^2 , которые стоят при первой и второй производных соответственно.

Переходя к новой переменной, дифференцируем по правилу сложной функции, после чегои x^2 сокращаются, а уравнение приобретает следующий вид:

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y } \qquad (6)$

где $R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

Подробнее

Находим первую производную по, при условии $y = \ln x$

$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{1}{x}$

Вторую производную по, при условии $y = \ln x$

$\frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} =\left ( \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}\right )_x '= (\frac{\partial C}{\partial y})_x '\cdot \frac{dy}{dx} + \frac{\partial C}{\partial y} \cdot (\frac{dy}{dx})_x' = \left( (\frac{\partial C}{\partial y})_y' \cdot y'\right ) \cdot y'+ \frac{\partial C}{\partial y} \cdot y'' =$ $= \left( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \frac{1}{x}\right ) \frac{1}{x} - \frac{\partial C}{\partial y} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right )$

Избавляемся оти

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \cdot \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right ) + rx \cdot \frac{1}{x} \frac{\partial C}{\partial y} \Leftrightarrow \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y }$

Проводим дальнейшие преобразования для приведения к виду уравнения

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_1 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial C}{\partial y } + r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_2$ $\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + (r - \frac{\sigma^2}{2}) \frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_3 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y }$

где $R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

Следующее преобразование намного менее приятное, однако в пару шагов приводит нас к уравнению теплопроводности. Для этого проводим замену: $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , а далее подбираем коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы ряд членов уравнения взаимно сократились и мы получили искомое уравнение теплопроводности, представленное ниже:

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} \qquad (7)$

Подробнее

Подставляем $Ue^{\alpha y + \beta \tau}$ вместо функциив исходное уравнение

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' + rUe^{\alpha y + \beta \tau} = \frac{\sigma^2}{2} \left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_{yy} '' + R\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' \qquad (*)$

Находим частную производную по $\tau$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \beta U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

Находим первую частную производную по

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

Вторую частную производную по

$\left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y '= \left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y' + \left (\alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y' =$ $\left( { \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}}e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} \right) + \left ( \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha^2 U e^{\alpha y + \beta \tau}\right ) =$ $e^{\alpha y + \beta \tau} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right)$

Подставляем найденные производные в уравнениеи делим обе части на $e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\frac{\partial U}{\partial \tau} + \beta U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} + aU \right )$

Теперь положим $\alpha = -\frac{R}{\sigma^2}$ , а $\beta = -(r + \frac{R^2}{2 \sigma^2})$ , тогда получим следующее уравнение:

$\frac{\partial U}{\partial \tau} - (r + \frac{1}{2}\frac{R^2}{\sigma^2}) U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} - \frac {2R}{\sigma^2} \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{R^2}{\sigma^4} U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} - \frac{R}{ \sigma^2}U \right )$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

В итоге останется соотношение, которое является уравнением тепловодности

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2}$

Частным решением уравнения (7) является гауссиана:

$P(y, \tau, y_0) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \qquad (8)$

Это проверяется непосредственно путем вычисления частных производных $(P)_\tau '$ , $(P)_{yy} ''$ и подстановки их в уравнение (7) .

Проверка решения

Для удобства введем следующее обозначение:

$e^{*} = \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau})$

Далее найдем частную производную по $\tau$ :

$\frac{\partial P}{\partial \tau} = \left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \right )_ \tau ' \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \left (\exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \right )_\tau ' =$ $- \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}}\cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau^2} = e^{*} \left (\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Затем найдем первую и вторую производную по:

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot (e^{*})_y' = - \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{ \sigma^2 \tau} \Rightarrow$ $\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = \left (- \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau} \right )_y' = \left (- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left ( e^{*} \cdot (y-y_0) \right ) \right )_y' =$ $- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left[\left( e^{*} \cdot (-\frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau}) \cdot (y-y_0) \right ) + e^{*} \cdot 1\right] = e^{*} \cdot \left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Подставим обе найденные производные в уравнение (7) и сократим на e^* . В итоге получаем тождество:

$\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} = \frac{\sigma^2}{2}\left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

Значит гауссианав самом деле является частным решением нашего уравнения теплопроводности.

В виду линейности уравнения теплопроводности, для любой непрерывной функции u(s) интеграл:

$\int_ {-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds,$

зависящий от параметрови $\tau$ , будет также решением уравнения (7) , на самом деле - общим решением. Итак, общее решение уравнения (7) имеет вид:

$U(y, \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) \cdot \exp \left(-\frac{(y-s)^2}{2\sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (9)$

Вычисление начальных условий

Для получения окончательного решения по формуле (9) следует найти функцию u(s) . Мы намереваемся доказать, что u(y) = U(y;0) для любой точки. Короткий путь - воспользоваться тем, что при $\tau \mapsto 0$ гауссиана переходит в дельта-функцию Дирака $\delta (y-s)$ и тогда:

$U(y; 0) = \int _{-\infty}^{+\infty}u(s) \delta (y-s)ds = u(y)$

Объясним это подробнее путем применения первой теоремы о среднем: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] , и при этом функция g(x) не меняет знак и является интегрируемой, тогда существует такое число $c \in[a,b]$ , что:

$\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(c) \int_{a}^{b}g(x)dx$

Зададимся произвольно малым $\varepsilon > 0$ .

В виду свойств гауссианы при $\tau \mapsto 0$ "хвосты" $\int_{-\infty}^{y- \varepsilon }, \int_{y-\varepsilon }^{+\infty}$ могут быть сделаны сколь угодно малыми и тогда:

$U(y, \tau) \approx \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds$

Далее воспользуемся выше сформулированной теоремой о среднем и найдем $d \in [y-\varepsilon; y+\varepsilon ]$ такое, что

$\int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds = u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds.$

Так как, $\lim_{\tau \mapsto 0} \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds = 1$ , то $u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds \approx u(d)$ . В силу того, что $\varepsilon >0$ выбрано произвольно малым, в пределе при $\tau \mapsto 0$ , получаем $d \mapsto y$ . Окончательно имеем:

Следовательно,

$u(y) = U(y;0) = e^{-\alpha y}\cdot C(e^{y}; 0) = e^{-\alpha y} \cdot \max (e^y -x_s;0)$

Аналитическая формула БШ

Так как, $\max (e^y -x_s;0)=0$ при условии $y < \ln x_s$ , то интеграл в правой части (9) сводится к виду:

$U(y, \tau) = \int_{\ln x_s}^{+\infty} (e^s - x_s)\frac{e^{-\alpha s}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \exp\left(-\frac{(y-s)^2}{2 \sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (10)$

Дальнейшее интегрирование соотношения (10) позволяет найти функцию $U(y;\tau)$ , которая соотносится с функцией стоимости опциона, как $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ . Следовательно, нахождение решения $U(y, \tau)$ автоматически позволит найти функцию $C(e^y, \tau)$ .

Решение сводится к разделению интеграла (10) на разность двух интегралов и приведению их к функции нормированного нормального распределения.

После процесса интегрирования, представленного ниже получим анализируемую нами функцию Блэка-Шоулза:

$C = x_0F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ] - x_se^{-r\tau}F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ]$

где, функция нормированного нормального распределения, $\sigma -$ волатильность за единичный период.

Подробное решение

Осуществим необходимые замены, пересчитаем пределы интегрирования и вычислим дифференциал новой функции для соотношения:

$z = \frac{(s-y)}{ \sigma \sqrt{\tau}}; \qquad s = z\sigma \sqrt{\tau} + y \qquad$ $z(\ln x_s) = \frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} =: \gamma \text{ - новый нижний предел}$ $dz = \left (\frac{(s-y)}{2 \sigma \sqrt{\tau}} \right )' ds \Rightarrow dz = \frac{ds}{\sigma \sqrt{\tau}} \Rightarrow ds = \sigma \sqrt{\tau}dz$

Переписываем интеграл с учетом ряда замен в новом виде:

$U(y, \tau) =\int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)} - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)} \right ) \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \sqrt{\tau }\sigma dz =$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y) -\frac{z^2}{2} } - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} \right ) dz$

Далее представим имеющийся у нас интеграл в виде разности интегралов:

$U(y, \tau) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\left [ \int_{\gamma }^{+\infty}e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)-\frac{z^2}{2}} dz -\int_{\gamma }^{+\infty} x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} dz \right ]$

Выделим полный квадрат в показателях экспонент и обозначим красным цветом члены, которые не зависят от переменной интегрирования.

Вынесем из под знака интеграла, выделенные красным цветом сомножители, после чего под интегралами, останутся функции, представимые в виде $e^{-\frac{v^2}{2}}$ , а значит отмеченные синим выражения будут легко сводится к нормированному нормальному распределению.

Обратим внимание на то, что в стандартном виде интеграл нормального распределения в качестве нижнего предела интегрирования содержит $-\infty$ , а верхним пределом является аргумент функции. Следовательно, в нашем случае необходимо поменять местами пределы интегрирования. Для этого воспользуемся свойствами функции нормального распределения:

$\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma}^{+\infty} e^{-\frac{z^2}{2}}dz= F(-\gamma) \qquad (*)$

Также постараемся сделать нашу запись более компактной, для этого выше и далее обозначаем функцию нормального распределения через, а ее аргументы заменим буквой. В силу того, функция нормального распределения содержит в качестве аргументов разные выражения, будем различать их, каки. В итоге получим следующую запись:

где, $d_1 = -\left(\gamma - \sigma\sqrt{\tau}(1-\alpha)\right)$ , а $d_2 =- \left( \gamma +\alpha \sigma \sqrt{\tau} \right)$ , с учетом минусов от *.

Теперь требуется провести обратные замены для аргументови, а также для сомножителей, которые выделены красным цветом. Вспоминаем, какие замены нами осуществлялись:

$\gamma =\frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} ; \qquad \alpha = -\frac{R}{\sigma^2}; \qquad R = r -\frac{\sigma^2}{2};\qquad y = \ln x.$

После обратных замен аргументыив окончательном виде выглядят следующим образом:

$d_1 = \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2};\qquad d_2 = \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2}.$

Остается решить вопрос с громоздкими сомножителями, которые стоят перед функциями нормального распределения. Так как мы ищем решение для цены опциона $C(e^y, \tau)$ , то вспоминая замену, сделанную для сведения к уравнению теплопроводности $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , понимаем, что соотношение ** надо умножить на $e^{\alpha y + \beta \tau}$ .

При умножении складываем показатели экспонент и приступаем к проведению обратных замен. В итоге окажется, что $e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot e^{y(1-\alpha ) + \frac{1}{2} \sigma^2 \tau (1-\alpha)^2}$ превратится в, а от $e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot e^{{\alpha y+ a^2\sigma^2 \tau /2 }}$ останется только $e^{-r \tau}$ . Таким образом, итоговая формула БШ будет иметь следующий вид:

Список использованных источников

Степанов С.С. "Стохастический мир", 2009 г. — 376 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Часть 2, глава ХХ. 1985 г. — 560 с.
Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М., ACADEMA, 2003. - 480 с.
Жуленев С.В. "Финансовая математика. Введение в классическую теорию. Часть 2.", 2012 г. — 419 с.
Ширяев А.Н. "Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели", 1998 — 512 с.

Комментарии (7)

squaremirrow
14.04.2021 00:06
#22920098
-1
В силу того, что процесс x(t) является ценой базового актива, то наиболее логично допустить его описание дифференциальным уравнением логарифмического случайного блуждания
Вот так просто, без всяких доказательств, принимается, что цена актива должна вести себя именно так? И почему это "наиболее логично"? Есть ли ссылки на статьи, которые бы подтверждали, что цены действительно ведут себя так? Может вы хотели сказать "для такого процесса, уравнение получается самое простое аналитически решаемое уравнение"?

И почему в статье ничего не написано про разницу между американскими и европейскими опционами? Про неприменимость классической формулы Блека-Шоулза к прайсингу опционов на современных рынках? Почему в источниках только малоизвестные (за исключением Ширяева) отечественные авторы, но нет бессмертной классики в виде книжки Hull'a?

Без обид, но это больше похоже на рерайт с википедии, чем на оригинальный материал.
1. geoandreev Автор
  14.04.2021 10:01
  #22920866
  Статья получалась довольно объемной, поэтому не хотелось концентрироваться на всех особенностях и допущениях, которые свойственны для модели БШ. Ваш комментарий относительно неочевидности того, что цена задается логарифмическим случайным блужданием абсолютно справедлив.
  
  Книжка Халла, действительно является системной классикой для теории финансов, тем не менее в рамках подготовки статьи ей не пользовался.
  
  По поводу рерайта, в какой-то степени тоже согласен, ничего нового ведь я не придумал, однако цель статьи заключалась в более подробном описании процесса доказательств, где будут растолкованы и объяснены не совсем тривиальные с математической точки зрения вещи.

mostodont32
14.04.2021 00:19
#22920122
+1
Интересная статья. Хотелось бы еще посмотреть на вывод формулы для цены американского опциона, когда до экспирейшена еще бывает дивиденд.
Кстати, а что вы сами думаете о предположении, что логарифмы приращения цен бумаги распределены нормально? Это приводит к забавным казусам типа разного implied volatility у опционов по одной и той же бумаге.
1. geoandreev Автор
  14.04.2021 09:47
  #22920814
  К сожалению, сказать, что-либо заведомо достоверное относительно распределения цен довольно сложно. Логарифмическое случайное блуждание выглядит наиболее справедливым описанием поведения цен в первую очередь потому, что задается дифференциальным уравнением, в соответствии с которыми приращение цены зависит от стоимости БА и времени, что является естественным, в том числе, результате чего не допускается падение цен в отрицательную зону.
  Однако, ни кем не забыт случай с падением цен фьючерсов на нефть, когда их стоимость стала отрицательной. Соответственно, сказать, что цена актива описывается только логнормальной моделью, наверное нельзя.
  Мосбиржа, например, использует для оценки опционов на ряду с моделью Блэка и модель Башелье, в основе которой лежит нормальное распределение приращения цен, а не их логарифмов…
  1. mostodont32
    14.04.2021 12:27
    #22921542
    Как человек, работающий с опционами и акциями каждый день, могу сказать точно, что упасть на 50% и вырасти на 100% — это совсем не одно и то же с точки зрения рынка.
    Модель, где принимается, что логарифмы приращений распределены нормально, очевидно неверная, потому что распределение выходит симметричным, тогда как на деле оно симметрично только в очень небольшой окрестности нуля.
    Модель, когда приращения цен распределены нормально тоже далека от реальности, потому что имеет слишком узкие хвосты и для объяснения ненулевых цен дальних страйков приходится изменять implied volatility.
    Мне представляется гораздо более реалистичной модель, где в основе лежит 2-3 параметрическое семейство распределений с ненулевым 3 моментом. Потому что предполагать симметричность распределения приращений для каждой конкретной бумаги — это очень серьезное допущение. Да и в целом по рынку симметрии тоже нет, последние мои измерения показали, что хвост в отрицательную сторону тяжелее (по крайней мере был до ковидного кризиса, после него ситуация поменялась и распределение стало более-менее симметричным)

abak
14.04.2021 07:46
#22920500
Такая расстановка сил окажется возможной только в том случае, если стоимость опциона будет равна ожидаемой прибыли по нему.
Это неправда. Справедливая цена опциона НЕ равна дисконтированному математическому ожиданию выплаты (в вероятностной мере реального мира).

Сделать это возможно путем формирования дельта-нейтрального портфеля.
Опираясь на принципы B,S -рынка можно перейти к новому равенству: $d \Pi = \Pi rdt$, где $r$ — безрисковая ставка.
За этими фразами скрывается главная экономическая идея деривативной науки: репликация и отсутствие арбитража. К сожалению, она совершенно теряется на фоне выкладок. Поэтому у неподготовленного читателя неизбежно останутся вопросы. Возможно, стоило бы сначала разобрать какой-то простенький пример в одношаговом биномиальном дереве и показать, как работает реплицирующий портфель. А потом уже сказать, что давайте обобщим идею на непрерывное время. И то, на мой вкус, предельный переход в биномиальном дереве более нагляден, чем вывод Б-Ш через лемму Ито и уравнение теплопроводности.
1. geoandreev Автор
  14.04.2021 10:06
  #22920884
  Спасибо за комментарии, они действительно даны по существу. Видно, что Вы хорошо ориентируетесь в финансовой математике.

Математика опционов или модель Блэка-Шоулза +11

Базовые понятия

Уравнение БШ в частных производных

Сведение уравнения БШ к уравнению теплопроводности

Вычисление начальных условий

Аналитическая формула БШ

Список использованных источников

Комментарии (7)

squaremirrow

geoandreev Автор

mostodont32

geoandreev Автор

mostodont32

abak

geoandreev Автор