3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности / forpes.ru

23.02.2022 00:15

petuhoff 2 883 Источник

Дадим краткое пояснение ряда терминов, используемых в заглавии данного подраздела:

1. «Точечный» означает, что хотя реактор и представляет собой пространственный объект, тем не менее кинетика (изменение во времени) нейтронов может быть условно описана «материальной точкой», имеющей такие же свойства (в динамическом плане), что и реальный реактор т.е. пространственные размеры (диаметр, высота) не учитываются.

Такое допущение вполне корректно для большинства реакторов: дляреакторов малой энергетики, лодочных (транспортных) реакторов, а с некоторым допущением идля больших реакторов (ВВЭР, PWR, BWR, HTGR и т.д.).

2. «Нулевой» означает, что либо мощность (энерговыделение) реактора незначительна и поэтому ее изменение не влияет на нейтронно-физические характеристики, либо хотя мощность и немала, но внутренние обратные связи (обусловленные различными эффектами реактивности, например, мощностным, температурным, плотностным и т.д. эффектами) не учитываются.

3. «Кинетика» практически тождественно слову «динамика», но в теории управления ядерными реакторами принято называть нестационарные режимы в балансе нейтронов в реакторе без обратных связей термином кинетика. Если учитываются обратные связи (внутренние и внешние), то тогда используется термин динамика ядерного реактора.

Прежде чем выводить уравнения кинетики нейтронов сделаем еще ряд допущений (к вышеописанным 1 и 2 допущениям):

будем считать, что на кинетику влияют в основном тепловые нейтроны т.е. используемодногрупповое приближение;

будем считать, что запаздывающие нейтроны могут быть описаны одной эффективной группой, хотя обычно запаздывающие нейтроны подразделяются на 6 групп со своими постоянными распада ядер-предшественников запаздывающих нейтронов.

Из физики ядерных реакторов известно, что доля мгновенных нейтронов, рождаемых от деления ядра, составляет 99%, т.е. доля запаздывающих нейтронов составляет $\beta$ $\approx$ 0.25% $\div$ 0.7% от общего числа порождаемых нейтронов.

Запаздывающие нейтроны вылетают из осколков через относительно большое время после деления ядра: обычно от сотых долей секунды до сотен секунд, в то время как мгновенные нейтроны через $\approx$ 1 мс( или еще быстрее, например, через 10 $\div$ 100 мкс).

Известно следующее нестандартное уравнение баланса нейтронов в реакторе в одногрупповом (по энергии нейтронов) приближении:

$\left \{ \begin{align} \frac{dn(t)}{dt} &= \frac{1}{\nu}\cdot\frac{dФ(t)}{dt} = П_{мгн}+П_{зап}-A-Y+B; \\ \frac{dc(t)}{dt}&=П_{я.п}-Р_{я.п}; \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.1)}$

где:
$\Pi_{мгн} = \Phi(t)\cdot \Sigma_f\cdot \nu_f\cdot(1-\beta_{эф})$ - порождение мгновенных нейтронов первичными нейтронами;
$\Pi_{мгн} = c(t)\cdot \lambda$ - порождение запаздывающих нейтронов за счет распада ядер-предшественников з.н;
$A = \Phi(t)\cdot \Sigma_{a}$ - поглощение нейтронов;
$Y = D \cdot B^2 \cdot \Phi(t)$ - утечка нейтронов из реактора за счет диффузии, где: – коэффициент диффузии, B^2 - геометрический фактор (параметр);
$B = I \cdot s(t)$ - внешний источник нейтронов;
$\Pi_{я.п.}=\Phi(t)\cdot\Sigma_f\cdot \nu_f\cdot \beta_{эфф}$ - порождение ядер – предшественников запаздывающих нейтронов;
$P_{я.п.} = \lambda \cdot c(t)$ - распад ядер - предшественников запаздывающих нейтронов;
n(t) - плотность нейтронов, [1/cm^3] или [1/m^3] ;
$\Phi(t)$ - поток нейтронов, $[1/(cm^2\cdot c)]$ или $[1/(m^2\cdot c)];$
$\Sigma_f$ - сечение деления, [cm^2] или [m^2] ;
$\Sigma_a$ - сечение поглощения, [cm^2] или [m^2];
$\nu(t)$ - средняя скорость нейтрона в реакторе (в одногрупповом приближении);
C(t) – концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов, [1/cm^3] или [1/m^3] ;
$\nu_f$ - средняя числое нетронов на акт деления;
$\lambda$ - постоянная распада ядер предшественников.

После подстановки составляющих в систему (3.11.1):

$\left \{ \begin{align} \frac{dn(t)}{dt} &= \Phi(t)\cdot \Sigma_f\cdot\nu_f \cdot (1-\beta_{эфф})-\Phi (t)\cdot \Sigma_a -D\cdot B^2 \Phi(t)+ c(t)\cdot \lambda+I \cdot s(t) \\ \frac{dc(t)}{dt} &=\Phi(t)\cdot \Sigma_f \cdot \nu_f\cdot \beta_{эфф} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{ (3.11.2)}\end{align} \right.$

Для реактора в стационарном состоянии, когда количество нейтронов вызывающих деление в первом поколении, равно количеству нейтронов вызывающих деления во втором и последующем поколения, $K_{эфф} =1$ и мощность реактора постоянна. В этом случае:

$(1-\beta_{эфф})$ - доля мгновенных нейтронов во втором поколении;
$\beta_{эфф}$ - доля запаздывающих нейтронов во втором поколении.

Введем новые обозначения:

Эффективный коэффициент размножения:

$K_{эфф} = \frac{\nu_f\cdot \Sigma_f}{\Sigma_a+D\cdot B^2}$

Реактивность:

$\rho = \frac{K_{эфф}-1}{K_{эфф}} \approx (K_{эфф}-1)$

Время жизни мгновенных нейтронов без учета утечки из реактора:

$l_0=\frac{1}{\nu\cdot\Sigma_a}$

Квадрат длинны дифузии:

$L^2=\frac{D}{\Sigma_a}$

Время жизни мгновенных нейтронов с учетом утечки:

$l =\frac{l_0}{1+B^2\cdot L^2}$

Примем для простоты, что внешнего источника нет и $I \cdot s(t)=0$ Преобразуем 1-е уравнение системы (2.13.2):

$\frac{dn(t)}{dt}=\frac{\Phi(t)}{\underbrace{\nu}_{n(t)}}\cdot \nu\cdot (\Sigma_a+D\cdot B^2)\cdot \left[\underbrace{\frac{\Sigma_f\cdot \nu_f}{\Sigma_a+D\cdot B^2}}_{K_{эфф}}(1-\beta_{эфф})-1\right]+\lambda \cdot c(t)=$ $=n(t)\frac{1}{\underbrace{\frac{1}{\Sigma_a\cdot \nu}}_{l_0}}\cdot \left[1+\underbrace{\frac{D}{\Sigma_a}}_{L^2}\cdot B^2\right]\cdot\left[(K_{эфф}-1)-K_{эфф}\cdot \beta_{эфф}\right]+\lambda \cdot c(t)=$ $=n(t)\cdot \frac{1\cdot K_{эфф}}{\underbrace{\frac{l_0}{1+B^2L^2}}_l}\cdot\left[ \rho(t)-\beta_{эфф}\right]+\lambda\cdot c(t)$

Окончательно получаем:

$\frac{dn(t)}{dt} = \frac{[\rho(t)-\beta_{эфф}]\cdot K_{эфф}}{l} \cdot n(t)+\lambda \cdot c(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.3)}$

Для стационарно работающего реактора $K_{эфф}=1$

$\frac{dn(t)}{dt} = \frac{\rho(t)-\beta_{эфф}}{l} \cdot n(t)+\lambda \cdot c(t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.4)}$

Выполняя аналогичные преобразования для 2-го уравнения системы (3.11.2), имеем:

$\frac{dc(t)}{dt}=\underbrace{\frac{\Phi(t)}{\nu}}_{n(t)}\cdot\nu\cdot\underbrace{\frac{\Sigma_f\cdot\nu_f}{\Sigma_a+D\cdot B^2}}_{K_{эфф}}\cdot(\Sigma_a+D\cdot B^2)\cdot \beta_{эф}-\lambda\cdot c(t)=$ $=n(t)\cdot\frac{1}{\underbrace{\frac{1}{\nu_f\cdot\Sigma_a}}_{l_0}}\cdot \frac{ K_{эфф}\cdot(\Sigma_a+D\cdot B^2)}{\Sigma_a}\cdot \beta_{эфф}=$ $=\frac{n(t)\cdot K_{эфф}\cdot \beta_{эфф}}{\frac{l_0}{1+\underbrace{\frac{D}{\Sigma_a}}_{L^2}}}-\lambda \cdot c(t)=$ $=\frac{n(t)\cdot K_{эфф}\cdot \beta_{эфф}}{l}-\lambda\cdot c(t);$

и окончательно:

$\frac{dc(t)}{dt}=\frac{K_{эфф}\cdot \beta_{эфф}}{l}\cdot n(t)-\lambda\cdot c(t); \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.5)}$

Для стационарно работающего реактора $K_{эфф}=1$

$\frac{dc(t)}{dt}=\frac{\beta_{эфф}}{l}\cdot n(t)-\lambda \cdot c(t); \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.6)}$

Объединяя уравнения (3.11.3) и (3.11.5) в систему, получаем систему уравнений кинетики нейтронов:

$\left \{\begin{align} \frac{dn(t)}{dt}&=\frac{\rho(t)-\beta_{эфф}}{l}\cdot K_{эфф}\cdot n(t)+\lambda \cdot c(t); \\ \frac{dc(t)}{dt}&=\frac{\beta_{эфф}}{l}\cdot K_{эфф}\cdot n(t)-\lambda\cdot c(t); \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.7)}$

Учитывая, что $K_{эфф} =$ 1, то вместо «точной» системы (3.11.7) удобнее использовать «приближенную» систему (3.11.8):

$\left \{\begin{align} \frac{dn(t)}{dt}&=\frac{\rho(t)-\beta_{эфф}}{l}\cdot n(t)+\lambda \cdot c(t); \\ \frac{dc(t)}{dt}&=\frac{\beta_{эфф}}{l}\cdot n(t)-\lambda\cdot c(t); \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.8)}$

Систему уравнений (3.11.8) - систему 2-го порядка – можно представить структурно так:

Рисунок 3.11.2 Структурная схема системы уравнений.

Причем 2-е уравнение (2.13.5) – линейное, а 1-е – нелинейное, т.к. есть член уравнения пропорциональный величиен $\rho(t) \cdot n(t)$ .

Найдем условия статики критичного реактора (стационарного состояния):

Если $n(t)=const \Rightarrow \rho(t)=0$ или $K_{эфф} =1$ . Тогда получаем:

$\left \{ \begin{align} 0 &=-\frac{\beta}{l}\cdot n_{0}+\lambda\cdot c_0;\\0 &=\frac{\beta}{l}\cdot n_0-\lambda \cdot c_0; \end{align} \right.$

где n₀ - равновесная плотность нейтронов; с₀ – равновесная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов, и тогда:

$\begin{align} c_0=\frac{\beta}{\lambda \cdot l}\cdot n_0; \\ n_0=\frac{\lambda \cdot l}{\beta}\cdot c_0. \end{align} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.9)}$

Дальнейшие преобразования выполним со следующими целями:

Перейти к безразмерным переменным;
Линеаризовать 1-е уравнение системы 3.11.8;
Получить передаточную функцию, описывающую кинетику нейтронов в переменных «вход-выход»;
Получить систему уравнений в форме Коши.

Введем новые безразмерные переменные:

$\begin{align} \tilde{n}(t)=\frac{n(t)-n_0}{n_0}; \ \ \ \ \ \ n(t)=n_0\cdot[1+\tilde n(t)];\\ \tilde{c}(t)=\frac{c(t)-c_0}{c_0}; \ \ \ \ \ \ \ \ \ c(t)=c_0\cdot[1+\tilde{c}(t)]. \end{align}$

Учитывая, что $\rho= \frac{K_{эфф}-1}{K_{эфф}}$ и в станционаре $\rho(t) = \rho(0) =0$ , то переменная $\rho(t)$ является безразмерной.

Подставляя новые переменные $\tilde{n}(t)$ и $\tilde{c}(t)$ в 1-е уравнение системы (3.11.8), получаем:

$\frac{d\tilde{n}(t)}{dt}\cdot n_0=\frac{\rho(t)-\beta}{l}\cdot n_0\cdot[1+\tilde{n}(t)]+\lambda\cdot c_0 \cdot [1+\tilde{n}(t)]=0$ $=\frac{\rho(t)}{l}\cdot n_0-\underbrace{\frac{\beta}{l}\cdot n_0}_{=\lambda \cdot c_0 (см. 3.11.9)}+\underbrace{\frac{\rho(t)}{l}\cdot n_0\cdot \tilde{n}(t)}_{\approx 0}-\frac{\beta}{l}\cdot n_0\cdot \tilde{n}(t)+\\+\lambda\cdot c_0+\lambda \cdot c_0\cdot \tilde{n}(t)\Rightarrow$ $\frac{\tilde{n}(t)}{dt} =\frac{1}{l}\cdot \rho(t)-\frac{\beta}{l}\cdot\tilde{n}(t)+\lambda\cdot\underbrace{\frac{c_0}{n_0}}_{\frac{\beta}{\lambda\cdot l}}\cdot \tilde{c}(t)$

В итоге, после исключения слогаемого второго прядка малости и сокращения с использованием уравнения стационарного состояния получаем следующую систему уравнений:

$\left \{\begin{align} \frac{d\tilde{n}(t)}{dt}&=-\frac{\beta}{l}\cdot \tilde{n}(t)+\frac{\beta}{l}\cdot\tilde{c}(t)+\frac{1}{l}\cdot \rho(t)\\ \frac{d\tilde{c}(t)}{dt} &=\lambda\cdot \tilde{n}(t)-\lambda\cdot \tilde{ c}(t) \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.10)}$

3.11.10 это система уравнений в форме Коши, т.е. в переменных состояния. Таки образом получена линеаризованная система уравнений для безразмерных переменных $\tilde{n}(t)$ и $\tilde{c}(t)$ описывающих кинетику нейтронов в реакторе.

Приведем описание кинетики нейтронов к стандартному виду в переменных «вход-выход».

Рисунок 3.11.3 Струкурная сехма модели кинетики реактора

Это можно сделать 2-мя способами.

1-й способ перехода к переменным "вход - выход"

Выразим заначение $\tilde{c}(t)$ из первого уравнения системы 3.11.10

$\tilde{c}(t)=\frac{l}{\beta}\cdot \left [\frac{d\tilde{n}}{dt}+\frac{\beta}{l}\cdot \tilde{n}(t) -\frac{1}{l}\cdot\rho(t)\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.11)}$

Выполним диференцирование первого уравления системы 3.11.11

$\frac{d^2\tilde{n}}{dt^2}=-\frac{\beta}{l}\cdot\ \frac{d\tilde{n}(t)}{dt}+\frac{\beta}{l}\cdot\frac{d\tilde{c}(t)}{dt}+\frac{1}{l}\cdot \frac{d \rho(t)}{dt}$

Вставим производную из второго уравнения системы 3.11.10

$\frac{d^2\tilde{n}}{dt^2}=-\frac{\beta}{l}\cdot\ \frac{d\tilde{n}(t)}{dt}+\frac{\beta}{l}\cdot\left [ \lambda \cdot \tilde{n}(t)-\lambda\cdot\tilde{c}(t) \right ]+\frac{1}{l}\cdot \frac{d \rho(t)}{dt}=$

Подставим значения $\tilde{c}(t)$ из выражения 3.11.11:

$-\frac{\beta}{l}\cdot\ \frac{d\tilde{n}(t)}{dt}+\frac{\beta}{l}\cdot\left [ \lambda \cdot \tilde{n}(t)-\lambda\cdot \frac{l}{\beta}\cdot \left [\frac{d \tilde{n}(t)}{dt}+\frac{\beta}{l}\cdot \tilde{n}(t)-\frac{1}{l}\cdot \rho(t) \right] \right ]+\frac{1}{l}\cdot \frac{d \rho(t)}{dt}$

Перенося слагаемые с $\tilde{n}$ и $\rho$ в разные часть уравнения получаем:

$\frac{d^2\tilde{n}(t)}{dt^2}+\frac{\beta}{l}\cdot\frac{d \tilde{n}(t)}{dt}-\lambda\cdot \frac{\beta}{l} \cdot \tilde{n}(t)+\lambda\cdot\frac{d\tilde{n}(t)}{dt} +\lambda\cdot\frac{\beta}{l}\cdot\tilde{n}(t)=$ $=\frac{1}{l}\cdot\frac{d\rho(t)}{dt}+\lambda\ \cdot \frac{1}{l}\cdot\rho(t) \Rightarrow$ $l \cdot\frac{d^2\tilde{n}(t)}{dt^2}+\left [\beta+\underbrace{l \cdot \lambda}_{\approx0} \right ]\cdot \frac{d\tilde{n}(t)}{dt}=\frac{d\rho(t)}{dt}+\lambda\cdot\rho(t)$

поскольку значения $l \approx 1\cdot 10^{-3}$ и $\lambda \approx 7\cdot 10^{-2}$ можно упростить $l \cdot \lambda \approx 0$ и окончательно уравнение выглядит так:

$l \cdot\frac{d^2\tilde{n}(t)}{dt^2}+\beta\cdot \frac{d\tilde{n}(t)}{dt}=\frac{d\rho(t)}{dt}+\lambda\cdot\rho(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.12)}$

Используя преобразование Лапаласа:

$\tilde{n}(t)\rightarrow N(s); \ \ \ \ \ \tilde{n}'(t)\rightarrow s\cdot N(s); \ \ \ \ \ \ \tilde{n}''(t)\rightarrow s^2\cdot N(s);$ $\rho(t) \rightarrow R(s); \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho'(t)\rightarrow s\cdot R(s)$

Уравнение кинетики в изображениях:

$(l\cdot s^2+\beta \cdot s)\cdot N(s)=(s+\lambda)\cdot R(s)$

Передаточная функция «точечного» реактора с «нулевой» мощностью:

$W_r(s)=\frac{N(s)}{R(s)}=\frac{s+\lambda}{s \cdot(l\cdot s+\beta)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.13)}$

2-й способ перехода к переменным "вход - выход"

Перейдем к изображениям в системе 3.11.10

$\tilde{n}(t)\rightarrow N(s); \ \ \ \ \ \tilde{n}'(t)\rightarrow s\cdot N(s); \ \ \ \ \ \ \tilde{c}(t)\rightarrow C(s);$ $\rho(t) \rightarrow R(s); \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho'(t)\rightarrow s\cdot R(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tilde{c}'(t) \rightarrow s \cdot C(s)$ $\left \{\begin{align} s\cdot N(s)&=-\frac{\beta}{l}\cdot N(s)+\frac{\beta}{l}\cdot C(s)+\frac{1}{l}\cdot R(s)\\ s \cdot C(s) &=\lambda\cdot N(s)-\lambda\cdot C(s) \end{align} \right.$

из второго уравнения системы

$C(s)=\frac{\lambda}{s+\lambda}\cdot N(s);$

подставляем в перовое уравнение:

$s \cdot N(s)=-\frac{\beta}{l}\cdot N(s)+\frac{\beta}{l}\cdot\frac{\lambda}{s+\lambda}\cdot N(s)+\frac{1}{l}\cdot R(s)\Rightarrow$ $\Rightarrow \left [s+\frac{\beta}{l}-\frac{\beta\cdot\lambda}{l\cdot(s+\lambda)} \right]\cdot N(s)=\frac{1}{l}\cdot R(s) \Rightarrow$ $\Rightarrow \left[ l\cdot s\cdot (s+\lambda)+\beta\cdot(s+\lambda)-\beta\cdot \lambda\right]\cdot N(s) = (s+\lambda)\cdot R(s) \Rightarrow$ $\Rightarrow (s+\lambda)\cdot R(s)=[l\cdot s^2+(l\cdot\lambda+\beta)\cdot s]\cdot N(s).$

$(s+\lambda)\cdot R(s)=[l\cdot s^2+\beta\cdot s]\cdot N(s)$

Передаточная функция «точечного» реактора с «нулевой» мощностью:

$W_r(s)=\frac{N(s)}{R(s)}=\frac{s+\lambda}{s \cdot(l\cdot s+\beta)}$

данное выражение совпало с выражением (3.11.13)

Хотя традиционной переходной характеристикой любого (почти любого) звена, объекта САР и т.д. является переходная функция h(t) (реакция на 1(t)), в данном случае такое (количественно большое) воздействие по реактивности недопустимо, т.к. величина $\beta_{эфф}\approx 0.0025 \cdots0.007$ (зависит от вида ядерного топлива и типа реактора), и поэтому величина воздействия по реактивности, превышающая $\beta_{эфф}$ делает реактор критическим (точнее надкритическим) на мгновенных нейтронах, что недопустимо из соображений ядерной безопасности, т.к. таким реактором управлять практически невозможно. Это особенно наглядно видно из системы уравнений 3.11.10 (линеаризованной):

Если сумма 1-го и 3-го слагаемых 1-го уравнения отрицательна, то «разгон» реактора идет за счет 2-го слагаемого, для которого характерные времена определяются из 2-го уравнения системы. Характерное время $\approx1/ \lambda \approx 10$ сек.

Если $\rho(t) > \beta$ , то разгон будет определяться, в основном, 3-им слагаемым в 1-ом уравнении, следовательно характерная постоянная времени $\approx l$ , т. е. порядка 10^-3 сек (и меньше), а это в условиях реального реактора практически мгновенно, т.е. означает взрыв!

Поэтому рассмотрим реакцию не на единичное ступенчатое воздействие, а на ступенчатое воздействие:

$\rho(t)= \rho^*\cdot 1(t), \ \ где \ \ \ \rho^*<<\beta_{эфф}$

Рисунок 3.11.4 Передаточнгая функция и ступенчатое воздействие

Примем, что $n(t)\equiv h^*(t)$ где h^*(t) - реакция на мгновенный «скачок» реактивности.

$h^*(t)=L^{-1}[R(s)\cdot W(s)]=L^{-1}\left[\frac{(s+\lambda)\cdot \rho^*}{s\cdot(l\cdot s+\beta)}\right]=\frac{\rho^*}{l}\cdot L^{-1}\left[\frac{s+\lambda}{\underbrace{s^2\cdot(s+\frac{\beta}{l})}_{H^*(s)}}\right]$

Найдем оригинал изображения H^*(s) разложением изображения на элементарные дроби:

$H^*(s) =\frac{s+\lambda}{s^2\cdot(s+\frac{\beta}{l})};$

Корни знаменателя : $s_1=s_2=0; s_3=-\frac{\beta}{l}$ .

$H^*(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s+\frac{\beta}{l}}=\frac{s+\lambda}{s^2\cdot(s+\frac{\beta}{l})}$ $H^*(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s+\frac{\beta}{l}}=\frac{s+\lambda}{s^2\cdot(s+\frac{\beta}{l})}\Rightarrow$ $\Rightarrow A\cdot s\cdot(s+\frac{\beta}{l})+B\cdot (s+\frac{\beta}{l})+C \cdot s^2=s+\lambda \Rightarrow$ $\Rightarrow A\cdot s^2+C\cdot s^2+ A\cdot\frac{\beta}{l}\cdot s+B\cdot s\cdot+B \cdot \frac{\beta}{l}=s+\lambda$

Приравниывя коэффициенты многочленов с соответсвующими степнями s получаем систему уравнений:

$\left \{\begin{align}A+C&=0\\A\cdot\frac{\beta}{l}+B&=1\\\frac{\beta\cdot B} {l}&=\lambda \end{align} \right.$

Из 3-го уравнения $B=\frac{\lambda\cdot l}{\beta}$

подставляя во 2-е уравнение получаем:

$А= \frac{l}{\beta}\cdot\left [1 - \frac{\lambda\cdot l}{\beta} \right]=\frac{l\cdot(\beta-\lambda\cdot l)}{\beta^2}\approx\frac{l}{\beta};$

из 3-го уравнения получаем:

$C=- \frac{l}{\beta}\cdot\left [1 - \frac{\lambda\cdot l}{\beta} \right]=-\frac{l\cdot(\beta-\lambda\cdot l)}{\beta^2}\approx-\frac{l}{\beta};$

Используя таблицу основных преобразования Лапласа получим оригинал изображания для H^*(s) и подставим формулу для h^*(t)

$h^*(t)=\frac{\rho^*}{l}\cdot\left[A\cdot 1(t)+B\cdot t+C\cdot e^{-\frac{\beta}{l}\cdot t} \cdot 1(t)\right]$

Подставляя значения А,В,С, при t > 0 получаем выражение для переходной функции:

$h^*(t)=\frac{\rho^*}{\beta}\cdot \left(\lambda\cdot t+\frac{\beta-\lambda\cdot l}{\beta}\cdot\left[1-e^{-\frac{\beta}{l}\cdot t}\right]\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.14)}$

или учитывая что $\beta>> \lambda\cdot l$

$h^*(t)\approx \frac{\rho^*}{\beta}\cdot\left(\lambda\cdot t+\left[1-e^{-\frac{\beta}{l}\cdot t}\right]\right)$

Рисунок 3.11.5 Переходная функция ядреного реактора

Весовая функция получается путем диференцирования перходной функции:

$w^*(t)=\frac{dh^*(t)}{dt}$ $w^*(t)=\frac{\rho^*}{\beta}\cdot\left[\lambda+\frac{\beta-\overbrace{\lambda\cdot l}^{\approx0}}{l}\cdot e^{-\frac{\beta}{l}\cdot t}\right]\approx\frac{\rho^*}{\beta}\cdot\left[\lambda+\frac{\beta}{l}\cdot e^{-\frac{\beta}{l}\cdot t}\right]$

при $t\rightarrow 0_+$

$w^*(t_{\rightarrow 0_+})=\frac{\rho*}{\beta}\cdot\left[ \underbrace{\lambda}_{\approx 0}+\frac{\beta}{l}\right]\approx\frac{\rho^*}{l};$

при $t\rightarrow \infty$

$w^*(t_{\rightarrow \infty})=\frac{\rho^*}{\beta}\cdot \lambda;$

Рисунок 3.11.6 Весовая функция ядреного реактора

Для сопоставления переходных процессов в ядерных реакторах при различных временах жизни мгновенных нейтронов при целесообразно привести уравнения кинетики к новому виду:

введем безразмерное время $\tau = \frac{t}{l}$ и, таким образом исследовать поведение в поколениях мгновенных нейтронов;

безразмерное возмущение по реактивности $\tilde{\rho}(t)=\frac{\rho(t)}{\beta_{эфф}}$ ;

тогда уравнения кинетики имеют следующий вид:

$\left \{\begin{align} \frac{d\tilde{n}(\tau)}{dt}&=-\frac{\beta}{l}\cdot \tilde{n}(\tau)+\frac{\beta}{l}\cdot\tilde{c}(\tau)+\frac{1}{l}\cdot \tilde{\rho}(\tau)\\ \frac{d\tilde{c}(\tau)}{dt} &=\lambda\cdot l\cdot [ \tilde{n}(\tau)- \tilde{ c}(\tau)] \end{align} \right.$

АФЧХ кинетики точечного реактора нулевой мощности

$W_r(i\omega)=W_r(s)|_{s=i\omega}=\frac{i\cdot\omega+\lambda}{i\cdot\omega\cdot(l\cdot i\cdot \omega+\beta)}=\frac{i\cdot\omega+\lambda}{\omega\cdot(-\omega\cdot l+i\cdot \beta)}=$ $=\frac{(i\cdot \omega+\lambda)(-\omega\cdot \lambda-i\cdot \beta)}{\omega\cdot(\omega^2\cdot l^2+\beta^2)}=\frac{(-l\cdot \lambda\cdot \omega+\omega\cdot \beta)-i \cdot(\omega^2\cdot l+\lambda\cdot \beta)}{\omega\cdot(\omega^2\cdot l^2+\beta^2)}\Rightarrow$ $\left \{\begin{align} U(\omega)&=\frac{\beta-\lambda\cdot l }{\beta^2+\omega^2\cdot l^2}\\ V(\omega) &=-\frac{\omega^2\cdot l+\lambda\cdot \beta}{\omega\cdot(\beta^2+\omega^2\cdot l^2)} \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.15)}$ $A(\omega)=\frac{\sqrt{\lambda^2+\omega^2}}{\omega\cdot\sqrt{\beta^2+l^2\cdot \omega^2}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.11.16)}$

Значение $U(\omega)$ обычно положительное для ядер распотраненного топлива $U^{235},Pu^{239},U^{233}$ значения приблизительно следующие:

Доля запаздвающих нейтронов во втором поколении $\beta\approx0,005;$
Постоянная распада ядер предшественников $\lambda \approx 10^{-1}$ ;
Время жизни мгновенных нетронов $l\approx10^{-3}$ .

Соответвенно $\beta>>\lambda\cdot l$

$\omega \rightarrow 0\Rightarrow\left \{\begin{align}U(\omega)&\rightarrow \approx\frac{1}{\beta}\\V(\omega)&\rightarrow-\infty \end{align} \right.$ $\omega \rightarrow \infty\Rightarrow\left \{\begin{align}U(\omega)&\rightarrow 0\\V(\omega)&\rightarrow0 \end{align} \right.$

Рисунок 3.11.17 АФЧХ кинетики реактора нулевой мощности

Рассмотрим зависимость АФЧХ при различных значениях $\omega$

Если $\omega << \lambda \Rightarrow A(\omega)=\frac{\lambda}{\omega \cdot \beta}$ - идеальное интегрирующее звено:

$W_p(s)\approx\frac{\lambda}{s\cdot \beta}=\frac{\lambda}{\beta}\cdot \frac{1}{s}$

Если $\omega >>\lambda$ , но $\omega <<\frac{\beta}{l} \Rightarrow A(\omega)\approx\frac{\omega}{\omega \cdot \beta}\approx\frac{1}{\beta}$ - идеальное усилительное звено:

$W_р(s)\approx\frac {1}{\beta}$

Если $\omega>\frac{\beta}{l}\Rightarrow A(\omega)\approx \frac{1}{\sqrt{\beta^2+l^2\cdot \omega^2}}=\frac{\frac{1}{\beta}}{\sqrt{1+\left(\frac{l}{\beta}\right)^2\cdot\omega^2}}$

- апериодическое звено 1-го порядка:

$W_p(s) \approx\frac{\frac{1}{\beta}}{\frac{l}{\beta}\cdot s+1} =\frac{1/\beta}{T\cdot s+1} \ \ \ \ где \ \ \ \ T= \frac{l}{\beta}$

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ):

$Lm(\omega)=20 \cdot lg(A(\omega))=20 \cdot lg \frac{\sqrt{\lambda^2+\omega^2}}{\omega}-20 \cdot lg\sqrt{\beta^2+l^2\cdot \omega^2}$

Пример модели реактора

Для демонстрации работы модели реактора в виде передаточной функции создадим модель и сравним ее с более «продвинутой» моделью «точечная кинетика» из стандартной библиотеки блоков.

Расчетная схема модели сравнения представлена на рисунке 3.11.19

Рисунок 3.11.19 Схема сравнения двух моделей реактора.

Рассмотрим воздействие на модель скачка реактивности, в виде ступеньки на 1 секунде расчета. Результаты работы блоков выведем на один график, а также построим АФЧХ для каждого из блоков.

Для параметров модели стандартного блока возьмем значения по умолчанию. Параметры «по умолчанию» подразумевают 6-групповое приближение для запаздывающих нейтронов. Дело в том, что в реальном процессе деления образуется целый спектр изотопов (ядер-осколков, каждый из которых имеет свою постоянную распада). В стандартном блоке весь спектр осколков делится на группы, в каждой из которых принимается средняя по группе постоянная распада.

Таким образом, рассмотренную в лекции модель можно назвать 1-о групповой моделью для запаздывающих нейтронов, а эталонная модель является 6-и групповой.

Свойства «эталонного блока» представлены на рисунке 3.11.20.

Рисунок 3.11.20 Свойства «стандартного блока» кинетики реактора.

Чтобы получить сопоставимую модель, проведем осреднение постоянных распада по группам в главном программном скрипте проекта. В этом же скрипте зададим параметры входного воздействия – скачок реактивности – $d\rho$ величиной 0.01 от $\beta_{эфф}$ (см. рис. 3.11.21)

Рисунок 3.11.21 Настройка коэффициентов в гланом скрипте проекта.

Рассчитанные значения и заданные константами параметры модели подставляем в блок «Передаточной функции общего вида», который и станет модель точечного реактора, передаточная функция которого выведена в лекции.

Рисунок 3.11.22 Настройка блока передаточной функции общего вида.

Сравним Годограф и ЛАХ для двух звеньев (см. рис. 3.11.23). Видно, что графики похожи по форме, но все-таки не полностью идентичны. Что не удивительно, поскольку модели разные, хотя и описывают один и тот же процесс.

Рисунок 3.11.23 Графики годографа и ЛАХ для модели реактора в 1-о групповом и в 6 групповом приближениях.

Посмотрим насколько отличаются модели по приходному процессу.

В качестве численного эксперимента подадим возмущения в размере 0.1 от $\beta_{эфф}$ . И выполним сравнение двух моделей на одном графике. (см. рис. 3.11.24)

Рисунок 3.11.24 Переходной процесс после скачка реактивности 0.1 от beta_эфф

Видно, что поведение моделей примерно совпадает в начальный момент до 3 секунд переходного процесса.

На данном графике видно, что несмотря на то, что цепная реакция деления идет с нарастанием, скорость увеличения мощности достаточно медленная, и система является управляемой. Увеличим величину скачка на 1 секунде до 0.5 от $\beta_{эфф}$ . Результат моделирования переходного процесса представлен на рисунке 3.11.25

Видно, что при таком скачке реактивности графики расходятся значительно раньше уже на 2 секунде расчета. И «эталонная модель» обеспечивает большую скорость разгона.

Рисунок 3.11.25 Переходной процесс при возмущении реактивности равной 1 beta_эфф.

Для демонстрации превращения реактора в бомбу введем скачок реактивности равный 1 от $\beta_{эфф}$ .

Результат представлен на рисунке 3.11.26 Для «эталонной» модели рост мощности на 15 секунде в 75 миллионов раз. Наглядная демонстрации превращения реактора в бомбу. При этом если увеличить масштаб (см. рис. 3.11.27), видно, что даже в случае бомбы, наша простая модель при скачке реактивности ведет себя похоже на "эталонную модель" до 0.1 секунды после скачка.

Рисунок 3.11.26 Переходной процесс при возмущении реактивности равной 1 beta_эфф.

Рисунок 3.11.27 Первая часть разгона реактора при внесенной реактивность равной 1 beta_эфф.

Модель для самостоятельного изучения можно взять здесь.

Более подробный разбор точечной модели ядерного реактора в виде лабораторной работы МГТУ им. Н.Э. Баумана можно посмотреть здесь.

Предыдущие лекции:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ.
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка.
3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено.
3.7. Форсирующее звено. 3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром).
3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья.

3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности +4

Пример модели реактора

Комментарии (2)

Valle

petuhoff Автор