С Новым годом, Хабр!
Недавно я задался вопросом из названия, точнее говоря, вопросом о том, как может выглядеть математика без правила x ∗ 0 = 0 и в каких условиях «альтернативная» математика будет иметь право на существование.
И вот в преддверии нового года у меня возникло желание поделиться результатом своих размышлений/фантазий (я не встретил статей на эту тему, поэтому было бы интересно почитать ваши комментарии про то как могла бы выглядеть царица наук в других мирах).
На гипотетической планете с необычными для нас условиями мироздания можно представить математическую систему, где умножение на ноль не всегда даёт ноль. Назовём эту планету, Нуландия, где действуют свои законы математики и физики, отражающие уникальную структуру мира.
Мы посмотрим, какие у этого могут быть причины, предположим, как будут выглядеть основополагающие законы математики в таком мире, а в конце приведем один день из жизни обывателя такой планеты, а также попробуем представить отмечают ли на этой планете Новый год.
// Ну, а так как на праздник, как известно, желательно приходить с подарком, я решил так же поделиться с вами промокодом небольшим квизом, который сделал для друзей на Новый год [в первом закрепленном комментарии]. //
В нашем обыденном мире умножение на ноль всегда даёт ноль. Это аксиома классической математики, из которой вытекают многие фундаментальные закономерности. Однако в Нуландии, гипотетической планете с необычными физическими законами, «умножение на ноль» не столько арифметическая операция, сколько системное преобразование, основанное на особой философии «контекстной математики». Здесь «ноль» — это целое семейство операторов, каждый из которых (обозначаемый 0α,0β,0γ и т. д.) способен трансформировать объекты самым разным образом в зависимости от текущей среды и дополнительных условий.
Основная идея «контекстной» арифметики:
Ключевая формула:
0α ∗ x = fα(x)
0α — «нулевой оператор» (а не привычное число), x — произвольный объект или величина, а fα(x) — функция преобразования, зависящая от контекста α.
Контекст
Любая операция (сложение, умножение, деление) в Нуландии сопровождается индексом, указывающим на условия выполнения. Так, выражение 3α+5α=8α действительно только в контексте α. В контексте β результат может оказаться иным, скажем, 3β+5β=6β, если правило «сложения» в тех условиях иное.
Так же в зависимости от контекста сама формула может меняться, возьмем для примера E = mc2.
Контекст α:
Eα = mα ∗ (cα)2
Формула остается такой же, но с применением оператора.
Контекст β:
Eβ = mβ ∗ (cβ)2.3 ∗ κβ
В другом контексте, например, при фазе β, формула может иметь иной показатель или добавочные факторы: κβ — дополнительная постоянная, действующая только в контексте β (например, учёт особых условий пространства).
Таким образом мы получаем математику в которой нет аксиомы: умножение на ноль всегда дает ноль.
Причины
В привычной нам математике все объекты подразумеваются статичными, и это отражает реальный мир, где формы объектов и законы физики в целом стабильны (меняются медленно в масштабах жизни человека). Например, дом высотой 10 метров через 50 лет осядет и будет высотой 9 метров, а через 100 лет обрушится и станет высотой 2 метра, уже не будучи домом в привычном нам понимании.
То есть процессы происходят медленно и относительно предсказуемо, и в таких временных промежутках классическая математика полностью выполняет свои задачи. Условно наш мир — это кадр 99, и только через 100 лет наступит кадр 100.
Но если мир, в котором мы живём, меняется по менее линейным и предсказуемым траекториям, а также в более быстрых временных отрезках, то нам потребуется иная математическая система.
Например, Мистер Стивенсон имеет форму шара и высоту 120 сантиметров, но, поскольку Луна входит в 3-ю фазу, а мимо пролетает 16 метеоров, Мистер Стивенсон приобретает форму треугольника с высотой 162 сантиметра. Если такие изменения происходят относительно регулярно, например два или двадцать два раза за привычный в нашем понимании день, то классическая математика уже не будет отражать реальные задачи из этого мира.
При этом, если отсутствует контекстная предсказуемость и логические закономерности в событиях (функция random), то и математика как таковая не будет иметь смысла. Значит, возможное существование такой системы обусловлено предсказуемым, но меняющимся контекстом. Вероятно, математики древности в подобном мире изначально выявили закономерности такого рода, а потом пришли к контекстной математике.
Преподавание в школах тогда выглядело бы так: ученик рисует на доске фигуру (круг), и его задача — чтобы в следующей фазе она превратилась в треугольник. Если это действительно так происходит, значит, он нарисовал её правильно и понимает закономерности мира. Разумные жители этого мира, вероятно, обладали бы гораздо более развитым интеллектом, чем у нас, поскольку с детства им пришлось бы искать закономерности и предсказывать результаты.
Человек, очевидно, не смог бы долго находиться в таком мире, потому что наше тело не приспособлено к подобным изменениям. Но интересно, как бы чувствовал себя условный Мистер Стивенсон, окажись он на планете Земля. Было бы это похоже на условное чувство моряка после длительного пребывания в море (когда тяжело стоять на ровной поверхности) или последствия были бы более плачевными — вплоть до безумия и отказа внутренних органов (или их аналогов).
Однако, если бы акклиматизация прошла успешно, он, вероятно, преуспел бы в любой сфере деятельности — от частного детектива до проектировщика космических ракет, — и вполне возможно, считался бы умнейшим существом на Земле.
Один день из жизни
М-р Стивенсон просыпается не по будильнику, а по-особому «временному сигналу», который представляет собой локальное изменение условий пространства вокруг его дома.
М-р Стивенсон готовит завтрак, используя кухонный прибор, напоминающий наш блендер, но действующий нелинейно. В него закладываются ингредиенты: овощи, зёрна, фрукты. При выборе «режима измельчения» машина не просто перемалывает всё в пюре, а применяет контекстный фактор. Допустим, м-р Стивенсон хочет получить более питательное блюдо: тогда при умножении всего набора продуктов на нулевой фактор можно добиться преобразования химической структуры так, что конечное блюдо обретёт новые питательные вещества из «потенциала» ингредиентов. Вместо линейной арифметики «100 г этого + 50 г того» м-р Стивенсон получает сложный функциональный результат: вкус и состав завтрака зависят не от простого суммирования, а от выбранной «нулевой операции».
Для перемещения м-р Стивенсон использует общественный транспорт, который в этом мире напоминает гибрид между поездом и многомерным судном. Направление и скорость зависят от локальной геометрии пространства, а та, в свою очередь, — от контекстных преобразований городского ландшафта. Городские улицы не прямы и не постоянны: они могут менять свою топологию. Сегодня утром, чтобы попасть на работу, м-ру Стивенсону нужно сесть на вагон-перевертыш, в какой-то момент улица под вагоном перестаёт быть прямой и становится лентой Мёбиуса, ведущей в нужный деловой квартал. Пассажиры видят вокруг необычные оптические эффекты: искажения света при изменяющихся константах заставляют здания казаться полупрозрачными, а пространства внутри них — многомерными.
М-р Стивенсон работает инженером-преобразователем структур. Его задача — проектировать устройства, использующие «нулевые факторы» для изменения свойств материалов. Сегодня ему поручено создать инструмент, который при применении нулевого множителя к куску руды преобразует её не в бессмысленный порошок, а в устойчивый к изменению локальных констант сплав. Такой сплав необходим для постройки каркаса нового здания, которое не должно разрушаться при скачках гравитации или изменениях квантового масштаба.
М-р Стивенсон обращается к сложным математическим схемам. В этих схемах нет привычной линейной алгебры. В таблицах и графах он учитывает контекст: если применить «контекстный элемент» типа 0α, то руда может превратиться в материал с упорядоченными макромолекулами. Применив же 0β, структура станет пористой и нестабильной. Инженер должен найти такой контекст применения «нуля», при котором результат будет оптимальным. Его вычислительная машина не оперирует арифметическими числами в привычном смысле, а проводит контекстные преобразования, подбирая нужную функцию φα(x).
Разговор с коллегами о последних изменениях в «фундаментальных константах» города напоминает обсуждение погоды. Сегодня, к примеру, «локальная световая постоянная» поднялась, и теперь можно смотреть на дальние объекты без искажений. Коллеги говорят, что к вечеру эта постоянная может снова нестабильно колебаться, поэтому стоит поспешить завершить все дела до резких изменений.
После работы м-р Стивенсон возвращается тем же путём, но дорога домой выглядит иначе. Однако поездка не вызывает удивления, потому что жители давно привыкли к таким трансформациям. Вечер м-р Стивенсон проводит, читая «книгу-перевертыш», у которой страницы меняют словесные конструкции, порождая новые смыслы. В результате чтение — не повторение одного и того же текста, а каждый раз новое впечатление.
Новый год
Вместо календарной даты Новый год определяется наступлением определённого состояния временной среды. Например, когда локальные константы достигают некоего стабильного значения — скажем, скорость локального «солнечного луча» (аналог дневного света) становится максимально устойчивой, а гравитация и энергетические параметры почти не меняются в течение нескольких местных «дней». Это «окно стабильности» — редкое событие, которое наступает через неравномерные интервалы.
При этом не требуется наряжать дом новогодними украшениями, так как это уже заложено в функционал вещей. Наступление «окна стабильности» можно заметить по изменению интерьера дома: этот момент одновременно означает начало празднования.
Заключение
Мир Нуландии — это не просто «антиутопия хаоса», а упорядоченная, хотя и очень гибкая реальность, в которой вполне могла бы использоваться «контекстная» математика, существенно отличающаяся от нашей.
На мой взгляд из небольшого вопроса появился довольно интересный сеттинг, который можно было бы использовать для создания компьютерной или настольной игры.
P. S.
Мне нравится один отрывок у Стругацких, думаю он хорошо подойдет, чтобы закончить эту статью.
"Я верю во все, что могу себе представить, Петер. В волшебников, в Господа Бога, в дьявола, в привидения… в летающие тарелки… Раз человеческий мозг может все это вообразить, значит, все это где-то существует, иначе зачем бы мозгу такая способность? " - Дело об убийстве, или отель "У погибшего альпиниста"