Everything must be made as simple as possible. But not simpler.

Как запомнить свойства логарифмов, легко запомнить все эти хитрые формулы. Практика подсказывает, для этого нужно понять что они значат, на каких принципах они работают. Если угодно, нужно привязать им логику, удобную для восприятия образного человеческого мышления.

Математическая логика (на которой основана вся математика и которой пользуются все учебники, описывая математические понятия) состоит из аксиом, доказательств, следствий и т.п. Признаем, вся эта логика не выражает общей картины рассматриваемого понятия, не дает вида с высоты на это понятия, не раскрывает его "инженерных", прикладных свойств.

Предлагаю на обзор дешифрованный из математических аксиом вариант толкования логарифмов.

Замечу, все выводы покажутся очень уж простыми, очевидными и лежащими на поверхности. Но!... Я нигде такого не встречал и поэтому оставлю это здесь.

Начнем с официального определения, (аксиоматического). Добавим только осмысленные названия переменным (система обозначений очень важна, облегчает восприятие!), акцентируем цвета.

Определение. Логарифмом числа n (number) по основанию b (base) называется показатель степени (экспонента, exp), в которую нужно возвести b, чтобы получить число n.

Логарифм записывается в виде

Читается как «логарифм числа n по основанию b».

Мнемоника. О системе обозначений, почему такая форма записи?

Логарифм это по сути функция от двух переменных. Ее можно записать как log(b, n) = exp или в более общем виде log(x1, x2) = y. Но конкретное значение одного аргумента функции (допустим x1), фиксируется и записывается индекса, получается функция от одного переменного. Т.е.,

Это в общем-то стандартная практика в системе обозначений в высших разделах математики.

Что важного можно выделить из определения логарифма?

Логарифм - это функция! Значение этой функции - степень. И так, Логарифм - это степень, обычная степень. Как неожиданно! Но для чего такая сложность? В рамках понятия логарифма, сама операция возведение в степень рассматривается в более общем смысле - как преобразование числа.

И так, Логарифм - преобразует число. Метод преобразования (как сделать это преобразование) - возведение в степень.

Причем, всё это форма записи логарифма описывает очень даже наглядно. В самой форме его записи сквозит мнемоника, которая обо всем и говорит (и почему я не замечал ее в школе @$**&$@%$*&@%$*%$ ??!?!).

Смотрим. В индексе написано - какое число преобразовывается( b - base, основание), стрелка указывает в какое число происходит преобразование (в число n, number).

А значение логарифма - "exp", это метод которым происходит преобразование числа b в n.

И так. Когда видим логарифм, мысленно рисуем стрелочку. Число b преобразуется в число n. Каким способом происходит преобразование? Возведением числа b в степень exp.

Немножко магии. Можно применить к числу b логарифм, без промежуточных вычислений. Хитрость в том, что можно не подставлять непосредственно значение exp, а подставлять саму функцию, трактуя ее как - какое преобразование необходимо произвести, преобразовать b в n.

Основное тождество логарифмов

Последнее выражение называется основном тождеством логарифмов, которое наглядно описывает определение логарифмов.

Чтобы преобразовать число b в n, нужно применить логарифм из b в n.

Декларативное поведение логарифмов (для функциональных программистов)

В этом выражении, Слева - функция. Справа - значение (просто степень).

Левая часть говорит - что нужно сделать (преобразовать число b в n). Правая часть говорит - как это сделать (нужно возвести число b в конкретную степень, exp). Привет, λ. При этом обе эти части по отдельности выполняют каждая свою роль в понятии логарифма.

Прямые и Обратные преобразования

В этом пункте введу абстракции - концепцию прямых и обратных преобразований в логарифмах.

И так из предыдущего пункта, логарифмы отображают факт преобразования числа путем возведения в степень.

Назовем эту форму записи прямым преобразованием. В ней основание логарифма (b, base) преобразуется в число (n, number).

Введем концепцию обратных преобразований, основываясь на следующих рассуждениях.

Как интерпретировать логарифм под единицей? Понимание этой структуры (еще один кирпичик в здании математики) откроет легкую дорогу к другим более сложным концепциям логарифмов:

Будем действовать на сопоставлениях с конкретными числами. Возьмём число 2 и степень 3. 2 в 3 степени - 8. Дополним этот пример логарифмами:

А теперь преобразуем 8 обратно в 2 извлекая корень (обратная операция по отношению к "возведению в степень"), что эквивалентно возведению в степень 1/3:

Сопоставляя это, выражение "логарифм под единицей" выполняет обратное преобразование, из number в base, при применении его к числу :

Чтобы преобразовать 8 в 2 методом "возведения в степень", нужно возвести 8ку в степень 1/3. А теперь выразим это на языке логарифмов:

Если проанализировать, вникнуть в цепочку преобразования, становится ясно как интерпретировать выражение единица "деленная на логарифм под единицей". Это выражение извлекает корень или делает обратные преобразования из числа n в основание b:

Сформулируем основное логарифмическое тождество для обратных преобразований:

Композиция Логарифмов, последовательность преобразований.

Раскроем тему, как интерпретировать произведение логарифмов между собой, умножить логарифм на логарифм.

Если рассматривать логарифм, как преобразование чисел, то можно развить эту идею в направлении композиции преобразований, их объединении в одно преобразование.

Композиция логарифмов

Т.е. не нужно последовательно преобразовать число b в n, затем в m. Можно преобразовать одним действием, b в m.

Оператором "композиции" тут работает операция умножения. Такое ее поведение можно проследить из численных примеров с возведением в степень:

перация "умножения" в этом случае служит клеем, оно объединяет действие логарифмов. Осуществляет их композицию, т.е. выдает логарифм объединяющий действие нескольких логарифмов.

Тут, конечно, есть условие композиции. Вход и выход преобразований должны коррелировать между собой. Если прослеживается цепочка преобразований, то ее можно свернуть в одно преобразование:

Забавно, можно сделать и декомпозицию. Разбить преобразование на бесконечное множество промежуточных преобразований:

А теперь совместим прямое преобразование, обратное преобразование и композицию. Получим еще пару свойств, которые вы уже в состоянии понять и воспринимать как нечто само собой разумеющееся:

Смена основания логарифма. В чем логика формулы ?!

А теперь рассмотрим самую страшная формула логарифмов. Смена основания логарифмов. Страшнее логарифмов только его формула смена основания. В учебниках о ней пишут на последних страницах, выделяя для этого целую главу. Из далека она кажется действительно не понятной и сбивает с толку, вызывая неловкость в использовании.

Прежде всего, для чего прежде это нужно. Все логарифмы мы можем свести к логарифму с определенным основанием. Самые такие популярные логарифмы это логарифмы с 10 и числом е в основании. Для чего? Банально, эти функции есть в калькуляторе. И чтобы вычислить произвольный логарифм, нужно перевести его в натуральный или десятичный логарифмы.

Как это делается. Возьмем произвольный абстрактный логарифм и добавим в него промежуточное преобразование.

А теперь, применим концепцию обратных преобразовании и заменим левый множитель.

В этом случае "промежуточное" число выступает в качестве нового основания всей конструции.

Элегантно и просто!

Послесловие

В данной статье я рассмотрел не все свойства логарифмов, а только те из них которые связаны общей концепцией - концепцией преобразования.

Как вам такое толкование?!