Наверно, тучный лысеющий архитектор эпохи Ренессанса привлекал любопытные взгляды, пока устанавливал сложный прибор для рисования на краю площади. Он установил свой инструмент, состоящий мольберта, зеркала и системы проводов, рядом с незавершённым флорентийским собором, монументальный купол которого он скоро спроектирует.

Его звали Филиппо Брунеллески. Он использовал этот аппарат, чтобы нарисовать расположенный рядом с собором баптистерий. Если его биографы не ошибаются, для этого он применил законы перспективы, открытые им приблизительно в 1415-1420 годах. Использование законов перспективы, поразившее случайных прохожих, изменило курс развития западного искусства более чем на 450 лет. Позже оно привело к математическим открытиям, позволившим реализовать эллиптическую криптографию — схему защиты, лежащую в основе биткойна и других криптовалют; сейчас она становится всё более популярным способом шифрования и на других Интернет-платформах.

Но как искусство Ренессанса привело к математическим основам современной криптографии? Эта история растянулась на шесть веков и два континента, прикоснувшись к самой вечности. Персонажами её стали французский военнопленный и два математика, умершие на пике своего развития, один от болезни, другой — от пистолета дуэлянта.

Слияние перспективы и геометрии

Первыми шагами на пути, связавшем Брунеллески с биткойном, стало объединение визуальной геометрии в рамках законов перспективы с евклидовой геометрией —упорядоченным миром линий и точек, который мы изучали в школе.

Первый вклад в этот внёс французский математик Жерар Дезарг, исследовавший геометрию перспективы в 17-м веке. Однако его находки были изложены довольно запутанным языком и с трудом находили свою аудиторию. Основные его работы включили в книгу, напечатанную тиражом в 50 экземпляров, скромным даже по меркам той эпохи. Большая часть экземпляров в конечном итоге была выкуплена обратно издателем и уничтожена. Единственным горячим последователем работ Дезарга во время его жизни стал французский математик Блез Паскаль. Его теорема стала вкладом в исследование области, которую позже стали называть проективной геометрией.

Несмотря на запутанность работ Дезарга, он совершил революционный прорыв, внедрив в евклидову геометрию понятие точек и линий в бесконечности. Благодаря таким точкам проективную геометрию можно было объединить с евклидовой без потери целостности обеих систем.

В системе Дезарга каждая пара линий пересекается ровно в одной точке, в том числе и параллельные линии. Более того, параболы и гиперболы эквивалентны эллипсам, одна или две точки которых находятся в бесконечности.

Эти открытия, несмотря на свою ценность, оставались безвестными более ста лет. Возврат к ним был связан не с повторным обнаружением работ Дезарга, а с тем, что ещё один французский математик, Гаспар Монж, начал работать над теми же вопросами и пришёл к тем же результатам.

Математик на войне

Самая подробная работа по проективной геометрии той эпохи, однако, была выпущена в 19-м веке французским инженером и математиком Жаном-Виктором Понселе в достаточно сложных обстоятельствах.

Понселе учился в престижной парижской Политехнической школе и выпустился из неё в 1810 году. Затем он поступил в армейский инженерный корпус в чине лейтенанта и был отправлен на территорию современной Беларуси в рядах армии Наполеона, в 1812 году шедшей с войной на Россию. Вместе с французскими войсками он вошёл в сожжённую Москву в сентябре того же года, а когда русские отказались подписать перемирие после потери города, Понселе с армией Наполеона ушёл из Москвы и начал возвращение во Францию.

Понселе оставался во французской армии вплоть до сражения под Красным, где его отрезали от части, вероятно, сочтя мёртвым. После сражения он был захвачен российской армией и отправлен в Саратов, на более чем тысячу километров от Красного и более чем на три тысячи километров от его родного города Мец.

Хотя Понселе не отправили в тюрьму, согласно английскому переводу введения к его первой книге по проективной геометрии, ему было «отказано в книгах и удобствах». Чтобы преодолеть все эти сложности, он решил попробовать воссоздать всю математику, изученную им на тот момент. Однако ему не удалось исполнить свой план; по его словам, его «больше всего печалили злоключения моей страны и моя собственная судьба».

Вместо этого он решил продолжить работу Монжа и самостоятельно воссоздал работы Дезарга. Если задуматься, вероятно, нет ничего особо удивительного в том, что военнопленный в тысячах километров от дома, не уверенный, сможет ли он вообще вернуться на родину, сосредоточил свои усилия на анализе точек в бесконечности — расстоянии, которое в ситуации Понселе могло казаться вполне доступным для понимания.

После войны Понселе вернулся во Францию. Двухтомник его работ по проективной геометрии, опубликованный в 1822 году, был гораздо лучше воспринят и популярен, чем работы Дезарга.

Интегралы и кривые

Примерно в то же время, когда Понселе заканчивал свою книгу по проективной геометрии, норвежский математик Нильс Хенрик Абель изучал эллиптические интегралы. Эти интегралы — достаточно сложные выражения, созданные в рамках задачи измерения периметра эллипса. Абель обнаружил, что в определённых условиях можно использовать вместо эллиптических интегралов обратные им уравнения — эллиптические кривые. Оказалось, что с такими кривыми работать гораздо проще. Однако дальнейшие исследования эллиптических кривых продолжили другие учёные: в 1829 году Абель скончался от туберкулёза в возрасте 26 лет, спустя всего несколько месяцев после публикации его важной статьи.

В начале 1830-х французский математик Эварист Галуа заложил фундамент новой области математики. Галуа в своём упрямстве трагически был убит на дуэли в возрасте 20 лет, но до своей гибели он успел заложить основы теории групп, в которой следующие определённым правилам математические объекты и операции образуют группу.

Французу удалось связать проективную и евклидову геометрии, но в решении задачи соединения проективной геометрии с декартовой системой координат в итоге преуспел немецкий математик Август Мёбиус (придумавший знаменитую ленту Мёбиуса). Разработанная им система, в которой используются так называемые однородные координаты, играет важнейшую роль в эллиптической криптографии.

Спустя несколько десятков лет, в 1901 году, ещё один французский математик Анри Пуанкаре осознал, что точки с рациональными координатами, то есть точки, координаты которых можно представить как дроби на графике эллиптической кривой, составляют группу. Пуанкаре пришёл к выводу, что если определить операцию (обычно называемую сложением), для которой берутся две рациональные точки на графике кривой и результатом которой оказывается третья, то этот результат всегда будет ещё одной рациональной точкой на этой кривой. Этот процесс был возможен только при использовании открытых Мёбиусом однородных координат, включавших в себя точку в бесконечности. Важно было то, что группы эллиптических кривых оказались абелевыми, то есть порядок операций сложения в них не имел значения.

Такой оставалась ситуация до середины 1980-х, когда исследователь компании IBM Виктор Миллер и Нил Коблиц из Университета штата Вашингтон независимо друг от друга пришли к выводу, что на основе групп эллиптических кривых можно создать криптографическую систему с публичным и приватным ключом.

Ключи шифрования

Шифрование с публичным и приватным ключом, которым защищается сегодня почти весь трафик Интернета, использует два ключа шифрования. Первый ключ (приватный) не показывается никому; он безопасно хранится в устройстве отправителя. Второй ключ (публичный) составляется из приватного; этот ключ передаётся незащищённым образом, то есть его может перехватить и прочитать, кто угодно. Важно то, что для расшифровки отправленного сообщения требуются оба ключа.

При эллиптической криптографии каждая из сторон выбирает определённую кривую, после чего каждая выполняет случайное количество операций сложения, начинающихся с одной точки одинаковой кривой. Затем каждая из сторон передаёт другой число, соответствующее точке, к которой она пришли. Это публичные ключи. Другая сторона выполняет те же операции сложения, которые применяла в первый раз с новым полученным ею числом.

Так как группы эллиптических кривых коммутативны, то есть порядок, в котором выполнялось сложение, не важно, обе стороны придут к числу, соответствующему одной и той же точке на кривой, и это число будет использовано для шифрования и расшифровки данных.

Эллиптическая криптография пришла в мир криптографии достаточно поздно. Первый набор инструментов для неё был выпущен в 2004 году — слишком поздно, чтобы стать стандартом для веба, но достаточно рано для того, чтобы её освоили изобретатели биткойна, выпущенного в 2009 году.

Она имеет статус «де-факто» в мире криптовалют, поэтому всё больше людей осваивают и реализуют её, однако она всё равно сильно отстаёт по популярности от стандартного сегодня шифрования RSA.

Впрочем, эллиптическая криптография обладает уникальными преимуществами перед RSA: она обеспечивает более высокую защиту на бит и при этом она быстрее, чем RSA. Эллиптический криптографический ключ размером всего 256 битов приблизительно столь же надёжен, как и 3072-битный ключ RSA, и существенно более безопасен, чем распространённые сегодня 2048-битные ключи. Чем короче ключи, тем быстрее можно начинать рендеринг страниц веб-трафика и тем меньше процессорных мощностей требуется на стороне сервера. Принципы эллиптической криптографии применяются в проектах разработки криптографических систем, более стойких к квантовым вычислениям.

Если эта тенденция продолжится, то математика, лежавшая в основе обнаруженной шестьсот лет назад художниками Ренессанса точки схода, может оказаться в будущем фундаментальной частью шифрования в Интернете.