Программа Ленглендса вдохновляла и озадачивала математиков на протяжении более 50 лет. Значительное достижение открыло перед ними новые миры для исследования

В мире абстрактной математики потихоньку набирает обороты одна из самых громких историй в науке. В прошлом году исследователи осуществили свою давнюю мечту, представив доказательство геометрической гипотезы Ленглендса — ключевой части группы взаимосвязанных проблем, называемых программой Ленглендса. Доказательство — гигантская работа — подтверждает правильность запутанной и далеко идущей программы Ленглендса, которую часто называют теорией Великого объединения математики, но которая остаётся практически недоказанной. Однако истинное влияние этой работы может заключаться не в том, что она подтвердит, а в новых направлениях исследований, которые она открывает.

«Это огромный триумф. Но вместо того, чтобы закрыть дверь, это доказательство открывает дюжину других», — говорит Дэвид Бен-Цви из Техасского университета в Остине, который не принимал участия в работе.

Доказательство геометрической гипотезы Ленглендса долгое время считалось одной из самых глубоких и загадочных задач в современной математике. В итоге для того, чтобы решить эту задачу, потребовалась группа из девяти математиков и серия из пяти работ, занимающих почти 1 000 страниц. Группу возглавляли Деннис Гейтсгори из Математического института Макса Планка в Бонне (Германия) и Сэм Раскин из Йельского университета в Нью-Хейвене (штат Коннектикут), который в 2014 году защитил докторскую диссертацию вместе с Гейтсгори.

Масштаб их достижений был быстро признан математическим сообществом: в апреле Гейтсгори получил премию за прорыв в математике в размере 3 миллионов долларов США, а Раскин был удостоен премии New Horizons для перспективных начинающих математиков. Как и многие другие знаковые результаты в математике, доказательство обещает навести мосты между различными областями, позволяя использовать инструменты одной области для решения трудноразрешимых проблем в другой. В общем, для исследователей в этих областях наступило счастливое время.

«Это самое убедительное доказательство того, что то, во что мы верили десятилетиями, — правда, — говорит Бен-Цви. — Теперь мы наконец-то можем спросить: что это значит на самом деле?»

История дыры

Программа Ленглендса берёт своё начало 60 лет назад, с работы молодого канадского математика Роберта Ленглендса, который изложил своё видение в рукописном письме ведущему математику Андре Вейлю. На протяжении десятилетий программа привлекала всё большее внимание математиков, которые удивлялись её всеохватывающему характеру. Именно эта особенность побудила Эдварда Френкеля из Калифорнийского университета в Беркли, который внёс ключевой вклад в геометрическую часть, назвать её теорией Великого объединения математики.

Целью Ленглендса было соединить две совершенно отдельные отрасли математики: теорию чисел (изучающую целые числа) и гармонический анализ (изучение того, как сложные сигналы или функции распадаются на простые волны). Особым случаем программы Ленглендса является опубликованное Эндрю Уайлсом в 1995 году эпическое доказательство Великой теоремы Ферма о том, что никакие три положительных целых числа a, b и c не удовлетворяют уравнению aⁿ + bⁿ = cⁿ, если n — целое число больше 2.

Геометрическая гипотеза Ленглендса была впервые разработана в 1980-х годах Владимиром Дринфельдом, работавшим тогда в Институте физики и техники низких температур имени Б. Веркина в Харькове, СССР. Как и первоначальная, или арифметическая, форма гипотезы Ленглендса, геометрическая гипотеза также имеет отношение к связи определённого рода: она предполагает соответствие между двумя различными наборами математических объектов. И если поля, связанные арифметической формой Ленглендса, представляют собой отдельные математические «миры», различия между двумя сторонами геометрической гипотезы Ленглендса не столь явные. Обе они касаются свойств римановых поверхностей, которые представляют собой «комплексные многообразия» — структуры с координатами, являющимися комплексными числами (с действительной и мнимой частями). Эти многообразия могут иметь форму сфер, пончиков или кренделей с двумя или более отверстиями.

Многие математики подозревают, что «близость» двух этих сторон означает, что доказательство геометрической гипотезы Ленглендса может в конечном итоге дать толчок для развития арифметической версии, в которой отношения более туманны. «Чтобы по-настоящему понять соответствие Ленглендса, мы должны осознать, что „два мира“ в нём не так уж и отличаются — скорее, это две грани одного и того же мира», — говорит Френкель. «Для того чтобы увидеть это единство, необходимо новое видение, новое понимание. Мы все ещё далеки от него в его первоначальной формулировке. Но тот факт, что для римановых поверхностей эти два мира как бы сливаются воедино, означает, что мы приближаемся к нахождению этого тайного единства, лежащего в основе всей программы», — добавляет он.

Одна сторона геометрической гипотезы Ленглендса касается характеристики, называемой фундаментальной группой. В базовых терминах фундаментальная группа римановой поверхности описывает все различные способы, которыми можно завязать вокруг неё петли. Например, в пончике петля может проходить горизонтально по внешнему краю или вертикально через отверстие и вокруг внешней стороны. Геометрическая теория Ленглендса имеет дело с «представлением» фундаментальной группы поверхности, которая выражает свойства группы в виде матриц (сетки чисел).

Другая сторона геометрической программы Ленглендса связана с особыми видами «пучков». Эти инструменты алгебраической геометрии представляют собой правила, которые присваивают «векторные пространства» (где векторы — стрелки — можно складывать и умножать) точкам на многообразии примерно так же, как функция, описывающая, скажем, гравитационное поле, может присваивать числа, характеризующие силу этого поля, точкам в стандартном трёхмерном пространстве.

Работа над мостом продолжается

Работа над преодолением этого разрыва началась ещё в 1990-х годах. Используя более ранние работы по алгебрам Кака-Муди, которые делают «переводы» с языка представлений на язык связок и обратно, Дринфельд и Александр Бейлинсон (оба сейчас работают в Чикагском университете, штат Иллинойс) описали, как создавать подходящие пучки, чтобы установить связь между областями. Их работа объёмом почти 400 страниц так и не была официально опубликована. В 2012 году Гайтсгори вместе с Димой Аринкиным из Университета Висконсин-Мэдисон уточнил это соотношение; затем, работая в одиночку, Гайтсгори представил пошаговое описание того, как можно доказать геометрическую формулу Ленглендса.

«Сама по себе гипотеза звучит довольно вычурно — и не только для посторонних, — говорит Бен-Цви. — Я думаю, что сейчас люди гораздо более взволнованы доказательством геометрической теории Ленглендса, чем десять лет назад, потому что мы лучше понимаем, почему это правильный вопрос, и почему он может быть полезен для теории чисел».

Одно из самых непосредственных последствий нового доказательства — это толчок к исследованию «локальных» версий различных гипотез Ленглендса, которые «увеличивают масштаб» конкретных объектов в «глобальных» настройках. Например, в случае геометрической программы Ленглендса локальная версия касается свойств объектов, связанных с дисками вокруг точек на римановой поверхности, а не всего многообразия, которое является областью «глобальной» версии.

Петер Шольце из Математического института Макса Планка сыграл важную роль в налаживании связей между местной и глобальной программами Ленглендса. Но поначалу даже он был обескуражен геометрической стороной.

«По правде говоря, — говорит Шольце, — примерно до 2014 года геометрическая программа Ленглендса казалась мне непостижимой». Всё изменилось, когда Лоран Фарг из Института математики Жюссье в Париже предложил переосмыслить локальные арифметические гипотезы Ленглендса в геометрических терминах. Работая вместе, Шольце и Фаргес потратили семь лет на то, чтобы показать, что эта стратегия может помочь добиться прогресса в доказательстве версии локальной арифметической гипотезы Ленглендса, касающейся p-адических чисел, которые включают в себя простые числа и их мощности. Они связали её с глобальной геометрической версией, которую позже доказала команда под руководством Гейтсгори и Раскина.

В работах Шольце и Фаргеса была создана «червоточина» между двумя областями, которая, по словам Шольце, позволяет импортировать методы и структуры из глобальной геометрической программы Ленглендса в локальный арифметический контекст. «Так что я очень рад этому доказательству, — говорит Шольце. — Я думаю, что это огромное достижение, и собираюсь разрабатывать его по частям».

Квантовая связь

По мнению некоторых исследователей, один из самых удивительных мостов, который навела геометрическая программа Ленглендса, — это мост в теоретическую физику. С 1970-х годов физики изучают квантовый аналог классической симметрии: если поменять местами электрическое и магнитное поля в уравнениях Максвелла, которые описывают взаимодействие двух полей, то уравнения остаются неизменными. Эта элегантная симметрия лежит в основе более широкой идеи в квантовой теории поля, известной как S-дуальность.

В 2007 году Эдвард Виттен из Института перспективных исследований (IAS) в Принстоне (Нью-Джерси) и Антон Капустин из Калифорнийского технологического института в Пасадене смогли показать, что S-дуальность в некоторых четырёхмерных калибровочных теориях — классе теорий, включающем стандартную модель физики частиц — обладает той же симметрией, которая проявляется в геометрическом соответствии Ленглендса. «Кажущиеся эзотерическими понятия геометрического Ленглендса, — пишет пара, — естественным образом вытекают из физики».

Хотя их теории включают гипотетические частицы, называемые суперпартнерами, которые никогда не наблюдались, их идея позволяет предположить, что геометрический Ленглендс — это не просто редкая идея чистой математики; напротив, его можно рассматривать как тень глубокой симметрии в квантовой физике. «Я считаю, что программа Ленглендса имеет аналог в квантовой теории поля, — говорит Виттен. — И я думаю, что в конечном итоге это может оказаться важным для математического развития программы Ленглендса».

Одним из первых, кто серьёзно отнёсся к этой возможности, был Минхён Ким, директор Международного центра математических наук в Эдинбурге, Великобритания. «Даже простые на первый взгляд проблемы в теории чисел — например Великая теорема Ферма — трудны, — говорит он. Один из способов продвинуться вперёд — использовать идеи из физики, как в работе Виттена и Капустина, в качестве своего рода метафоры для решения проблем теории чисел, таких как арифметическая гипотеза Ленглендса». Ким работает над тем, чтобы сделать эти метафоры более строгими. «Я беру различные конструкции из квантовой теории поля и пытаюсь придумать точные теоретико-числовые аналоги», — говорит он.

Бен-Цви вместе с Яннисом Сакелларидисом из Университета Джонса Хопкинса в Балтиморе, штат Мэриленд, и Акшаем Венкатешем из IAS аналогичным образом ищет вдохновения в теоретической физике, осуществляя масштабный проект, цель которого — переосмыслить всю программу Ленглендса с точки зрения калибровочной теории.

Виттен и Капустин изучали две калибровочные теории, связанные S-дуальностью, что означает, что, хотя с математической точки зрения они выглядят совершенно по-разному, теории являются эквивалентными описаниями реальности. Основываясь на этом, Бен-Цви и его коллеги изучают поведение заряженных материалов в каждой из теорий, переводя их дуальные описания в сеть взаимосвязанных математических предположений.

«Их работа действительно стимулировала множество исследований, особенно в мире теории чисел, — говорит Раскин. — Сейчас много людей работают в этой области».

Один из их самых поразительных результатов касается двусторонней связи между совершенно разными математическими объектами, называемыми периодами и L-функциями. (Гипотеза Римана, считающаяся, возможно, самой важной нерешённой проблемой в математике, сосредоточена на поведении одного из видов L-функций). Периоды являются частью гармонического анализа, в то время как L-функции относятся к области теории чисел — это две стороны первоначальных гипотез Ленглендса. Однако через призму физики Бен-Цви и его коллеги показали, что связь между периодами и L-функциями также отражает связь двух областей, описываемых геометрической программой.

В поисках глубокой истины

Многие математики уверены, что доказательство геометрической гипотезы устоит, но на рецензирование статей, в которых оно изложено и которые уже поданы в журналы, уйдут годы. Однако Гейтсгори уже продвигается вперёд по нескольким направлениям.

Например, существующее доказательство касается «неразветвлённого» случая, когда рельеф вокруг точек на римановой поверхности «ведёт себя» хорошо. Теперь Гейтсгори и его коллеги надеются распространить свои результаты на более сложный, разветвлённый случай, учитывая более сложное поведение вокруг точек, а также сингулярности или «проколы» на поверхности.

Для этого они расширяют свою работу до локальной геометрической гипотезы Ленглендса, чтобы лучше разобраться в том, что происходит вокруг точек, и сотрудничают, в частности, с Джессикой Финтцен из Боннского университета.

«Этот результат открывает двери для совершенно нового спектра исследований — и именно здесь наши интересы начинают сходиться, хотя мы и принадлежим к совершенно разным мирам, — говорит она. — Теперь они хотят обобщить доказательство, и это то, что заводит меня всё ближе к геометрический теории Ленглендса. Получается, что нахождение доказательства — это не конец истории, а лишь начало».

Финтцен изучает представления p-адических групп — групп матриц, в которых записи являются p-адическими числами. Она строит матрицы в явном виде — по сути, выводит рецепт их записи, — и это, похоже, та локальная информация, которая должна быть включена в глобальный геометрический случай, чтобы развить его, говорит Гейтсгори.

То, что начиналось как набор глубоких гипотез, связывающих абстрактные ветви математики, превратилось в процветающую междисциплинарную работу, простирающуюся от основ теории чисел до краёв квантовой физики. Возможно, соответствие Ленглендса ещё не стало великой единой теорией математики, но доказательство его геометрической ветви — это важное звено, связывающее несколько идей, которые, вероятно, будут формировать развитие этой области ещё долгие годы.

«Соответствие Ленглендса указывает на гораздо более глубокие структуры в математике, о которых мы пока только догадываемся, — говорит Френкель. — Мы не очень понимаем, что это такое. Они пока ещё скрыты за завесой тайны».