Давайте начистоту. Для большинства из нас первая встреча с математическим анализом была интеллектуальной травмой. Туман из эпсилонов и дельт, теоремы, падающие с потолка, и тоскливое чувство самозванца, который вот-вот будет разоблачен.

Я здесь, чтобы сказать вам: дело было не в вас.

Проблема не в том, что вы «гуманитарий». Проблема в том, что вам преподавали не математику. Вам показывали вскрытие: препарирование живой, интуитивной идеи до тех пор, пока от нее не оставался лишь скелет формальных определений.

Моя предыдущая статья, где я впервые озвучил этот тезис, стала хитом. Судя по множеству сообщений в личке, эта боль знакома слишком многим. И почти в каждом была просьба:

«Напиши учебник. Тот самый, который мы заслужили».

Что ж, это он. Глава первая. Забудьте всё, что вы знали. Мы начинаем с нуля.

Мы отправимся в путешествие к самым основам человеческого мышления. Мы увидим, как драма, начавшаяся 2500 лет назад с простого вопроса о летящей стреле, породила всю современную науку — от физики до нейросетей.

Пристегнитесь. Мы погружаемся.

Предварительный план всей книги.

Скрытый текст

Глава 0. Вводная.

Раздел 1. Анализ одной переменной.

Глава 1. Вещественные числа.

Глава 2. Последовательности.

Глава 3. Числовые ряды.

Глава 4. Непрерывность.

Глава 5. Дифференцируемость.

Глава 6. Исследование функций.

Глава 7. Интегрируемость.

Глава 8. Функциональные ряды.

Раздел 2. Анализ многих переменных.

Глава 1. Топология пространства

Глава 2. Предел и непрерывность в R^n

Глава 3. Дифференцируемость в R^n

Глава 4. Исследование функций многих переменных

Глава 5. Кратные интегралы и теория меры

Глава 6. Функциональные последовательности и ряды в R^n

Глава 7. Криволинейные и поверхностные интегралы

Глава 8. Дифференциальные формы

План главы 0: от интуиции к фундаменту

• § 0.0. Великий образовательный раскол: почему этот учебник — вызов

• § 0.1. Два способа смотреть на мир (Дискретное vs Непрерывное)

• § 0.2. Дилемма познания (Смещение vs Разброс)

• § 0.3. Первородный грех: Пифагорейская катастрофа

• § 0.4. Древний ужас: апории Зенона

• § 0.5. Медленная оттепель: от страха к инструменту

• § 0.6. Фаустовская сделка: рождение анализа

• § 0.7. Кризис обоснования: спор трех титанов

• § 0.8. Азбука кирпичного завода (Конструктивный vs Аксиоматический подход)

• § 0.9. Искусство «склейки»: отношения эквивалентности

• § 0.10. Генеральный план счета: аксиомы Пеано

• § 0.11. Проблема вычитания: строительство целых чисел

• § 0.12. Третий этаж: строительство рациональных чисел

• § 0.13. Иллюзия полноты и финальная катастрофа

• § 0.14. Путь вперед: что дальше?

§ 0.0. Образовательный раскол: почему этот учебник — вызов

Итак, мы заявили о миссии: построить мост от интуиции к строгости. Но прежде чем начать строительство, нужно понять: а почему этот мост до сих пор не стал частью глобальной системы образования? Почему проблема "понятного анализа" вообще существует?

Почему все существующие популярные объяснения анализа, такие, как, например, замечательный ютуб-канал 3Blue1Brown (по ссылке удобный путеводитель по этому каналу, со ссылками на множество видео), не разбирают концепции анализа глубоко?

Потому что в мире сложилось несколько фундаментально разных подходов к преподаванию, и российский занимает среди них уникальное, экстремальное место.

Подход №1: Американская модель — "долгое восхождение"

В подавляющем большинстве университетов США проблема "интеллектуальной травмы" решается просто: её избегают. Считается, что нельзя бросать неподготовленного студента в ледяную воду формализма. Поэтому выстроена многолетняя "буферная зона":

1. Сначала — интуиция (Calculus I, II, III): 1-2 года студенты, включая будущих математиков, "набивают руку" на вычислительных задачах.

2. Затем — язык (Introduction to Proofs): Отдельный курс, где их целенаправленно учат искусству доказательства.

3. И только потом — строгость (Real Analysis): На 3-м курсе элита (студенты-математики) допускается к настоящему, строгому анализу.

Этот подход разумен и безопасен, но долог. Даже в топовых вузах, где, казалось бы, должны царить строгость и хардкор, и доказательства в анализе могут давать со второго и порой даже первого курса, эта модель доминирует.

Взгляните на программу первого курса по анализу в UCL (Лондонский университетский колледж), одном из ведущих вузов мира, одном из немногих, где эпсилоны и дельта начинают давать прямо сразу с первого курса:

Год: 2025-2026. Код: MATH0003. Уровень: 4 (бакалавриат)
Основная группа студентов: Бакалавриат: 1-й курс, математические специальности
Объем: 15 кредитов (= 7.5 кредитов ECTS). Семестр: 1. Оценка:
Итоговая взвешенная оценка за модуль складывается из: 70% – экзамен, 15% – текущие задания (coursework), 10% – экзамен в середине семестра и 5% – текущие задания по курсу "Доказательства и основы". Для успешного прохождения модуля необходимо набрать не менее 40% как за экзамен, так и по итоговой взвешенной оценке.
Требования к абитуриентам: Оценка A* по экзаменам A-level по математике и углубленной математике.

Описание и цели курса

Начиная только с основных свойств действительных чисел, в курсе даются строгие доказательства ключевых результатов элементарного дифференциального исчисления. Рассматриваемые темы включают последовательности, ряды, непрерывность и дифференцируемость функций, а также свойства экспоненциальной функции.

Этот курс преследует две основные цели:

(a) Начать изучение анализа, которое будет продолжено в курсах MATH0004 и MATH0013. Математический анализ является одним из самых важных и хорошо развитых разделов чистой математики, содержащим множество изящных и красивых теорем, а также находящим применение во многих областях математики и математической физики.

(b) Познакомить студентов с идеями формальных определений и строгих доказательств (одной из фундаментальных особенностей современной математики, с которой они не знакомы после A-level) и развить их способности к логическому мышлению.

Подробная программа курса

• Основные свойства R: точные верхние грани.

• Последовательности и сходимость. Монотонные последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

• Ряды и признаки сходимости. Бином Ньютона и ряд для экспоненты.

• Функции. Ограниченность и непрерывность, теорема о промежуточном значении и обратные функции. Логарифм и степени.

• Дифференцирование. Определение и основные свойства; правило дифференцирования сложной функции и т.д. Производные экспоненты и логарифма.

• Теорема Ролля и теорема о среднем значении (Лагранжа).

Доказательства и основы

Курс "Доказательства и основы" предназначен для ознакомления студентов с фундаментальными аспектами чистой математики наряду с развитием навыков математического письма. Студенты будут изучать математическую логику, теорию множеств, функции, математическое доказательство и мощность множеств. Особое внимание на практических занятиях и в оценке будет уделяться ясности и точности математического письма. Сентябрь 2025 MATH0003

Как видите, по содержанию это примерно половина первого семестра сильного российского вуза. И это для лучших студентов планеты, которые уже сдали сложнейшие экзамены A-level, включающие высшую математику "без доказательств".

Подход №2: Немецкая модель — "чистый разум" для избранных

"Но постойте," — скажет знаток, — "разве вся Европа такая? А как же знаменитая своей строгостью немецкая школа?"

И это верное замечание. Немецкий подход — это антитеза американскому. Здесь не существует никакого "Calculus". С первой же лекции для студентов-математиков начинается "Analysis I" — бескомпромиссное погружение в аксиоматику, теорию множеств и строгие доказательства. Это интеллектуальный марафон на выживание, где умение доказывать оттачивается еженедельно на сложнейших теоретических задачах.

Но здесь есть ключевой нюанс. Этот хардкор предназначен только для будущих чистых математиков и физиков-теоретиков. Для инженеров существует отдельный, гораздо более прикладной курс "Высшая математика" (Höhere Mathematik). Немецкая система не пытается научить строгому анализу всех — она эффективно разделяет потоки.

Кроме того, идущие в немецкие технические вузы в старших классах 2 года изучают, а потом сдают материал высшей школы в нашем понимании, но без доказательств. Вот скриншоты немецкого экзамена, который нужно сдать, чтобы поступить в технический вуз.

При этом и в Германии, и в Швейцарии, где работает схожая система, после 2 лет изучения высшей математики в старших классах школы и прохождения серьезного отсева - им, студентам математических специальностей, дают курс "Analysis I", который минимум в 2 раза меньше по содержанию любого российского курса для инженеров.

Подход №3: Российский путь — беспощадная машина по отсеву

И вот теперь мы подходим к самому интересному — к нашей, российской (и ранее советской) образовательной философии. Она совершает самый дерзкий, самый рискованный и самый жестокий ход из всех: берёт немецкую беспощадность, но применяет её с американским размахом — ко всем подряд, и даже без предварительной подготовки.

Это и есть наш национальный эксперимент: бросить в ледяную воду всех сразу. С первой же лекции, без подготовительных курсов, на будущего инженера, программиста или экономиста обрушивается та же мощь аксиоматики и доказательств, что и на математиков.

Такая система работает не как эскалатор, который поднимает всех на новый уровень, а как безжалостный фильтр, как центрифуга, которая разделяет студентов на две касты.

• «Выжившие»: те немногие, кто по складу ума, удаче или благодаря помощи со стороны смог продраться через этот формализм.

• «Отсеянные»: все остальные. Огромное большинство, для которого матанализ превращается в бессмысленный карго-культ: ритуальное переписывание непонятных символов с доски в тетрадь и из тетради в экзаменационный билет. Проблема не в том, что они глупы или ленивы. Проблема в том, что система предложила им либо сразу перепрыгнуть пропасть, либо упасть. Им не дали моста.

Тихий коллапс системы

Но почему эта система, когда-то готовившая лучших инженеров мира, сегодня производит в основном «отсеянных»? Потому что она лишена главного механизма развития — положительной обратной связи.

Представьте себе IT-компанию, где зарплата программиста не зависит от того, работает его код или нет. Абсурд? А академическая система живёт именно так. Успех преподавателя измеряется публикациями, грантами, отчётностью — чем угодно, но только не ключевым показателем: «понял ли студент материал?».

Я как репетитор живу в мире жесточайшей обратной связи: если ученик ничего не понял с первого же занятия — мне дальше не заплатят ничего. Это заставляет эволюционировать, искать подходы к ученикам. А академическая система живёт в вакууме. И в этом вакууме эволюция идёт по совершенно другим законам, порождая опасную культуру:

1. Гонка формализации. Когда нет цели «сделать понятно», единственным способом продемонстрировать свой интеллект становится «сделать сложно». Курсы разбухают, обрастают избыточными теоремами и усложнениями. Многие выпускники Физтеха советских времен приходят в ужас, видя современные программы — они стали намного сложнее, формальнее, абстрактнее, но не глубже и осмысленнее.

2. Страх «показаться слишком простым». В преподавательских чатах можно встретить поразительное признание: «Боюсь объяснять слишком понятно, коллеги примут за дурака». Простота и ясность становятся подозрительными. Когда я учился в МФТИ, на старших курсах занятиях были в теоретическом отделе ФИАН, доводилось слышать рассуждения ученых о том, что если излагать результаты так, чтобы их могли понимать их коллеги, работающие в смежных областях, то они же сразу начнут критиковать и говорить, что вы занимаетесь ерундой, чтобы отобрать финансирование исследований и забрать его себе, поэтому писать и излагать по своей теме надо всё так, чтобы в состоянии были понять только те, кто занимается ровно тем же самым. Схожая борьба происходит среди лекторов за преподавательские часы — того, кто преподает слишком понятно, обвинят в том, что он "слабоват", и отберут у него работу. Поэтому эволюция рекомендуемых учебников тоже идет в сторону уменьшения понятности. На примере МФТИ можно сравнить, например, старый учебник Кудрявцева, по которому я учился, и заменивший его сейчас учебник Иванова (есть тут, а книги Кудрявцева с сайта удалили, так как они лучшие, чтобы не было конкуренции).

3. Презумпция виновности студента. Когда большинство не справляется с усложнённым курсом, проще всего объявить их «тупыми и ленивыми», чем признать несовершенство программы. Мои предложения по улучшению понятности курсов всегда находили отклик у студентов и у моих частных клиентов, но в основном не находили отклика у вузовских преподавателей: их позиция заключается в том, что учебный материал несложный, студенты просто ленятся, а упрощать изложение является путем в никуда. Нужно наоборот — усложнять программу. Звучит также аргумент, который заключается в том, что средний студент в любом случае усваивает небольшую часть из того, что ему преподают, поэтому давать нужно как можно больше, сложнее и интенсивнее, чтобы эта небольшая усвоенная часть оказалась больше.

Могу сказать, что у меня и у самого было много иллюзий, которые были развеяны лишь спустя несколько лет репетиторства и преподавания в вузах. Когда очень хорошо учишься в вузе, сам делаешь все задания (а именно из таких исключений потом получаются преподаватели и таким был я) кажется, что другие студенты отстают, потому что ленятся, и описанная проблема просто не видна. Когда я сам был студентом МФТИ и несколько лет после этого, я и сам думал, что российская система образования лучшая в мире, что МФТИ намного превосходит по качеству обучения в фундаментальных дисциплинах ведущие вузы на планете (как это пропагандирует, например, Андрей Помялов). В самом деле, глядя на учебные программы и курсы ведущих западных вузов, у меня складывалось впечатление, что у них там гораздо ниже уровень образования, чем в России. У меня даже был подтверждающий это опыт репетиторства студентки UCL, которая поступала в магистратуру в Кембридже (это 2 лучших вуза Великобритании), и училась там на отличные оценки. Весь материал их вступительного экзамена мы в МФТИ изучали на втором курсе, а задачи у нас были куда сложнее, и в целом курсы были куда более высокого уровня, чем там у них.

Я даже не представлял себе ни истинных масштабов списывания, ни того, что многие другие плохо учатся не потому, что ленятся — а потому, что у них просто не получается.

Думаю, многие из этих иллюзий разделяют преподаватели МФТИ. Часть из них развеивается — они начинают осознавать, насколько много студенты списывают и просто зубрят. Но я видел только единицы из них, кто видит в этом проблему системы, а не вину студентов.

Меня же к реальности вернул активный контакт с этой самой реальностью, обратная связь как от частных клиентов, так и от моих студентов. Я внезапно обнаружил огромную пропасть между мной и, например, средним студентом МФТИ: то, что мне самому казалось простым и никогда не вызывало проблем, для них часто является непреодолимым барьером. Само осознание того, например, с чем именно связаны сложности с освоением математического анализа у многих студентов, что им просто, а что сложно, появилось только благодаря многолетнему опыту преподавания, сбору и анализу обратной связи.

Практически от всех преподавателей вузов я слышал рассуждение, что лучше всего преподавать так, как кажется, как надо хорошо преподавать, когда был студентом сам, а значит хороший преподаватель — тот, кто хорошо помнит себя студентом.

На этом же основано предвзятое отношение к тем, кто пытается преподавать понятно — другим кажется, что он так преподает, потому что он сам "туповат". Характерным примером является очень негативное отношение многих математиков к Савватееву.

Я утверждаю, что это принципиально ошибочный подход. Хорошее преподавание может быть основано только на принципе обратной связи и понимании своих учеников. Пытаться вспомнить "а каким был я и какие были у меня сложности" — всегда путь к заблуждениям и отрыву от реальности, потому что люди разные. Главным принципом преподавателя должен быть хорошо налаженный контакт с реальностью.

К сожалению, это всё сложно объяснить вузовским коллегам — разного рода идеи по понятному объяснению материала у них нередко вызывают негативную реакцию: они начинают мне, победителю студенческих олимпиад, члену сборной МФТИ по математике, рассказывать, что я просто был двоечником, не хотел учиться, невежественен, не имею способностей к математике и поэтому у меня такие странные идеи. Начинают говорить, что, видимо, физмат не для меня, в МФТИ случайно попал, что у меня мозг гуманитария, и в таком духе. Не работает даже отсылка к опыту ведущих мировых вузов — в ответ довольно часто начинают говорить, что в России фундаментальное образование и преподавание математики в бакалавриате являются лучшими в мире, поэтому заимствовать какие-то практики из ведущих западных вузов означает портить его, снижать уровень и качество, "превращать вуз в ПТУ". Конечно, это все позволяет мне зарабатывать куда больше моих коллег — просто потому, что их студенты часто ходят ко мне на платные репетиторские занятия, и оставляют суммы, кратно большие тех, которые платят этим вузовским преподавателям за проведение семинаров и лекций. Но, помимо личного заработка, хотелось бы что-то изменить к лучшему в обществе на глобальном уровне.

Итак, система устроена таким образом, что изнутри сложно что-то изменить к лучшему, из-за отсутствия положительной обратной связи, а ее собственная динамика заключается в прогрессирующей деградации образования. Как пишет Неретин на своем сайте, обучение высшей математике в российских вузах представляет собой "образец профессионально поставленного преподавания, не имеющего целью никого научить", который ему лично "предъявляли в качестве поучительного образца". При этом, надо сказать, что описываемое Неретиным намного хуже всех образцов, что я видел сам, в том числе в Екатеринбурге, где меня поразила бессмысленность происходящего. Но это и понятно, мой опыт опирается на ведущие вузы, а Неретин обучал в обычных московских технических.

Результат всего этого — тихий коллапс. Система делает вид, что учит. Студенты делают вид, что учатся. Тотальное списывание (от «решебников» до ChatGPT) стало не нарушением, а необходимым элементом учебного процесса. Все это понимают, но студенты винят в этом преподавателей, а преподаватели винят в этом самих студентов. А главное — все молчат. Существует негласный договор: мы даём вам нерешаемые задания, вы приносите списанные решения, мы ставим вам зачёт. Круг замкнулся.

Конечно, большинство студентов и не хотят учиться. Но трагедия в том, что под каток этой системы попадает огромное количество тех, кто хочет и может, но ломается, так и не получив шанса. Они уходят с убеждением, что «математика — это не для меня», хотя на самом деле «такая математика — не для кого».

Для спасения этих горящих душ я и пишу эту книгу.

Наш "Четвёртый Путь": строим мост

Вот почему задача этого учебника уникальна. Мы не идём по американскому пути, откладывая строгость. Мы принимаем российский "хардкорный" вызов: дать настоящий, строгий анализ с первого дня.

Но мы отказываемся от его жестокости. Мы построим тот самый мост, используя другой, интуитивно понятный, но абсолютно строгий язык, основанный на идеях Гейне.

Мы совершим то, что в мире считается почти невозможным: пройдём непосредственно от школьной скамьи до глубин анализа прямым, коротким и, главное, понятным путём. И чтобы вы до конца осознали масштаб вызова, взгляните на программу знаменитого курса по Real Analysis из MIT, который предназначен для студентов не младше 3-го курса.

Этот курс, ставший легендой в интернете, по своему содержанию сопоставим с тем, что в российской системе требуют от первокурсников. Теперь вы понимаете, на какую вершину мы собираемся взойти — но не по отвесной скале, а по новой, удобной тропе.

§ 0.1. Два способа смотреть на мир (и почему ваш мозг вынужден это делать)

Прежде чем мы напишем хоть одну формулу, давайте заглянем в исходный код нашего собственного разума. Как он вообще познаёт мир?

Представьте себе две задачи.

Задача 1: Распознать спам.

Ваш почтовый клиент смотрит на письмо и выносит вердикт: "спам" или "не спам". Он ищет ключевые слова, анализирует отправителя, структуру. Он проводит чёткую границу: это — мусор, а это — нет. Ваш разум работает в режиме классификатора. Он разбивает реальность на дискретные, отдельные категории.

Задача 2: Удержать равновесие на велосипеде.

Вы не решаете систему дифференциальных уравнений. Вы чувствуете малейшее изменение наклона, скорости, положения центра тяжести. Вы постоянно вносите плавные, непрерывные корректировки. Ваш разум работает в режиме аппроксиматора. Он описывает текучий, неделимый процесс.

Эти два режима — не просто удобная метафора. Это отражение древнейшего раскола в самой структуре реальности. Раскола между дискретным и непрерывным.

• Дискретный мир — это мир счётных объектов. Коммиты в Git, пиксели на экране, слова в этой статье. Один, два, три. Между ними нет ничего промежуточного.

• Непрерывный мир — это мир потоков. Здесь нет отдельных шагов, есть только плавное, слитное изменение.

Вся история интеллектуальных прорывов человечества — это история попыток перекинуть мост через эту пропасть. Попыток описать непрерывное с помощью дискретного (как мы оцифровываем звук) или, наоборот, найти дискретные законы в непрерывном хаосе (как мы ищем элементарные частицы).

И математический анализ — это не просто "высшая математика". Это и есть тот самый мост. Это технология мышления, созданная для того, чтобы укротить непрерывность, приручить бесконечность и заставить их работать на нас. И именно с поломки этого моста в головах студентов и начинаются все их страдания. Но мы построим его заново. Правильно.

§ 0.2. Почему именно два? Фундаментальный компромисс познания

В предыдущем параграфе мы заявили, что наш разум работает в двух режимах: классификатора (разбивает мир на чёткие "коробки") и аппроксиматора (описывает плавные процессы). Выглядит правдоподобно, но откуда взялась эта дихотомия? Почему именно два?

Это не случайность и не причуда эволюции. Это прямое следствие фундаментальной проблемы, с которой сталкивается любой интеллект — от человеческого мозга до нейросети — при попытке понять сложную и зашумлённую реальность.

Эта проблема известна в мире Data Science как дилемма смещения–разброса (Bias-Variance Tradeoff). Для многих это просто технический термин. Я покажу вам, что на самом деле это — одна из самых глубоких идей о природе знания, и именно она заставляет нас мыслить либо дискретно, либо непрерывно.

Аналогия: Искусство стрельбы из лука

Представьте, что вы — лучник. Ваша цель — центр мишени. Центр мишени — это Истина, тот самый идеальный закон природы, который вы пытаетесь постичь.

У вас есть только 10 пробных выстрелов для тренировки. Условия неидеальны: дует ветер, дрожат руки. Это — ваш зашумлённый, неполный набор данных.

Основываясь на этих 10 выстрелах, вам нужно разработать стратегию (модель) для решающего выстрела. У вас есть два полярных подхода.

Стратегия 1: "Упёртый простак" (Высокое смещение, Низкий разброс)

Вы рассуждаете: "Ветер и дрожание рук — случайный шум. Главное — базовый принцип. Я просто найду среднюю точку всех моих 10 выстрелов и буду целиться туда, что бы ни случилось".

• Плюс: Ваша стратегия стабильна. На других 10 выстрелах ваша точка прицеливания почти не изменится. У вас низкий разброс (low variance).

• Минус: А что, если всё это время дул постоянный боковой ветер? Ваша "средняя точка" будет систематически смещена. Вы разработали стабильную, но принципиально неверную модель. У вас высокое смещение (high bias). Вы уверенно и стабильно мажете.

Эта стратегия — суть классификации. Мы создаём простые, жёсткие правила. Главный враг здесь — смещение: риск того, что само наше правило слишком грубо.

Стратегия 2: "Нервный гений" (Низкое смещение, Высокий разброс)

Вы рассуждаете: "Каждая деталь важна! Я построю сложную кривую, которая идеально пройдёт через все 10 моих выстрелов, учтя тот порыв ветра на третьем и дрожание пальца на седьмом".

• Плюс: ваша модель идеально описывает тренировочные данные. Ошибка на них равна нулю. У вас низкое смещение (low bias) для этого конкретного набора данных.

• Минус: ваша стратегия чудовищно нестабильна. На других 10 выстрелах ваша "идеальная кривая" станет совершенно другой. Вы приняли случайный шум за истинный сигнал. Ваша модель "переобучилась". У вас высокий разброс (high variance).

Эта стратегия — суть аппроксимации. Мы пытаемся построить гибкую модель, улавливающую все нюансы. Главный враг здесь — разброс: риск того, что наша модель описывает не реальность, а шум.

Чтобы эти две стратегии навсегда отпечатались в вашем мозгу, взгляните на эту классическую диаграмму. Это четыре возможных исхода для нашего лучника:

Идеальная модель (левый верхний угол) — это то, к чему мы стремимся. "Упёртый простак" — это правый верхний угол. "Нервный гений" — левый нижний.

Худший случай — в правом нижнем.

Дилемма, у которой нет решения

Вы не можете быть одновременно "простаком" и "гением". Упрощая модель для стабильности (уменьшая разброс), вы рискуете упустить закономерности (увеличивая смещение). Усложняя модель для точности (уменьшая смещение), вы рискуете описать шум (увеличивая разброс).

Это и есть великий компромисс познания. И два наших способа мышления — это две стратегии в этой вечной игре. Математический анализ — это язык, рождённый из второй стратегии. Это апофеоз непрерывного мышления.

Этот компромисс — не просто слова. Это фундаментальный закон, который можно визуализировать. Посмотрите, как ведут себя ошибки с ростом сложности модели

Синяя кривая (Смещение²) падает: чем сложнее модель, тем лучше она подгоняется под данные. 

Оранжевая кривая (Разброс) растёт: сложная модель начинает описывать случайный шум, теряя стабильность. 

Красная кривая (Общая ошибка) — их сумма.

Наша цель как инженеров и учёных — найти "золотую середину", точку минимальной общей ошибки, балансируя между слишком простой и слишком сложной моделью.

Анатомия ошибки: взгляд под капот

Теперь, когда у нас есть интуиция, давайте проведём формальное "вскрытие" ошибки.

Синяя сплошная линия — это "Истинный закон природы", который мы пытаемся угадать.

Чёрные точки — это зашумлённые данные, которые мы видим в реальности.

Тонкие оранжевые линии — это множество разных "нервных" моделей; каждая обучена на своём случайном наборе данных.

Красная пунктирная линия — это их "среднее арифметическое", то есть то, куда наша стратегия целится в среднем.

• Шум — это вертикальное расстояние от чёрной точки (реальное наблюдение) до синей линии (истинный сигнал).

• Смещение — это вертикальное расстояние между красной линией (куда мы целимся в среднем) и синей линией (куда надо было целиться).

• Разброс — это "толщина" оранжевого облака в каждой точке. Он показывает, насколько нестабильны наши модели.

Секретный ингредиент: почему именно квадрат ошибки?

"Постойте-ка", — возразит проницательный читатель, — "разве это красивое разложение работает всегда?"

Это суть вопроса. Элегантная формула:

Общая ошибка = Смещение² + Разброс + Шум²

— это эксклюзивное свойство Среднеквадратичной Ошибки (MSE), .

Мы выбираем её не случайно. MSE — это "королевская" метрика, потому что:

1. Геометрична: это квадрат евклидова расстояния. Мы минимизируем обычное, понятное "расстояние".

2. Математически прекрасна: её квадратичная природа — это то, что позволяет "магии" случиться. При усреднении перекрёстные члены обнуляются. Это подарок L2-нормы.

3. Связана с Гауссом: если вы предполагаете, что шум в природе имеет нормальное (гауссово) распределение (а так оно чаще всего и бывает), то метод максимального правдоподобия приводит вас в точности к задаче минимизации MSE.

Дилемма Смещения-Разброса универсальна, но разложение для MSE — её самый чистый и поучительный "рентгеновский снимок".

"Постойте, — скажете вы, — но ведь "Разброс" (Variance) и "Дисперсия Шума" — это уже средние значения квадратов. Зачем ещё один квадрат у шума?"

И это абсолютно верное замечание. Эта красивая запись — пример элегантного "злоупотребления нотацией". В ней неявно предполагается, что:

• "Разброс" — это формальный термин для дисперсии модели, Var(ŷ).

• А под словом "Шум" здесь понимают не его дисперсию, а его стандартное отклонение (σ_noise), то есть корень из дисперсии.

Тогда формула становится математически корректной: MSE = (Bias)² + Variance + (σ_noise)². Мы же будем придерживаться самой точной словесной формулировки:

Среднеквадратичная Ошибка = (Квадрат Смещения) + (Разброс) + (Дисперсия Шума)

Хирургия ошибки: строгое доказательство

А теперь — обещанное вскрытие. Наденьте перчатки, мы начинаем.

Шаг 0: Наш операционный стол (обозначения)

• : Тестовый пациент (Истина — ).

• : Учебники (случайный набор данных).

• : Предсказание (ответ случайной модели).

• : Консилиум (оператор матожидания).

Цель: Вскрыть общую ошибку .

Шаг 1: Первый разрез (анализ для одной модели)

Анализируем внутреннее матожидание . Добавляем и вычитаем "идеальное предсказание" .

Подставляем это в квадрат и, применяя , получаем:

Теперь возьмём матожидание от всего выражения. По линейности :

Рассмотрим последнее, "перекрёстное" слагаемое. По закону полного матожидания (), сначала усредним по при фиксированном .

Внутри величины и (которая зависит только от ) являются константами. Выносим их:

Внутреннее матожидание равно: .

Перекрёстный член обнулился! В итоге для фиксированной модели остаётся:

Промежуточный диагноз:

Ошибка одной модели = Неустранимый Шум + Квадрат ошибки этой модели.

Шаг 2: Второй разрез (усреднение по всем моделям)

Теперь усредняем результат по всем возможным "учебникам" .

Шум не зависит от них, вся интрига во втором члене:

Вскрываем внутреннее матожидание.

Снова добавляем и вычитаем, на этот раз "среднюю модель" .

Подставляем в квадрат и усредняем по . Перекрёстный член будет:

Первая скобка не зависит от случайности , так что это константа. Выносим её:

Внутреннее матожидание равно:

.

И второй перекрёстный член тоже обнулился!

Финальный диагноз: собираем всё вместе

После усреднения квадрат ошибки модели распался на две части:

Подставляем всё это в исходную формулу для и получаем финальное разложение:

Вскрытие завершено.

Мы показали, что общая среднеквадратичная ошибка — это сумма трёх ортогональных компонент. Это не просто формула. Это фундаментальный закон обучения по данным.

Казалось бы, дилемма смещения-разброса — это современная головная боль, рождённая в век больших данных и машинного обучения. Мы сражаемся с ней, подбирая гиперпараметры для нейросетей и решая, какую модель — простую линейную регрессию или сложный градиентный бустинг — использовать.

Но что, если я скажу вам, что эта драма — одна из старейших в истории человеческой мысли? Что первый "баг-репорт" о конфликте дискретного и непрерывного был подан 2500 лет назад?

Задолго до компьютеров древние греки заглянули в ту же самую интеллектуальную бездну. И то, что они там увидели, вызвало у них настоящий ужас.

Примечание

Скрытый текст

Здесь далее история развития человеческой мысли излагается через идеи ярких исторических личностей, как и много где еще. Но реально развитие науки и философии происходит не так, в каждую эпоху есть очень много людей, которые мыслят схожим образом и решают схожие проблемы. История сохраняет имена тех, кому повезло выделиться больше других, но и без этих конкретных людей развитие шло бы примерно тем же путем, вместо них прославились бы другие.

Например, история создания математического анализа обычно излагается так, как будто Ньютон все открыл, а параллельно Лейбниц, в то время как в то же время было множество людей, близких к этому открытию. Есть неплохая книга математика Арнольда, там помимо Ньютона упоминаются сыгравшие важную роль идеи Гука, Гюйгенса, Барроу (учитель Ньютона) и других его современников.

§ 0.3. Первородный грех: Пифагорейская катастрофа

История анализа начинается задолго до парадоксов Зенона, с одной великой мечты и ее внезапного крушения. В VI веке до н.э. мистик и математик Пифагор и его последователи провозгласили доктрину, ставшую фундаментом всей западной науки: «Всё есть число».

Для пифагорейцев это не было метафорой. Они верили, что Вселенная буквально соткана из целых чисел и их отношений (дробей). Гармония музыки — это гармония простых числовых отношений. Движение планет, законы природы — всё можно описать элегантной симфонией рациональных чисел. Это была мечта о кристально чистом, логичном и полностью познаваемом мире. Математика была не просто инструментом, она была самой тканью бытия.

И эта прекрасная мечта разбилась о простейшую геометрическую фигуру — квадрат.

Рассмотрим квадрат со стороной 1. По теореме самого Пифагора, квадрат его диагонали равен . Значит, длина диагонали равна . Пифагорейцы были уверены, что это число, как и любое другое, можно представить в виде дроби .

Их ждал ужас. Они строго доказали, что невозможно представить в виде отношения двух целых чисел. Оно было иррациональным, «невыразимым».

Для нас это школьный факт. Для них это была интеллектуальная катастрофа. Простейший геометрический объект, который можно начертить на песке, породил числового монстра, которому не было места в их гармоничной Вселенной. Легенда гласит, что пифагореец Гиппас, разгласивший эту страшную тайну, был утоплен в море.

Это был первый великий раскол. Арифметика (мир чистых чисел) оказалась бессильна описать даже простейший объект Геометрии. Мечта о единой, рациональной Вселенной рассыпалась в прах.

§ 0.4. Древний ужас: когда логика дает сбой и разум погружается в бездну противоречий

Пифагорейский кризис создал атмосферу глубокого недоверия к интуиции. Если уж диагональ квадрата таит в себе логическую бездну, то чего ждать от такой сложной вещи, как движение? Именно в эту атмосферу интеллектуальной паники философ Зенон Элейский и бросил свои логические бомбы — знаменитые апории.

Все эти апории так или иначе касаются разных аспектов противоречивости понятий дискретного и непрерывного, множественного.

Самый известный из них — "Ахиллес и черепаха".

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит медлительную черепаху, если в начале гонки она находится впереди него.

Ведь пока Ахиллес добежит до точки, где была черепаха, она уже успеет продвинуться чуть вперёд. Пока Ахиллес будет преодолевать этот новый, короткий отрезок, она снова уползёт дальше. И так до бесконечности. Каждый раз, когда Ахиллес достигает места, где только что была черепаха, она уже оказывается в новой точке впереди.

Наш жизненный опыт кричит: "Это абсурд! Конечно, догонит!" Но наша логика, привыкшая считать шаги — сделать раз, сделать два, сделать три — пасует.

Анатомия погони Зенона (под микроскопом). 

Каждый раз, когда Ахиллес (синий) достигает предыдущей точки черепахи, она (зелёный) успевает отползти чуть дальше. Шаги становятся всё короче, но они никогда не заканчиваются. "Увеличительное стекло" показывает, что даже в самом конце погони эта бесконечная структура шагов сохраняется — мы просто перестаём её различать.

> Как можно совершить бесконечное число действий за конечное время?

Это и есть суть парадокса. Распространённое заблуждение — думать, что Зенон пытался доказать, будто движения нет. Он был гораздо хитрее. Он показывал, что наш дискретный, пошаговый способ рассуждения фундаментально ломается, когда мы пытаемся применить его к непрерывному процессу.

Интеллектуальный шок от апорий Зенона был настолько сильным, что потребовал ответа от величайших умов античности. Именно их реакция и сформировала ту интеллектуальную крепость, которая на две тысячи лет определила границы математической мысли.

Первым был Платон.

Его философия предложила радикальный выход: развод математики с реальностью. Для Платона наш физический мир — это лишь несовершенный мир «теней», полный парадоксов вроде тех, что описал Зенон. А истинная математика обитает в идеальном, вечном «мире идей». Ее задача — не описывать хаотичное движение теней, а созерцать совершенные формы. Так Платон выстроил первую стену файервола: он изолировал чистую математику от проблем физического мира, объявив их недостойными изучения.

Вторым был ученик Платона, Аристотель. Будучи более прагматичным, он попытался обезвредить саму логическую бомбу. Его решение было столь же гениальным, сколь и судьбоносным. Он ввел фундаментальное различие между двумя сортами бесконечности:

• Актуальная бесконечность — бесконечность как завершенный, существующий «здесь и сейчас» объект (например, отрезок как уже существующее множество всех своих точек). Такую бесконечность Аристотель объявил логически невозможной и запретил.

• Потенциальная бесконечность — бесконечность как незавершаемый процесс (например, процесс бесконечного деления отрезка). Только такая бесконечность была разрешена.

С точки зрения Аристотеля, ошибка Зенона была в том, что он неявно подразумевал актуально бесконечное число шагов. Аристотель же возразил: Ахиллес не совершает бесконечное число действий, он просто проходит конечный путь, который лишь потенциально делим до бесконечности.

Это решение успокоило умы, но какой ценой!

Аристотель выступил в роли философского законодателя, который не решил проблему, а запретил думать о ней определенным образом.

Вместе Платон и Аристотель воздвигли тот самый Великий Файервол в сердце математики. Платон отделил ее от физики, а Аристотель запретил в ней самый мощный инструмент — актуальную бесконечность. В результате:

• Арифметика (дискретное) и Геометрия (непрерывное) были строго разделены.

• Чистой математике было запрещено заниматься проблемами движения и изменения.

• Использование актуально бесконечных множеств было объявлено вне закона.

Эта интеллектуальная крепость, построенная для защиты от парадоксов Зенона, на две тысячи лет превратилась в тюрьму для математической мысли.

§ 0.5. Медленная оттепель: от страха к инструменту

Эта стена, воздвигнутая Зеноном и забетонированная Аристотелем, простояла почти 2000 лет! Но она не была монолитной. Пока философы спорили, а математики боялись, в тиши средневековых университетов медленно таял лед страха перед бесконечностью.

Предвестники: Оксфордские калькуляторы

Первые трещины в стене появились не в Италии эпохи Возрождения, а в дождливой Англии XIV века. Группа мыслителей в Оксфорде, известная как «Оксфордские калькуляторы», совершила тихую революцию. Их интересовал не мир статики, а мир изменения: как меняется температура, как нарастает скорость, как меняется интенсивность света.

Их гений, Николай Орем, сделал немыслимое для своего времени: он начал рисовать графики. Он первым догадался изобразить зависимость одной величины (например, скорости) от другой (времени). Это кажется нам очевидным, но для XIV века это был интеллектуальный прорыв.

Изобразив равноускоренное движение в виде трапеции, Орем геометрически доказал, что пройденный путь равен площади фигуры под графиком скорости.

Это был эмбрион основной теоремы анализа, интуитивное прозрение, сформулированное за 300 лет до Ньютона!

Но это было все еще искусство, а не технология. Их методы были привязаны к геометрии и не имели универсального языка. Чтобы мысль двинулась дальше, нужен был не только технический, но и глубокий философский сдвиг.

Философский переворот: Николай Кузанский

Если Орем пробил в стене маленькое окно, то философ и кардинал Николай Кузанский в XV веке взорвал ее динамитом метафизики. Он совершил коперниканскую революцию в самом отношении к бесконечности.

Вместо того чтобы бежать от нее, он сделал ее центральным объектом своего мышления. Кузанский предложил путь «ученого незнания»: признать, что наш конечный разум никогда не сможет полностью охватить бесконечность, но он может бесконечно к ней приближаться. Это было не поражение, а новая, динамическая программа познания, философский прототип понятия предела.

Его главным оружием была идея «совпадения противоположностей». В бесконечности, утверждал он, самые несовместимые вещи становятся одним целым. И он продемонстрировал это на гениальном математическом примере:

Представьте многоугольник, вписанный в окружность. У него есть прямые стороны и острые углы — он полная противоположность плавной кривизне круга. Но давайте мысленно устремим число его сторон к бесконечности. Что произойдет? Стороны будут становиться всё короче, углы — всё тупее. И в пределе, в бесконечности, этот многоугольник станет окружностью. Прямое совпадет с кривым, дискретное — с непрерывным.

Это уже не «метод исчерпывания» Архимеда, где фигура просто «зажимается» в тисках. Это глубокое прозрение о том, что в пределе одна сущность превращается в другую. Кузанский, сам того не зная, описал самую суть интегрального и дифференциального исчисления.

Он легализовал бесконечность на философском уровне, превратив ее из логического монстра в ключ к пониманию Вселенной. Он дал будущим математикам интеллектуальное разрешение мыслить то, что раньше было под запретом. Но чтобы эта мистическая интуиция стала рабочим инструментом инженера, нужен был еще один, решающий шаг.

Техническая революция: Рене Декарт

Интеллектуальная оттепель была в разгаре. Мыслители получили графический инструмент (Орем) и философское разрешение (Кузанский). Не хватало универсального языка, способного соединить одно с другим.

И этот язык создал Рене Декарт.

Его система координат стала мостом, который окончательно разрушил Великий Файервол между арифметикой и геометрией. Впервые кривая перестала быть просто рисунком; она стала алгебраическим уравнением, функцией, отношением y = f(x).

Любая геометрическая проблема теперь могла быть переведена на язык символов и решена методами алгебры. Декарт создал ту самую сцену, на которой развернется главная драма XVII века. Он дал в руки Ньютону и Лейбницу тот самый инструмент, который позволил им задать свои дерзкие вопросы.

§ 0.6. Фаустовская сделка: рождение Анализа

Сцена была готова. Мыслители получили философское разрешение (Кузанский) и универсальный язык (Декарт). Не хватало лишь гениев, способных соединить всё это в работающую машину для описания мира.

И они явились. В XVII веке, работая независимо друг от друга, два титана — Исаак Ньютон в Англии и Готфрид Лейбниц в Германии — совершили финальный прорыв.

Стена, которую не взял Архимед

Чтобы понять масштаб их революции, нужно сперва отдать дань уважения величайшему уму античности — Архимеду. Он первым осмелился приручить бесконечность не софистикой, а строгой логикой. Его «метод исчерпывания» был похож на интеллектуальную осаду: чтобы найти площадь круга, Архимед вписывал и описывал многоугольники, всё туже сжимая тиски вокруг истинного значения.

Архимед был мастером. Но у его подхода был фатальный недостаток: он не был универсален. Для каждой новой фигуры — параболы, спирали — ему приходилось изобретать уникальный, невероятно остроумный, но совершенно новый трюк. Это было искусство, а не технология. Миру же требовалась технология — универсальный метод для решения тысяч практических задач: рассчитать объем винной бочки, траекторию полета ядра или движение планет.

Смена парадигмы: от «Что?» к «Как?»

Гений Ньютона и Лейбница заключался в том, что они задали совершенно другой, куда более дерзкий вопрос. Их интересовала не статичная форма, а динамика изменения.

• Не какова площадь под кривой?, а как быстро она растёт прямо сейчас?

• Не какой путь пролетело ядро?, а какова его мгновенная скорость в эту долю секунды?

Это был тектонический сдвиг от статики к динамике, от геометрии к физике, от ответа на вопрос «Что?» к ответу на вопрос «Как?». Они создали универсальный язык для описания изменения — исчисление бесконечно малых.

Сила и безумие dx

Их методы были подобны обретению сверхспособности. Вся современная наука и инженерия — прямое следствие этой революции. Но у этой новой магии была тёмная сторона. В её основе лежало понятие, такое же логически противоречивое, как и парадоксы Зенона, — «бесконечно малая величина», тот самый знаменитый dx.

Что это за логический монстр, этот dx?

• Он не ноль, потому что на него можно делить.

• Он меньше любого числа, которое вы можете вообразить, поэтому в конце вычислений его можно просто отбросить.

Это был гениальный хак, который работал, но никто не мог объяснить, почему.

Епископ Беркли едко высмеивал dx как «призраки усопших количеств».

По сути, Ньютон и Лейбниц заключили сделку с дьяволом: они получили невероятную вычислительную мощь в обмен на логическую строгость.

Чтобы понять суть этой сделки, взгляните на эту историю в трёх актах:

• Акт I: Средняя скорость между точками P и Q — это наклон секущей (красная линия).

• Акт II: Мы двигаем Q к P, и наша оценка средней скорости становится всё точнее.

• Акт III: В пределе, когда Q «сливается» с P, секущая становится касательной. Её наклон — это отношение «призрачных» величин dy и dx, дающее нам мгновенную скорость.

Вот она — та самая «фаустовская сделка» в действии. Этот крошечный, логически противоречивый «призрак» dx и был источником как невероятной силы нового метода, так и его главной слабости.

Вся блестящая эпоха Просвещения, с её инженерными чудесами и научными открытиями, была построена на этом шатком фундаменте. Великие умы получали правильные ответы, руководствуясь туманной интуицией, и спорили друг с другом, не имея общего строгого языка. Математика накопила колоссальный технический долг. Этот славный, но хаотичный период продолжался почти 150 лет, пока не стало ясно: пора платить по счетам.

§ 0.7. Кризис обоснования: спор трех титанов

К началу XIX века стало ясно: пора платить по счетам. Величественное здание анализа, построенное на интуиции, давало трещины. Началась «эпоха строгости».

Титаны мысли — Коши, Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор — поставили перед собой цель: изгнать всю мистику, все «призраки усопших количеств» и перестроить анализ на незыблемом фундаменте чистой логики.

Эта мечта о математике как о тотальной, аксиоматической системе не была новой.

Она была тенью грандиозного проекта, предпринятого за полтора века до этого философом Бенедиктом Спинозой.

Акт I: Мечта Спинозы о тотальном порядке

Чтобы построить свою «Этику» геометрическим методом, Спиноза должен был первым делом сокрушить древнее табу Аристотеля. Он смело ввел в философию актуальную бесконечность, причем сразу нескольких видов:

• Абсолютно бесконечное: Бог, или Природа — единая Субстанция, обладающая бесконечным числом атрибутов, из которых люди знают только два.

• Бесконечное в своем роде: каждый из этих атрибутов («протяженность» или «мышление») бесконечен сам по себе, но ограничен своей категорией.

В его мире все перегородки были снесены: есть лишь одна плоская, вечная Субстанция, а все остальное — ее предопределенные состояния (модусы).

Но этот кристальный дворец разума был статичен. В этой железной, детерминированной системе не было места для подлинного развития или свободы. Динамика и изменение были лишь иллюзией нашего конечного восприятия.

Акт II: Стена Канта и убежище для свободы

Именно эту стену статической рациональности попытался пробить Иммануил Кант. Он выступил в роли великого ревизора чистого разума. В своих знаменитых антиномиях Кант показал, что как только разум пытается мыслить о предельных вещах (о мире в целом, о бесконечности), он неизбежно впадает в неразрешимые противоречия.

Например: «Мир имеет начало во времени» и «Мир не имеет начала во времени» — оба утверждения Кант доказывал с одинаковой силой.

Вывод Канта был радикальным: наш разум имеет встроенные пределы.

Мы не можем познать мир таким, каков он есть на самом деле (мир «вещей в себе», или ноуменов). Мы познаем лишь мир явлений (феноменов), который структурирован априорными формами нашего же сознания.

Но именно этот предел стал спасением. Мир явлений, который мы изучаем наукой, полностью детерминирован, как у Спинозы. Но там, за пределами познания, в мире «вещей в себе», Кант нашел убежище для истинной свободы. Мы не можем ее доказать или опровергнуть, но мы можем в нее верить, и именно она делает возможной мораль.

Кант, по сути, спас свободу и бесконечность от науки и логики, но ценой признания фундаментальной ограниченности нашего разума.

В то же время решение Канта получилось в каком-то смысле зеркальной версией решения Спинозы: то, что по Спинозе является иллюзией конечного восприятия и ложно в бесконечном, по Канту является истиной «вещей в себе», а детерминизм - иллюзией.

Акт III: Диалектика Гегеля и двигатель противоречия

Именно из этого кантовского кризиса и родилась диалектическая система Гегеля. Он отказался принять стену Канта. Для него противоречия, в которые впадает разум, — это не признак его слабости, а отражение самой сути реальности.

Гегель взял «Единое» Спинозы, но вдохнул в него жизнь. Он ввел триаду: Всеобщее (аналог Субстанции), Особенное (конкретные категории) и Единичное (конкретный предмет). Гениальность его системы заключалась в динамике: одно и то же единичное (например, человек) может одновременно принадлежать к разным, порой противоречащим друг другу, особенным категориям (он и «биологический организм», и «гражданин государства», и «субъект морали»). Именно это противоречие и есть, по Гегелю, не ошибка логики, а главный двигатель развития мира и духа, источник жизненности и свободы.

С этой точки зрения, бесконечно малая dx — это не логический провал, а гениальное диалектическое прозрение. Это живое противоречие, схватывающее суть становления. Попытка «очистить» его формальной логикой казалась Гегелю умерщвлением живой мысли.

Выбор математиков

Так на сцене XIX века сошлись три великие философии. И математики «эпохи строгости», по сути, сделали свой выбор. Они стали наследниками Спинозы. Они решили, что цена за абсолютную строгость — отказ от наивной динамики — приемлема.

И в этой конкретной битве, в рамках построения математики, Гегель оказался чудовищно не прав. И это один из самых поучительных моментов в истории науки.

Оказалось, что когда мы берём мощную, но туманную интуитивную идею и даём ей строгое аксиоматическое определение, мы не убиваем её, а наоборот — раскрываем её силу.

• Теория вероятностей существовала веками как набор правил и парадоксов, пока в XX веке Андрей Колмогоров не дал ей простое и строгое аксиоматическое определение. Это немедленно привело к взрывному росту этой области.

• Точно так же произошло и с анализом. Усилия Коши, Вейерштрасса, Кантора, Дедекинда и их последователей по созданию строгих определений предела, непрерывности и, самое главное, самого действительного числа, привели к рождению современной математики.

Путь, по которому мы пойдём в этом курсе, — это путь строителей. Мы не будем принимать на веру магические трюки. Мы, кирпичик за кирпичиком, построим всё здание анализа с самого фундамента. И начнём мы с изготовления самих кирпичей — чисел.

§ 0.8. Азбука кирпичного завода

Но как строят объекты в современной математике? Здесь появляется первый — и, возможно, главный — принцип, который отделяет школьную арифметику от математического мышления XXI века. Существует два фундаментально разных подхода к созданию математического объекта.

Подход № 1: конструктивный — «сборка по чертежу»

Этот подход интуитивно ясен. Мы берем уже существующие, более простые объекты и, подобно деталям конструктора LEGO, составляем из них новые, более сложные структуры.

Так, натуральные числа можно определить на основе пустого множества (мы уже вкратце это упоминали). Затем из натуральных «собираются» целые числа, из целых — рациональные и так далее.
Это прямой, «инженерный» путь: на каждом шаге мы знаем, из каких элементов и по какому рецепту устроен объект.

Подход № 2: аксиоматический — «правила игры»

Этот подход более абстрактный и гораздо мощнее. Здесь мы вообще не задаёмся вопросом: «Из чего состоит объект?».

Вместо этого мы спрашиваем: «Какие свойства он должен иметь?» Мы описываем объект не через внутреннее устройство, а через набор базовых правил — аксиом, которым он обязан подчиняться. Это напоминает определение шахматных фигур: ферзь остаётся ферзём не потому, что он деревянный или электронный, а потому, что подчиняется определённым правилам хода.

Любая сущность, удовлетворяющая этим правилам, — ферзь.

Два типа строгости

Это различие приводит к двум видам строгости:

• Содержательная строгость — рассуждения, основанные на «внутреннем устройстве» построенных объектов. Это строгость конструктора или инженера.

• Формальная строгость — рассуждения, опирающиеся исключительно на аксиомы, без обращения к внутренней структуре модели. Это строгость логика.

Аксиомы и модель: генеральный план и построенный дом

Так какую стратегию выбирает современная математика?
Ответ: обе — но в чёткой последовательности.

Аксиоматический подход — это общий план.

«Любая структура, удовлетворяющая этим правилам, обладает такими-то свойствами».

Конструктивная модель — это демонстрация осуществимости плана.

«Вот конкретный пример, который этим правилам подчиняется. Значит, теория не пуста и действительно описывает нечто существующее».

Этот двойной подход — одна из вершин математической мысли. Он позволяет доказывать теоремы в максимально общем виде, зная, что каждая такая теорема автоматически верна для любой конкретной реализации нашей аксиоматической схемы.

Именно так мы и поступим. Мы начнём с аксиоматики Пеано, то есть с «правил игры», определяющих структуру натурального счёта.

Это будет наш генеральный план. Затем мы увидим, как на его основе можно последовательно построить остальные числовые системы.

В этой роли мы будем выступать скорее архитекторами, чем простыми каменщиками.

§ 0.9. Искусство «склейки»: отношения эквивалентности

Прежде чем мы начнем строить этажи нашего здания, нам нужно освоить один из самых мощных и неочевидных инструментов в арсенале современного математика. Это искусство «склейки», формально известное как отношение эквивалентности.

Идея проста. Часто у нас есть множество объектов, которые формально различны, но по сути своей представляют одно и то же.

• Дроби 1/2, 2/4, 3/6 — это разные записи, но одно и то же число.

• Копии одного и того же файла на разных дисках — это разные физические объекты, но одна и та же информация.

Нам нужен способ сказать: «с этого момента мы будем считать эти объекты одинаковыми». Отношение эквивалентности (~) — это и есть такое формальное правило "склейки".

Оно должно удовлетворять трем свойствам, которые кажутся очевидными, но являются критически важными:

1. Рефлексивность: a ~ a (Любой объект эквивалентен сам себе).

2. Симметричность: Если a ~ b, то b ~ a (Если A эквивалентно B, то и B эквивалентно A).

3. Транзитивность: Если a ~ b и b ~ c, то a ~ c (Если A эквивалентно B, а B — C, то и A эквивалентно C).

Как только мы вводим такое отношение на множестве, оно немедленно разбивает все множество на непересекающиеся "контейнеры" — классы эквивалентности. Внутри каждого контейнера лежат все объекты, которые мы договорились считать "одинаковыми".

И вот главный трюк: мы можем начать работать не с отдельными объектами, а с самими этими контейнерами! Класс эквивалентности становится новым, полноценным математическим объектом.

Это невероятно мощная идея. Она позволяет нам строить новые, более абстрактные миры из уже существующих. Именно с помощью этого «клея» мы будем возводить этажи целых и рациональных чисел, склеивая бесконечные множества пар в единые, цельные числа.

§ 0.10. Генеральный план счета: аксиомы Пеано

Итак, мы выбрали путь архитекторов. Прежде чем класть кирпичи, мы создадим генеральный план. Наша первая задача — формализовать самую базовую интуицию человечества: идею счёта «один, два, три...».

В конце XIX века итальянский математик Джузеппе Пеано свел эту идею к пяти элегантным правилам — аксиомам. Они не говорят нам, что такое натуральные числа, а лишь описывают, как они должны себя вести. Это и есть план для натуральных чисел ℕ.

Правила Игры

Представим, что у нас есть некое множество ℕ и операция «взять следующий элемент» (мы будем обозначать ее штрихом, n'). Это множество является множеством натуральных чисел, если оно подчиняется пяти незыблемым законам:

1. 1 является элементом ℕ.

* На языке строителей: «У нашего здания есть первый этаж».

2. Если n' = m', то n = m.

«На каждый этаж ведет только одна лестница». У разных чисел — разные «следующие». Нельзя прийти в одну и ту же точку из разных мест.

3. 1 не является «следующим» ни для какого элемента ℕ.

«Первый этаж построен на земле, под ним нет других этажей».

4. Для каждого элемента n из ℕ существует следующий за ним элемент n'.

«От любого этажа всегда можно построить лестницу наверх».

Эти четыре аксиомы уже описывают нечто похожее на бесконечную лестницу, уходящую ввысь: 1 → 2 → 3 → .... Но они не запрещают коварную возможность: а что, если рядом с нашей лестницей в здании есть еще какие-то отдельные, не связанные с ней комнаты или даже целые параллельные лестничные пролеты?

Чтобы гарантировать, что наше здание — это одна-единственная, цельная башня, а не архипелаг построек, нужна последняя, самая мощная аксиома.

5. Аксиома Индукции

Пусть у нас есть некое свойство P. Если мы можем доказать две вещи:

• База: 1 обладает свойством P.

• Шаг: Из того, что любой этаж n обладает свойством P, следует, что и следующий этаж n' тоже обладает свойством P.

...тогда мы можем заключить, что все этажи нашего здания обладают свойством P.

Эта аксиома — наш главный инструмент контроля качества. Она говорит: если вы можете добраться до первого этажа и умеете переходить с любого этажа на следующий, значит, вы можете добраться до любого этажа в здании. Никаких потайных комнат не существует. Наше множество ℕ содержит только то, что должно, и ничего лишнего.

Эти пять аксиом — наш первый гранитный камень в фундаменте анализа. Они превращают туманную идею «счёта» в строгую, формальную структуру. Теперь, вооружившись этим генпланом, мы можем приступить к строительству. Но сначала нужно ввести операцию сложения натуральных чисел и доказать ее корректность. Итак

1. Аксиомы Пеано

Натуральные числа (включая 0) — это множество, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. A1: (0 — натуральное число).

2. A2: Для любого существует следующее за ним число, называемое его последователем, обозначаемое .

3. A3: Не существует такого , что (у нуля нет предшественника).

4. A4: Функция инъективна: если , то (у разных чисел разные последователи).

5. A5 (Аксиома индукции): Если некоторое свойство выполняется для (база индукции), и если из предположения, что выполняется для , следует, что оно выполняется и для (индуктивный переход), то выполняется для всех натуральных чисел.

Интуитивно: — это просто . Например, , и т.д.

2. Определение сложения

Сложение (+) — это бинарная операция на , которая определяется рекурсивно для любых через два правила:

• D1 (Сложение с нулем):

• D2 (Сложение с последователем):

Интуитивно второе правило говорит: "Чтобы прибавить к n число m+1, нужно сначала прибавить m, а потом взять следующее число".

3. Доказательство Ассоциативности:

Докажем это свойство индукцией по переменной .
Пусть — любые фиксированные натуральные числа. Обозначим свойство как равенство .

База индукции:
Нужно доказать, что истинно: .

1. (по определению D1, где роль играет )

2. (по определению D1)

3. Следовательно, .

4. Обе части равны , значит, . База индукции верна.

Индуктивный переход
Предположим, что истинно для некоторого (индуктивное предположение):

Нужно доказать, что также истинно:

Докажем это, преобразуя левую часть равенства к правой:

1. (по определению D2)

2. (по индуктивному предположению)

3. (по определению D2, где роль играет , а роль играет )

4. (по определению D2)

5. Подставляя (4) в (3), получаем: .

Мы начали с левой части и пришли к правой , что и требовалось доказать.
Индуктивный переход доказан.

Заключение: По принципу математической индукции, ассоциативность сложения верна для всех натуральных чисел.

4. Доказательство Коммутативности:

Доказательство коммутативности сложнее и требует двух вспомогательных лемм.

Лемма 1:
(Наше определение дает только ). Докажем индукцией по .

• База (): . Это следует из D1.

• Переход: Предположим, . Докажем, что . (по D2) (по индуктивному предположению) Следовательно, . Лемма доказана.

Лемма 2:
Докажем индукцией по .

• База (): . (по D1) (по D1) Равенство верно.

• Переход: Предположим, . Докажем, что . (по D2) (по индуктивному предположению) (по D2, где и , примененное "в обратную сторону" к выражению в скобках) Следовательно, . Лемма доказана.

Основное доказательство коммутативности:
Докажем индукцией по . Пусть — любое фиксированное натуральное число.

База индукции:
Нужно доказать, что .

1. (по определению D1)

2. (по Лемме 1)

3. Равенство верно.

Индуктивный переход
Предположим, что для некоторого .
Нужно доказать, что .

1. (по определению D2)

2. (по индуктивному предположению)

3. Теперь рассмотрим правую часть: . По Лемме 2 (где ), мы знаем, что .

Обе части равенства ( и ) оказались равны одному и тому же выражению . Значит, они равны между собой.
Индуктивный переход доказан.

Заключение: По принципу математической индукции, коммутативность сложения верна для всех натуральных чисел.

§ 0.11. Проблема вычитания: строительство целых чисел

Итак, наш первый этаж ℕ построен. У нас есть счёт и операция сложения, подчиняющиеся строгим правилам. Но наша конструкция пока неполноценна. Она страдает от фундаментального дефекта: невозможность свободного вычитания.

Внутри мира ℕ уравнение 5 + x = 2 — это бессмыслица. У него нет решения. Это означает, что мы не можем "отменить" каждое действие. Наша числовая прямая — это пока что луч, уходящий только в одну сторону.

Наша задача — расширить ℕ до новой, более мощной структуры ℤ, в которой операция сложения имела бы обратную. Как это сделать, не нарушая уже построенного и не вводя новые сущности "с потолка"?

Аксиоматический запрос: Чего мы хотим?

Давайте снова выступим в роли архитекторов. Прежде чем строить, сформулируем «техническое задание». Мы хотим создать множество ℤ и операции + и · на нем, которые должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам):

1. Наследие: ℤ должно содержать в себе копию ℕ. Все, что было верно для натуральных чисел, должно остаться верным.

2. Замкнутость: сумма, разность и произведение любых двух целых чисел должны также быть целыми числами.

3. Привычные свойства: сложение и умножение должны быть коммутативны и ассоциативны, а также связаны законом дистрибутивности.

4. Существование нуля и единицы: должны существовать нейтральные элементы 0 и 1.

5. Ключевое требование (аксиома обратного элемента): Для любого элемента a ∈ ℤ должен существовать противоположный элемент -a такой, что a + (-a) = 0.

Именно пятое требование и есть наша цель. Теперь вопрос: существует ли вообще такая структура? Наш «генеральный план» логически непротиворечив? Чтобы доказать это, мы должны предъявить хотя бы одну конкретную модель — построить объект, который будет подчиняться этим правилам.

Конструктивная модель: идея пар

Как сконструировать объект, который будет вести себя как разность, не используя саму операцию разности (которой у нас пока нет)? Мы используем мощный прием: представление объекта через пару его составных частей.

Любое будущее целое число z можно будет представить как разность двух натуральных чисел: z = a - b.

• Число 3 можно представить как 3-0, 4-1, 5-2...

• Число -3 можно представить как 0-3, 1-4, 2-5...

Это наблюдение — наш ключ. Вместо самого неуловимого числа z, мы будем работать с его "координатами" — парой натуральных чисел (a, b), которая его порождает.

Но здесь возникает проблема: пары (3, 0) и (4, 1) — это формально разные объекты, но они должны представлять одно и то же число 3. Нам нужен способ "склеить" их. Мы вводим отношение эквивалентности:

Две пары (a, b) и (c, d) считаются эквивалентными (обозначается (a, b) ~ (c, d)), если они представляют одну и ту же гипотетическую разность.
a - b = c - d
Чтобы избавиться от «минуса», перенесем члены:
a + d = b + c

Это равенство написано исключительно в терминах натуральных чисел и сложения, которые у нас уже строго определены! Это и есть наше правило "склейки".

Формальное Определение

Теперь мы готовы дать строгое определение.

1. Материал: рассматриваем множество всех пар натуральных чисел ℕ × ℕ.

2. Отношение: вводим на этом множестве отношение эквивалентности (a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c.

3. Определение:

   целое число — это класс эквивалентности по этому отношению. То есть, целое число — это не пара, а целое множество всех пар, эквивалентных друг другу.

• Число 0 — это класс [(0, 0)] = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), ...}.

• Число 3 — это класс [(3, 0)] = {(3, 0), (4, 1), (5, 2), ...}.

• Число -3 — это класс [(0, 3)] = {(0, 3), (1, 4), (2, 5), ...}.

Мы не «придумали» отрицательные числа. Мы построили их как совершенно новый тип объектов (множества пар) из уже существующих (натуральных чисел).

Доказательство корректности: оживляем нашу конструкцию

Мы создали новые объекты — целые числа — как классы эквивалентности пар [(a, b)]. Теперь нам нужно научить их взаимодействовать: определить для них сложение и умножение. Но здесь нас поджидает ловушка. Операции мы будем определять через представителей класса (конкретные пары), но мы должны доказать, что результат не зависит от того, какого представителя мы выбрали. Это и называется доказательством корректности определения. Без него вся наша конструкция рассыплется.

1. Определение Сложения

Интуиция:

Мы хотим, чтобы (a - b) + (c - d) было равно (a + c) - (b + d).
Это подсказывает нам определение:

Определение:

Суммой двух целых чисел [(a, b)] и [(c, d)] назовем целое число, представленное классом [(a + c, b + d)].

Доказательство корректности:

Нам нужно доказать, что если мы возьмем других представителей тех же классов, результат будет тем же самым. Пусть (a, b) ~ (a', b') и (c, d) ~ (c', d').

Это означает по определению эквивалентности:

1. a + b' = b + a'

2. c + d' = d + c'

Мы должны доказать, что (a + c, b + d) ~ (a' + c', b' + d').

То есть, мы должны доказать, что (a + c) + (b' + d') = (b + d) + (a' + c').

Доказательство:

Сложим левые и правые части наших исходных равенств:

(a + b') + (c + d') = (b + a') + (d + c')

Используя ассоциативность и коммутативность сложения натуральных чисел (которые мы считаем уже доказанными), перегруппируем члены:

(a + c) + (b' + d') = (b + d) + (a' + c')

Это в точности то, что мы хотели доказать. Следовательно, определение сложения корректно. Результат не зависит от выбора представителей.

Пример:

(-3) + (+5)

Представим -3 как (0, 3), а +5 как (5, 0).

[(0, 3)] + [(5, 0)] = [(0 + 5, 3 + 0)] = [(5, 3)].

Класс [(5, 3)] — это множество {(5, 3), (4, 2), (3, 1), (2, 0), ...}, которое представляет число +2.

Возьмем других представителей: -3 как (1, 4) и +5 как (6, 1).

[(1, 4)] + [(6, 1)] = [(1 + 6, 4 + 1)] = [(7, 5)].

Проверим эквивалентность (7, 5) и (2, 0): 7 + 0 = 5 + 2.

Верно. Класс [(7, 5)] — это то же самое число +2. Все работает!

2. Определение Умножения

Интуиция:

Мы хотим, чтобы (a - b) · (c - d) было равно (ac + bd) - (ad + bc).

Это получается, если раскрыть скобки: ac - ad - bc + bd.

Представьте, что пара (a, b) описывает некое "состояние", где a — это "хорошие" вещи (имущество, активы, друзья), а b — "плохие" (долги, пассивы, враги).

Тогда (a - b) — это итоговый "баланс". Мы хотим понять, что происходит при перемножении двух таких состояний.

Разбор формулы

Мы умножаем состояние (a - b) на состояние (c - d).

Что в итоге станет "хорошим" (попадет в левую, зеленую часть итоговой пары), а что — "плохим" (попадет в правую, красную)?

1. Как получить Имущество (зеленый цвет)?

   • Путь ac: если мы умножаем Имущество на Имущество (a на c), результат очевидно будет Имуществом. ("Друг моего друга — мой друг").

   • Путь bd: если мы умножаем Долг на Долг (-b на -d), результат становится Имуществом. Это правило "минус на минус дает плюс", переведенное на житейский язык. ("Враг моего врага — мой друг").

   • Итоговое имущество: ac + bd.

2. Как получить Долги (красный цвет)?

   • Путь ad: если мы умножаем Имущество a на Долг -d, результат будет Долгом. ("Друг моего врага — мой враг").

   • Путь bc: если мы умножаем Долг -b на Имущество c, результат также будет Долгом. ("Враг моего друга — мой враг").

   • Итоговые Долги: ad + bc.

Что показывает иллюстрация:

• Верхний уровень: два "состояния" (a - b) и (c - d), где зеленым помечены "положительные" части, а красным — "отрицательные".

• Средний уровень: четыре стрелки показывают все возможные "взаимодействия" (перемножения) между частями.

  • Зеленые стрелки ведут к "Имуществу".

  • Красные стрелки ведут к "Долгам".

• Нижний уровень: итоговый результат — новая пара (Имущество, Долги), которая в точности соответствует формальному определению (ac + bd, ad + bc).

Это подсказывает нам определение:

Определение:

Произведением двух целых чисел [(a, b)] и [(c, d)] назовем целое число, представленное классом [(ac + bd, ad + bc)].

Доказательство корректности:

Это доказательство сложнее, но идея та же.

Пусть (a, b) ~ (a', b'), то есть a + b' = b + a'.

Мы должны доказать (для простоты зафиксировав пару (c, d)), что

(ac + bd, ad + bc) ~ (a'c + b'd, a'd + b'c).

То есть, мы должны доказать:

(ac + bd) + (a'd + b'c) = (ad + bc) + (a'c + b'd)

Доказательство:

Перегруппируем члены в выражении, которое мы хотим доказать, вынося за скобки c и d:

c(a - b) + d(b - a) = c(a' - b') + d(b' - a')

(Это пока неформальная запись с "минусом")

c(a - b) - d(a - b) = c(a' - b') - d(a' - b')

(c - d)(a - b) = (c - d)(a' - b')

Мы знаем, что a - b = a' - b' (потому что a + b' = b + a').

Значит, равенство верно. Теперь проведем это строго, без "минусов".

Нам дано: a + b' = b + a'.

Мы хотим доказать:

(ac + bd) + (a'd + b'c) = (ad + bc) + (a'c + b'd).

Рассмотрим разность левой и правой частей (в уме):

ac + bd + a'd + b'c - ad - bc - a'c - b'd

Группируем:

c(a - a') + d(b - a') + d(a' - b) + c(b' - a) (неформально)

c(a - a' + b' - b) + d(b - a' + a' - b')

c(a + b' - (a' + b)) + d(b + a' - (a' + b'))

Из a + b' = b + a' следует a - b = a' - b'.Обозначим эту разность через k.

Тогда a = b + k и a' = b' + k. Подставим в ac + bd и ad + bc:

ac + bd = (b+k)c + bd = bc + kc + bd

ad + bc = (b+k)d + bc = bd + kd + bc

Тогда пара (ac + bd, ad + bc) представляет число kc - kd = k(c-d).

Аналогично для (a'c + b'd, a'd + b'c) получим k(c-d).

Поскольку обе пары представляют одно и то же число, они эквивалентны.

Следовательно, определение умножения корректно.

Пример:

(-3) · (+5)

[(0, 3)] · [(5, 0)] = [(0·5 + 3·0, 0·0 + 3·5)] = [(0, 15)].

Класс [(0, 15)] представляет число -15. Все работает!

Вывод

Мы не просто дали определения. Мы доказали, что эти определения не зависят от нашего произвола в выборе представителей. Они внутренне непротиворечивы.

Теперь мы должны убедиться, что наши новые операции сложения и умножения обладают всеми теми "хорошими" свойствами, к которым мы привыкли.

Для доказательства нам понадобятся только наши определения и уже известные свойства операций + и · для натуральных чисел ℕ (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность).

Пусть x = [(a, b)], y = [(c, d)], z = [(e, f)] — три произвольных целых числа.

Проверка свойств сложения

1. Коммутативность сложения (x + y = y + x)

Мы должны доказать, что [(a, b)] + [(c, d)] = [(c, d)] + [(a, b)].

• Левая часть: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] (по определению).

• Правая часть: [(c, d)] + [(a, b)] = [(c + a, d + b)] (по определению).

Поскольку сложение натуральных чисел коммутативно (a + c = c + a и b + d = d + b), пары (a + c, b + d) и (c + a, d + b) идентичны. Следовательно, они принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.

Коммутативность доказана.

2. Ассоциативность сложения ((x + y) + z = x + (y + z))

Мы должны доказать, что

([(a, b)] + [(c, d)]) + [(e, f)] = [(a, b)] + ([(c, d)] + [(e, f)]).

• Левая часть: ([(a, b)] + [(c, d)]) + [(e, f)] = [(a + c, b + d)] + [(e, f)] = [((a + c) + e, (b + d) + f)]

• Правая часть: [(a, b)] + ([(c, d)] + [(e, f)]) = [(a, b)] + [(c + e, d + f)] = [(a + (c + e), b + (d + f))]

Поскольку сложение натуральных чисел ассоциативно ((a + c) + e = a + (c + e) и (b + d) + f = b + (d + f)), итоговые пары идентичны.

Ассоциативность доказана.

3. Существование нуля

Мы ищем такой элемент zero = [(g, h)], что x + zero = x.

То есть, [(a, b)] + [(g, h)] = [(a, b)].

[(a + g, b + h)] = [(a, b)]

По определению эквивалентности, это означает:

(a + g) + b = (b + h) + a

a + b + g = a + b + h

Отсюда g = h. Значит, любой элемент вида [(g, g)] является нулем. Мы выбираем самый простой представитель — 0 := [(0, 0)].

Существование нуля доказано.

4. Существование противоположного элемента

Для элемента x = [(a, b)] мы ищем -x = [(g, h)] такой, что x + (-x) = 0.

[(a, b)] + [(g, h)] = [(0, 0)]

[(a + g, b + h)] = [(0, 0)]

По определению эквивалентности:

(a + g) + 0 = (b + h) + 0

a + g = b + h

Простейшее решение этого уравнения — положить g = b и h = a.

Значит, противоположный элемент для [(a, b)] — это -x := [(b, a)].

Существование противоположного элемента доказано.

Проверка свойств умножения

5. Коммутативность умножения (x · y = y · x)

Мы должны доказать, что [(a, b)] · [(c, d)] = [(c, d)] · [(a, b)].

• Левая часть: [(ac + bd, ad + bc)]

• Правая часть: [(ca + db, cb + da)]

Поскольку сложение и умножение натуральных чисел коммутативны, выражения ac + bd и ca + db равны, как и выражения ad + bc и cb + da. Итоговые пары идентичны.

Коммутативность доказана.

6. Ассоциативность умножения ((x · y) · z = x · (y · z))

Это самое громоздкое доказательство, требующее аккуратности.

Пусть x = [(a,b)], y = [(c,d)], z = [(e,f)].

• Левая часть: (x · y) · z = [(ac + bd, ad + bc)] · [(e, f)]
  По определению умножения, первая компонента новой пары будет:

  (ac + bd)e + (ad + bc)f = ace + bde + adf + bcf

  Вторая компонента:

  (ac + bd)f + (ad + bc)e = acf + bdf + ade + bce

• Правая часть: x · (y · z) = [(a, b)] · [(ce + df, cf + de)]

  Первая компонента:

  a(ce + df) + b(cf + de) = ace + adf + bcf + bde

  Вторая компонента:

  a(cf + de) + b(ce + df) = acf + ade + bce + bdf

Сравнивая компоненты левой и правой частей (используя коммутативность сложения в ℕ), мы видим, что они идентичны. Ассоциативность доказана.

7. Существование единицы

Мы ищем one = [(g, h)] такой, что x · one = x.

[(a, b)] · [(g, h)] = [(a, b)]

[(ag + bh, ah + bg)] = [(a, b)]

По определению эквивалентности:

ag + bh + b = ah + bg + a

Мы знаем, что [(1, 0)] должен представлять +1. Проверим, подходит ли он.

Пусть g=1, h=0.

a·1 + b·0 + b = a·0 + b·1 + a

a + 0 + b = 0 + b + a

a + b = b + a.

Верно. Значит, 1 := [(1, 0)] является мультипликативной единицей.

Существование единицы доказано.

Проверка связующего свойства

8. Дистрибутивность (z · (x + y) = z · x + z · y)

• Левая часть: z · (x + y) = [(e, f)] · [(a + c, b + d)]
  Первая компонента: e(a + c) + f(b + d) = ea + ec + fb + fd
  Вторая компонента: e(b + d) + f(a + c) = eb + ed + fa + fc

• Правая часть: z · x + z · y = [(ea + fb, eb + fa)] + [(ec + fd, ed + fc)]
  Первая компонента: (ea + fb) + (ec + fd) = ea + ec + fb + fd
  Вторая компонента: (eb + fa) + (ed + fc) = eb + ed + fa + fc

Сравнивая компоненты, видим, что они идентичны.
Дистрибутивность доказана.

Итак.

Мы это сделали. Мы строго доказали, что наша конструкция, основанная на классах эквивалентности пар натуральных чисел, удовлетворяет всем привычным аксиомам целых чисел. Наше «техническое задание» полностью выполнено.

Мы не просто построили «второй этаж», мы доказали, что он построен по всем правилам архитектуры, прочно и без дефектов.

§ 0.12. Третий этаж: строительство рациональных чисел

Мы возвели прочное двухэтажное здание целых чисел ℤ. В этом мире решена проблема вычитания. Но при попытке подняться выше мы обнаруживаем новый дефект: невозможность свободного деления.

Внутри мира ℤ уравнение 3 · x = 2 не имеет решения. Нельзя разделить 2 яблока на 3 человек, если в вашем мире существуют только целые яблоки. Наша числовая прямая все еще похожа на пунктирную линию: между точками 0 и 1 — зияющая пустота. Чтобы описать доли, части и отношения, нам нужен новый, третий этаж.

Наша задача — расширить ℤ до новой, более мощной структуры ℚ, в которой деление (кроме деления на ноль) было бы всегда возможно.

Аксиоматический запрос: чего мы хотим?

Снова выступим в роли архитекторов. Прежде чем строить, сформулируем «техническое задание». Мы хотим создать множество ℚ и операции + и · на нем, которые должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Наследие: ℚ должно содержать в себе копию ℤ.

2. Сохранение правил: все привычные свойства сложения и умножения (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность) должны продолжать работать.

3. Ключевое требование (возможность деления): для любого ненулевого числа x из ℚ должно существовать "обратное" ему число x⁻¹ такое, что x · x⁻¹ = 1.

Именно третье требование и есть наша цель. Теперь вопрос: существует ли вообще такая структура? Наш «генеральный план» логически непротиворечив? Чтобы доказать это, мы должны предъявить хотя бы одну конкретную модель — построить объект, который будет подчиняться этим правилам.

Конструктивная модель: идея отношений

Как сконструировать объект, который будет вести себя как дробь m/n, не используя саму операцию деления (которой у нас пока нет)? Мы снова используем наш проверенный метод: представление объекта через пару.

Любое будущее рациональное число q можно будет представить как отношение (дробь) двух целых чисел: q = m/n (где n ≠ 0).

• Число 0.5 можно представить как 1/2, 2/4, 3/6...

• Число -2 можно представить как -2/1, -4/2, 2/(-1)...

Это наблюдение дает нам ключ: мы будем работать с парами целых чисел (m, n), которые ведут себя как числитель и знаменатель.

И снова возникает проблема: пары (1, 2) и (2, 4) — формально разные объекты, но они должны представлять одно и то же число 0.5. Нам снова нужен способ «склеить» их. Мы вводим отношение эквивалентности, основанное на правиле пропорции:

Две пары (m, n) и (p, q) считаются эквивалентными (обозначается (m, n) ~ (p, q)), если они представляют одну и ту же гипотетическую дробь.
m/n = p/q
Чтобы избавиться от деления, воспользуемся перекрестным умножением:
m · q = n · p

Это равенство написано исключительно в терминах целых чисел и умножения, которые у нас уже строго определены!

Формальное определение

Теперь мы готовы дать строгое определение.

1. Материал:

   рассматриваем множество всех пар целых чисел (m, n), гдеn не равно нулю.

2. Отношение:

   вводим на этом множестве отношение эквивалентности

   (m, n) ~ (p, q) ⇔ m · q = n · p.

3. Определение:

   рациональное число — это класс эквивалентности по этому отношению.

• Число 0.5 — это класс [(1, 2)] = {(1, 2), (2, 4), (-1, -2), ...}.

• Число -2 — это класс [(-2, 1)] = {(-2, 1), (-4, 2), (2, -1), ...}.

• Число 1 — это класс [(1, 1)] = {(1, 1), (2, 2), (-5, -5), ...}.

Мы не «придумали» дроби. Мы построили их как новый тип объектов (множества пар целых чисел) и назвали их рациональными числами ℚ.

Доказательство корректности: Оживляем Рациональные Числа

Мы определили рациональное число как класс эквивалентности [(m, n)]. Теперь мы должны определить для этих классов операции сложения и умножения. И снова, как и в случае с целыми числами, мы сталкиваемся с главной проблемой: операции определяются через конкретных представителей (пары), но результат не должен от них зависеть. Это требует строгого доказательства корректности.

Пусть x = [(m, n)] и y = [(p, q)] — два произвольных рациональных числа.

1. Определение Сложения

Интуиция: Мы хотим, чтобы m/n + p/q было равно (mq + np) / nq. Это школьное правило приведения к общему знаменателю.

Определение: Суммой двух рациональных чисел [(m, n)] и [(p, q)] назовем рациональное число, представленное классом [(mq + np, nq)].

Доказательство корректности:
Это самое громоздкое доказательство, но оно необходимо.
Пусть (m, n) ~ (m', n') и (p, q) ~ (p', q'). По определению эквивалентности это означает:

1. m · n' = n · m'

2. p · q' = q · p'

Мы должны доказать, что (mq + np, nq) ~ (m'q' + n'p', n'q').
То есть, мы должны доказать равенство:
(mq + np) · (n'q') = (nq) · (m'q' + n'p')

Доказательство:
Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть:
(mq + np) · n'q' = mqn'q' + npn'q'
Подставим mn' = nm' из (1) и pq' = qp' из (2):
= (m'n)qn'q' + n(p'q)n'q' = m'nq' (nq') + p'qn'(nq') - это сложно.

Попробуем по-другому. Раскроем скобки и преобразуем, используя (1) и (2):
mqn'q' + npn'q'
Заменим n'q' на q'n':
mq(q'n') + np(n'q')
= m(qq')n' + p(nn')q'
Используем mn' = nm' и pq' = qp':
= (nm') (qq') + (qp') (nn') - тоже не очень.

Вернемся к раскрытым скобкам и преобразуем левую часть:
mqn'q' + npn'q' = (mn')qq' + (pq')nn'
Используем (1) и (2):
= (nm')qq' + (qp')nn'

Теперь преобразуем правую часть:
nq(m'q' + n'p') = nqm'q' + nqn'p'
= nn'p'q + mm'qq' - что-то не то.

Вернемся к правой части:
nq(m'q' + n'p') = nqm'q' + nqn'p'
Перегруппируем:
= (nm')qq' + (np)n'q'
Сравним с mqn'q' + npn'q'.

Давайте начнем с равенства, которое нужно доказать:
(mq + np)n'q' = nq(m'q' + n'p')
mqn'q' + npn'q' = nqm'q' + nqn'p'
Используем mn' = nm' (1) и pq' = qp' (2).
m'nqq' + npn'q' = nqm'q' + nqn'p'
Это уже близко. Давайте вынесем общие множители.
m'nqq' + p'qnn' = m'nqq' + p'qnn'.
Равенство доказано.

Следовательно, определение сложения корректно.

2. Определение Умножения

Интуиция: Мы хотим, чтобы (m/n) · (p/q) было равно mp / nq.

Определение: Произведением двух рациональных чисел [(m, n)] и [(p, q)] назовем рациональное число, представленное классом [(mp, nq)].

Доказательство корректности:
Это доказательство гораздо проще.
Пусть (m, n) ~ (m', n') и (p, q) ~ (p', q').

1. mn' = nm'

2. pq' = qp'

Мы должны доказать, что (mp, nq) ~ (m'p', n'q').
То есть, мы должны доказать: (mp)(n'q') = (nq)(m'p').

Доказательство:
Перегруппируем члены в левой части:
(mp)(n'q') = (mn')(pq')
Используем равенства (1) и (2):
= (nm')(qp')
Снова перегруппируем:
= (nq)(m'p')
Это в точности правая часть. Равенство доказано.
Следовательно, определение умножения корректно.

Проверка ключевого свойства (существование обратного)

Теперь докажем, что наша конструкция удовлетворяет главному требованию — существованию обратного элемента для умножения.

Пусть x = [(m, n)] — произвольное ненулевое рациональное число.
«Ненулевое» означает, что x не равно классу [(0, 1)]. Это значит, что (m, n) не эквивалентно (0, 1), то есть m·1 ≠ n·0, откуда m ≠ 0.

Мы ищем обратный элемент x⁻¹ = [(p, q)] такой, что x · x⁻¹ = 1.
Напомним, что 1 := [(1, 1)].
[(m, n)] · [(p, q)] = [(1, 1)]
[(mp, nq)] = [(1, 1)]

По определению эквивалентности:
(mp) · 1 = (nq) · 1
mp = nq

Поскольку m ≠ 0 и n ≠ 0, простейшее решение этого уравнения — положить p = n и q = m. Значит, обратный элемент для [(m, n)] — это x⁻¹ := [(n, m)].

Мы доказали, что для любого ненулевого рационального числа существует обратное.

Вывод

Мы успешно завершили строительство третьего этажа. Мы не просто дали определения операциям, а строго доказали их корректность, убедившись, что они не зависят от нашего произвола. Мы также доказали, что наша новая система ℚ решает фундаментальную проблему деления.

Наше здание математики теперь имеет три прочных этажа. Числовая прямая стала плотной: между любыми двумя числами всегда есть третье. Здание математики получило свой третий, и, казалось бы, последний этаж.

§ 0.13. Иллюзия полноты: великий обман интуиции

Мы проделали титаническую работу. Шаг за шагом, этаж за этажом, мы возвели величественное здание рациональных чисел ℚ.

Наша числовая прямая теперь кажется идеальной:

• Она бесконечна в обе стороны.

• Она плотна: между любыми двумя, даже самыми близкими, числами всегда можно найти бесконечное множество других.

Кажется, что мы заделали все щели.

Мы создали непрерывную ткань, идеальный инструмент для измерения любой длины в нашем геометрическом мире. Интуиция кричит: "работа сделана!"

И в этом заключается последний и самый коварный обман.

Все эти конструкции, как бы сложны они ни были, являются порождением дискретного, счётного мира. Мы строили их из пар, троек, конечных наборов правил.

Мы — мастера кирпичной кладки. Но мир геометрии, мир непрерывного — это не кирпичная стена. Это плавно текущая река.

И при попытке измерить эту реку нашей идеальной, но кирпичной линейкой, нас ждет катастрофа. Та самая, что повергла в ужас пифагорейцев две с половиной тысячи лет назад.

Катастрофа: дыры в реальности

Рассмотрим простейший геометрический объект: квадрат со стороной 1. Объект, который может начертить даже ребенок. По теореме Пифагора, длина его диагонали равна √2.

Это реальная, физически существующая длина. Ее можно измерить циркулем, приложить к линейке. Но затем, как мы уже знаем, пифагорейцы сделали ужасающее открытие: √2 невозможно представить в виде дроби m/n.

Как же доказать, что √2 — не рациональное число? Мы используем один из самых красивых и мощных методов в арсенале математика — доказательство от противного (reductio ad absurdum). Логика проста:

1. Предположим, что утверждение, которое мы хотим доказать, неверно.

2. Начнем рассуждать, строго следуя правилам логики.

3. Если в конце мы придем к очевидному абсурду или противоречию, значит, наше первоначальное предположение было ложным.

4. Следовательно, исходное утверждение — верно.

Теорема: √2 является иррациональным числом.

Доказательство (от противного):

1. Предположение: Давайте предположим, что √2 рационально. Это значит, что его можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0.
   √2 = m/n
   Более того, мы можем считать, что эта дробь несократима. Если бы у m и n были общие делители, мы бы просто сократили их. Это ключевой момент.

2. Логические шаги:

   • Возведем обе части равенства в квадрат: 2 = m²/n²

   • Умножим обе части на n²: 2n² = m²

3. Первое наблюдение:

   • Левая часть уравнения (2n²) очевидно делится на 2. Значит, и правая часть (m²) тоже должна делиться на 2.

   • Если квадрат числа m² — чётное, то и само число m тоже должно быть чётным. (Ведь квадрат нечетного числа всегда нечетен: (2k+1)² = 4k² + 4k + 1).

   • Раз m — чётное, мы можем представить его в виде m = 2k для некоторого целого k.

4. Продолжаем рассуждения:

   • Подставим m = 2k в наше уравнение 2n² = m²: 2n² = (2k)² 2n² = 4k²

   • Разделим обе части на 2: n² = 2k²

5. Второе наблюдение (и коллапс логики):

   • Теперь мы видим, что правая часть нового уравнения (2k²) делится на 2. Значит, и левая часть (n²) тоже должна делиться на 2.

   • А если n² — чётное, то, как мы уже знаем, и само число n тоже должно быть чётным.

6. Противоречие:

   • Из пункта 3 мы заключили, что m — чётное.

   • Из пункта 5 мы заключили, что n — чётное.

   • Но если и m, и n — чётные, то у них есть общий делитель — 2. А это прямо противоречит нашему первоначальному предположению в пункте 1, что дробь m/n несократима!

Мы пришли к абсурду. Наше предположение о том, что √2 можно представить в виде дроби, привело нас к логическому коллапсу.

Следовательно, это предположение было ложным.

Вывод: √2 не является рациональным числом. Доказательство завершено.

Что это означает на самом деле?

Представьте, что вы берете нашу идеальную, плотную линейку ℚ и пытаетесь измерить ею эту диагональ. Вы будете бесконечно подбирать дроби, подходя все ближе и ближе, но никогда не найдете ту, что попадет точно в цель.

Это означает, что на нашей, казалось бы, сплошной числовой прямой есть дыры. Микроскопические проколы, невидимые глазу, но от этого не менее реальные. Наша идеальная ткань оказалась дырявым решетом.

Гармоничная картина мира, которую мы так тщательно строили, рухнула. Стало ясно, что для описания непрерывного мира геометрии наш инструментарий дискретных чисел принципиально недостаточен.

Именно на этой драматической ноте мы и начинаем наш курс. Главный вопрос математического анализа звучит так:

Как нам «заделать» эти дыры? Как превратить наше дырявое решето в настоящую, сплошную ткань? Что такое на самом деле «континуум», и как его укротить с помощью строгой логики?

Ответ на этот вопрос и станет нашим ключом к пониманию пределов, производных и интегралов. Наш первый шаг — создать аксиоматику и конструкцию вещественных чисел ℝ, которые раз и навсегда запретят существование этих дыр.

§ 0.14. Путь вперед: наследие эпохи строгости

Итак, мы стоим на руинах мира рациональных чисел, перед лицом главного вызова — проблемы непрерывности. Путь, который проложили для нас гиганты XIX века — Коши, Вейерштрасс, Дедекинд и Кантор, — был радикальным.

Они осознали, что интуиция, основанная на геометрии, ведет в ловушки. Диагонали квадратов, «функции-монстры», парадоксы — все это было порождено попыткой довериться картинке. Их решение было беспощадным: изгнать геометрию из оснований анализа.

Все здание должно быть перестроено с нуля, опираясь только на незыблемый фундамент арифметики и логики. Этот подход, известный как арифметизация анализа, и породил ту самую формальную строгость, которая так пугает сегодня студентов.

Но эта строгость была не самоцелью.

Она позволила создать теории невероятной мощи и общности:

1. Теория множеств (Кантор): чтобы говорить о бесконечности строго, Кантор создал для нее целый новый язык, классифицировав разные «размеры» бесконечности и навсегда изменив наше представление о математической вселенной.

2. Абстрактная алгебра: чтобы понять, что общего у чисел, векторов и функций, математики начали изучать абстрактные алгебраические структуры — группы, кольца, поля. Это позволило увидеть единые законы, управляющие разными, на первый взгляд, объектами.

3. Теория вещественного числа (Дедекинд, Кантор): самое главное — были созданы строгие, чисто арифметические конструкции для «полной» числовой прямой ℝ, которые раз и навсегда «заделали» пифагорейские дыры.

Оглядываясь назад, можно даже выделить 6 вех в развитии анализа:

1. Древний (вычислительные приёмы для практических задач) известен с глубочайшей древности, авторы неизвестны;

2. Элементарный — методы и доказательства Архимеда;

3. Метрический — анализ Ньютона и Лейбница, основанный на длинах, площадях, аппроксимация и интерполяциях;

4. Алгебраический — анализ Лагранжа, на основе степенных рядов:

5. Дескриптивный — анализ Коши, его преподают в вузах обычно; В нем впервые строго были определены все базовые понятия математического анализа.

6. Топологический — современный анализ.

Мы будем изучать дескриптивный анализ, но в геометрическом изложении. Современный анализ уже далеко выходит за пределы обычного и изучает куда более абстрактные вещи.

В следующих главах мы пройдем по стопам классиков. Мы построим вещественные числа, строго определим предел на языке последовательностей и, кирпичик за кирпичиком, возведем то самое здание, которое выдержит любые парадоксы.

Мы вернем анализу его интуитивную, геометрическую душу, но поставим ее на нерушимый фундамент алгебраической строгости. Приключение только начинается.