Здравствуйте, уважаемые читатели.

Хочу предложить вам небольшую разминку для ума в области математики и теоретической физики.

Для начала — краткий экскурс в историю. После того, как Альберт Эйнштейн представил общую теорию относительности (кстати, а вы в курсе, что изначально мэтр не принадлежал научному сообществу и был патентным экспертом? Но пусть вас не обманывает скромная должность — по роду службы ему нужно было очень хорошо разбираться в физике в том числе и образование у него было соответствующее), ситуация в физике существенно изменилась. Идея с искривлением пространства была очень здравой и гениальной. Приняли её не сразу — сначала благодаря поддержке таких гигантов как Макс Планк, а затем сыграло знаменитое экспериментальное подтверждение во время солнечного затмения 1919 года. Появились горячие головы, которые захотели объединить гравитацию и электромагнетизм единым механизмом. В 1919 году Теодор Калуца предложил расширить уравнения ОТО ещё одним измерением, то-есть, 4 геометрических (из которых одно — свёрнуто) плюс время. После некоторых математических преобразований из 5-мерного пространства, он получил и уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла, плюс какое-то скалярное поле. Вот только с пятым измерением вышел казус — вроде, оно есть, а вроде и нет «ты видишь суслика? А он есть». И тут, в 1926 году появился Оскар Кляйн и сказал — не наблюдаем, потому что оно свёрнуто аж на планковском масштабе 10^-35. Теория была забавной, озадачила даже нашего мэтра. Но, имела и свои недостатки. Скалярное поле, которое получилось у Калуцы (условно, размер или радиус свёрнутого пятого измерения в каждой точке) было непонятным. Кляйн его хоть и свернул до ненаблюдаемого 10^-35, но до конца проблему не решил — не было ответа, почему именно на 10^-35. К тому же, не получилось описать фермионы — частицы вещества с полуцелым спином (как электроны или кварки), в отличие от бозонов — переносчиков взаимодействий со спином целым (как фотон). Теория была простой и красивой, но осталась лишь игрушкой. Так продолжалось довольно долго, но идея «геометризации» и унификации не давала покоя. Фактически, что сделал Калуца? Он переписал тензор Эйнштейна в пятимерном вакууме — расширил метрику , вывел пятимерный тензор кривизны Римана из которого получаются пятимерные же тензоры Риччи и Эйнштейна . Далее, «расщепление» тензора на  4-мерные уравнения и дали гравитацию и электромагнетизм. И тут, на базе такого подхода, приходит идея, которая затем развивается в теорию струн — если добавление одного скрытого измерения рождает одну силу, то для четырёх (включая электрослабое взаимодействие) сил нужно просто больше измерений. Заменив точечные частицы на крошечные одномерные вибрирующие струны было обнаружено, что для их математического согласования нужно уже 10 измерений. Традиционно — свёрнутых, так как мы их не наблюдаем. Вроде бы — победа? Вот только геометрия стала действительно мозголомной. Шесть дополнительных измерений сворачиваются в фигуру невероятной сложности (многообразие «Калаби-Яу», если кому интересно). Ландшафт решений (количество возможных форм) которой, по некоторым оценкам ~10⁵⁰⁰ вариантов. Дальше — больше. Чтобы устранить противоречия начали добавлять ещё измерения. Самая амбициозная на сегодня попытка, M-теория, и она требует 11 измерений.

На самом деле, всё гораздо сложнее и интереснее, но цель данного повествования — несколькими штрихами показать контуры подхода, использующегося в современной физике. Это — классический подход «сверху».

Однако, я вам обещал интеллектуальную разминку. Физику нашего с вами мира просто так трогать нельзя — она великолепно описана Ньютоном в его «Механике», Максвеллом в его четырех уравнениях электродинамики (или, моё любимое — одним в геометрической алгебре: ), Эйнштейном в ОТО и СТО, квантовой механикой и стандартной моделью, когда мы спускаемся на атомный, ядерный и субатомный масштабы. На космологических масштабах работает уже модель. Для того, чтобы туда лезть — надо сначала помыть руки с мылом. Но, не очень-то и хотелось.

Давайте представим, что мы вступили в контакт с жителями некоторой виртуальной Вселенной, очень похожей на нашу, но (Важно!) не нашу. Эти жители накопили некоторое количество наблюдений и обратились к нам за помощью. Как говорил классик — проблема не может быть решена на том уровне, на котором она возникла. Вот мы и будем решать их проблему на своём уровне, вооружившись логикой, здравым смыслом и имеющимся физико-математическим аппаратом. Самое разумное — начать с феноменологии, это уже подход «снизу». Если мы сможем описать то, что наблюдается (феномены) то, вероятно, мы сможем ещё чего-нибудь и предсказать. Внимательно изучив предоставленные данные наш взгляд цепляется за тот факт, что в этом мире явления являются квантованными. Были проведены измерения, и судя по результатам — многие процессы выглядят так, как-будто они разбиты на порции. В нашем мире есть что-то похожее. Но там всё квантуется — введены одномерные осцилляторы и в целом всё хорошо (с гравитацией пока не очень, в плане квантования, но — дело наживное).

А в нашей виртуальной Вселенной ничего подобного пока нет — tabula rasa. Ничто нам не мешает применить знания геометрии. К тому же, она у нас развита очень хорошо. Скажем нашим новоприобретённым друзьям, что раз у них явления квантованы, то возможно — их пространство имеет замкнутую геометрию. Тут, как со струной — на бесконечной струне возможны любые колебания, а на струне конечной длины — только с дискретным спектром. Это наводит нас на мысль, что их пространство может иметь глобально замкнутую геометрию. Вводим первую рабочую гипотезу, что геометрия их пространства замкнута в виде трёхмерной сферы S³ — замкнутое многообразие без края. На что получим разумное возражение — простите, но наши измерения говорят, что пространство у нас плоское, а не искривлённое. Возражение справедливое, но — точность измерений у них хоть и большая, но всё-таки конечная. Прикидываем, что там у нас получается с кривизной и получаем, что в районе радиуса предполагаемой S³ равного 10²⁷ сантиметров кривизну ещё хоть как-то определить можно, а вот на 10²⁸ см и более — уже нет. Выглядит, как притянутое за уши и заметённое под ковёр. Но, это пока что рождает только один постулат, а потом поможет решить массу вопросов. К несчастью, без постулатов нельзя никак — без них не обошёлся ни Ньютон ни Эйнштейн. Плюс, возникает некоторое четвёртое пространственное измерение. Мы помним теорию Калуцы-Клейна и теорию струн — там пространственных измерений больше трёх. Они хоть и свёрнуты для объяснения ненаблюдаемости, но фактически — это не абсурдный подход. К тому же, мы только подошли к задаче. Если вдруг станет неудобно, то мы можем вернутся назад.

Переходим к описанию материи. Материя принимает разные формы, нужно найти что-то более-менее простое, чтобы зацепиться. Протон выглядит сложным и тяжёлым, нейтрон вообще в дикой природе не живёт долго. А вот электрон — неплохой кандидат.

Что нам сообщают наши друзья о своём электроне? Имеет массу, имеет электрический заряд, магнитный момент и спин. Спин — это вращение, «...но это было бы ещё пол-беды. Плохо то, что спин — дробный, вот в чём фокус.» (да простит меня Михаил Афанасьевич). Ладно, у нас есть такой механизм — в 1927 году Вольфганг Паули описал такое вращение матрицами 2х2, позже это было описано, как группа вращений SU(2), которая имеет двойное накрытие обычной группы вращений в трёхмерном пространстве SO(3). Любопытный факт — в геометрической алгебре именно вращение SU(2) является самым естественным. Но, мы отвлеклись. Итак, у нас есть что-то, что вращается по правилам SU(2). Сразу возникает вопрос — А  что вращается? Какие-то частицы? А из чего состоят эти частицы? И далее… И падать в эту кроличью нору можно очень долго. На ум лезут слова из старой игрушки — «Я не спелеолог!». Давайте подумаем — а как в нашем мире описывается пространство? Оно описывается тензором метрики. То-есть, каждая точка нашего пространства описывается матрицей (тензором) 4х4, тензор этот описывает, какую кривизну пространство-время имеет в этой точке. Это разумно, но скучно.  В виртуальной Вселенной с которой мы работаем сейчас — хотелось бы придумать что-нибудь поинтереснее. А давайте мы так же опишем точку пространства матрицей (считай — тензором), но это будет матрица группы вращения SU(2). Фактически — это тоже искривление пространства, но не метрическое, а фазовое. В каждой точке у нас будет «стрелочка». На языке геометрии мы можем это записать так: . Расширим наш постулат — пространство является S³, в каждой точке поверхности которой существует фаза — таким образом, у нас получается единая глобальная сфера S³, которая выступает в роли внутреннего пространства фазовых состояний SU(2), которое порождает спин и квантование (как струна конечой длины даёт дискретный спектр) и в роли глобальной основы для всего физического пространства. Это немного проще выглядит, а я не люблю усложнять модели, ибо всей душой привержен принципу «бритвы Оккама». К тому же, это ведь предположение — мы, как инженеры проводим реверс-инжениринг «чёрного» ящика. Не получится — возьмём другую гипотезу. Вселенная то не наша — можно «махать шашкой». Итак, давайте глянем, что у нас тут получилось. Электрон — вихревой объект (в центре — топологический дефект, где фаза не определена), вращающийся по правилам SU(2), состоящий из элементов группы SU(2). В целом — выглядит логично и согласованно. Это мы заключили из того, что у электрона есть спин. Да, ещё один момент -  эти стрелочки связаны друг с другом, но должны сопротивляться изменению собственного направления, как в «резиновом блоке». Это должно ограничить максимальную скорость взаимодействия. Так как наши друзья измерили уже эту скорость и она оказалась конечной и равноправной во всех направлениях. Кроме того, как и у «резинового блока», у такого фазового поля должно быть состояние нулевой энергии — направление, которое стремятся занять стрелочки, когда на них ничего не действует — иначе будет хаос.

А теперь, исходя из этой модели, мы фиксируем, что в такой модели электрона фазовое поле вокруг него будет иметь радиальное «стягивание», стрелочки U(x) вокруг будут менять направление в сторону его центра (топологическая конфигурация фазы U(x) с ненулевым зарядом). Это очень похоже на электрический потенциал, о котором нам говорили в их Вселенной. Уже неплохо. Дальше — вокруг электрона будет круговое, движение фазы — это уже похоже на гравитационное поле. А ещё.. та-да-м! Внутреннее вращение структуры электрона, при взаимодействии с радиальным «стягиванием» фазы даст нечто, что очень похоже на магнитный момент.

Вроде, что-то получается. Но у нас ещё есть излучение. То, что описывается, как фотон — переносит энергию, но не имеет массы. А это мы попробуем описать, как бегущую волну фазы. Но не просто «рябь» на фазовом пространстве, а спиральное закручивание вокруг направления распространения влево или вправо (фотон у них имеет спин=1 и здесь он как раз и получится), что даст нам круговую поляризацию. Плоская и эллиптическая поляризации получатся при суперпозиции таких вращений.

На данном этапе мы уже довольно далеко ушли, пытаясь «на пальцах» продумать, а что же происходит в исследуемом мире. Теперь, нам нужно как-то это описать на языке математики, чтобы мы могли численно оценить, насколько близко мы попали в наблюдаемые. Пока что это только умозрительная структура.

Итак, нам нужно математически описать вихрь фазы. Немного покопавшись в историческом прошлом мы с удивлением обнаруживаем, что такая задача уже была с успехом решена. В 1961 году Тони Скирм (или Скёрм, как кому больше нравится) предложил описывать барионы (протоны и нейтроны) не как фундаментальные частицы, а как топологические солитоны (на Хабре есть отличная статья на эту тему: “Солитоны. Модель Скирма”). Он долго развивал эту модель. В 1983-м Эд Виттен опубликовал две работы посвящённые алгебре токов, что вызвало интерес к работам Скирма, но это было не интересно уже ему — он переключился на огородничество и радиолюбительство. В 1984-м Скирма пригласили для того, чтобы он прочитал лекцию на тему скирмионов, где он отлично выступил. В 1987-м его пригласили на симпозиум в Оксфорде,  но за пару дней до намеченной даты он, к несчастью — скончался. 

Что же он предложил? Его модель использует то самое поле «стрелочек» , о котором мы уже говорили (Ого! Это мы удачно зашли!). А чтобы описать, как это поле сопротивляется искривлению и как образует устойчивые вихри, Скирм ввёл левый ток Маурера-Картана

Этот объект — чистая геометрия. Он измеряет, насколько быстро и в каком направлении закручена наша фаза в пространстве-времени.  Лагранжиан модели состоит из двух членов: первый — кинетический (сигма-модель),

это аналог упругой деформации. Помните, мы вывели, что стрелочки должны сопротивляться попыткам изменить их направление? Так вот, kappa при первом члене, как раз этот коэффициент жёсткости и есть; второй — скирмовский член,

стабилизирует его, не давая «схлопнуться» в точку. Без него любой узел под действием первого члена стянулся бы до нулевого размера. А вместе с ним находится баланс.  Для наших целей это подходит, как нельзя кстати. Но, мы во-первых расширим эту модель на всю нашу виртуальную Вселенную (для Скирма поле U(x) описывало только мезоны, а барионы были солитонами), мы будем строить из этого поля вообще всё — и частицы и излучение и даже пустое пространство. Для этого нам нужно добавить третий член , это потенциал, в котором фаза предпочитает находиться, когда на неё ничто не давит.

Он критически важен для описания электродинамики, потому что именно этот потенциал может выбрать в пространстве SU(2), ту самую выделенную ось, вокруг которой закручивается электрическое поле. Без этого члена все направления были бы равноправны и у нас не получилось бы выделенного U(1) — той самой электромагнитной подгруппы.

Я, прямо, вижу ползущую вверх бровь читателя, после того, как он прочитал про «выделенное направление». Я нахожусь буквально в шаге от обвинения в ереси и поэтому нужно развернуть этот момент подробнее. Соберусь с духом и напишу крамольное слово и сразу скажу, что этого здесь нет вообще! Эфир. В истории это понятие означало абсолютную систему отсчёта, некоторую субстанцию, среду относительно которой можно измерить абсолютную скорость. В поле U(x) это невозможно, к тому же это не субстанция, а поле. Такое поле не противоречит принципу относительности. Это — внутренняя степень свободы, как спин электрона. Выделенное направление в этом поле — не абсолютное, а динамически возникающее из уравнения, подобно тому, как железный магнит приобретает полюса из-за внутреннего выравнивания спинов. Уф! Выдохнули.

Теперь, что такое U(1) подгруппа в SU(2) — группа SU(2), это группа вращений внутренних состояний в трёхмерном пространстве. Внутри этой группы «живёт» бесконечное множество подгрупп, похожих на окружности — это U(1). Выбрать U(1) — значит выбрать ось вращения в этом внутреннем пространстве. Если представить мяч, то на нём можно провести бесконечное количество больших кругов (геодезических) — подгрупп U(1), каждая из которых есть своя ось вращения мяча. Пока мяч симметричен, все большие круги равноправны. Но если мяч сплюснуть (например, положить на стол), то появляется выделенный большой круг (в нашем примере — горизонтальный, вертикальная ось). Теперь вращение вокруг этой оси отличается от других — сохраняет симметрию.

Как возникает это направление? А вот тут вступает в игру наш третий член уравнения. Этот потенциал — не внешнее поле, а свойство самого фазового поля. Он может иметь минимум не при любом U, а только при определённой ориентации. В ферромагнетике спины электронов стремятся выстроиться в одном направлении. Это направление не задано извне — оно возникает спонтанно из-за обменного взаимодействия. Если вы нагреете магнит выше точки Кюри, выделенное направление исчезнет, симметрия восстановится. Точно так же в нашей модели потенциал V(U) может спонтанно нарушать симметрию полной SU(2), выбирая предпочтительное направление в алгебре Ли. Это динамическое выравнивание, как в магните.

А теперь на языке математики — пусть потенциал V(U) минимален, когда U выровнена вдоль определённого генератора (например, из матриц Паули). Тогда вакуум (состояние с наименьшей энергией) выглядит как: .

Как из этого получается фотон? Это просто малые колебания фазы θ(x) вокруг выделенной оси . Поскольку ось выделена, малые колебания фазы θ(x) вокруг этой оси не требуют дополнительной энергии, чтобы появиться в вакууме. Такие колебания естественно не порождают массу. Это и есть электромагнитная волна. Электрический заряд — это топологический заряд относительно этой выделенной оси. Если наша фазовая ткань закручена так, что при обходе вокруг электрона фаза θ наматывается на , то этот «вихрь» и есть носитель заряда. Число намоток = величина заряда. 

Выделенное направление внутреннее, как ось спина. Оно не связано с направлением в пространстве - времени. Законы физики инвариантны относительно поворотов этого внутреннего пространства как целого. То есть если мы везде в нашей виртуальной Вселенной «повернём» нашу выделенную ось, ничего не изменится — это калибровочная симметрия. Наблюдаемы только относительные углы между выделенным направлением и возмущениями фазы.

Итак, подводя промежуточный итог, в процессе изучения некоторой виртуальной Вселенной, феноменологию которой нам описывали её жители, нам удалось заложить пару камней в фундамент их физической теории.

Мы вывели:

• топологическую арену, как замкнутую S³;

• это привело к автоматическому квантованию всех взаимодействий на её поверхности;

• нам удалось нарисовать неплохую (пока что) модель электрона конечного размера и конечной собственной энергии, что избавляет нас от необходимости воевать с бесконечностями;

• удалось описать фотон;

• выведен лагранжиан который, предположительно, должен описывать какую-то часть физики этой Вселенной;

• мы обошлись минимумом формул и не вышли за границы разумного — использовали только проверенные методы, которые уже использовались в физике.

Из минусов:

• мы пока что «замели под ковёр» радиус этой самой сферы S³, а нам придётся вернуться к нему;

• нам пришлось ввести постулат, но он пока что один.

Если эта игра вызовет интерес, то я продолжу описание. Возможно, нам удастся вывести что-нибудь ещё более увлекательное.