В прошлой статье мы познакомились с жителями некоей виртуальной Вселенной. Они попросили нас описать их физические законы и поделились своими наблюдениями. В результате у нас получилась некоторая модель. Давайте я дам её краткое описание.

Сначала «по-человечески»: их пространство — это не бесконечное пустое нечто, а трёхмерный аналог поверхности шара (глобус, например — двумерная поверхность). В каждой точке этого мира «живёт» маленький фазовый «компас» — матрица U(x), который может поворачиваться особым способом (математики называют это группой SU(2)). Совокупность всех этих «компасов» есть фазовое поле. Дальше мы играем по стандартным физическим правилам — задаём лагранжиан (формулу, которая говорит, сколько «фазовой энергии» у данной конфигурации), минимизируем действие и получаем уравнение движения. В нашей модели лагранжиан почти такой же, как в классической модели Скирма (описание вихрей), но с одним дополнительным «кусочком», который делает две важные вещи: «ломает» полную симметрию фазового «компаса», оставляя одно выделенное направление (из SU(2) остаётся U(1)) и даёт гравитацию через энергию самого поля. Дальше будут формулы. Не пугайтесь, если они выглядят страшно — мы будем последовательно раскручивать, что из них вытекает для жителей нашей виртуальной Вселенной.

А теперь для специалистов: «Модель Скирма, расширенная на всё пространство на глобальной замкнутой геометрии S³, описывается лагранжианом с новым членом "−V(U)", который спонтанно нарушает симметрию SU(2) -> U(1) (что критично для вывода электродинамики) и обеспечивает гравитацию (через плотность энергии фазового поля). Глобальная компактность S³ обеспечивает квантование всех явлений. Материя интерпретируется как устойчивые топологические солитоны (фермионы), фотон — вращение U(x) вокруг направления своего распространения».

Форма дополнительного члена — это «секретный ингредиент» и равен он . Почему именно , а не ? В теории поля обычно используют параметр с размерностью массы — тогда в уравнениях возбуждение вдоль этого направления получает массу , а в лагранжиан он входит, как (плотность энергии). Ну и напомню сам лагранжиан:

Такой подход даёт нам неплохие стартовые преимущества — во-первых, глобальная замкнутая геометрия автоматически нам даёт квантование всех явлений, нет необходимости в искусственном квантовании; во-вторых — описание материи в виде вихрей избавляет нас от необходимости воевать с бесконечностями — вихри имеют конечные размеры и энергию.

В предыдущей части нам удалось вывести неплохую, на первый взгляд, модель электрона. Но, этого мало. Надо проверить теорию на чём-то посложнее. Давайте выведем электродинамику этого виртуального мира.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Жители этой виртуальной Вселенной уже довольно давно изучают излучение, которое распространяется по их миру. Они заметили, что и свет, и радиоволны имеют общую природу — и то и другое является устойчивыми колебаниями, которые движутся с постоянной скоростью и не зависят от источника. Более того, у них уже есть своя теория, описывающая эти явления с помощью четырёх аккуратных уравнений (все совпадения, конечно же, случайны!).

Наша задача чуть шире. Мы хотим не просто пересказать им их же наблюдения, а вписать их электродинамику в общую картину, которую мы построили в первой части. То есть показать, что их «четыре уравнения» не требуют отдельного введения — они автоматически появляются из фазовой геометрии, когда мы рассматриваем малые колебания вокруг выбранного направления в пространстве SU(2).

Двигаться будем спокойно и последовательно. Сначала разберёмся, почему у фазового поля появляется единственная лёгкая степень свободы, из которой рождается свет. Затем увидим, как из этой степени свободы формируется поле , а чуть позже — как естественным образом возникают аналоги электрического и магнитного полей. Напомню, что фазовое поле нашей виртуальной Вселенной описывается матрицей:

то есть, в каждой точке пространства стоит небольшой «фазовый компас». У него есть три независимые оси поворота — грубо говоря, три угла. В первой части мы уже использовали такую структуру, чтобы построить модель электрона, как вихрь фазового поля. Теперь нам пригодится третий член лагранжиана:

который мы аккуратно «подмешали» в нашу модель. Его задача — сделать одно из направлений во внутреннем пространстве фаз особенным. Интуитивно это можно представить так: пусть у нас есть множество маленьких стрелочек - «компасов», и каждый мы можем крутить по трём осям. Потенциал V(U) говорит — «мне энергетически выгодно, чтобы проекция компаса на ось была выровнена». Любые отклонения от этого выравнивания стоят энергии, причём тем дороже, чем больше параметр . В результате, два угла отвечающие за «боковые» отклонения компаса становятся «тяжёлыми» и любые их возбуждения быстро затухают. А один угол остаётся «лёгким» и поворачивать «компас вокруг этого выделенного направления можно почти «бесплатно».

С точки зрения симметрии это можно сформулировать так: из полной внутренней симметрии SU(2) остаётся только её подгруппа, отвечающая за повороты вокруг выделенной оси. Математики называют её U(1), а мы будем считать, что именно она и задаёт «фазу» электродинамического поля в нашей виртуальной Вселенной.

Именно колебания вдоль пространства и времени будут играть роль электромагнитных волн (мы выбрали потому, что именно в этом направлении потенциал имеет минимум, и только вдоль поле остаётся лёгким; при другом выборе потенциала выделенной была бы другая ось — физика от этого не меняется). Всё остальное — тяжёлые внутренние состояния, которые живут где-то на высоких энергиях.

И ещё одно важное уточнение: выбор как «лёгкой» компоненты относится только к внутренней фазовой структуре поля. Это совсем не означает, что волна может распространяться лишь в одном направлении. Световые возмущения удовлетворяют волновому уравнению в обычном пространстве, и поэтому могут двигаться куда угодно — в любую сторону. Выбор — это выбор внутренней оси, аналогичный выбору базиса для поляризации, а не направления распространения волны. Таким образом, внутреннее направление никак не связано с геометрическим направлением в пространстве. Свет распространяется в любом направлении, как и должен.

Итак, закрепим: когда мы говорим «колебания », имеется в виду очень простая вещь — в каждой точке пространства виртуальной Вселенной стоит фазовый «компас», и угол показывает, насколько он повернут вокруг выделенной оси. Теперь представьте, что мы слегка повернули этот компас в каком-то месте — буквально на крошечный угол, то если лагранжиан допускает лёгкие возмущения вдоль , то такое маленькое отклонение: не остаётся на месте, а передаётся в соседние точки и формирует распространяющуюся волну в пространстве «компасов», которая движется по пространству, немного вращая каждый из них. Именно эти распространяющиеся «поворотные волны» жители нашей виртуальной Вселенной и наблюдают как свет или радиоволны.

Давайте запишем это чуть аккуратнее: любая волна — это изменение чего-то во времени и пространстве; если слегка поворачивается, нам важно не само абсолютное значение этого угла, а то, как он меняется, то — насколько быстро угол растёт или убывает вдоль пространства и как быстро он меняется во времени. Поэтому удобно собрать эти изменения в один объект:

Звучит чуть страшновато, но смысл очень простой: — это «скорость» вращения фазового компаса вдоль каждого направления пространства-времени. Такое определение полезно по двум причинам. Во-первых, автоматически учитывает все локальные колебания. Если в какой-то области увеличивается, об этом сразу сообщает.
Если уменьшается — тоже. Во-вторых, именно будет вести себя так же, как знакомый нам электромагнитный потенциал.
В обычной физике существование потенциала — это не догма, а удобный способ описывать распространяющееся поле. И здесь ровно та же логика: — это не что-то новое, а просто компактная запись малых колебаний . Жители виртуальной Вселенной могли бы вообще никогда не слышать про SU(2), S3 и лагранжианы — но если они измеряют, как быстро поворачиваются их фазовые компасы, они фактически работают именно с .

Ну а теперь давайте посмотрим, что получится, если подставить малые колебания в лагранжиан и аккуратно проследить, как меняется действие. Мы не будем устраивать полноценный курс вариационного исчисления, поэтому ограничимся интуицией и результатом.
Когда мы рассматриваем только лёгкую компоненту , то: кинетический член отвечает за «желание» поля быть гладким — он поощряет волнообразное распространение; Скирмовский член в линейном приближении почти не влияет на малыe колебания (он становится заметным только при сильных деформациях); а потенциал , как мы уже выяснили — «угнетает» две тяжёлые компоненты, но оставляет свободной. Именно эта комбинация приводит к тому, что небольшие изменения ведут себя как обычные волны. Если выписать уравнение для , получается:

(Для тех, кто не знаком со специальными обозначениями, уточню, что символ (читается д’Аламбертиан) — это просто компактная запись для второй производной по времени и по пространству; , где — обычный лаплассиан, то-есть сумма вторых производных по координатам)
Это самое простое волновое уравнение, которое говорит следующее:
«если в одном месте фазовый компас чуть повернулся, это возмущение не исчезает, а начинает распространяться по пространству со строго определённой скоростью».

Жители виртуальной Вселенной измерили эту скорость экспериментально, а мы теперь можем сказать, откуда она берётся: это просто коэффициенты перед кинетической частью лагранжиана. И вот здесь происходит первое большое «узнавание». В их мире свет — это не внешнее поле, не особая субстанция и не дополнительная сущность. Это просто волна вращения угла , то есть колебание фазы.
Когда у нас появилось поле , описывающее изменения лёгкой фазы , остался один естественный вопрос: а как жители виртуальной вселенной определяют электрическое и магнитное поле? Ведь у них есть устройства, которые явно на них реагируют — значит, должны существовать величины, которые можно измерить локально. Оказывается, такие величины возникают автоматически, если посмотреть на то, как меняется в пространстве и времени. Жители определяют электрическое поле через изменения фазового поля во времени или через его пространственную неоднородность. В общем случае электрическое поле возникает как комбинация обоих эффектов:
.
Если фазовое поле не меняется во времени, электрическое поле всё равно может существовать — за счёт пространственного градиента потенциала. Именно так возникает обычное статическое электрическое поле покоящихся зарядов.

А магнитное поле показывает, насколько изменения в соседних направлениях не согласованы друг с другом. Если попытаться взглянуть на то, как поле меняется «вокруг» точки, то можно заметить лёгкую асимметрию — именно она и даёт магнитное поле. В формуле эта асимметрия записывается как:
.
Несмотря на пугающий вид, смысл обеих формул очень прост: E — это линейное изменение фазы во времени и градиент фазы в пространстве. Если компасы в соседних точках поворачиваются с разной скоростью, приборы жителей фиксируют электрическое поле. B — это локальная закрученность фазового поля. Если при обходе вокруг небольшой петли угол чуть-чуть «закручивается», это и есть магнитное поле. То есть, Если меняется одинаково во всех направлениях, то магнитного поля нет. Если изменения «перекошены» (одно направление растёт, другое убывает), то прибор жителей фиксирует магнитное поле.
Ещё проще - магнитное поле возникает тогда, когда фазовое поле не просто меняется, а меняется с небольшим поворотом, как если бы вы слегка повернули линейку, пока проводите ею по поверхности. Эта «скрученность» и измеряется формулой для B.

Магнитное поле показывает, есть ли в окрестности точки асимметрия в том, как меняется поле в разных направлениях. Это не новое поле, а всего лишь показатель «скрученности» изменения фазы. Если изменения полностью согласованы — магнитное поле равно нулю. Если же наблюдается небольшая разница между тем, как поле растёт в одном направлении и убывает в другом, приборы жителей регистрируют магнитное поле.
В реальной электродинамике нашего мира (E, B) определяются точно таким же образом — только там они вводятся как фундаментальные объекты. В нашей виртуальной Вселенной они не вводятся вручную, а возникают как естественные производные того же самого фазового поля. То есть вся электродинамика её жителей — это просто геометрия фазы.
Хорошая новость для жителей виртуальной Вселенной заключается в том, что два из их четырёх знаменитых уравнений вовсе не требуют отдельного объяснения. Они возникают автоматически из того, как мы определили электрическое и магнитное поля.
Начнём с первого:

Дивергенция магнитного поля всегда равна нулю.
Это звучит как глубокий закон природы, но на самом деле является чистым следствием того, что построено из производных симметричным способом:
.
Если взять дивергенцию такого выражения, то разные производные просто взаимно уничтожают друг друга — это свойство тензора . В итоге:

выполняется при любых конфигурациях поля. То есть в их мире не существует «магнитных зарядов» — и это не запрет сверху, а следствие геометрии. Второе уравнение жителей — это аналог закона Фарадея: изменение магнитного поля сопровождается электрическим, и наоборот.

Снова — никакой магии. Просто смотрим на определение:

Если применить к нему операцию ротора (измеряющую вращение), то производные перемешиваются точно так же, как при работе с B. Поскольку все выражения состоят из производных, результат закономерен:

И снова — это тождество. Оно выполняется для любых маленьких колебаний , и его невозможно нарушить без изменения самой геометрии поля.
Два фундаментальных уравнения жителей, одно из которых говорит, что нет магнитных монополей, а другое — что изменяющееся магнитное поле всегда сопровождается электрическим — в нашей фазовой модели оказываются не законами, а автоматическими геометрическими свойствами. Половина электродинамики следует просто из того, как мы определили , E и B. Наши друзья могли бы называть это «экспериментальными законами», но в нашей модели это неизбежное следствие структуры пространства и фазового поля.
Но остаются ещё два уравнения — те, которые содержат источники. В их мире источники называют «зарядами» и «токами». Откуда они берутся в нашей фазовой модели? Чтобы это понять, вспомним, как мы описывали «электрон» в первой части. Это не точечная частица, а устойчивый вихрь фазового поля. Вокруг такого вихря угол не может быть определён одинаково во всех направлениях: если пройти вокруг вихря по большому замкнутому контуру, значение изменится на целое число оборотов:

число N — целое, и изменить его без разрушения вихря нельзя. Это и есть топологическая устойчивость, на которой основана модель.
Теперь важное наблюдение: если делает один полный оборот вокруг вихря, то поле на больших расстояниях имеет характерное «излучающее» распределение. И это распределение — в точности то, что в виртуальной Вселенной называют электрическим полем заряда. Более формально, если подставить вихревую конфигурацию в уравнения движения, то возникает:
,
где — тензор поля, построенный из , а — величина, зависящая только от того, как поле «обходит» вихрь.
То есть, в нашей модели электрический заряд возникает не как отдельный объект, а как неизбежное следствие того, что вихрь фазового поля имеет ненулевой топологический индекс. Жители виртуальной Вселенной могли бы думать, что заряд — это первичная сущность. Но мы видим, что он — всего лишь характеристика того, как устроена фаза вблизи вихревого солитона. И отсюда естественным образом следует ещё один эффект — заряд дискретен. Он всегда равен целому числу N, потому что изменение N означает разрыв самого вихря.
Если отойти от вихря достаточно далеко, то структура поля становится простой и напоминает классическое «кулоновское поле», которое жители давно измерили: оно убывает с расстоянием как , направление поля указывает «от» или «к» вихрю в зависимости от знака N, а сила взаимодействия между двумя вихрями пропорциональна произведению их индексов . Таким образом, мы получаем ещё одно уравнение виртуальной Вселенной — то, что аналогично уравнению Гаусса в электродинамике:
,
где — плотность топологических вихрей (их числа N).
Резюмируя: электрический заряд, это — топологический индекс вихря; заряды неизбежно создают поля E и B; их величина дискретна и не может меняться непрерывно. Это полностью согласуется с тем, что жители наблюдают — одни вихри отталкиваются, другие притягиваются, сила убывает как , и всё это описывается их «четырьмя уравнениями». Таким образом, мы получили третье из четырёх уравнений электродинамики — и мы не вводили заряды вручную, а вывели их как свойство геометрии фазового поля.
Мы уже использовали уравнение
,
чтобы получить одну из форм электродинамики — аналог закона Гаусса. Теперь давайте увидим, что из того же самого уравнения автоматически появляется ещё один знакомый им закон — тот, который связывает магнитное поле с током и изменяющимся электрическим полем. Для этого удобно разделить индекс на временную и пространственные компоненты. Пусть:
= 0 — «время». И это уже дало нам ,
— пространственная компонента (i=1,2,3) и сейчас мы вытащим уравнение для .
Запишем пространственную часть уравнения :

Если расписать левую часть по компонентам, получается:

Здесь связан с электрическим полем и даёт вклад , связан с магнитным полем и через него рождается .
Не углубляясь в тензорные детали, можно воспользоваться готовыми обозначениями, которые мы уже ввели: — компонента электрического поля, — компонента магнитного поля. Тогда вышеприведённое уравнение просто переписывается в более привычном трёхмерном виде:
.
А если поменять члены местами, получим именно тот вид, к которому привыкли жители:
.
(Обращаю внимание — здесь не перенос слагаемого в правую часть уравнения, что приводит к смене знака, а просто поменяли местами слагаемые внутри правой части, чтобы получилась привычная форма, хотя есть конвенция и со знаком минус).

Итак, жители виртуальной Вселенной давно используют набор из четырёх уравнений, описывая ими свет, радиоволны и электрические явления. Но теперь мы можем сказать им, откуда эти уравнения берутся. Они не являются отдельными законами природы — они являются следствием фазовой структуры, заданной лагранжианом:
.
Волновое поведение света, отсутствие магнитных зарядов, связь между электрическими и магнитными полями, кулоновские силы между вихрями — всё это просто разные проявления одной и той же внутренней геометрии. Это, пожалуй, самое красивое свойство фазовой модели: она не требует множества отдельных допущений. Стоит лишь задать форму лагранжиана — и всё остальное появляется само собой.

А теперь приятный бонус «на закуску».

В нашем мире ещё Ландау обращал внимание на неприятную особенность классической электродинамики: если взять точечный заряд, подчиняющийся уравнениям Максвелла, то попытка аккуратно учесть его собственное поле приводит к странным результатам. Самая известная формулировка проблемы выглядит так — точечный заряд создаёт вокруг себя электрическое поле и это поле обладает энергией и импульсом; если заряд движется с ускорением, его поле меняется и начинает излучать и при честном учёте вклада собственного поля можно получить уравнения, в которых частица как бы сама себя разгоняет, даже без внешних сил. Почти все такие парадоксы упираются в два корня:
- заряд считается математически точечной частицей (без размеров),
- поле и частица описываются как разные сущности, сшитые вручную через уравнение Лоренца.

В виртуальной Вселенной жителей всё устроено иначе, и именно поэтому у них эта проблема просто не возникает. В нашей фазовой модели «электрон» — это не точка, а устойчивый вихрь фазового поля. У него есть конечный размер (сердцевина вихря), конечная энергия и конкретное распределение поля вокруг. То есть, нельзя отделить «заряд» от его поля — это одно и то же пространственное образование. Поэтому сама постановка вопроса «как частица взаимодействует со своим собственным полем?» теряет смысл: нет отдельной частицы и отдельного поля, есть одна и та же конфигурация фазового поля.
В привычной учебной электродинамике делается так — сначала постулируются уравнения Максвелла для поля, затем отдельно постулируется закон Лоренца для движения заряда в этом поле. И после этого попытка честно учесть само поле частицы приводит к головной боли. В виртуальном мире жителей всё проще и одновременно честнее — существует один лагранжиан фазового поля, вихрь и его поле — это одно решение этого лагранжиана, а движение «частицы» — это просто эволюция конфигурации поля во времени. Нет шага, где кто-то вручную добавляет силу к точечной массе. Вместо этого, геометрия вихря сама «решает», как ему двигаться в общем фазовом поле, при том что полная энергия и импульс системы строго сохраняются.
Важный тест на котором классическая модель с самоускоряющимися решениями ломается, звучит так — что будет с одиночным «электроном», если он просто равномерно движется вперёд? В фазовой модели виртуальной Вселенной есть специальный класс решений: вихрь движется равномерно и прямолинейно, его фазовая конфигурация просто плавно «переезжает» через пространство; ни поле вдали, ни структура вихря при этом не испытывают патологического роста энергии. Такие решения — просто «вихревой солитон с постоянной скоростью». Он не излучает потому, что его конфигурация не содержит ускорения, а значит — не возникает и никакого самоускорения.
Если вихрь потянуть или толкнуть (то есть добавить внешнее воздействие), то он деформируется, создаёт волны фазового поля (аналог излучения), часть энергии уходит в эти волны, сам вихрь теряет энергию и может замедлиться. Но всё это описывается одним и тем же полевым лагранжианом, без ручного добавления «силы собственного поля». Поэтому нет бесконечной самоускоряющей силы, нет необходимости вычитать бесконечную связь с самим собой и нет уравнений с третьими производными по времени и странными «убегающими» решениями.

Внимательный читатель, вероятно, уже заметил, что мы нигде не вводим численные значения коэффициентов при членах лагранжиана — , и . Но на данном этапе их точные величины нам не нужны: мы сначала выводим саму структуру теории, а уже потом, при желании, жители виртуальной Вселенной смогут определить эти параметры экспериментально. Численные значения этих коэффициентов ещё не играют роли в нашем изложении — главное, что сама теория остаётся согласованной и логичной при любых разумных значениях этих параметров. Позже, когда мы перейдём к более тонким эффектам, жители исследуемой виртуальной Вселенной смогут определить эти величины так же, как физики нашего мира определяют скорость света или массу частиц — через эксперименты.

Получилось длинновато, но надеюсь — мне удалось Вас увлечь. В дальнейшем мы попробуем вывести что-нибудь ещё.