Чему будет в итоге равняться число, если бесконечно складывать натуральные числа? Очевидно, что бесконечности или…
Пусть . Последовательно будем прибавлять все числа, начиная с 1. Мы знаем, что множество натуральных чисел счетно, поэтому каждому числу можно приписать номер. Этот номер будет совпадать с самим числом. Таким образом имеем .
Возьмем первые три числа. Их сумма будет равняться 6, верно? Если прибавить к имеющейся сумме 4, то получим 10. Но какое число мы получим, если бесконечно прибавлять числа? Я уже задавал этот вопрос в самом начале. На самом деле, я акцентирую внимание на нем(вопросе), так как получается действительно интересное число. Рассмотрим всю эту магию подробней.
Пусть у нас есть 3 числовых ряда
Из курса математики мы знаем, что . Можно доказать это точно, а можно рассуждать логически. Результат зависит от того, на каком элементе мы оборвем суммирование. Если на , то сумма равна единице. Если на , то сумма равна нулю. Берем среднее и получаем .
Теперь узнаем чему равна сумма . Для этого проведем пару манипуляций. Возьмем и узнаем чему равна сумма . Я запишу сумму в столбик, но с небольшим смещением.
1-2+3-4+5-6+7-8+…
__1-2+3-4+5-6+7-…
------------------------
1-1+1-1+1-1+1-1+…
Мы знаем, чему равна эта сумма. Получается, что
А теперь из вычтем
Что? Как сумма положительных чисел может быть равна отрицательному числу. Так еще и именно такому?
Важно: Если использовать другой метод (метод группировки) для S, то значение получается равным .
Говорят, что в физике, рассматривая многомерные пространства, получают такие суммы. Это очень интересно.
Вот ссылка на видео с первоисточником. Может быть это всего лишь фан, но выглядит очень круто.
Пусть . Последовательно будем прибавлять все числа, начиная с 1. Мы знаем, что множество натуральных чисел счетно, поэтому каждому числу можно приписать номер. Этот номер будет совпадать с самим числом. Таким образом имеем .
Возьмем первые три числа. Их сумма будет равняться 6, верно? Если прибавить к имеющейся сумме 4, то получим 10. Но какое число мы получим, если бесконечно прибавлять числа? Я уже задавал этот вопрос в самом начале. На самом деле, я акцентирую внимание на нем(вопросе), так как получается действительно интересное число. Рассмотрим всю эту магию подробней.
Пусть у нас есть 3 числовых ряда
Из курса математики мы знаем, что . Можно доказать это точно, а можно рассуждать логически. Результат зависит от того, на каком элементе мы оборвем суммирование. Если на , то сумма равна единице. Если на , то сумма равна нулю. Берем среднее и получаем .
Теперь узнаем чему равна сумма . Для этого проведем пару манипуляций. Возьмем и узнаем чему равна сумма . Я запишу сумму в столбик, но с небольшим смещением.
1-2+3-4+5-6+7-8+…
__1-2+3-4+5-6+7-…
------------------------
1-1+1-1+1-1+1-1+…
Мы знаем, чему равна эта сумма. Получается, что
А теперь из вычтем
Что? Как сумма положительных чисел может быть равна отрицательному числу. Так еще и именно такому?
Важно: Если использовать другой метод (метод группировки) для S, то значение получается равным .
Говорят, что в физике, рассматривая многомерные пространства, получают такие суммы. Это очень интересно.
Вот ссылка на видео с первоисточником. Может быть это всего лишь фан, но выглядит очень круто.
Комментарии (6)
APLe
12.04.2016 13:26Красивый пример.
Но, как по мне, он доказывает, что к практическому применению математики бесконечных рядов надо относиться с большой осторожностью, даже если построения выглядят логично.
NTP
12.04.2016 13:31ИМХО, сумма ряда натуральных чисел есть такая же неопределенность, как 0^0 или n/0, ибо нет однозначного ответа и результат зависит от выбранного метода подсчета.
swelf
На основании чего вобще S1=1/2 непонятно, оно по мне так просто неопределено.
2*S2 у нас = (1-2+3-4+5+...+n-(n+1)) + (0+1-2+3-4+5+...+n-(n+1)). Еси мы запишем в столбик последовательность равной длины(0 добавил для смещения) то мы получим что у нас вылезет хвост в виде (n+1)
1-1+1-1+1+...+ (n +1)
brainhack
рад бесконечный. ничего вылезать не должно. на каждый (n+1) мы найдем свой (n+2) и так далее.