Чему будет в итоге равняться число, если бесконечно складывать натуральные числа? Очевидно, что бесконечности или…



Пусть sum = 0. Последовательно будем прибавлять все числа, начиная с 1. Мы знаем, что множество натуральных чисел счетно, поэтому каждому числу можно приписать номер. Этот номер будет совпадать с самим числом. Таким образом имеем N = \{1,2,3,4,5,...\}.

Возьмем первые три числа. Их сумма будет равняться 6, верно? Если прибавить к имеющейся сумме 4, то получим 10. Но какое число мы получим, если бесконечно прибавлять числа? Я уже задавал этот вопрос в самом начале. На самом деле, я акцентирую внимание на нем(вопросе), так как получается действительно интересное число. Рассмотрим всю эту магию подробней.

Пусть у нас есть 3 числовых ряда

S_1 = 1-1+1-1+1-1+1-1+...

S_2 = 1-2+3-4+5-6+7-8+...

S = 1+2+3+4+5+6+7+8+...

Из курса математики мы знаем, что S_1 = 1/2. Можно доказать это точно, а можно рассуждать логически. Результат зависит от того, на каком элементе мы оборвем суммирование. Если на 1, то сумма равна единице. Если на -1, то сумма равна нулю. Берем среднее и получаем 1/2.

Теперь узнаем чему равна сумма S_2. Для этого проведем пару манипуляций. Возьмем и узнаем чему равна сумма S_2 + S_2. Я запишу сумму в столбик, но с небольшим смещением.

1-2+3-4+5-6+7-8+…

__1-2+3-4+5-6+7-…

------------------------

1-1+1-1+1-1+1-1+…

Мы знаем, чему равна эта сумма. Получается, что

2*S_2 = 1/2

S_2 = 1/4

А теперь из S вычтем S_2

S - S_2 = 1+2+3+4+5+... - [1-2+3-4+5-...]

S - S_2 = 4 + 8 + 12 + 16 + ...

S - S_2 = 4 * (1+2+3+4+5+...)

S - S_2 = 4 * S

-S_2  = 3 * S

-1/4 = 3 * S

S = -1/12

Что? Как сумма положительных чисел может быть равна отрицательному числу. Так еще и именно такому?

Важно: Если использовать другой метод (метод группировки) для S, то значение получается равным -1/8.

Говорят, что в физике, рассматривая многомерные пространства, получают такие суммы. Это очень интересно.

Вот ссылка на видео с первоисточником. Может быть это всего лишь фан, но выглядит очень круто.

Комментарии (6)


  1. swelf
    12.04.2016 13:26

    На основании чего вобще S1=1/2 непонятно, оно по мне так просто неопределено.
    2*S2 у нас = (1-2+3-4+5+...+n-(n+1)) + (0+1-2+3-4+5+...+n-(n+1)). Еси мы запишем в столбик последовательность равной длины(0 добавил для смещения) то мы получим что у нас вылезет хвост в виде (n+1)
    1-1+1-1+1+...+ (n +1)


    1. brainhack
      12.04.2016 13:30

      рад бесконечный. ничего вылезать не должно. на каждый (n+1) мы найдем свой (n+2) и так далее.


  1. APLe
    12.04.2016 13:26

    Красивый пример.
    Но, как по мне, он доказывает, что к практическому применению математики бесконечных рядов надо относиться с большой осторожностью, даже если построения выглядят логично.


  1. kez
    12.04.2016 13:31

    Надеялся увидеть опровержение того самого видео двухлетней давности.


  1. NTP
    12.04.2016 13:31

    ИМХО, сумма ряда натуральных чисел есть такая же неопределенность, как 0^0 или n/0, ибо нет однозначного ответа и результат зависит от выбранного метода подсчета.


  1. qbertych
    12.04.2016 13:33

    Среднее по Чезаро имеет мало чего общего со сходимостью ряда. Можете начать отсюда.