07.07.2017 11:02
ventosa 15 12600 Источник
Доброго времени суток! При просмотре экшн-фильмов (фильмов с хорошо продуманными динамичными сценами) иногда закрадывается в голову: а реально ли это в действительности? Например, мог ли автомобиль перевернуться на маленькой скорости, как быстро можно раскачаться на верёвке без начальной скорости над пропастью…

image

Что говорит на это физика? Интересно ли писать на бумажечке и потом хвастаться клочком с формулами и парой-тройкой векторов? Давайте сделаем это безопасно и наглядно.

Начнём с обычного математического маятника:

$\dfrac{m \dot{\theta }^2}{2l^2}+mgl(1-cos \ \theta )=E$


$\ddot{\theta}+\dfrac{g}{l} \ sin \ \theta=0$


$sin \ x\approx x$

Кстати, даже если принимать синус за его аргумент, то эксперименты с измерением периода маятника дают хорошие результаты для g. Но нам, чтобы полюбоваться большими углами, надо честно решить уравнение, особенно если scipy такую возможность предоставляет.

Разделим уравнение на два первого порядка и запишем в стандартном виде

$\dfrac{d}{dt}\begin{pmatrix} \theta \\ \omega \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \omega \\ -g/l \ sin\ \theta \end{pmatrix} $


И теперь смело это кормим нашему змею (подробнее об scipy.integrate.odeint, увы, в оригинале).

t = linspace(0,15,100)
G = 9.8
L = 1.0

def diffeq(state, t):
    th, w = state
    return [w, -G/L*sin(th)]
dt = 0.05
t = np.arange(0.0, 20, dt)

th1 = 179.0
w1 = 0.0
state = np.radians([th1, w1])
y = odeint(diffeq, state, t)

На первом курсе в лаборатории механики были маятники, возможности каждого из них почти исчерпывало задание к работе. А вот с одним было что-то не то, потому что так было нельзя больше всего привлекал внимание маятник Обербека: «Что будет, если не закрепить грузики?»

И вот спустя N лет я увидела в фильме (очередные пираты Карибского моря) что же произойдёт!

Хмммм а действительно ли это так? Для этого достаточно записать всего два уравнения, первое из которых записано в системе покоя направляющей лезвия с учётом переносного и ускорения Кориолиса.

$a = - g \ cos \ \theta - [w[wr]] - [\dot{w}r] - 2[wv], \\ \ddot{\theta} = -\dfrac{g}{r} \ sin \ \theta$


Куда делась масса гильотины? Как и в большинстве задачек без трения она была и справа, и слева от равенства, и ни на что не влияет.
Наслаждаемся результатами:
image


Если начальная скорость велика, то этот «аттракцион» безопасен после прохождения горизонтального положения.

import matplotlib.animation as animation
from pylab import *
from scipy.integrate import *
import matplotlib.pyplot as plt
t = linspace(0,15,100)
G = 9.8
L = 10.0

def derivs(state, t):
    th, w, r, v  = state
    if 0.<r<L or w**2*r>G*cos(th):
        return [w, -G/r*sin(th), -v, (-w**2*r-G*cos(th)-G*sin(th)-2*w*v)]
    elif w**2*r<G*cos(th):
        return [w,-G/r*sin(th),-v, w**2*r-G*cos(th)]
    return [w,-G/r*sin(th), 0,0]

dt = 0.01
t = np.arange(0.0, 20, dt)

th1 = 180.0
w1 = 50.
r1 = L*0.9
v1 = 0.0
state = np.radians([th1, w1])
state = np.append(state, [r1, v1])
y = odeint(derivs, state, t)

x1 = L*sin(y[:, 0])
y1 = -L*cos(y[:, 0])
x2 = (y[:,2].clip(min = 0, max = L))*sin(y[:, 0])
y2 = -(y[:,2].clip(min = 0, max = L))*cos(y[:, 0])

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, autoscale_on=False, xlim=(-L-0.2, L+0.2), ylim=(-L-0.2, L+0.2))
ax.grid()

line, = ax.plot([], [], '-', lw=2)
point, = ax.plot(0,0,'o', lw=2)
extra, = ax.plot(x1/L*r1,y1/L*r1,'o', lw=2)
time_template = 'time = %.1fs'
time_text = ax.text(0.05, 0.9, '', transform=ax.transAxes)

def init():
    line.set_data([], [])
    point.set_data(0,0)
    time_text.set_text('')
    extra.set_data(x1/L*r1,y1/L*r1)
    return line, time_text, point, extra

def animate(i):

    thisx = [0, x1[i]]
    thisy = [0, y1[i]]
    thisx2 = x2[i]
    thisy2 = y2[i]
    point.set_data(thisx[0],thisy[0])
    line.set_data(thisx, thisy)
    time_text.set_text(time_template % (i*dt))
    extra.set_data([thisx2,thisy2])

    return line, time_text, point, extra

ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, np.arange(1, len(y)),
                              interval=25, blit=True, init_func=init, repeat = False)
show()

P.S. здесь начала копать.
P.S.S. поигравшись с начальными параметрами (для маленьких углов отклонения от вертикали или небольших начальных угловых скоростей) можно прийти к «плоскому» пониманию устойчивости гироскопов.

А лучше будем добрыми и не попадать под гильотины!
Поделиться с друзьями
-->

Комментарии (15)


  1. windgrace
    07.07.2017 14:50
    #10302442
    +1

    Второе уравнение для «гильотины» вызывает сомнения — левая часть имеет размерность с-2, а правая — м2/c2 (обратная секунда в квадрате и скорость в квадрате, соответственно; хабр пока не понимает LaTeX в комментах).

    Было бы интересно ещё посмотреть на зависимость от начальных данных — думаю, если задать достаточно большую угловую скорость вращения, то оранжевая точка так и будет крутиться на максимально возможном расстоянии от оси.


    1. encyclopedist
      07.07.2017 15:07
      #10302478
      +4

      Проблема с размерностями начинается с самого первого уравнения в статье.


      1. Arastas
        07.07.2017 15:19
        #10302508

        Это которое сразу после слов "математического маятника"? Не вижу там проблем кроме того, что величина E не определена.


        1. encyclopedist
          07.07.2017 15:24
          #10302532

          У первого члена размерность кг/с^2, у второго — кг*(м/с^2)*м = кг*м^2/с^2. Первый член должен бы выражать кинетическую энергию (m*v^2)/2, но скорость грузика это (радиус * производная угла), а не просто (производная угла).


          1. Arastas
            07.07.2017 15:28
            #10302544

            Согласен. Я, с чего-то, решил, что тетта в метрах, а не в радианах. :)


      1. windgrace
        07.07.2017 15:26
        #10302538

        Вы правы, проглядел.


      1. ventosa
        07.07.2017 18:56
        #10302882

        Исправила, протестировала программу — лезвие стало медленнее сползать.


        1. windgrace
          07.07.2017 23:20
          #10303122

          Всё равно сомневаюсь во втором уравнении, слагаемого от силы Кориолиса нет. Там должно быть что-то вроде $r \theta '' = — 2r'\theta' — \frac gr \sin\theta$.


    1. ventosa
      07.07.2017 22:30
      #10303078

      Как ни странно, вращение только ускоряет лезвие.


      1. windgrace
        07.07.2017 22:55
        #10303096

        А почему странно? Сильно раскрутили — центробежной силой унесло на максимально возможный радиус. Если кинетической энергии хватит, то там гильотина и останется.


      1. windgrace
        07.07.2017 23:22
        #10303126

        А вот если ускоряет время казни, то это, согласен, странновато.


      1. encyclopedist
        08.07.2017 01:06
        #10303178

        Попробуйте нарисовать траекторию лезвия. А ещё, напишите пожалуйста, откуда и в какую сторону отсчитываются ваши переменные.


        1. ventosa
          08.07.2017 10:02
          #10303300

          Ноль тета — это вертикально вниз, и положительные углы отсчитываются против часовой.


      1. encyclopedist
        08.07.2017 01:15
        #10303180
        +1

        Если я правильно понял и ноль тета — это вертикально вверх и увеличивается по часовой стрелке, то второе уравнение в последней системе неверное. Рассмотрите маленькое положительное тета. Гравитация должна сообщать момент по часовой стрелке, то есть положительный. А у вас он отрицательный.


        Ну и вообще эту задачу проще всего решать не так. А разбить её на 2 части: Когда лезвие прижато к дальнему концу — решать через уравнение маятника. Найти точку, где лезвие оторвется. После этого лезвие находится в свободном педении (вы же считаете что у рамы гильотины нет массы). И нужно просто посчитать падение по параболе (в обычных декартовых координатах).


        1. ventosa
          08.07.2017 10:17
          #10303306

          Уравнение маятника взято из первой части и анимации походили на действительность.
          Если перейти в систему отчёта, связанную с направляющими лезвия, то появится переносное ускорение [w[wr]]+[w' r] и Кориолиса 2[wv]. Тогда второе уравнение будет \ddot{r} = \dot{\theta}^2r-g \ cos \ \theta — w^2r — \dot{w}r — 2 wv (правильные ли знаки?), где r — расстояние от центра.

          Как только разберусь с обработкой отрыва лезвия — исправлю статью.