Представив, что складки и изгибы оригами — это атомы в решётке, исследователи обнаруживают странное поведение, таящееся в простых структурах

Майкл Ассис открыл, что оригами может испытывать фазовый переход

В 1970-м астрофизик Корио Миура [Koryo Miura] задумал схему, которой суждено было стать одной из самых известных и хорошо изученных схем складывания оригами: Миура-ори. Узор складок создаёт мозаику из параллелограммов, и вся эта структура складывается и раскладывается одним движением, порождая отличный способ для складывания карты. Это также отличный способ сложить солнечную панель космического корабля — эту идею Миура предложил в 1985 году, а затем она была осуществлена в реальности на японском спутнике Space Flyer Unit в 1995 году.

На земле Миура-ори находит всё больше применений. Система складывания придаёт гибкому листу форму и прочность, создавая многообещающий метаматериал — материал, чьи свойства зависят не от его химического состава, а от структуры. Также Миура-ори отличается отрицательным коэффициентом Пуассона. Если надавить на него с боков, верхняя и нижняя часть оригами будут сдвигаться. Но у большинства объектов такого не происходит — если попробовать сжать, допустим, банан, то с его концов начнёт вылезать содержимое.

Исследователи изучали, как с помощью Миура-ори создавать трубы, кривые и другие структуры, которые могут получить применение в робототехнике, аэрокосмической промышленности и архитектуре. Даже модельеры вдохновлялись этой системой, включая её в платья и шарфы.

Теперь Майкл Ассис [Michael Assis], физик из Ньюкасловского университета в Австралии, работает над необычным подходом к пониманию Миура-ори и сходных оригами: он рассматривает их через призму статистической механики.

Новый анализ Ассиса, который сейчас проверяют специалисты для журнала Physical Review E, будет первой работой, использующей статистическую механику для описания оригами. Также эта работа впервые моделирует оригами при помощи подхода, использующего «карандаш и бумагу», выдающего точные решения — решения, не зависящие от приблизительных компьютерных вычислений. «Многие люди, и я в их числе, потеряли надежду на точные решения», — говорит Артур Эванс, специалист по математической физике, использующий в своей работе оригами.

Обычно специалисты по статистической механике пытаются описывать появляющиеся свойства и поведение набора частиц, например, газа или молекул воды, существующих в кубике льда. Но наборы сгибов — это тоже сети, только состоящие не из частиц, а из складок. Используя концептуальные инструменты, обычно применяемые для газов и кристаллов, Ассис получает очень интересные идеи.

Горячие складки

В 2014 году Эванс работал в команде, изучавшей, что происходит с Миура-ори при добавлении в неё дефектов. Исследователи показали, что, инвертировав несколько складок, вдавив выпуклости и выдавив вогнутости, можно сделать структуру более прочной. Дефекты, вместо того, чтобы служить недостатками, становились достоинствами. Добавляя или удаляя дефекты, можно перенастраивать Миура-ори, добиваясь нужной прочности.

Это привлекло внимание Ассиса. «До этой работы никто не думал о дефектах», — сказал он.

Он разбирается в статистической механике, естественным образом применяемой к таким решётчатым схемам, как Миура-ори. В кристалле атомы связаны химическими связями. В оригами вершины связаны складками. Даже в решётке, содержащей всего 10 повторяющихся единиц, статистический подход, по словам Ассиса, может достаточно точно описать её поведение.

В кристаллах появляются дефекты, если повысить температуру. К примеру, в кубике льда тепло разрушает связи между молекулами воды, что формирует дефекты в решётке. В итоге решётка полностью разрушается и лёд плавится.

Сходным образом в анализе оригами, сделанном Ассисом, высокая температура приводит к появлению дефектов. Но в данном случае температура обозначает не то, насколько решётка холодная или тёплая; она обозначает энергию системы. К примеру, постоянно закрывая и открывая Миура-ори, вы добавляете энергию в решётку, и на языке статистической механики, увеличиваете её температуру. Это приводит к появлению дефектов, поскольку постоянные раскрытия и свёртывания могут привести к тому, что одна из складок сложится в другую сторону.

Чтобы понять, как растут дефекты, Ассис решил, что будет лучше рассматривать в качестве отдельных частиц не каждую вершину, а каждый дефект. В этом случае дефекты ведут себя как свободно движущиеся частицы газа. Ассис может даже подсчитывать такие параметры, как плотность и давление.


Дефект в решётке Миура-ори

При относительно низких температурах дефекты ведут себя, как обычно. При высоких температурах, когда дефекты покрывают всю решётку, структура оригами становится относительно однородной.

А в промежутке между этими состояниями Миура-ори, как и другая трапециевидная схема сложения оригами, проходит через резкое превращение из одного состояния в другое — происходит то, что физики называют фазовым переходом. «Я был удивлён и обрадован, когда мне удалось обнаружить фазовый переход в оригами, — говорит Ассис. — В каком-то смысле это демонстрирует его сложную структуру. У него есть сложность реального материала. И в итоге это-то нам и нужно — метаматериалы реального мира».

Без экспериментов сложно сказать, каким образом оригами меняется в переходной точке. Он предполагает, что с увеличением количества дефектов решётка постепенно становится всё менее организованной. После точки перехода в ней есть уже столько дефектов, что вся структура оригами погрязает в помехах. «Создаётся впечатление, что весь порядок пропадает и оригами ведёт себя случайным образом», — говорит он.

Однако фазовые переходы не обязательно присущи всем типам оригами. Ассис изучал также мозаику из квадратов и параллелограммов под названием "Марс Баррето". Эта решётка не испытывает фазового перехода, поэтому в неё можно добавлять больше дефектов и не порождать беспорядка. Если вам нужен материал, выдерживающий больше дефектов, говорит Ассис, то вам может пригодиться именно это оригами.


Ассис показывает, как использовать дефекты для подстройки Миура-ори

Плоские грани

Применимы ли эти заключения к реальным оригами, вопрос спорный. Роберт Лэнг, физик и скульптор оригами, считает, что модели Ассиса слишком идеальные, чтобы их можно было использовать. К примеру, эта модель предполагает, что оригами можно заставить складываться в плоскую фигуру даже при наличии дефектов, но на самом деле дефекты могут помешать листу сложиться плоско. В анализ не входят углы складок, он не запрещает листу самопересекаться при сложении — а такого в реальной жизни быть не может. «Работа даже близко не подходит к описанию реального оригами с такими складками», — говорит Лэнг.

Но Ассис говорит, что модель предполагается разумной и необходимой, особенно, когда вам нужно получить точные решения. Во многих практических случаях, например, при складывании солнечных панелей, вам необходимо, чтобы лист складывался плоско. Складывание может разглаживать дефекты. Углы складок могут играть важную роль, если они располагаются близко к дефектам, особенно если учитывать, что грани решётки тоже могут изгибаться. Ассис планирует рассмотреть изгибание граней в следующей работе.

К сожалению, вопрос возможности глобального сложения в плоскую фигуру — одна из сложнейших математических задач, поэтому большая часть исследователей предполагают лишь наличие локального сложения в плоскую фигуру. Так утверждает Томас Халл, математик из Западного университета Новой Англии и соавтор исследования от 2014 года. Он говорит, что такие предположения имеют смысл. Но признаёт, что разница между теорией и разработкой реальных метаматериалов и структур остаётся значительной. «До сих пор непонятно, поможет ли нам такая работа, которую представил Майкл, сделать что-то на практике», — сказал он.

Чтобы это выяснить, исследователям необходимо будет самостоятельно провести эксперименты для проверки идей Ассиса и оценить, могут ли модели на самом деле наполнить смыслом оригами, или же с ними можно только играться теоретикам в статистической механике. И всё же подобное исследование — шаг в правильном направлении, говорит Халл. «Нам необходимы базовые строительные блоки, которые можно использовать для практического применения».

С ним соглашается Кристиан Сантаньело [Christian Santangelo], физик из Массачусетского университета в Амхерсте, принимавший участие в написании работы 2014 года. По его мнению, над дефектами оригами работает недостаточно исследователей, и он надеется, что представленная работа привлечёт в эту область больше учёных. «Судя по всему, эти проблемы не стоят в приоритете у людей, реально что-то создающих». Так это или нет, но технология оригами требует тщательного изучения влияния дефектов. «Эти структуры, — сказал он, — сами себя не сложат».

Вы можете самостоятельно сложить Миура-ори, скачав и распечатав PDF-файл.