29.06.2021 21:40
petuhoff 7 975 Источник

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется. В предыдущих сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ.
3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.
3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционноезвено. На примере входной камеры ядерного реактора. 
3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 
3.5. Колебательное звено. 
3.6. Инерционно-дифференцирующее звено.
3.7. Форсирующее звено.

Для вывода уравнения инерционно-интегрирующего звена интегрирующеезвеносзамедлением обратимся к нашему любимому гидравлическому демпферу.

Мы уже рассматривали систему уравнений и динамическую модель вот в этой Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13.

Немного модифицируем исходную модель, заменив пружину на внешнее воздействие. Схема видоизменной модели приведена на рисунке 1.

Рисунок 3.8.0. Схема гидравлического демпфера.
Рисунок 3.8.0. Схема гидравлического демпфера.

Уравнения движения плунжера при данной схеме принимают вид:

m \cdot x'' = p\cdot A _{p} - F(t) - b_{tr} \cdot x'

Где:

  • m- масса плунжера;

  • x''- ускорение плунжера;

  • p- давление в камере гидроцелиндра;

  • A_p- площадь плунжера;

  • F(t)- сила действующая на плунжер возмущающее воздействие;

  • b_{tr}- коэффициент трения скольжения;

  • x'- корость перемещения плунжера;

  • F_{tr}=b_{tr}\cdot x'- сила трения.

Если объем камеры достаточно большой, а модуль объемной упругости маленький, то малые перемещения плунжера не меняют давление в камере. Можно перенять, что p = cost; Тогда начальное значение силы, при которой систем находится в равновесии: 

F_0= p \cdot A_p

А входное воздействие можно записать как:

F_1 = p \cdot A_p - F(t)

Получим уравнение в виде:

m \cdot x'' = F_1(t) -b_{tr}\cdot x' \Rightarrow\\ m \cdot x'' +b_{tr}\cdot x'= F_1(t)

Заменим переменные. Пусть для звена входным xt воздействием будет относительное отклонение силы от начального равновесного состояния, тогда изменив обозначение получим: 

x(t) =\frac{F_1(t)}{F_0} \rightarrow F_1(t) = x(t)\cdot F_0

А выходным значение yt будет относительное отклонение от начального положения плунжера:

y(t) = \frac{x-x _0}{x_0}

тогда для производных:

x'= x_0\cdot y'(t)\\x''= x_0 \cdot y''(t)

Подставляя в уравнения, получим:

m \cdot x_0 \cdot y''(t)+ b_{tr}\cdot x_0 \cdot y'(t) = F_0 \cdot x(t)

Если разделить все уравнение на F_0Fполучим уравнение инерционно интегрирующего звена:

T_2^2 \cdot y''(t) + T_1 \cdot y'(t) = k \cdot x(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.8.1)}

Где:

T_2^2=\frac{m \cdot x_0}{F_0}; \\T_1=\frac{b_{tr}\cdot x_0}{F_0};\\ k=1.

Проверим размерности:

[T_1^2] = \left[\frac{кг \cdotм\cdot c^2}{кг \cdot m}\right] = [c^2]; \\ [T_2]= \left[\frac{кг \cdot м \cdot c^2}{с \cdotкг\cdot м}\right] = [c].

Мы опять получили размерность времени для коэффициентов уравнения динамики.

Если разделить обе части уравнения на T1 3.8.1, можно получить вторую форму уравнения для инерционно-интегрирующего звена:

T \cdot y''(t) + y'(t) = k_1 \cdot x_1(t);

Где:

T=\frac{T^2_2}{T_1}; \\k_1=\frac{k}{T_1}.

Во втором случае размерность коэффициента [k_1] = [c^{-1}]

Используя преобразования по Лапласу, получим две формы уравнения в изображениях:

T_2^2 \cdot y''(t)+T_1\cdot y'(t) = k \cdot x(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.8.1a)}T \cdot y''(t)+y'(t) = k_1 \cdot x(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.8.1b)}

Передаточная функция в двух вариантах:

W(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}= \frac{k}{T_2^2 \cdot s^2+T_1\cdot s} = \frac{k}{T_1\cdot s \left(\frac{T_2^2}{T_1}s+1 \right)} = \frac{k_1}{s\cdot(T \cdot s+1)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.8.3)}

где k -безразмерный кофээфицента, а [k_1] = [c^{-1}]

АФЧХ:

W(i \cdot \omega) = W(s)|_{s=i\cdot \omega} =\frac{k}{T_1\cdot i \cdot \omega \left( \frac{T_2^2}{T_1}\cdot i \cdot \omega+1 \right)} = \frac{k_1}{i\cdot\omega(T\cdot i\cdot \omega+1)} \ \ \ \mathbf{(3.8.4)}W(i\cdot \omega) = \frac{k \left(- \frac{T_2^2}{T_1}\cdot i \cdot \omega+1 \right)\cdot i}{T_1 \cdot i^2\cdot \omega \left[\left(\frac{T_2^2}{T_1}\right)^2\omega^2+1\right]}U(\omega) =-\frac{k\cdot T_2^2}{T_1^2\left[ 1+\left(\frac{T_2^2}{T_1}\right)^2\omega^2\right]};V(\omega)=-\frac{k}{T_1\cdot \omega \left[ 1+\left(\frac{T_2^2}{T_1}\right)^2\omega^2 \right]};

Анализ формул U(\omega) и V(\omega)при разных значения \omegaпоказывает что:

\omega \rightarrow 0 \begin{cases} & U(\omega) \rightarrow-k\cdot \frac{T^2_2}{T_1^2} \\ & V(\omega) \rightarrow -\infty \end{cases}\omega \rightarrow \infty \begin{cases} & U(\omega) \rightarrow 0 \\ & V(\omega) \rightarrow 0 \end{cases}
Рисунок 3.8.1 АФЧХ инерционно-интегрирующего звена (если k – безразмерный коэффициент)
Рисунок 3.8.1 АФЧХ инерционно-интегрирующего звена (если k – безразмерный коэффициент)

Для воторого варианта передаточной функции:

W(s)|_{i \cdot \omega} =\frac{k_1}{i\cdot \omega(T\cdot i \cdot \omega+1)} =\frac{k_1\cdot i \cdot(-T \cdot i \cdot \omega+1) }{i^2 \cdot\omega\cdot(T^2\cdot i^2\cdot\omega^2+1)}\RightarrowW(i\cdot\omega)=\underbrace{-\frac{k_1\cdot T}{(T^2 \cdot \omega^2+1)}}_{U(\omega)}\underbrace{ -\ \frac{k_1}{\omega\cdot(T^2\cdot\omega^2+1)}}_{V(\omega)}\cdot i

Анализ формул U(\omega) и V(\omega)при разных значения \omegaпоказывает что:

\omega \rightarrow 0 \begin{cases} & U(\omega) \rightarrow -k_1\cdot T \\ & V(\omega) \rightarrow -\infty \end{cases}\omega \rightarrow \infty \begin{cases} & U(\omega) \rightarrow 0 \\ & V(\omega) \rightarrow 0 \end{cases}
Рисунок 3.8.2 АФЧХ инерционно-интегрирующего звена (если k имеет размерность 1/с)
Рисунок 3.8.2 АФЧХ инерционно-интегрирующего звена (если k имеет размерность 1/с)

Амплитуда модуль:

A(\omega)=|W(\omega)|=\sqrt{U(\omega)^2+V(\omega)^2}=\\=\sqrt{\frac{(k_1\cdot T)^2}{(T^2\cdot \omega^2+1)^2}+\frac{k_1^2}{\omega^2\cdot(T^2\cdot\omega^2+1)^2}}A(\omega)=\frac{k_1}{\omega\cdot\sqrt{T^2\cdot\omega^2+1}};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.8.5)}

Сдвиг фазы:

\psi(\omega) =-\pi+arctg\frac{V(\omega)}{U(\omega)} = -\pi + arctg\frac{k_1}{\omega \cdot T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.8.6)}

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ:

Lm(\omega)=20 \cdot lg (A(\omega))= 20\cdot lg \frac{k_1}{\omega}-20 \cdot lg\sqrt{T^2\cdot \omega^2+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.8.7)}

Построим соответствующие графики:

Рисунок 3.8.3 АЧХ и ФЧХ инерционно-интегрирующего звена
Рисунок 3.8.3 АЧХ и ФЧХ инерционно-интегрирующего звена
Рисунок 3.8.4 ЛАХ и ЛФЧХ инерционно-интегрирующего звена
Рисунок 3.8.4 ЛАХ и ЛФЧХ инерционно-интегрирующего звена

Переходная функция находится, с использованием передаточной функции и функции единичесного сутпенчатого воздействия 1t, в изображениях единичное ступенчатое воздействие - \frac{1}{s}

h(t)=L^{-1}\left[W(s)\frac{1}{s} \right]=L^{-1}\left[\frac{k_1}{s^2(T\cdot s+1)}\right]

Для нахождения оригинала по изображению воспользуемся формулой Хэвисайда, для изображений имеющих вид:

F(s) = \frac{D_1(s)}{D_0(s)}, где D1s и D0s – полиномы по степеням «s», оригинал принимает вид:

f(t)=\sum_{j=1} \frac{1}{(k_j-1)!} \cdot \lim_{s \to s_j} \frac{d^{k_j-1}}{ds^{k_j-1}}[(s-s_j)^{k_j} \cdot F(s) \cdot e^{st}]

где sj – полюса изображения, т.е. те значения «s» при которых полином D0s обращается в ноль; kj – кратность j – го полюса.

Полиномы функции функции D_1(s) = k_1; \ \ \ \ \ D_0(s) = s^2(Ts+1);

Полюса полинома D_0(s) = s^2(Ts+1) \Rightarrow S_1 =-\frac{1}{T}; \ \ S_2=S_3=0;

f(t) = S_1+S_2 \ \ для \ \ j=1; \ \ S_1=- \frac{1}{T} \ \ \Rightarrow \\ \lim_{s \to -\frac{1}{T}}[(s+\frac{1}{T})\cdot \frac{k_1}{S^2(T \cdot S+1)} \cdot e^{st}] \Rightarrow \frac{1}{T}\cdot \frac{k_1}{\frac{1}{T^2}} \cdot e^{-\frac{t}{T}}=k_1 \cdot T \cdot e^{-\frac{t}{T}}; \\ для \ \ j =2,3 \\ \frac{1}{(2-1)!}\lim_{s \to 0} \frac{d}{ds}[(s-0)^2 \cdot \frac{k_1}{S^2(T \cdot S+1)} \cdot e^{st}] = \lim_{s \to 0}[-\frac{k_1}{(TS+1)^2} \cdot T \cdot e^{st}+t \cdot e^{st} \frac{k_1}{TS+1}] =\\ =[-k_1T +k_1t] \Rightarrow \\ h(t) =k_1 \cdot T \cdot e^{-\frac{t}{T}} -k_1 \cdot T+k_1 \cdot t = k_1[t - T(1 -e^{-\frac{t}{T}})];h(t)=k_1[t - T(1 -e^{-\frac{t}{T}})] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.8.8)}
Рисунок 3.8.5 Переходная функция инерционно-интегрирующего звена
Рисунок 3.8.5 Переходная функция инерционно-интегрирующего звена

Весовая функция получается дифференцированием по времени переходной:

w(t ) =h'(t)=k_1[(1 -e^{-\frac{t}{T}})] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.8.9)}

Примерами инерционно-интегрирующих звеньев являются:

  1. Интегрирующий привод (например, электродвигатель с редуктором с учетом механической инерционности якоря двигателя и зубчатых колес редуктора), где входное воздействие – напряжение в обмотке возбуждения, выходное – угол поворота выходного вала редуктора)

  2. Гидравлический демпфер, если учитывать инерционность поршня и сопротивление трения (F(t) – входное воздействие, y(t) – выходной параметр).

Пример

Мы уже обращали внимание, что абсолютно разные физические системы с помощью волшебства «Теории Автоматического Управления» превращаются в абсолютно одинаковые математические модели. Например, в лекции «Апериодическое звено 1-го порядка» камера смешения реактора (теплогидравлические уравнения) и электрическая цепь (уравнения электротехники) описываются одинаковыми передаточными функциями. И при моделировании выдают одинаковые графики АФЧХ и годографов! 

В этой лекции у нас обратное волшебство: одна и та же физическая система может быть представлена разными передаточными функциями. Попробуем посмотреть на это волшебство на примере сравнения разных математических моделей для одной и той же системы – гидравлического демпфера. Сравнивать будем отклик на ступенчатое воздействие.

В статье «Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13» мы уже разбирали способы создания математической модели такого гидравлического демпфера. Для удобства построения графика изменим направление оси х так, чтобы положительное направление совпадало с направление действия силы. См. схему на рисунке 3.8.10:

Рисунок 3.8.10. Схема модели гидравлического демпфера
Рисунок 3.8.10. Схема модели гидравлического демпфера

Тогда уравнение движения плунжера примет следующий вид:

m \cdot x'' = -p\cdot A _{p} + F(t) - b_{tr} \cdot x'

В начале лекции мы принимаем допущение, что объем камеры большой, а величина перемещения плунжера и модуль упругости среды малые настолько, что перемещение не вызывает изменения давления. И получаем уравнения для инерционно-интегрирующего звена. Составим модель в виде структурной схемы из типовых блоков:

Рисунок 3.8.11. Структурная схема модели плунжера при p = const
Рисунок 3.8.11. Структурная схема модели плунжера при p = const

В качестве параметров возьмем основные технические характеристики, которые были использованы при решении подобной задачи ранее, и запишем их в глобальном скрипте модели:

Рисунок 3.8.12. Параметры модели.
Рисунок 3.8.12. Параметры модели.

В начальный момент входное воздействие уравновешивает давление в камере, F_0=P_n \cdot A_p на первой секунде происходит увеличение на 10Н. Параметры блока приведены на рисунке 5.

Рисунок 3.8.13. Параметры ступенчатого воздействия
Рисунок 3.8.13. Параметры ступенчатого воздействия

Результат такого воздействия вызывает перемещение плунжера в полном соответствии с теоретическим решением в лекции. На рисунке 3.8.14 представлен график перемещения плунжера в течение 3 секунд, а также увеличенный участок сразу после ступенчатого изменения воздействия.

Рисунок 3.8.14 Перемещение плунжера.
Рисунок 3.8.14 Перемещение плунжера.

Модель в виде структурной схемы, повторяющей уравнения движения, можно представить в виде одного блока «Инерционно-интегрирующее звено». Как было показано в начале, параметры блока будут следующими:

Т=\frac{T^2_2}{T_1}=\frac{m \cdot x_0}{F_0}\cdot \frac{F_0}{b_{tr}\cdot x_0} =\frac{m}{b_{tr}}\\k=\frac{1}{T_1}=\frac{F_0}{b_{tr}\cdot x_0}=\frac{P_n\cdot A_p}{b_{tr}\cdot x_0}

В формуле коэффициента усиления присутствует начальное положение x0, которое необходимо для пересчета из относительной величины перемещения в абсолютную. Но поскольку сам пересчет заключается в умножении на x0 , то ее можно сократить, Таким образом, мы получим сразу перемещение в абсолютных единицах [м], а параметры блока инерционно-интегрирующего звена будут такими, как показано на рисунке 3.8.15

Рисунок 3.8.15. Параметры модели в виде одного блока.
Рисунок 3.8.15. Параметры модели в виде одного блока.

Для использования данного блока в модели необходимо размерные параметры силы перевести в безрамные с помощью блока линейное преобразование. Тогда общая модель будет выглядеть так, как показано на рисунке 3.8.16:

3.8.16. Сравнение модели в виде блока и схемы
3.8.16. Сравнение модели в виде блока и схемы

Результаты моделирования показывают полное совпадение модели в виде одного блока и модели в виде структурной схемы см. рис. 3.8.17

Рисунок 3.8.17 Сравнение схемы и блока.
Рисунок 3.8.17 Сравнение схемы и блока.

Сравним модель с постоянным давлением в камере с моделью, где учитывается сжимаемость жидкости и изменение объема при перемещении плунжера, но расход со стороны дросселя Q равен 0.

В общем случае производная давления в камере будет описываться следующим уравнением:

P'=\frac{E}{V}(Q+A_p\cdot x')

Где: Q – расход в камере (у нас он равен 0), V — объем камеры, Ap – площадь плунжера, x’- скорость перемещения, E — объемный модуль упругости.  Поскольку мы изменили направление х, то положительная величина скорости будет увеличивать давление в камере (см. рис. 3.8.10).

Создадим вторую модель с учетом сжимания в среды камере демпфера (см. рис. 3.8.18)

Рисунок 3.8.18 Модель плунжера с камерой
Рисунок 3.8.18 Модель плунжера с камерой

Сравнение расчёта двух моделей показывает, что учет сжимаемости жидкости в камере сразу приводит к кардинально другим результатам: вместо линейного роста перемещения мы получаем колебательный процесс и новое положение равновесия, жидкость в камере с учетом сжимаемости ведет себя как пружина, однако на масштабированном графике видно, что в начальный момент времени графики двух моделей достаточно хорошо совпадают (см. рис. 3.8.19):

Рисунок 3.8.19 Сравнение моделей с камерой и без камеры (среда - жидкость)
Рисунок 3.8.19 Сравнение моделей с камерой и без камеры (среда - жидкость)

Таким образом упрощенная модель может достаточно точно описывать поведение демпфера при малых перемещениях и нагрузках.

В примере выше в качестве среды используется жидкость с модулем объемной упругости E = 13e8. Если вместо жидкости в демпфере будет использоваться воздух с модулем упругости E = 1.42e5, при тех же воздействиях мы увидим переходной процесс, приведенный на рисунке 3.8.20, где совпадения процессов идут в более широком диапазоне перемещения.

Рисунок 3.8.20 Сравнение моделей с камерой и без камеры (среда – воздух).
Рисунок 3.8.20 Сравнение моделей с камерой и без камеры (среда – воздух).

Как мы видим, принятое упрощение модели работает только в ограниченном диапазоне перемещения. Как только перемещения плунжера становятся значительными, давление в камере начинает изменяться, и принятые допущения уже не работают. Еще раз усложним модель, добавив в модель дроссель, который соединяет камеру демпфера с источником постоянного давления. 

Такая модель будет более точно отображать гидравлическую систему, в которой есть источник давления (например, магистраль) и исполнительные механизмы (гидроцилиндры).

Расход через дроссель определяется по формуле:

Q =\mu\cdot f \sqrt{\frac{2}{\rho}(p_n-p)}

Где:

 Q – расход через дроссель, ? - коэффициент расхода, f – площадь сечения дросселя, pn – давление в линии нагнетания, p – давление в камере.

Значения для этих параметров возьмем из предыдущего примера и добавим в общий скрипт проекта (см. ниже). Закомментированные строки позволяют менять среду в модели (воздух или гидравлическая жидкость).

const
m = 100, //масса плунжера(кг)
d =  10e-3, //диаметр плунжера (м)
Cpr = 200e3, //жесткость пружины (Н/м)
Btr = 1000, // коэффициент вязкого трения (Н/(м/с))
V0 = 20e-6, //начальный объем камеры (м^3)
E = 13e8, // приведенный модуль упругости (Па)(жидкость)
//E = 1.42e5, // приваеденный модуль упругости (Па) (воздух)
my = 0.62,// коэффициент расхода
ro = 850,// плотность рабочей жидкости кг/м^3
//ro = 263,// плотность воздуха кг/м^3 при 200 бар
d_dr = 2e-4,// диаметр дросселя m;
dP_mid = 100e5,//среднний перепад давление для линеаризации дросселя
Pn =200e5; //давление в камере
initialization   
//расчет полщади плунжера
Ap=pi*d^2/4;
// расчет полщади сечения дросселя
f_dr = pi*d_dr^2/4;
//линейный коффициент линеаризированного дросслея 
end;
Рисунок 3.8.21 Модель с учетом дросселя.
Рисунок 3.8.21 Модель с учетом дросселя.

Графики перемещения для всех трех моделей в случае среды гидравлической жидкости приведены на рисунке 3.8.22 Видно, что добавление дросселя и объема с постоянным давлением делает отклик системы более похожим на отклик одного звена (отличается только угол наклона, который соотвесвует установившемуся давление в камере).

Рисунок 3.8.22 Перемещения плунжера для разных вариантов модели (среда - жидкость).
Рисунок 3.8.22 Перемещения плунжера для разных вариантов модели (среда - жидкость).

Увеличенный график показывает, что при малых перемещениях, в начале процесса все три модели дают очень близкий результат. 

Если заменить в модели жидкость на воздух (изменить модуль объемной упругости и плотность среды), то все 3 модели дают очень близкий результат в большем диапазоне перемещения плунжера. (см. рис. 3.8.23). Увеличение показывает, что все три модели ведут себя практически аналогично инерционно-интегрирующему звену.

Рисунок 3.8.23 Перемещения плунжера для разных вариантов модели (среда - воздух).
Рисунок 3.8.23 Перемещения плунжера для разных вариантов модели (среда - воздух).

Выводы.

Приведенные примеры показывают, что при малых перемещениях плунжера демпфера вполне можно обходиться одним расчетным блоком вместо полной модели. Например, если мы исследуем вибрации с малой амплитудой. Однако, всегда нужно помнить о границах применимости принятых допущений. В рассмотренном примере при замене среды жидкости на газ упрощенная модель из одного блока работает практически идентично полной модели из трех дифференциальных уравнений и одного алгебраического.

Как показывет разобранный пример, одна и та же физическая система может моделироваться различными моделями и различными передаточными функциями в зависимости от параметров моделируемого процесса. 

Модели из примеров можно взять здесь.