20.10.2020 21:09
petuhoff 17 2300 Источник

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.


Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.


В предыдущих сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3
3. Математическое описание систем автоматического управления 2.3 — 2.8


В это части будут рассмотрены:

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).
2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).
2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.
2.12. Mетод переменных состояния.
2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния.


Попробуем применить, полученные знания на практике, создавая и сравнивая расчетные модели в разных видах. Будет интересно познавательно и жестко.




2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена)


Рассмотрим динамическое звено САР изображенное на рисунке 2.9.1



Рис. 2.9.1 — Звено САР

Предположим, что уравнение динамики имеет вид:

$T_2^2\cdot y''(t)+T_1\cdot y'(t)+y(t)=k\cdot[\tau \cdot x'(t)+x(t)];$


где: $T_2,T_1, \tau$ — постоянные времени;
$k$ — коэффициент усиления.

Пусть известны отображения:

$x(t) \to X(t)\\ y(t) \to Y(t)$


Найдем изображения для производных: $x',y',y'':$

$x'(t) \to s \cdot X(s) + добавка\\ y'(t) \to s \cdot Y(s) + добавка\\ y''(t) \to s^2 \cdot Y(s) + добавка$


Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

$T_2^2 \cdot s^2\cdot Y(s) + T_1 \cdot s \cdot Y(s) + Y(s) + \sum добавок = k \cdot[s \cdot \tau \cdot X(s) +X(s)] +k \cdot добавки\\ (T_2^2 \cdot s^2 + T_1 \cdot s + 1) \cdot Y(s)+ \sum добавок =k \cdot(s \cdot \tau +1)\cdot X(s) +k \cdot добавки\\ Y(s) = \underbrace{\frac{k \cdot(s \cdot \tau +1)}{T_2^2 \cdot s^2 + T_1 \cdot s + 1}}_{W(s)}\cdot X(s) + \underbrace{\frac{k \cdot добавки-\sum добавок}{T_2^2 \cdot s^2 + T_1 \cdot s + 1}}_{B(s)} $


B(s) — слагаемое, которое определяется начальными условиями, при нулевых начальных условиях B(s)=0.
W(s) — передаточная функция.

$Y(s) = W(s) \cdot X(s); \ \ \ \ W(s) = \frac{Y(s) - изображение \ выходного \ сигнала} {X(s)- изображение\ входного \ воздействия}$


Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного сигнала к входному воздействию при нулевых н.у.


После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.


Пример


Построить выходной сигнал звена САР при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях, если уравнение динамики звена имеет следующий вид:

$T \cdot y'(t)+y(t) = k \cdot x(t) $


начальные условия:

$ при \ t \le0: x(0)=0,y(0)=0. $


входное воздействие: $x(t) = 1(t)$ — единичное ступенчатое воздействие.

Выполним преобразование Лапласа:

$x(t) \to X(s) = \frac{1}{s} \\ y(t) \to Y(s) \\ y' \to s \cdot Y(s)$


Подставим в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

$(T \cdot s+1) \cdot Y(s) = k \cdot X(s) \\ Y(s) = \frac{k}{T\cdot s+1} \cdot X(s) = \frac{k}{T\cdot s+1} \cdot \frac{1}{s}\\ Y(s) = \frac{k}{s(T\cdot s+1)}$


Для получения выходного сигнала из уравнения в изображениях выполним обратное преобразования Лапласа:

$y(t) = L^{-1}[Y(s)] = L^{-1}\left[\frac{k}{s(T\cdot s+1)}\right] =\frac{1}{T}k \cdot L^{-1}\left[\frac{1}{s(s+\frac{1}{T})}\right] \Longrightarrow \\ y(t) = \frac{k}{T}(1-e^{-\frac{t}{T}}) \cdot T = k \cdot(1-e^{-\frac{t}{T}}).$



Рисунок 2.9.2 График переходного процесса.

2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).


Определение: Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.



Рисунок 2.10.1 Весовая функция.

Определение: Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.



Рисунок 2.10.2 Переходная функция.


Рисунок 2.10.3 Пример весовой функции.


Рисунок 2.10.4 Пример перходной функции.

На этом месте можно вспомнить, что преобразование Лапласа это интеграл от 0 до бесконечности по времени (см. предыдущий текст), а импульсное воздействие при таком интегрировании превращается в 1 $L[\delta(t)] =1$ тогда в изображениях получаем что:

$Y(s) =W(s) \cdot \underbrace{X_{имп}(s)}_1 \Rightarrow Y(s) = W(s)$


Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.


Рисунок 2.10.5 Весовая функция как передаточная в изображениях.


Рисунок 2.10.6 Ступенчатое воздействие.

Для единичного ступенчатого воздействия преобразование Лапласа тоже известно (см. предыдущий текст):

$L[1(t)] = \frac{1}{s}$


тогда в изображениях получаем, что реакция системы $Н(s)$ на ступенчатое воздействие, рассчитывается так:

$Н(s) =W(s) \cdot \underbrace{X_{ступ}(s)}_{1/s} \Rightarrow Н(s) = \frac {W(s)}{s},$


Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие рассчитывается обратным преобразованием Лапласа:

$h(t) = L^{-1}\left[\frac{W(s)}{s}\right]$

2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции. Формула Дюамеля-Карсона


Предположим, что на вход системы поступает произвольное воздействие x(t), заранее известное. Найти реакцию системы y(t), если известны входное воздействие x(t) и весовая функция w(t).



Рисунок 2.11 Демонстрация расчета по формуле Дюамеля-Карсона

Решение.


Представим, что входное воздействие представляет собой последовательность прямоугольных импульсов до времени t и ступеньки высотой x(t) в момент времени t. см.рис. 2.11 Для каждого импульса мы можем записать реакцию системы через весовую функциию:

$Y_k \approx Y_{k-1}+x(t) \cdot w(t-\Delta\tau) \cdot\Delta\tau$

где:
$Y_{k-1} $ — значение отклика по завершению предыущего импульса;
$t= k \cdot \Delta\tau$ — время завершения текущего импульса;
$w(t-\Delta\tau) $ — значение весовой функции в начале текущего импульса.

Тогда для определения занчения отклика в произвольный момент времени необходимо сложить все импульсы и ступенчатое воздействие в момент времени t:

$Y(t) = h(0)x(t)+ \sum_{k=0}^{n}x(k\cdot \Delta\tau)\cdot w(t-k\cdot \Delta\tau) \cdot \Delta\tau;$


Переходя к пределам

$n \to \infty, \Delta\tau \to0$

получаем интеграл:

$y(t) = h(0)x(t)+\int_0^t x(\tau)\cdot w(t-\tau)d\tau$


если перейти от t к бесконечности мы получим формулу интеграла Дюамеля-Карсона, или по другому «интеграла свертки» который обеспечивает вычисление оригинала функции по произвдению изображения двух функций:

$Y(s) = L[y(t)];\\ W(s) =L[w(t)];\\ X(s) = L[x(t)];\\ если \ \ Y(s) = W(s)\cdot X(s),\ \ то\\ y(t) =\int_0^\infty x(\tau)\cdot w(t-\tau)d\tau $


где $\tau$ — вспомогательное время


Для вывода аналогичной зависмости от переходной функции вспомним что изображение весовой и переходной функции связаны соотношением: $H(s) =\frac{W(s)}{s} $ запишем выражение изображения для отклика в операторной форме:


$y(t) = L^{-1} [W(s) \cdot Y(s)]=L^{-1} \left[s \cdot \frac{W(s)}{s} \cdot Y(s) \right] \\ свойства\ \ преобразований \ \ Лапласа \ \ x(t) \to X(s), \ \ \frac {d}{dt}x(t) \to s \cdot X(s)\ \ to \\ y(t)= \frac {d}{dt}L^{-1} \left[ H(s) \cdot Y(s)\right]$


Используя интеграл свертки получаем, что при известной переходной функции (h(t)) и известному входному воздействию х(t) выходное воздействие рассчитывается как:

$y(t) = \frac{d}{dt} \int_0^\infty x(t)\cdot h(t-\tau)d\tau$


2.12. Mетод переменных состояния.


До этого мы рассматривали системы с одной передаточной функцией, но жизнь всегда сложнее и как правило в системах есть несколько передаточных функций несколько входных воздейстий и несколько реакций системы. (см. рис. 2.12.1)



Рисунок 2.12.1 Моногомерная система автоматического управления.

В этом случае наиболее удобной формой пердставления систем для их анализа и расчета оказался метод переменных состояния. Для этого метода, вместо передаточных функций связывающих вход с выходом используются дополнительные переменные состояния, которые описывают систему. В этом случае можно говорить, что состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. см. рис. 2.12.2


Рисунок 2.12.2 Перменные состояния в многомерной системе.

В методе состояний, производные всех переменных состояния, в общем случае зависит от всех переменных и всех входных воздействия, и могут быть записаны в представленной ниже системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первой степени. Эта система уравнений называю системой ОДУ в форме Коши:

$\left \{ \begin{gathered} x_1'(t) = a_{11}\cdot x_1(t)+ a_{12}\cdot x_1(t)+..+a_{1n}\cdot x_n(t)+b_{11}\cdot u_1(t)+..b_{1m}u_m(t)\\ x_2'(t) = a_{21}\cdot x_1(t)+ a_{22}\cdot x_2(t)+..+a_{2n}\cdot x_n(t)+b_{21}\cdot u_1(t)+..b_{2m}u_m(t)\\ ...................................................................\\ x_n'(t) = a_{n1}\cdot x_1(t)+ a_{n2}\cdot x_n(t)+..+a_{nn}\cdot x_n(t)+b_{21}\cdot u_1(t)+..b_{nm}u_m(t)\\ \end{gathered} \right. $


Выход из системы зависит от переменных состояния и, в общем случае от входных воздействий и описывается следующей системой уравнений:

$\left \{ \begin{gathered} y_1(t) = c_{11}\cdot x_1(t)+ c_{12}\cdot x_1(t)+..+c_{1n}\cdot x_n(t)+d_{11}\cdot u_1(t)+..d_{1m}u_m(t)\\ y_2(t) = c_{21}\cdot x_1(t)+ c_{22}\cdot x_2(t)+..+c_{2n}\cdot x_n(t)+d_{21}\cdot u_1(t)+..d_{2m}u_m(t)\\ ...................................................................\\ y_p(t) = c_{p1}\cdot x_1(t)+ c_{p2}\cdot x_n(t)+..+cp_{pn}\cdot x_n(t)+d_{p1}\cdot u_1(t)+..d_{pm}u_m(t)\\ \end{gathered} \right.$


где:
n — количество перемнных состояния,
m — количество входных воздействий,
p — количество выходных переменных;


Данная система уравнений может быть записана в матричной форме:

$\left \{ \begin{gathered} x'= A\cdot x+B\cdot u\\ y= C\cdot x+D\cdot u\ \end{gathered} \right. $


где:
$u=\left[ \begin{gathered} u_1(t)\\ u_2(t)\\ ..\\ u_m(t)\\ \end{gathered} \right]$ — вектор входа (или вектор управления);
$x'=\left[ \begin{gathered} x'_1(t)\\ x'_2(t)\\ ..\\ x'_n(t)\\ \end{gathered} \right]$ — вектор столбец производных переменных состояния;
$x=\left[ \begin{gathered} x_1(t)\\ x_2(t)\\ ..\\ x_n(t)\\ \end{gathered} \right]$ — вектор столбец переменных состояния;
$y=\left[ \begin{gathered} y_1(t)\\ y_2(t)\\ ..\\ y_p(t)\\ \end{gathered} \right]$ — вектор выхода;
$А=\left[ \begin{gathered} а_{11} \ \ а_{12} \ \ ... \ \ a_{1n}\\ а_{21} \ \ а_{22} \ \ ... \ \ a_{2n}\\ .. .. .. ........ \\ а_{n1} \ \ а_{n2} \ \ ... \ \ a_{nn}\\ \end{gathered} \right]$ — собственная матрица системы [n x n],
$a_{ij} $ — постоянные коэффициенты;
$B=\left[ \begin{gathered} b_{11} \ \ b_{12} \ \ ... \ \ b_{1m}\\ b_{21} \ \ b_{22} \ \ ... \ \ b_{2m}\\ .. .. .. ........ \\ b_{n1} \ \ b_{n2} \ \ ... \ \ b_{nm}\\ \end{gathered} \right]$ — матрица входа [n x m],
$b_{ij} $ — постоянные коэффициенты;
$C=\left[ \begin{gathered} c_{11} \ \ c_{12} \ \ ... \ \ c_{1n}\\ c_{21} \ \ c_{22} \ \ ... \ \ c_{2n}\\ .. .. .. ........ \\ c_{p1} \ \ c_{p2} \ \ ... \ \ c_{pn}\\ \end{gathered} \right]$ — матрица выхода а [p x n],
$c_{ij} $ — постоянные коэффициенты;
$D=\left[ \begin{gathered} d_{11} \ \ d_{12} \ \ ... \ \ d_{1m}\\ d_{21} \ \ d_{22} \ \ ... \ \ d_{2m}\\ .. .. .. ........ \\ d_{p1} \ \ d_{p2} \ \ ... \ \ d_{pm}\\ \end{gathered} \right]$ — матрица обхода [p x m],
$d_{ij} $ — постоянные коэффициенты;


В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми: D = 0.


Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать различные технические системы. Явная формула для расчета производных позволяет достаточно просто осуществлять численное интегрирование по времени. И это используется в различных программах моделирования


Другое использование данного представления для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Еще одним преимуществом данного описания, является то, что уравнения в форме Коши можно получить из законов физики


Пример решения задачи в форме коши.


Рассмотрим задачу моделирования гидравлического привода, при следующих условиях:


Дано:
Цилиндрический плунжер диаметром 10 мм, с приведенной массой 100 кг, работает на пружину жесткостью 200 Н/мм и демпфер с коэффициентом вязкого трения — 1000 Н/(м/с). Полость начальным объемом 20 см3 соединяется с источником давлния дросселем диаметром диаметр которого 0,2 мм. Коэффициент расхода дросселя 0.62. Плотность рабочей жидкости ? = 850 кг/м3.
Определить:
Перемещение дросселя, если в источнике давление происходит скачек 200 бар. см. рис. 2.12.13



Рисунок 2.12.3 Гидравлическая система.

Уравенение движение плунжера:

$m \cdot \frac{d^2x}{dt}=p \cdot Ap - c_{pr} - b_{tr} \cdot \frac{dx}{dt}$


Где: $A_p$ – площадь плунжера, $c_{pr}$ – жесткость пружины, $b_{tr}$ – коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.

Поскольку дифференциальное движения это уравнение второго порядка, превратим его в систему из двух уравнений первого порядка, добавив новую переменную — скорость $v = \frac{dx}{dt}v = $, тогда $\frac{d^2x}{dt} = v'$

$$display$$\left \{ \begin{align} x' &= v \\ v' &=\frac{A_p}{m}\cdot p-\frac{c_{pr}}{m}\cdot x-\frac{b_{tr}}{m}\cdot v) \end{align} \right.$$display$$


Уравнение давления в камере, для упрощения принимаем что изменениям объема камеры из-за перемещения плунжера можно пренебречь:

$p'=\frac{E}{V}(Q - A_p \cdot x')$


Где: Q – расход в камеру, V — объем камеры.

Расход через дроссель:

$Q = \mu\cdot f \sqrt{\frac{2}{\rho}(p_n-p)}$

Где: f– площадь дросселя, $p_n$– давление в источнике, p – давление в камере.
Уравнение дросселя не линейное, по условию задачи, давление входное изменяется скачком, от 0 до 200 бар, проведем линеаризацию в окрестности точки давления 100 бар тогда:

$Q_{100} = \mu\cdot f \sqrt{\frac{2}{\rho}(p_{100}-0)} \ \ K_{100} =\frac{Q_{100}}{p_{100}} \\ Q\approx \frac{Q_{100}}{p_{100}}(p_n-p) = K_{100}(p_n-p), \ \ где: K_{100} =\frac{Q_{100}}{p_{100}}$


Подставляем линеаризованную формул расхода в формулу давления:

$p'=\frac{E}{V}(K_{100} (p_n-p)- A_p \cdot v)\\ p' = - \frac{E}{V}A_p \cdot v - \frac{E}{V}K_{100} \cdot p + \frac{E}{V}K_{100} \cdot p_n$


Таким образом общая система уравнений в форме Коши, для рис 2.12.3 привода принимает вид:

$$display$$\left \{ \begin{align} x' &= v \\ v' &=-\frac{c_{pr}}{m}\cdot x-\frac{b_{tr}}{m}\cdot v+\frac{A_p}{m}\cdot p\\ p' &= - \frac{E}{V}A_p \cdot v - \frac{E}{V}K_{100} \cdot p + \frac{E}{V}K_{100} \cdot p_n \end{align} \right.$$display$$


Матрицы A, B, С, В для матричной формы системы уравнений принимают вид:


$$display$$\left \{ \begin{align} x' &= v \\ v' &=-\frac{c_{pr}}{m}\cdot x-\frac{b_{tr}}{m}\cdot v+\frac{A_p}{m}\cdot p\\ p' &= - \frac{E}{V}A_p \cdot v - \frac{E}{V}K_{100} \cdot p + \frac{E}{V}K_{100} \cdot p_n \end{align} \right.\\ A =\left[ \begin{array}{cccc} 0& 1 & 0\\ -\frac{c_{pr}}{m}& -\frac{b_{tr}}{m} &\frac{A_p}{m}\\ 0& - \frac{E}{V}A_p & - \frac{E}{V}K_{100} \end{array} \right]; B = \left[ \begin{array}{cccc} &0 \\ &0\\ & \frac{E}{V}K_{100} \end{array} \right]; C= \left[ 1,0,0 \right]; D =[0].$$display$$


Проверим моделированием в SimInTech составленную модель. На рисунке 2.12.13 представлена расчетная схема содержащая три модели:
1 — «Честная» модель со всеми уравнениями без упрощений.
2 — Модель в блоке «Переменные состояние» (в матричной форме).
3 — Модель в динамическом блоке с линеаризованным дросселем.



Рисунок 2.12.4 Расчетная схема .

Все условия задачи задаются как глобальные константы проекта, в главном скрипте проекта, там же расчитываются на этапе инициализации расчета, площади плунжера и проходного сечения дросселя см. рис. 2.12.5:



Рисунок 2.12.5 Глобальный скрипт проекта.

Модель на внутреннем языке программирования представлена на рис. 2.12.6. В данной модели используется описание модели в форме Коши. Так же выполняется учет изменения объема дросселя на каждом шаге расчета, за счет перемещения плунжера (Vk = V0+Ap*x.)



Рисунок 2.12.6 Скрипт расчета модели в форме Коши.

Модель в матричном форме задается с использованием глобальных констант в виде формул. (Матрица в SimInTech задается в виде последовательности из ее столбцов) см. рис. 2.12.7



Рисунок 2.12.7 Настройка блока расчета системы уравнений в пременных состояния в матричной форме.

Результаты расчета показывают, что модель в матричной форме и модель на скриптовом языке в форме Коши, практически полностью совпадают, это означает, что учет изменения объема полости практически не влияют на результаты. Кривые 2 и З совпадают.
Процедура линеаризация расхода через дроссель вызывает заметное отличие в результатах. 1-й график c «честной» моделью дросселя, отличается от графиков 2 и 3. (см. рис. 2.12.8)



Рисунок 2.12.8 Результаты расчета трех моделей гидравлического плунжера.

Сравним полученные модели, с моделью созданной из библиотечных блоков SimInTech, в которых учитываются так же изменение свойств реальной рабочей жидкости — масла АМГ-10. Сама модель представлена на рис. 2.12.9, набор графиков на рисунке 2.12.10



Рисунок 2.12.9 Модель демпфера из библиотечных блоков.


Рисунок 2.12.10 Результаты рассчета моделей демпфера. График 4 — модель из библиотечных блоков.

На графиках видно, что уточненная модель отличается от предыдущих, однако погрешность модели составлят наших упрощенных моделей составляют примерно 10%, в лишь в некоторые моменты времени.


2.13. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно


Рассмотрим несколько вариантов перехода от описания «вход-выход», к переменным состояния:

$L(p)\cdot y(t)=N(p)\cdot u(t)$


Вариант прехода зависит от правой части уравнения с переменными «вход-выход»:


$a_n\cdot y^{(n)}(t)+...+a_1\cdot y'(t)+a_0\cdot y(t)=b_m\cdot u^{(m)}(t)+...b_1\cdot u'(t)+b_0\cdot u(t)$


2.13.1. Правая часть содержит только b0*u(t)


В этом варианте, в уравнениях в правой части отсутствуют члены с производными входной величины u(t). Пример с плунжером выше так же относится к этому варианту.


Что бы продемонстрировать технологию перехода рассмотрим следующее уровнение:

$a_3 \cdot y'''(t)+ a_2 \cdot y''(t)+a_1 \cdot y'(t)+a_0 \cdot y(t) = b_0 \cdot u(t)$


Для перехода к форме Коши ведем новые переменные:

$x_1(t) = y(t);\\ x_2(t) =y'(t) = x_1'(t);\\ x_3(t) = y''(t) =x_2'(t);$

И перепишем уравнение относительно y'''(t):

$ y'''(t) = x_3'=- \frac{a_2}{a_3} \cdot \underbrace{y''(t)}_{x_3} - \frac{a_1}{a_3} \cdot \underbrace{y'(t)}_{x_2} - \frac{a_0}{a_3} \cdot \underbrace{y(t)}_{x_1}+ \frac{b_0}{a_3} \cdot u(t) $


Используя эти переменные можно перейти от дифференциального уравнения 3-го прядка, к системе из 3-х уравнений первого порядка в форме Коши:

$$display$$\left \{ \begin{align} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= x_3\\ x_3' &=-\frac{a_0}{a_3}\cdot x_1-\frac{a_{1}}{a_3}\cdot x_2-\frac{a_2}{a_3}\cdot x_3+ \frac{b_0}{a_3}\cdot u(t)\\ \end{align} \right.$$display$$


Соотвественно матрицы для матричного вида уравнений в переменных сосотяния:


$$display$$A =\left[ \begin{array}{cccc} 0& 1 & 0\\ 0& 0 &1\\ -\frac{a_0}{a_3}& -\frac{a_1}{a_3} & -\frac{a_2}{a_3} \end{array} \right]_{[3 \times 3]}; B = \left[ \begin{array} {}&0 \\ &0\\ & \frac{b_0}{a_3} \end{array} \right]_{[3 \times 1]}; C= \left[ 1,0,0 \right]_{[1 \times 3]}; D =[0].$$display$$


2.13.2. Правая часть общего вида


Более сложный случай, когда в уравнениях есть производные от входных воздействий и уравнение в общем случае выглядит так:

$a_n\cdot y^{(n)}(t)+...+a_1\cdot y'(t)+a_0\cdot y(t)=b_m\cdot u^{(m)}(t)+...b_1\cdot u'(t)+b_0\cdot u(t)$


Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:

$\left[ \begin{gathered} y(t) \to Y(s)\\ y'(t) \to s \cdot Y(s)\\ y''(t) \to s^2\cdot Y(s)\\ ..\\ y^{n}(t) \to s^{n} \cdot Y(s)\\ \end{gathered} \right] ; \left[ \begin{gathered} u(t) \to U(s)\\ u'(t) \to s \cdot U(s)\\ u''(t) \to s^2\cdot U(s)\\ ..\\ u^{m}(t) \to s^{m} \cdot U(s)\\ \end{gathered} \right]$


Тогда можно представить уравнение в изображениях в виде:

$L(s) \cdot Y(s) =N(s) \cdot U(s)$

где:

$L(s) = a_n\cdot s^{n}+a_{n-1}\cdot s^{n-1}_....+a_1\cdot s+a_0;\\ N(s)=b_m\cdot s^{m}(t)+b_{m-1}\cdot s^{m-1}+...b_1\cdot s+b_0;$


Разделим уравнение в изображениях на произведение полиномов $L(s) \cdot N(s)$, получим:

$\frac{Y(s)}{N(s)} = \frac{U(s)}{L(s)} =X_1(s)$


Где: $X_1(s) $ — некоторая комплексная величина (отношение двух комплексных величин). Можно считать, что $X_1(s) $ отображение величины $x_1(t) \to X_1(s) $. Тогда входная величина может быть в изображениях представлена как:

$\frac{U(s)}{L(s)} = X_1(s) \Rightarrow U(s) = X_1(s) \cdot L(s);$


Вренемся к оригиналу от изображений получим: $u(t) = \alpha (p) x_1(t)$,
где: $\alpha (p) $ — дифференциальный оператор.


$u(t) = a_n \cdot\underbrace{ x_1^{(n)}}_{x_n'}+ a_{n-1} \cdot \underbrace{x_1^{(n-1)}}_{x_n}+...+a_2 \cdot \underbrace{ x_1''}_{x_3}+a_1 \cdot \underbrace{x_1'}_{x_2}+ a_0 \cdot x_1$


А это дифференциальное уравнение n-го порядка мы можем преобразовать к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка, как это мы делали выше:

$$display$$\left \{ \begin{eqnarray} x_1'&=& x_2\\ x_2'&= &x_3\\ &.....\\ x_n'&=&-\frac{1}{a_n}[a_0 \cdot x_1+a_1 \cdot x_2+a_2\cdot x_3+..+a_{n-1}\cdot x_n]+\frac{u(t)}{a_n} \ \end{eqnarray} \right.$$display$$


Таким образом, мы получили систему уравнение в форе Коши, относительно переменных состояния $X_1$:

$ X_1=\left[ \begin{gathered} x_1(t)\\ x_2(t)\\ ..\\ x_n(t)\\ \end{gathered} \right]$


А регулируемую величину (выход системы) мы так же можем выразить через эти переменные, в изображениях:

$\frac{Y(s)}{N(s)} = X_1(s) \Rightarrow Y(s) =N(s) \cdot X_1(s);$


Перейдем от изображения к оригиналам:

$y(t)=N(p) \cdot X_1(t)\\ y(t) = b_m \cdot\underbrace{ x_1^{(m)}}_{x_{m+1}}+ b_{m-1} \cdot \underbrace{x_1^{(m-1)}}_{x_m}+...+b_2 \cdot \underbrace{ x_1''}_{x_3}+b_1 \cdot \underbrace{x_1'}_{x_2}+ b_0 \cdot x_1\\ y(t) = b_m \cdot x_{m+1}+ b_{m-1} \cdot x_{m}+...+b_2 \cdot x_3+b_1 \cdot x_1+ b_0 \cdot x_1\\$


Если обозначить вектор $С = [b_{m+1},b_m, ..b_2,b_1,b_0]$, то мы получим уравнения переменных состояниях в матричной форме, где D = 0:

$$display$$\left \{ \begin{eqnarray} x'&=& A\cdot x+B\cdot u\\ y&=& C\cdot x +D \cdot u\end{eqnarray} \right. $$display$$


Пример:



Рисунок 2.13.1 Передаточная функция.


Имеется передаточная функция (рис. 2.13.1) в изображениях :

$W(s) = \frac{s+1}{2 \cdot s^3+s^2+3 \cdot s+1}$

Необходимо преобразовать передаточную функцию к системе уравнений в форме Коши

В изображения реакция системы связана с входным воздействие соотношением:

$Y(s) = W(s) \cdot U(s); \Rightarrow Y(s) = \frac{N(s)}{L(s)} \cdot U(s) \Rightarrow \\ \Rightarrow Y(s) \cdot L(s) = U(s) \cdot N(s)$


Разделим в последнем правую и левую часть на произведения $L(s) \cdot N(s)L $, и введем новую перменную $Х_1$:

$X_1(s) = \frac {Y(s)}{N(s)} = \frac{U(s)}{L(s)} \Rightarrow \\ \Rightarrow U(s) = X_1(s) \cdot L(s)$

Полиномы N(s) и L(s) равны:

$ N(s)= s+1\\ L(s)=2 \cdot s^3+s^2+3 \cdot s+1 \\ \Rightarrow U(s) = X_1(s) \cdot (2 \cdot s^3+s^2+3 \cdot s+1) $


Перейдем в последнем выражении от изображения к оригиналам и ведем новые переменные (состояния):

$u(t) = 2 \cdot \underbrace{x_1'''(t)}_{x'_3} + \underbrace{x_1''(t)}_{x_3} +3 \cdot \underbrace{x_1'(t)}_{x_2}+\underbrace{x_1(t)}_{x_1}$


Переходим от уравнения третьего порядка к системе трех уравнений первого порядка:

$$display$$\left \{ \begin{eqnarray} x_1'&=&x_2\\ x_2'&=&x_3\\ x_3'&=&- \frac{1}{2} \left[ x_1+3 \cdot x_2+x_3 \right]+\frac {1}{2} \cdot u(t) \end{eqnarray} \right. $$display$$


Или в матричной форме:

$$display$$x' = A \cdot x+ B \cdot u\\ А=\left[ \begin{gathered} 0&\ \ 1&\ \ 0\\ 0&\ \ 0&\ \ 1\\ - \frac{1}{2}& \ \ - \frac{3}{2}& \ \ - \frac{1}{2}\\ \end{gathered} \right]; B = \left[ \begin{gathered} 0 \\ 0\\ \frac{1}{2} \\ \end{gathered} \right];\\ $$display$$


Для получения второго матричного уравнения воспользуемся соотношением для новых переменных в отображениях:

$X_1(s) = \frac {Y(s)}{N(s)} = \frac{U(s)}{L(s)} \Rightarrow \\ \Rightarrow Y(s) = X_1(s) \cdot N(s) = X_1(s) \cdot (s+1)$

Перейдем от изображений к оригиналу:

$y(t) = \underbrace {x_1'(t)}_{x_2}+\underbrace {x_1(t)}_{x_1} = x_1(t)+x_2(t)$



Таким образом второе уравнение матричной системы выглядит так:

$y =C \cdot x+ D \cdot u;\\ C=[1 \ \ 1 \ \ 0]; \ \ D = 0;$


Проверим в SimInTech сравнив передаточную функцию и блок переменных состояния, и убедимся, что графики совпадают см. рис. 2.13.2



Рисунок 2.13.2 Сравнение переходного процеса у блока передаточной функции и блока переменных состояния.


Полезные ссылки:


Модель демпфера из лекции можно взять здесь...
Волченко Ю.М. Теоремы операционного исчисления.
Интеграл Дюамеля и физический смысл функции веса
Лекция. «Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени»
Л. С. Шихобалов. Учебное пособие «МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»
Характеристическое уравнение матрицы
Подробное описание моделирования гидравлического демпфера.