3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.4 Апериодическое звено 2?го порядка / forpes.ru

Главная
3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.4 Апериодическое звено 2?го порядка

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.4 Апериодическое звено 2?го порядка +4

23.02.2021 22:07

petuhoff 0 1400 Источник

Предыдущая часть Апериодическое звено первого порядка.

3.4 Апериодическое звено второго порядка

Апериодическое звено выведем на уже известном примере. Мы разбирали вывод уравнений динамики демпфера в этой лекции. Но повторенье - мать ученья. Сначала будет много жесткой математики, а в конце наглядные модели.

У нас есть модель механического демпфера. Это поршень на пружине, он движется внутри цилиндра, может перемещается вверх-вниз. Его положение – это интересующая нас функция Y(t), сверху на него воздействует возмущающая сила (U(t)), на стенках поршня действует сила вязкого трения. (См. рис. 3.4.1)

Рисунок 3.4.1. Расчетная схема амортизатора.

Выведем передаточную функцию для этого звена. Согласно 2-му закону Ньютона ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

$m \cdot \frac{d^2Y(t)}{dt} = \sum F_j = P+ U(t) +F_{пр}+F_{тр}$

где:
- масса поршня;
- положение поршня (выходная переменная);
- приложенная сила (входное воздействие);
$P = m \cdot g$ - сила тяжести;
$F_{пр} = k \cdot Y(t)$ – сила сопротивления пружины;
$F_{тр} = с \cdot \frac{dY}{dt}$ – сила вязкого трения (пропорциональная скорости движения поршня).

Считаем, что в нулевой момент времени поршень находится в равновесии. Тогда начальное положение поршня — y₀ в равновесии, где скорость и ускорения равны 0, можно посчитать из уравнения 2.

$0 = m \cdot g + u_0-k \cdot y_0 \Rightarrow y_0= \frac{1}{k} [m\cdot g+u_0]$

Перепишем уравнение равновесия в отклонениях от нулевого состояния:

$Y(t) =y_0+y(t); \ \ \ U(t) = u_0+u(t);$

$m \cdot \frac{d^2 y(t)}{dt^2} = \underbrace { m \cdot g+ u_0}+u(t)-\underbrace {k \cdot y_0} -k\cdot y(t) - c \cdot\frac{dy(t)}{dt}$

Поскольку мы приняли, что в начальный момент у нас состояние равновесия, а сумма трех сил в состоянии равновесия равна нулю, их можно убрать из уравнения, и в итоге получим:

$m \cdot y''(t)+c \cdot y'(t)+k \cdot y(t) = u(t) = x(t)$

Приведем данное уравнение к классическому виду:

$\underbrace{\frac{m}{k}}_{T_2^2}\cdot y''(t)+\underbrace{\frac{c}{k}}_{T_1}\cdot y'(t)+y(t)=\underbrace{\frac{1}{k}}_K \cdot x(t)$

Уравнение динамики апериодического звена 2?го порядка имеет следующий вид:

$T_2^2 \cdot y''(t)+T_1 \cdot y'(t)+y(t)=K \cdot x(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.1)}$

при этом:

$D = T_1^2-4 \cdot T_2^2 \ge 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.2)}$

Если D<0, то звено становится колебательным (см. раздел 3.5)

Переходя к изображениям $x(t) \rightarrow X(s); \ \ \ y(t) \rightarrow Y(s)$ получаем уравнение динамики звена в изображениях:

$(T_2^2\cdot s^2+ T_1 \cdot s+1) \cdot Y(s) = K \cdot X(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.3)}$

Передаточная функция звена может быть представлена в двух видах:

$W(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}= \frac{K}{T_2^2 \cdot s^2+T_1 \cdot s+1} \iff \frac{K}{(T_3 \cdot s+1)(T_4 \cdot s+1)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.4)}$

где:

$T_3 = \frac{T_1-\sqrt{D} }{2} ;\ \ T_4 = \frac{T_1+\sqrt{D}}{2}$

Рисунок 3.4.2 Апериодическое звено 2-го порядка (два варианта)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ):

$W(i \cdot \omega) = W(s)|_{s =i \cdot \omega} =\frac{K}{(1+i \cdot T_3 \cdot \omega)(1+ i \cdot T_4 \cdot \omega)} \Leftrightarrow \frac{K}{(1-T_2^2 \cdot \omega^2)+i \cdot T_1 \cdot \omega} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.5)}$

Домножив числитель и знаменатель формулы (3.4.5) на комплексно-сопряженные скобки $(1-i \cdot T_3 \cdot \omega)$ и $(1-i \cdot T_4 \cdot \omega)$ , получаем:

$W(i\cdot\omega) = \frac{K(1- i \cdot T_3 \cdot \omega)(1- i \cdot T_4 \cdot \omega)}{(1 + T_3^2 \cdot \omega^2)(1+T_4^2\cdot \omega^2)} =$ $= \underbrace {\frac{K (1 -T_4\cdot T_3 \cdot \omega^2)}{(1+T^2_3 \cdot \omega^2)(1+T_4^2 \cdot \omega^2)}}_{u(\omega)}- i \cdot \underbrace {\frac{K(T_4+T_3)\omega}{(1+T_3^2\cdot \omega^2)(1+ T_4^2\cdot \omega^2)}}_{v(\omega)}$

Действительная и мнимая части передаточной функции:

$u(\omega) = \frac{K(1- T_3 \cdot T_4 \cdot \omega^2)}{(1+T_3^2 \cdot \omega^2)(1+ T_4^2 \cdot \omega^2)}; \ \ \ \ \ v(\omega) = -\frac{K(T_4+ T_3)\omega}{(1+T_3^2 \cdot \omega^2)(1+T_4^2 \cdot \omega^2)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.6)}$

Анализируя поведение u(?) и v(?) при $\omega \rightarrow 0$ и при $\omega \rightarrow \infty$ , получаем:

$\lim_{\omega \to 0} u(\omega) = K; \ \ \ \ \ \lim_{\omega \to \infty}u(\omega) = 0$ $\omega \rightarrow 0 \Rightarrow \left \{ \begin{gathered} u(\omega) \rightarrow K; \\ v(\omega) \rightarrow 0; \end{gathered} \right. \ \ \ \ \ \ \ \omega \rightarrow \infty \Rightarrow \left \{ \begin{gathered} u(\omega) \rightarrow 0; \\ v(\omega) \rightarrow 0; \end{gathered} \right.$

Модуль АФЧХ (амплитуда), то есть mod(W(i·?)) = |W(i·?)| из формулы 3.4.5:

$A(\omega) = |W(i\cdot \omega) | = \left | \frac{K}{(1+i\cdot T_3 \cdot \omega)(1+i \cdot T_4\cdot \omega)} \right | = \frac{K}{\sqrt{1+ T_3^2 \cdot \omega^2}\cdot \sqrt{1+ T_4^2\cdot \omega^2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.7)}$

Подставляя в формулы (3.4.6) или в формулу (3.4.5) различные значения ? можно построить векторы, соответствующие различным значениям ?:

Рисунок 3.4.3 Годограф АФЧХ апериодического звена 2-го порядка

Из формул 3.4.6 очевидно, что на рисунке годографа 3.4.3 :

$1) \ \omega_6>\omega_5>\omega_4>\omega_3>\omega_2>\omega_1>0\\ 2) \ \ 0 >\varphi_1>\varphi_2>\varphi_3>\varphi_4>\varphi_5>\varphi_6$

Используя формулу 3.4.6 можно показать что u(w_3)=0 при $\omega_3 = \frac{1}{\sqrt{T_3\cdot T_4}}$

Из рисунка видно, что $\varphi(\omega) \in [-\pi;0]$ .

Формула фазового сдвига:

$\varphi(\omega) = - \pi \cdot j+ arctg \frac{v(\omega)}{u(\omega)}$ $\omega\leq \omega_3 \Rightarrow j = 0;\\ \omega>\omega_3 \Rightarrow j=1.$

Для фазового сдвига удобно представить апериодическое звено в виде последовательного соединения двух звеньев (см. рис. 3.4.2). Известно, что при последовательном соединении звеньев общий сдвиг фазы равен сумме фазовых сдвигов:

$\varphi(\omega)=\varphi_1(\omega)+\varphi_2(\omega) = -arctg (T_3\cdot \omega)-arctg(T_4 \cdot \omega)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.8)}$

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ)

$Lm(\omega) = 20 \cdot lg \ A(\omega) = 20\cdot lg \ K - 20 \cdot lg \sqrt{1+T_3^2 \cdot \omega^2} - 20 \cdot lg \sqrt{1+T_4^2\cdot \omega^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.9)}$

Графики А(?), ? (?), Lm(?) имеют вид:

Рисунок 3.4.4 АЧХ и ФЧХ апериодического звена 2-го порядка

Рисунок 3.4.5 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 2-го порядка

В инженерных расчетах часто график Lm(?) представляют виде отрезков ломаных, тогда:

при $\omega < 1 /T_4$ - звено близко к идеальному усилительному звену $W(s) \approx K$

при $1/T_4 < \omega < 1/T_3$ - звено близко к идеальному интегрирующему звену $W(s) \approx K/(T\cdot s)$

при $\omega>1/T_3$ - звено близко к дважды интегрирующему звену $W(s)\approx K/(T^2 \cdot \omega^2)$

В граничном случае (D=0 или $T_1 = 2 \cdot T_2) \Rightarrow T_3 = T_4$ отмеченные на графике Lm(?) (см. рис. 3.4.5 выше) точки «излома» совпадают:

Рисунок 3.4.6 ЛАХ и ЛФЧХ апериодического звена 2-го порядка в граничном случае

Если $D<0 \ (T_1 = 2·T_2)$ звено “переходит” в разряд колебательных звеньев. Поэтому постоянная Т₁ в уравнении динамики (3.4.1) играет роль демпфирующего фактора, увеличение Т₁(в колебательном звене) приводит к уменьшению или к полному исчезновению колебаний.

Найдем переходную функцию звена h(t) - реакцию на воздействие единичное воздействие 1(t).

$h(t) = L^{-1}[H(s)]=L^{-1} \left[ \frac{W(s)}{s} \right] =L^{-1} \left[ \frac{K}{s(T_3 \cdot s +1)(T_4 \cdot s+1)} \right]$

Для нахождения функции по формуле Хэвисайда (см. раздел 2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению), запишем корни полюса изображения, т.е. те значения «s» при которых $D_0(s) = s(T_3 \cdot s +1)(T_4 \cdot s +1)$ обращается в ноль:

$s_1 = 0; \ \ s_2 =-\frac{1}{T_3}; \ \ s_3 = -\frac{1}{T_4}$

Тогда по формуле Хэвисайда:

$h(t) = \lim_{s \to 0} \left[ (s + 0) \frac{K}{s(T_3 \cdot s+1)(T_4 \cdot s+1)} \cdot e^{st}\right] \\+ \lim_{s \to -\frac{1}{T_3}} \left[ (s+\frac{1}{T_3}) \frac{K}{s(T_3 \cdot s+1)(T_4 \cdot s +1)}\cdot e^{st} \right] +\\+ \lim_{s \to -\frac{1}{T_4}} \left[ (s+\frac{1}{T_4}) \frac{K}{s(T_3 \cdot s+1)(T_4 \cdot s +1)}\cdot e^{st} \right]$

Вычисляя пределы получим формулу для переходной функции звена:

$h(t) = K \left[1+ \frac{T_3}{T_4-T3} \cdot e^{- \frac{t}{T_3}}-\frac{T_4}{T_4 -T_3} \cdot e^{-\frac{t}{T_4}} \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.10)}$

Весовая функция получается дифференцированием w(t) =h'(t) :

$w(t) = \frac{K}{T_4 - T_3} \cdot \left[ e^{-\frac{t}{T_4}} - e^{- \frac{t}{T_3}} \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(3.4.11)}$

Рисунок 3.4.7 Переходная функция апериодического звена 2-го порядка

Примерами апериодического звена 2-го порядка являются:

1) двигатель постоянного тока при учете инерционности самого якоря (механической) и цепи якоря (электрической);

2) электрический усилитель руля автомобиля с учетом инерционности (механической и электрической) ротора;

3) двойные R ? C или R – L цепочки

Рисунок 3.4.9 Пример апериодического звена 2-го порядка

Если звено представлено в переменных состояния в матричной форме таким образом:

$x' = A \cdot x + B \cdot u; \ \ \ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} \Rightarrow \left \{ \begin{gathered} x_1' = a_{11} \cdot x_1+a_{12}\cdot x_2+ B \cdot u \\x_2'= a_{21} \cdot x_1+a_{22}\cdot x_2+ B \cdot u \end{gathered} \right.$

то звено будет апериодическим 2-го порядка, если:

$D = (a_{11}+ a_{22})^2 - 4(a_{11}\cdot a_{22} -a_{12}\cdot a_{21}) \ge 0$

Пример

В качестве примера возьмём модель демпфера, которую мы уже использовали в лекциях. (см. Рисунок 3.4.10) Структурная схема модели описывает уравнения динамики, описанные в начале статьи. Свойства системы заданы в списке общих сигналов проекта (см. рис. 3.4.11). Для получения из демпфера апериодического звена 2-го порядка необходимо увеличить силу трения таким образом, чтобы (как показано выше) коэффициент T₁ был больше, чем 2 х T₂. В этом случае D>0 и из колебательного звена мы получим апериодическое 2-го порядка.

Рисунок 3.4.10 Структурная схема модели демпфера.

Для дальнейшего исследования на схему добавлена модель демпфера в виде звена общего вида, а его свойства заданы в виде формул, выражающих коэффициенты звена через параметры модели. (см. рис. 3.4.12).

Рисунок 3.4.12. Параметры для модели демпфера в виде звена

Выполним моделирование переходного процесса при ступенчатом изменении приложенной силы и сравним переходные процессы в двух вариантах модели демпфера. График переходного процесса (см. рис. 3.4.13) показывает, что переходные процессы в двух моделях полностью идентичны:

Рисунок 3.4.13 Переходные процессы в двух моделях.

График частотных характеристик звена (ЛАХ и ФЧХ) представлен на рисунке 3.4.14 На графике видно две точки излома характеристики ЛАХ в которых наклон последовательно меняется с 0, до 20дБ/дек и с 20дБ/дек до 40 дБ/дек.

Рисунок 3.4.14 Частотные характеристика ЛАХ и ФЧХ

Для демонстрации влияния изменения Т₁ на свойства звена выполним моделирование, в котором структурная схема является эталонной, а в модели звена будем уменьшать коэффициент силы трения (коэффициент T₁).

Источником воздействия будет меандр, с периодом 3 секунды.

Для изменения свойств звена создадим блок на языке программирования. Данный блок, в процессе моделирования, постепенно уменьшает коэффициент Т₁ для модели в виде звена. Этот же блок готовит данные для отображения на 3D графике переходного процесса.

Общая схема модели приведена на рисунке 3.4.15.

Рисунок 3.4.15 Схема демпфера с изменения свойств блока

Меандр задает изменение приложенной силы 0 – 30 Н (входного воздействия) с полупериодом 1.5 сек. График изменения положения приведен на рисунке 3.4.16 Видно, что на первом изменении графики совпадают, но потом по мере накопления отличий в параметрах динамика изменения положения начинает меняться.

Рисунок 3.4.16 Графики положения демпферов.

Первая часть процесса изображена на рисунке 3.4.17 Видно, что снижение силы трения обеспечивает более быстрое изменении положения демпфера.

Конечная часть графика представлена на рисунке 3.4.19. Дальнейшее снижение силы трения приводит к тому, что процесс перехода при ступенчатом изменении воздействия становится колебательным.

Рисунок 3.4.18 Конечная часть моделировани

ЗD поверхность отображает переходный процесс при ступенчатом увеличении воздействия в блоке меандр. По оси Z отражается положение демпфера, по оси Y – время после увеличения входного воздействия в блоки меандр, по оси X – изменений T₁ (уменьшение силы трения).

Рисунок 3.4.19 Поверхность переходного процесса при снижении трения

В заключение, сравним переходные процессы для разных параметров T₁ (разных коэффициентов трения). Поскольку все основные блоки в SimInTech являются векторными, создадим модели 7-ми демпферов из одного звена. Для этого в главном окне программы подготовим 7 векторов значений с разными коэффициентами трения. Скрипт приведен на рисунке 3.4.20.

Рисунок 3.4.20 Скрипт модели для задания параметров 7 демпферов

Четвертый вектор содержит переходное значение T₁. Как было показано выше, переходное значение T₁, при котором апериодическое звено второго порядка превращается в колебательное рассчитывается по формуле T₁ = 2хT_2.

В модели, в свойствах блока указываем эти векторы в столбце «формулы», и теперь блок может рассчитывать одновременно 7 демпферов одним блоком. (см. рис. 3.4.21)

Рисунок 3.4.21 Настройка параметров блока для векторного расчета

Общая схема модели в этом случае будет выглядеть как показано на рисунке 3.4.22 Ступенчатое изменение силы передается в блок «Размножитель», где преобразуется в вектор из 7 воздействий. Данный вектор передается в блок, где и происходит расчёт семи вариантов демпфера.

Рисунок 3.4.22 Схема модели 7-и демпферов

Результат переходного процесса представлен на рисунке 3.4.23. Видно, что 3 демпфера ведут себя как апериодическое звено второго порядка, 3 демпфера явно превратились в колебательные.

Рисунок 3.4.23 Перемещение 7 демпферов при ступенчатом воздействии

Характеристики ЛАХ и ФХЧ представлены на рисунке 3.4.24. Наглядно видно, как постепенно, при снижении коэффициента трения исчезают два излома на графике ЛАХ, и звено превращается в колебательное, о котором будем говорить в следующей части.

Рисунок 3.4.25 Частотные характеристики 7-и демпферов

Модели с примерами для самостоятельного изучения можно взять по ссылке.

Предыдущая лекция Апериодическое звено первого порядка.

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления. ч. 3.4 Апериодическое звено 2?го порядка +4

3.4 Апериодическое звено второго порядка

Пример

Комментарии (0)