В статье приведена попытка представить возможный механизм реализации инвариантности формы интервала пространства Минковского в пространстве кватернионов.

Аннотация

Настоящая статья является продолжением предыдущей, в которой даны определения и показаны инструменты кватернионной алгебры, используемые далее, с помощью которых здесь показано, что инвариантность интервала в псевдоевклидовом пространстве может быть просто следствием реализации несколько более сложного механизма в пространстве евклидовом.

Содержание

1. Предисловие.
2. Сопряжение.
3. Особенность пространства Минковского.
4. Drehstrekungen des Raumes.
5. Кватернионное представление интервала.
6. Смещение вещественного вектора во мнимом пространстве.
7. Интервальная форма смещения.
8. Полная релятивистская энергия.
9. Относительная энергия-норма.
10. Благодарности.

1. Предисловие

В статье «Линейная алгебра кватернионов» показано, что на пространстве кватернионов можно ввести операцию интраскалярного произведения, обозначаемого далее , заданного через кватернионное произведение, и представляющую собой билинейную форму A в терминах линейной алгебры:

Использовав данную форму как условие, мы можем разделить пространство кватернионов на три подпространства:

Совокупно полностью накрывают множество , и изоморфны соответствующим подпространствам светового конуса псевдоевклидового пространства, содержащим: T — времяподобные инетрвалы, S — пространственноподобные интервалы, P — светоподобные интервалы; при этом собственная форма A (интерскалярный квадрат элемента) представляет величину структурно идентичную интервалу пространства Минковского.
Логичным было поставить вопрос: можно ли ввести форму A в качестве нормы на пространстве кватернионов, чтобы получить псевдоевклидово пространство изоморфное пространству Минковского и использовать его для каких-то утилитарных задач?
В принципе, задать A в качестве нормы можно. Однако, введённая таким образом норма препятствует реализации кватернионной алгебры в исходном виде, требуя ряда «костылей» (как минимум, в виде ограничений и оговорок), а костыли это всегда плохо — естество лаконично. Вместе с тем, привести в результате это может только к повторению псевдоевклидова пространства в несколько изменённом виде.
Если под кватернионным произведением, которое мы, между прочим, использовали для формального определения нескольких отображений, которые по форме весьма напоминают физические явления, подразумевать операцию, описывающую некоторый вид взаимодействия элементов пространства , что ввиду обозначенного выше было бы весьма логичным, то обязательность наличия однозначного деления в алгебре является в некотором смысле уже философским вопросом выбора между детерминизмом («Бог не играет в кости» (с) Эйнштейн) и неопределённостью результата при делении на ноль (кот Шредингера).
С точки зрения преобладающей сегодня концепции, конечно, вполне нормальным было бы пойти в направлении неопределённости, но я всё же предлагаю попробовать взглянуть на всю картину с совершенно другой стороны. Гораздо более плоско и просто.
Попробуем развернуться на 180 градусов, задавшись вопросом: возможно ли представить соблюдение обнаруженных закономерностей изменения интервала объекта (то есть, конечно, его отсутствие — свойство инвариантности) при переходе от одной инерциальной системы координат к другой в рамках СТО, описав взаимодействующие элементы как векторы в , а их взаимодействие через форму A, которая станет функционалом, описывающим эти явления взаимодействий с обеспечением строгого (или не очень) их выполнения?
Первое же возникающее возражение, евклидово и псевдоевклидово пространства — это два разных вида пространств, построенные на разных функционалах. Но что если натуральным механизмом реализации этих процессов является не существование объектов в едином континууме пространства и времени, а совокупное выполнение в евклидовом пространстве сразу двух математических операций: эндоморфное (преобразование, отображающее векторы в то же самое пространство, в нашем случае ) сопряжение и скалярное произведение?
Чисто в математическом смысле это продолжение рассуждений на тему установленной в прошлой статье связи между интраскалярным и экстраскалярным произведением кватернионов:

Описываемая интраскалярной формой A метрика задаёт на пространстве кватернионов величину по своим свойствам аналогичную интервалу псевдоевклидового пространства. Тогда мы можем предположить, что явления описываемые СТО происходят в евклидовом пространстве, однако их формализация не полна, потому что не учитывает какого-то фактора, который ведёт к одновременному возникновению сопутствующего дополнительного искажения.
Тогда эмпирически наблюдаемая инвариантность интервала под действием ортогональных преобразований в пространстве Минковского могла бы быть просто переформулирована в сохранение скалярной нормы E замкнутой физической системы элементов с учётом действия дополнительного фактора, который можно математически описать как действие сопряжения.

2. Сопряжение

Свойства сопряжения:

Линейно — аддитивно (1) и однородно (2), эндоморфно (3), самосопряжено (4), инволютивно (5).
В матричной форме представлено матрицей интраскалярного преобразования A:

Свойство инволюции в таком представлении можно выразить следующим образом: , где — оператор экстраскалярного произведения, представляемый единичной матрицей.

3. Особенность пространства Минковского

Вторым возражением на пути предложенной идеи будет дополнительная особенность пространства Минкосвского, отличающая его от обычного линейного вещественного псевдоевклидового пространства — максимальность скорости света:

где — расстояние, преодолеваемое светом за время t;
— расстояние, преодолеваемое объектом за время t.
В соответствии с СТО скорость света является констанстой, а относительное течение времени наблюдаемого объекта меняется в зависимости от его скорости относительно скорости света. Получается, что абсолютное расстояние, проходимое светом за время исчисляемое движущимся объектом, не меняется как в его собственной ИСО, так и в ИСО неподвижного наблюдателя, за счёт изменения течения времени: величина — константа для каждого отдельного объекта, то есть во множестве возможных ИСО.
Вследствие этого постулата, особенным отличием пространства Минсковского от плоского псевдоевклидова пространства является изменение его свойств по мере увеличения относительной скорости наблюдаемого объекта от плоского пространства до 3-сферы:

При для покоящегося массивного объекта без учёта гравитации пространство идельно плоское: ; а для электромагнитной волны пространство — идеальная 3-сфера: .
Будем, конечно, считать, что нам доподлинно известно, что этот конструкт работает, и построение любой новой расширенной теории должно реализовывать его с высокой точностью.

4. Drehstreckungen des Raumes

В 1854-ом году профессор Артур Кэли (обязательно загляните по ссылке: очень харизматичное фото), который также независимо от Гамильтона нашёл, и даже чуть раньше него опубликовал, формулу поворота элемента в , показал возможность эквивалентного преобразования в себя суммы четырёх квадратов, то есть показал общий вид произвольного ортогонального преобразования в , частный случай которого показан в предыдущей статье как D-поворот.
В период ознакомления с материалами по теме кватернионов, мне показалась примечательной запись ещё одного математика изучавшего кватернионы в начале двадцатого века — Феликс Кляйн в «Elementarmathematik vom Höheren Standpunkte aus», 1907г., опубликованной в 1908г., пишет:
"… последние исследования электродинамики, выраженные в так называемом принципе относительности, представляют собой, в сущности, не что иное, как последовательное применение поворотных растяжений пространства четырёх измерений: в этом именно порядке идей эти исследования и были недавно изложены профессором Минковским."

Поворотными растяжениями господин Кляйн называет кватернионы за их способность поворачивать и растягивать пространство, если рассматривать их умножение в качестве применения фиксированного оператора к произвольному вектору пространства.
Я тогда только заинтересовался предметом, и, читая эти строки, подумал, что Клейн, возможно, высказывает мысль о наличии более глубинной, нативной связи между операциями кватернионной алгебры с пространством, презентованным Минковским, и теорией относительности в целом.
Затем я натыкался на рассуждения о неподноходящей сигнатуре и историческом выборе Эйнштейна в пользу тензоров, а не кватернионов, в качестве мат. аппарата общей теории относительности.
В 1910-ом году Фриц Нётер в работе Кляйна и Арнольда Зоммерфельда «Теория волчка» (The Theory of the Top) привёл общий вид преобразования типа гиперболический поворот (буст) на основании бикватернионов вида (ординарные). Позже, в 1911-ом, оно также было несколько иначе описано господами Артуром У. Конуэем и Людвиком Зильберштайном: здесь очень подробный ресурс со всевозможными представлениями преобразования Лоренца.
Однако, все выполненые с помощью бикватернионов представления явно менее лаконичны и менее интуитивно понятны, чем представление с помощью, например, гиперболических функций или даже матричное.
Это происходит из-за необходимости введения комплексных значений параметров кватерниона вместо вещественных, что значительно осложняет восприятие, загромождая суть. Но иначе невозможно соблюсти гиперболическую форму четырёхмерного пространства, используя плоский четырёхмерный инструмент — нужна ещё одна «степень свободы».
Однако, если высказанное в начале статьи предположение верно, то можно попробовать положить кватернион в самую основу интервала, как есть, чтобы затем смоделировать его преобразования, приводящие к математически идентичному результату — сохранению формы, только уже внутри пространства с евклидовыми свойствами.

5. Кватернионное представление интервала

Обозначим в интервале просто, чтобы даже мысленно уйти от времени в уравнении, оставшись наедине с пространством, и представим его с помощью кватерниона:

Кватернион назовём интервальным — описывающим интервал. В нём всё достаточно интуитивно понятно: вещественная часть — количество пространства, преодолеваемого светом за единицу времени по часам объекта в данной ИСО; мнимая часть — собственно, трёхмерное пространство.
Пожалуй, стоит оговориться, что формула (5.1) описывает уже не интервал СТО, а его предполагаемый эквивалент, ведь вся эта кватернионная конструкция находится уже в евклидовом пространстве. Чтобы подчеркнуть этот факт, и не вносить путаницы в обозначения, станем указывать после обозначения интервала интервальный кватернион, формой которого он является, как это показано выше: .
Кроме того, форма воспроизводится в , не через подмену скалярного произведения, как было бы в случае отображения, а «как есть», чтобы эквивалентно воспроизводить соответствующую алгебраическую величину в «новых обстоятельствах», в пространстве, которое, можно сказать, вывернуто наизнанку относительно псевдоевклидового.
Таким образом, будем считать, что величина аналогичная величине интервала равна произведению его нормы на интерскалярную форму единичного кватерниона, чтобы далее требовать её инвариантности необходимым преобразованиям.
Если рассматривать модель с позиции СТО, оставив в силе постулат о максимальности и постоянстве скорости света, то вещественная составляющая интервального кватерниона будет полностью зависима только от скорости течения времени, а аргумент интервального кватерниона станет отражать меру изменения скорости течения времени движущегося объекта относительно времени наблюдателя. В собственной ИСО аргумент всегда равен нулю, следовательно, интервал получается равен модулю кватерниона. В ИСО наблюдателя, в которой объект движется, тангенс аргумента показывает отношение расстояния, преодолеваемого объектом, к расстоянию, преодолеваемому светом за то же время по часам наблюдателя:

где — время по часам покоящегося наблюдателя, а — модуль скорости движущегося объекта в ИСО наблюдателя.
Здесь необходимо отметить, что в связи с изначальным заданием трёхмерного наблюдаемого пространства мнимым все расстояния в нём будут мнимыми величинами, и при соотнесении их с вещественным временем дадут снова мнимую величину, как и при соотнесении с вещественной величиной количества пространства, преодолеваемого за это же время светом — оно изначально задано вещественным. Следовательно, в кватернионном представлении квадрат скорости любого объеткта будет неположительной величиной, как и квадрат его отношения к скорости света.
Воизбежание путаницы будем пользоваться модулем квадрата скорости, предполагающим конвенционально неотрицательную величину, а минус единицу будем учитывать в уравнении:

где гаммой обозначен гамма(Лоренц)-фактор.
Говоря языком кватернионной алгебры, покоящийся наблюдатель может быть описан чисто вещественной величиной, в то время как движущийся относительно него объект в системе координат наблюдателя будет описан уже гиперкомплексной, мнимая составляющая которой отражает его пространственное перемещение. И, конечно, наоборот в ИСО движущегося объекта.
Не трудно видеть, что ни в виде (5.1), ни в виде (5.3), конечно, применяемая форма не остаётся инвариантной D-повороту, изменяющему аргумент интервального кватерниона, хотя именно с ним в таком виде должны быть связаны эффекты СТО.
Однако, рассматриваемая ИСО движущегося объекта в евклидовом пространстве наблюдателя имеет смещение равное величине мнимого вектора, и наоборот — ведь всё по-прежнему относительно. Попробуем формализовать его влияние на форму интервала.

6. Смещение во мнимом пространстве

Для обобщения свойств смещения нам потребуется понятие D-поворота (D от немецкого die Drehung — вращение), приведённого в предыдущей статье, где было показано, что любой кватернион может быть представлен D-поворотом вещественной величины во мнимое пространство, и доказано, что D-поворот является ортогональным преобразованием в пространстве кватернионов , сохраняя норму.
Возьмём произвольный элемент поля вещественных чисел , и повернём его относительно произвольного орта мнимого пространства на угол (аргумент ротора будет ):

Получим некоторый элемент пространства кватернионов (двойка в степени экспоненты появляется из-за определения D-поворота в данном случае просто как поворота на квадрат ротора).

Заметки на полях. Полагаю, что произвольное вращение в может быть реализовано комбинацией обычного поворота вида и D-поворота.

Теперь опишем действие преобразования кватернионного пространства типа смещение, возникающее в результате сложения исходного элемента и мнимого вектора произвольной длины :

Данное преобразование, очевидно, в общем случае изменяет норму: результат всё также будет элементом пространства кватернионов, однако модуль его уже изменится.
Если представить исходный вектор в качестве D-поворота: , то смещение можно преобразовать, выразив его вектор следующим образом:

Таким образом, мнимое смещение произвольного элемента всегда может быть представлено смещением его чисто вещественного отображения (уже вещественно-мнимым смещением в общем случае).
Разберём наиболее простой случай смещения полностью вещественного элемента , его будет достаточно — более сложные вариации являются комбинациями с поворотами:

Это изменение удобно выразить через отношение исходного вещественного элемента и величины мнимого вектора следующим образом:

Введём для такого преобразования обозначение (T от английского translation — смещение), подразумевая, что нижним индексом указывается величина мнимого вектора, влекущая изменение аргумента получаемого кватерниона, например, так:

Очевидно, что под действием мнимого смещения норма произвольного конечного вещественного элемента в стремится к бесконечности, достигая её при аргументе равном «пи на два»:

что логично, поскольку соответствует сложению со мнимым вектором бесконечной длины.

7. Интервальная форма смещения

Возьмём формулу (5.1) для выражения интервала в пространстве кватернионов:

И подставим в неё кватернион в виде мнимого смещения вещественного элемента из (6.3):

Как видно из преобразований выше, смещение компенсирует часть изменения интраскалярной формы, оставляя только множитель, который является гамма-фактором. Это значит, что смещения в качестве преобразования, выравнивающего интервальную форму до инварианта, не достаточно. Модуль интервального кватерниона в результате ещё какого-то преобразования должен получить дополнительное искажение, связанное с гамма-фактором:

Тогда итоговая интервальная форма в кватернионном пространстве, реализующая одновременно смещение и эту вторую неизвестную пока трансформацию, изменялась бы при ортогональных преобразованиях пространства так же, как норма — никак.
В поисках развития модели обратимся к релятивистской энергии.

8. Полная релятивистская энергия

С математической точки зрения модуль был введён в модель как пифагорова сумма двух величин:

Первая из которых ранее определена как , но, заимствуя информацию из ОТО, связана со скоростью течения времени покоящегося наблюдателя, а вторая — с относительной скоростью движения рассматриваемого объекта в ИСО наблюдателя.
В ИСО движущегося объекта интервальным кватернионом наблюдатея будет (сопряжённый), функционалы которого будут эквивалентны функционалам исходного кватерниона — всё симметрично, относительность работает.
Скорость течения времени наблюдателя зависит от его массы и массы близких гравитирующих объектов, то есть, в самом общем смысле, от его энергетических обстоятельств, которые обычно по умолчанию принимаются не существенными и, главное, эквивалентными обстоятельствам движения наблюдаемого объекта, потому что гравитационные искривления описываются совершенно другой моделью со своим инструментарием, что, согласитесь, не очень удобно.
Относительная скорость объекта в конечном итоге также связана с энергией, только уже кинетической. В отличие от энергии покоя её величина относительна: масса инвариантна, скорость нет.
Полная энергия тела в соответствии с СТО:

где — энергия покоя объекта, — кинетическая энергия объекта.
Сфера применения СТО — объекты высоких кинетических энергий на фоне околонулевых гравитационных обстоятельств, которые не принимаются в расчёт.
В результате теория всегда сравнивает систему из двух объектов, обладающих огромной взаимной кинетическиой энергией, многократно превышающей их энергии покоя , с системой, в которой эти объекты покоятся относительно друг друга. Очевидно, что полная энергия объектов в системе от случая к случаю различается многократно, и стремится к бесконечности при приближении скорости массивного объекта к околосветовой:

В контексте последующих рассуждений важным будет соотношение:

Применяя преобразования Лоренца в пространстве Минковского, мы пересчитываем деформирующиеся пространство и время без учёта изменившейся полной энергии. Перефразируя начальный вопрос статьи: не получилось ли так, что некоторое преобразование евклидового пространства «энергий» при относительно околонулевой энергии покоя элементов выглядит поворотом псевдоевклидового континуума пространства-времени?

9. Относительная энергия-норма

Из (8.1) выразим гамма фактор:

И подставим в (7.1):

Слева скаляр, следовательно, отношение справа не должно содержать векторной составляющей, что возможно только в случае, если преобразование F никак не влияет на единичный кватернион. Значит, справа остаются только модули.
Результат достаточно очевиден уже из (7.1) напрямую: трансформация F должна таким образом влиять на отношение модулей кватернионов, чтобы они изменялись пропорционально отношению энергий.
Этим же отношением, как известно, связано изменение характеристик пространства в направлении движения:

Оно ведёт себя пропорционально изменению энергии, в данном случае относительной, кинетической энергии, поэтому только в одном измерении и «плоско».
Как было показано в предыдущей статье, именно такое изменение простраства происходит при D-повороте. Однако, он не влечёт изменения энергии системы в целом ввиду своей ортогональности. Если же вместо него представить смещение элемента, то оно может быть выражено D-поворотом, но уже с изменением вещественной составляющей, и в конечном итоге модуля. Именно факт возможности представления смещения вещественно-мнимым поворотом с характерно изменяющейся нормой может вести к сохранению интервала инвариантным в псевдоевклидовом пространстве, а не наоборот. Что может быть полезным с точки зрения более натуральной интерпретации явления.
Можно попробовать упростить данную конструкцию, просто использовав энергию в качестве модуля интервального кватерниона, а саму интервальную форму представить совокупностью преобразований T и F. Тогда получится, что энергия масштабирует пространство-время, оставаясь инвариантом для ортогональных преобразований. Это могло бы быть гораздо удобнее и интуитивно понятнее, чем существующая парадигма.

Итак, сложим всю мозаику ещё раз с самого начала.
ИСО1 — система координат наблюдателя, в которой он покоится и его энергия покоя равна , тогда интервальный кватернион будет равен , интервал в отсутствие смещения будет равен .
ИСО2 — система координат движущегося объекта, в которой он покоится и его энергия покоя примерно равна энергии покоя наблюдателя , соответственно, и интервал будет примерно такой же: .
Если представить, что объект движется с относительно низкой скоростью , то оба кватерниона будут принадлежать одному плоскому трёхмерному пространству, образуемому множеством кватернионов одинаковой вещественной части, что в предлагаемой интерпретации отождествляется с объектами одинаковых энергий покоя (массы) в одинаковых гравитационных обстоятельствах.
Если же движение происходит со скоростью сопоставимой со скоростью света, то смещение одной ИСО относительно другой становится достаточным, чтобы значительно проявились эффекты обоих преобразований F и T:

$$display$$ \begin{array}{cccl} [1] & s^2 (\mathbf{q}_e^o ) & = & \mathbf{A} (F(T_q (\mathbf{q}_o))) \\ [2] & & = & \mathbf{A} (F(T_q (E_o))) = E_0^2 \\ [3] & & = & \mathbf{A} (F( E_o (1+\tan^2 \zeta) \hat{\mathbf{q}}' )) \\ [4] & & = & \mathbf{A} ( (1 - \tan^2\zeta)^{-1}( E_o (1+\tan^2 \zeta) \hat{\mathbf{q}}')) \\ [5] & & = & E_0 (1+\tan^2 \zeta) (1 - \tan^2\zeta)^{-1} \mathbf{A} ( \hat{\mathbf{q}}' ) \\ [6] & & = & E_0 (1+\tan^2 \zeta) (1 - \tan^2\zeta)^{-1} \mathbf{A} ( \hat{h} \cos\zeta + \hat{q} \sin \zeta ) \\ [7] & & = & E_0 (1+\tan^2 \zeta) (1 - \tan^2\zeta)^{-1} \cos 2\zeta \\ [8] & & = & E_0 \\ [9] & & = & s^2 (\mathbf{q}_o) \end{array} $$display$$

Пояснения:
[ 1 ] — форма интервала в представлена интерскалярной формой двух последовательных преобразований F и T, возникающих при наличии у объекта скорости относительно системы, из которой его наблюдают;
[ 2 ] — в собственной ИСО, относительно себя самого у объекта нет скорости, следовательно, оба преобразования будут тождественными, а величина интервального функционала равна квадрату модуля интервального кватерниона, то есть квадрату его энергии покоя;
[ 3 ] — раскрывая действие смещения на интервальный кватернион, получаем изменение его нормы совокупно с изменением его аргумента;
[ 4 ] — раскрывая действие преобразования F, неясной природы, получаем изменение его нормы относительно нормы покоя (полной релятивистской энергии относительно энергии покоя);
[ 5 ] — интерскалярная форма не влияет на модуль кватерниона, следовательно, последний может быть вынесен из-под её действия;
[ 6 ] — интерскалярная форма единичного элемента, полученного смещением, ничем принципиально не отличается от аналогичной формы единичного элемента, полученного поворотом, и будет равна косинусу двойного аргумента единичного элемента;
[ 7 ] — воздействие преобразований F и T на модуль элемента является величиной обратной изменению интерскалярной формы единичного элемента при его вещественно-мнимом повороте;
[ 8, 9 ] — вся конструкция относительно любого элемента в будет инвариантна, оставаясь равна модулю в ИСО покоя.
Удобно, что D-поворот в таком представлении описывает систему объектов с постоянной внутренней энергией системы. Например, реактивное движение.
Предполагаю, что ответ на вопрос, оставшийся не отвеченным в данной статье, лежит в направлении расширения мерности пространства.

10. Благодарности

Я дал обещание написать благодарности всем причастным лицам, если получится что-то стоящее. Поэтому эта глава не для Вас, уважаемый читатель, а для тех, кому обещал.
Хочу поблагодарить господ Эйнштейна, Гамильтона, Минковского, Лоренца, Кляйна, Кэли за идеи и подсказки; множество учёных и энтузиастов за доступный профильный контент; и особенно — моего отца за слова о «золотом мальчике».

К читателю же обращаюсь с просьбой чувствовать себя свободно, высказывая собственные соображения в комментариях, особенно, если видите нестыковки — мой взгляд может быть просто «замылен» проработкой, и я что-то упускаю.

Заранее благодарен за высокую культуру презентации собственного мнения.