5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР) / forpes.ru

Главная
5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР)

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР) +4

04.07.2022 00:37

petuhoff 0 1700 Источник

Продолжаем публикацию лекций по курсу "Управление в Технических Системах" автор - Олег Степанович Козлов на кафедре Э7 МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется. В предыдущих сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено. 3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности. 4 Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

Будет как всегда позновательной увлекательно и жестко

5.1. Главная передаточная функция. Передаточные функции по возмущающему воздействию и для ошибки (рассогласования)

Используя структурные преобразования (см. раздел 4), структурную схему практически любой линейной или линеаризованной САР (САУ) можно привести к виду:

Где функции по времени:

- управляющее воздействие;

– регулируемая величина (выходное воздействие);

– возмущающее воздействие;

Или в изображениях:

$\left \{ \begin{align}x(t)&\rightarrow X(s)\\y(t)&\rightarrow Y(s)\\ f(t)& \rightarrow F(s) \\ \epsilon(t)&\rightarrow E(s) \end{align} \right.$

Определение: Если единичная обратная связь охватывает все элементы (звенья) САР – она называется главной.

Определение: Если главная обратная связь отсутствует - САР считается разомкнутой.

Передаточная функция может быть любой сложности (т.е. содержать местные обратные связи, параллельные и последовательные цепи и т.д.).

Возмущающих воздействий может быть несколько и приложены они могут быть в любом месте структурной схемы.

Передаточную функцию которую в Теории Управления называют передаточной функцией разомкнутой САР, будем представлять в следующем виде (для единообразия):

$W(s)=\frac{K\cdot N(s)}{L(s)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.1)}$

где – общий коэффициент усиления; – полиномы по степеням переменной , причем свободные члены в них равны 1 (единице).

Учитывая, что САР линейна или линеаризована, разделим на структурной схеме каналы прохождения управляющего и возмущающего воздействий. Выделим в отдельное звено (может быть и очень сложное) ту часть системы, через которую проходит возмущающее воздействие $f(t)\Rightarrow$ обозначим ее через $M(s)\Rightarrow$ Структурная схема САР принимает вид:

Рисунок 5.1.2 Структурная схема общего вида с передаточной функцией и внешним воздействием

где: $y_1(t)\rightarrow Y_1(s); \ \ y_2(t)\rightarrow Y_2(s); \ \ y(t)=y_1(t)+y_2(t); \ \ Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s).$

В Теории Управления используют 3 основных передаточных функций замкнутой САР:

главная передаточная функция $\Phi(s)$ ;
передаточная функция по возмущающему воздействию $\Phi_f(s)$ ;
передаточная функция для ошибки (рассогласования) $\Phi_\varepsilon(s).$

Рассмотрим более подробно вышеупомянутые передаточные функции.

Главная передаточная функция

Главная передаточная функция -передаточная функция по управляющему воздействию математическое определение этой передаточной функции:

$\Phi(s) =\frac{Y(s)}{X(s)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.2)}$

выведем формулу при условии если возмущеющие воздействие равно $f(t)=0, \Rightarrow y(t)=y_1(t)$ . "Обойдем" структурную схемв по контуру:

$Y(s)= E(s)\cdot W(s)=\left[ X(s)-Y(s)\right]\cdot W(s)\Rightarrow\\Y(s)=X(s)\cdot W(s)-Y(s)\cdot W (s) \Rightarrow\\Y(s)+Y(s)\cdot W(s)=X(s)\cdot W(s)\Rightarrow\\ \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{W(s)}{1+W(s)};$ $\Phi(s)=\frac{W(s)}{1+W(s)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.3)}$

Примечание. Формула (5.3) совпадает с формулой для передаточной функции цепи с местной единичной обратной связью (см. раздел 4 – «Структурные преобразования»).

Подставляя вместо ее выражение через полиномы и $L(s) \Rightarrow$

$\Phi(s)=\frac{K\cdot N(s)/L(s)}{1+K\cdot N(s)/L(s)}=\frac{K\cdot N(s)}{L(s)+K\cdot N(s)}=\frac{K\cdot N(s)}{D(s)}\ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.4)}$

где: $D(s)=L(s)+K\cdot N(s)$

Анализ выражения (5.4) показывает, что свойства главной передаточной функции замкнутой САР однозначно определяются свойствами разомкнутой САР, т.е. через полиномы и .

Передаточная функция замкнутой САР по внешнему возмущающему воздействию

Дадим математическое определение рассматриваемой передаточной функции если управляющие воздействи , а возмущеющие воздействие отличное от нуля $f(x)\neq 0$ . В этом случае (см. рисунок 5.1.2) получается:

$y(t)=y_1(t)+y_2(t)\\ x(t)=0\Rightarrow \varepsilon(t)=0-y(t)=-y(t);$

Перрейдем к изображением и "обойдем" схему (см. рис. 5.1.2) по контуру

$Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s) =E(s)\cdot W(s)+F(s)\cdot M(s)=\\=-Y(s)\cdot W(s)+F(s)\cdot M(s) \Rightarrow\\Y(s)\cdot[1+W(s)]=F(s)\cdot M(s)\Rightarrow \frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{M(s)}{1+W(s)};$ $\Phi_f=\frac{Y(s)}{F(s)} =\frac{M(s)}{1+W(s)}$

Подставляя вместо ее выражение через полиномы и получаем:

$\Phi_f=\frac{M(s)}{1+K\cdot N(s)/L(s)}=\frac{M(s)\cdot L(s)}{L(s)+K(s)\cdot N(s)}=\frac{R(s)}{D(s)}\ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.6)}$

где: $R(s) =M(s)\cdot L(s)$ - вид данного полинома зависит от места приложения возмущающего воздействия;

Формулы 5.4 и 5.6 имеют общий занаменатель $D(s)=L(s)+K\cdot N(s)$

Передаточная функция замкнутой САР для ошибки (рассогласования)

Дадим математическое определение рассматриваемой передаточной функции если управляющие воздействиt отлично от 0 $x(t) \neq0$ , а возмущеющие воздействие равно 0 . В этом случае для передаточной функции получается (см. рис. 5.1.2):

$\Phi_\varepsilon(s)=\frac{E(s)}{X(s)}$

Сделаем вывод соответствующих формул, выполнив «обход» по контуру схемы (см. рис. 5.1.2) $\Rightarrow$

$E(s)=X(s)-Y(s)=X(s)-E(s)\cdot W(s)\Rightarrow \\ E(s)\cdot(1+W(s))=X(s) \Rightarrow \frac{E(s)}{X(s)}=\frac{1}{1+W(s)}$ $\Phi_\varepsilon(s)=\frac{1}{1+W(s)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.7)}$

Учитывая формулу для главной передаточной функции $\Phi(s)=\frac{W(s)}{1+W(s)}$ можно записать выражения для передаточной функции рассоглаосвания:

$\Phi_\varepsilon(s)=1-\Phi(s)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.8)}$

Подставляя вместо ее выражение через полиномы и получаем:

$\Phi_\varepsilon(s)=\frac{1}{1+K\cdot N(s)/L(s)}=\frac{L(s)}{L(s)+K\cdot N(s)}=\frac{L(s)}{D(s)}\ \ \ \ \ \mathbf{(5.9)}$

где: $D(s)=L(s)+K\cdot N(s)$

Опять замечаем, что знаменатель передаточной функции $\Phi_\varepsilon$ равен полиному следовательно, характерным признаком передаточных функций замкнутой САР является общность знаменателей ! ! !

В Теории Управления выражение $D(s)=L(s)+K\cdot N(s)$ имеет «собственное» название: характеристический полином замкнутой САР.

5.2 Уравнения динамики замкнутой САР

Как указывалось в подразделе 5.1, любую замкнутую САР можно привести к виду представленному на рисунке 5.2.1:

Рисунок 5.2.1 Общая схема замкнутой САР с возмущающим воздействием

Выведены соотношения для 3-х основных передаточных функций замкнутой САР позволяют записать выражения для регулируемой величины в изображениях:

$Y(s)=\underbrace{\Phi(s)\cdot X(s)}_{Y_x(s)}+\underbrace{\Phi_f(s)\cdot F(s)}_{Y_f(s)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.2.1)}$

Подставляя значения $\Phi_s(s)$ и $\Phi_f(s)$ через полиномы и разомкнутой САР получаем:

$Y(s)=\frac{K\cdot N(s)}{L(s)+K\cdot N(s)}\cdot X(s)+\frac{R(s)}{L(s)+K\cdot N(s)}\cdot F(s)$

подставим значения для характеристического полинома $D(s)=L(s)+K\cdot N(s)$ получим выражение для динамического уравнения замкнутой САР в изображениях:

$D(s)\cdot Y(s)=K\cdot N(s)\cdot X(s)+R(s)\cdot F(s)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.2.2)}$

Переходя к оригиналам получаем символическую форму записи обыкновенного дифференциального уравнения замкнутой САР:

$D(p)\cdot y(t)=K\cdot N(p) x(t)+R(p)f(t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.2.3)}$

Решение диференциального уравнения состоит из двух частей:

$y(t)= y_{соб.}(t)+y_{вын.}(t)$

где: $y_{соб.}(t)$ - собственная часть, решение однородного дифференциального уравнения ;

$y_{вын.}$ - вынужденная часть решения (частное решение), определяемая правой частью уравнения ( 5.2.3 ).

Решения однородного уравнения замкнутой САР:

$D(p)y(t)=0 \Rightarrow a_n\cdot y^{(n)}+a_{n-1}\cdot y^{n-1}+...+a_1\cdot y^1+a_0\cdot y=0$

записываем соответствующее характеристическое уравнение:

$D(\lambda)=0 \Rightarrow a_n\cdot\lambda^n+a_{n-1}\cdot \lambda^{n-1}+...+a_1\cdot \lambda+a_0=0 \Rightarrow$

находим корни степенного уравнения $\lambda_j$ если все корни уравнения разные:

$Y_{соб}(t)=\sum_{j=1}^nC_j\cdot e^{\lambda\cdot j},$

Если есть совпадающие корни характеристического уравнения, то формула для $Y_{соб}(t)$ изменится (см. Математическое описание систем автоматического управления).

Обычно $y_{вын.}$ находят по виду правой части уравнения (5.2.3) или, используя другие методы (например, метод вариаций постоянных).

Необходимо отметить, что порядок дифференциального уравнения (5.2.3) равен «n», т.е. такой же, как и у разомкнутой САР $\Rightarrow$

$L(p)y(t)=K\cdot N(p)x(t)$

если нет возмущающего воздействия, т.к. порядок дифференциального оператора L(p) обычно значительно выше, чем N(p).

По аналогии с выводом уравнения (5.2.3) можно получить уравнение динамики для рассогласования $\varepsilon(t)$ :

$E(s)=\Phi_\varepsilon(s)\cdot X(s)-\Phi_f(s)\cdot F(s) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.2.4)}$

подставляя значения $\Phi_\varepsilon$ и $\Phi_f$ (см. 5.6 и 5.9) получаем:

$E(s)=\frac{L(s)}{D(s)}\cdot X(s)-\frac{R(s)}{D(s)}\cdot F(s) \Rightarrow$ $D(s)\cdot E(s)=L(s)\cdot X(s)-R(s)\cdot F(s)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.2.5)}$

Уравнение (5.2.5)- уравнение динамики замкнутой САР в ихображениях для рассогласования (ошибки) при наличии управляющего и возмущающего воздействий.

Особенностью данного уравнения (5.2.5) является то, что левая часть его практически совпадает с левой частью (5.2.2), в то время, как порядок правой части заметно выше , т.к. порядок многочленов D (s) и L (s) - одинаков, а порядок N(s) меньше L(s).

Это означает, что внешние воздействия и влияют на $\varepsilon(t)$ более сильным образом.

Дифференциальное уравнение замкнутой САР для ошибки:

$D(p)\varepsilon(t)=L(p)x(t)-R(p)f(t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.2.6)}$

Способы решения уравнения ( 5.2.6 ) такие же, как и для уравнения ( 5.2.3 ) .

5.3. Частотные характеристики замкнутой САР.

Наибольший интерес при анализе замкнутых САР имеет АФЧХ замкнутой САР по управляющему воздействию:

$\Phi(s)_{s=i\cdot\omega}=\Phi(i\cdot\omega)=\frac{W(i\cdot\omega)}{1+W(i\cdot \omega)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.3.1)}$

где передаточная функция:

$W(i\cdot\omega)=\frac{K\cdot N(i\cdot\omega)}{L(i\cdot \omega)}$

Учитывая, что $W(i\cdot\omega)=u(\omega)+i\cdot v(\omega)$ - комплексное число, по аналогии имеем:

$\Phi(i\cdot\omega)=P(\omega)+ i\cdot Q(\omega) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.3.2)}$

Где $P(\omega)=Re(\Phi_s)$ - вещественная часть функции, $Q(\omega)=Im(\Phi_s)$ - мнимая часть функиции.

На этих рисунках представлен «примерный» вид зависимостей P (w)и Q(w) для «какой-то» замкнутой САР причем P(w) - четная функция, т.е. P(w) = P(-w); Q(w) - нечетная функция, т.е. Q(w) = - Q(-w).

Если известны частотные свойства разомкнутой САР, то можно определить частотные свойства замкнутой САР. Воспользуемся показательной формой для АФЧХ

$W(i\cdot\omega) = A(\omega)\cdot e^{i\cdot \varphi(\omega)}$

Где $A(\omega)$ - амплитуда (модуль), $\varphi(\omega)$ - сдвиг фазы (фаза). Подставляя это в (5.3.1), имеем получаем:

$\Phi(i\cdot\omega) = A_{з}(\omega)\cdot e^{i\cdot\varphi_з(\omega)}=\frac{A(\omega)\cdot e^{i\cdot \varphi(\omega)}}{1+A(\omega)\cdot e^{i\cdot \varphi(\omega)}}\Rightarrow$ $\Rightarrow 1+A(\omega)\cdot e^{i\cdot\varphi(\omega)}=\frac{A(\omega)\cdot e^{i\cdot \varphi(\omega)}}{A_{з}\cdot e^{i\cdot \varphi_з(\omega)}}\Rightarrow$ $\Rightarrow \frac{e^{-i\cdot \varphi_3(\omega)}}{A_з(\omega)}=1+\frac{e^{-i\cdot \varphi(\omega)}}{A(\omega)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.3.3)}$

Учитывая, что $e^{-i\cdot \varphi}=cos(\varphi)-i\cdot sin(\varphi) \Rightarrow$

$\frac{cos[\varphi_з(\omega)]}{A_з(\omega)}-i\cdot\frac{sin[\varphi_З(\omega)]}{A_з(\omega)}=1+\frac{cos[\varphi(\omega)]}{A(\omega)}-i\cdot\frac{sin[\varphi(\omega)]}{A(\omega)}\ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.3.4)}$

Приравнивая чисто вещественные и чисто мнимые части, имеем $\Rightarrow$

$\left \{ \begin {align}\frac{cos[\varphi_з(\omega)]}{A_з(\omega)}&=1+\frac{cos[\varphi(\omega)]}{A(\omega)} \ \ \ \ \ (1)\\ \frac{sin[\varphi_з(\omega)]}{A_з(\omega)}&=\frac{sin[\varphi(\omega)]}{A(\omega)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2). \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.3.5)}$

Для нахождения амплитуды $A_з(\omega)$ и сдвига фазы $\varphi_з(\omega)$ замкнутой передаточной функции как функции от амплитуды $A(\omega)$ и сдвига фазы $\varphi (\omega)$ разомкнутой системы. Разделив (2) на (1) получим:

$tg[\varphi_з(\omega)]=\frac{sin[\varphi(\omega)]}{A(\omega)+cos[\varphi(\omega)]} \Rightarrow$

Сдвиг фазы замкнутой системы через характеристики разомкнутой системы:

$\varphi_з(\omega) = arctg \left[ \frac{sin[\varphi(\omega)]}{A(\omega)+cos[\varphi(\omega)]}\right] - \pi\cdot j \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.3.6)}$

Для получения амплитуды замкнутоей системы возведем оба уравнения системы (5.3.5) в квадрат: $\Rightarrow$

$\left \{ \begin {align}\frac{cos^2[\varphi_з(\omega)]}{A^2_з(\omega)}&=1+\frac{cos^2[\varphi(\omega)]}{A^2(\omega)}+2 \cdot\frac{cos[\varphi(\omega)]}{A(\omega)} ;\\ \frac{sin^2[\varphi_з(\omega)]}{A_з^2(\omega)}&=\frac{sin^2[\varphi(\omega)]}{A^2(\omega)} . \end{align} \right.$

складываем эти два уравнения:

$\frac{1}{A^2_з(\omega)}\left[\underbrace{cos^2\varphi_з(\omega)+sin^2\varphi_з(\omega)}_1\right]=1+\frac{1}{A^2(\omega)}\left[\underbrace{cos^2\varphi(\omega)+sin^2\varphi(\omega)}_1\right]+\dots\\\dots+2\frac{cos[\varphi(\omega]}{A(\omega)}$ $\frac{1}{A^2_з(\omega)}=\frac{A^2(\omega)+2\cdot A\cdot cos[\varphi(\omega)]+1}{A^2(\omega)}\Rightarrow$ $A_з(\omega)=\frac{A(\omega)}{\sqrt{A^2(\omega)+2\cdot A(\omega)\cdot cos[\varphi(\omega)]+1}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(5.3.7)}$

Аналогичным образом можно выразить, например, P(w) и Q(w) - характеристики замкнутой САР через u(w) и u(w) - характеристики разомкнутой САР.

Пример

В качестве примера на рисунке 5.4.1 приведена модель помещения, в котором с помощью интегрирующего звена обеспечивается подвод тепла для поддержания температуры. Температура задается в виде ступенчатой функции. В качестве внешнего воздействия используется внешняя температура.

5.4.1 Рисунок сравнение физической модели и передаточных функций

Передаточные функции построены средтвами автоматического анализа. Видно, что знаменатель главной передаточной функции и знаменатель передаточной функции по возмущающиму воздействию одинаковы.

График справа показывает расхождение результаты модели (зеленая линия) и передаточных функций (синит линя) в начале расчета, но потом функции сходятся. Расхождение объясняются разными начальными условиями по производным. Слева тот же самый график, но в это случае начальное состояние определено с помощю загрузки стационарного состояния, полученного предварительным моделированием. В этом случае совпадение модели и передаточных функций полное.

Ссылку на модель примера можено взять здесь...