Прежде всего, со всей ответственностью скажу, что два плюс два действительно равняется двум. Согласны? Или думаете, что здесь есть какой-то подвох? И да, и нет. Два плюс два равно двум, но не в традиционном смысле, а в тропическом. Если я еще не сумел заинтересовать пытливого читателя, то скажу заранее: в статье, кроме чудес сложения и умножения, будет еще одно. Бесконечность — это ноль. Но обо всем по порядку.

И что же общего?

На самом деле, общего много. Есть такой специальный раздел математики под названием тропическая математика. Иногда, в зависимости от контекста, используется термин "идемпотентная". Тропическая она потому, что её основы заложил ученый из Бразилии. Так название и прижилось. Главное отличие такой математики от нашей традиционно-обыденной в том, что в качестве сложения в ней используется операция максимум. Таким образом, . Наверное, вы никогда не задумывались, почему при суммировании получается то, что получается. Оно ведь из жизненного опыта очевидно: если взять два яблока и прибавить два яблока, будет четыре яблока, как ни крути. Это действительно так. Живем в такой вселенной и выбирать не приходится. Но даже в нашей вселенной с её предустановленными правилами есть, где разойтись.

В качестве операций над числами можно задать любое правило или алгоритм. Это не значит, что сейчас каждый придумает себе свое сложение с блек джеком и умножением. Оно-то конечно так, но, чтобы его признали и использовали, необходима практическая польза. Или, на худой конец, теоретическая. Придумать можно, но вряд ли будет полезно, поэтому критерий практичности сужает область для исследований и фантазии. В данной вселенной нам в хозяйственной жизни удобно использовать натуральные числа и определенные для них сложение и умножение. Но, если бы мы считали количество капель воды, то вполне могли бы использовать сложение, которое дает .Ведь одна капля плюс одна капля будет все та же одна капля, но побольше. А какое же сложение может таить микроуровень, где работают другие законы физики? Я как-то слышал, кстати, что там, на микроуровне, все треугольники равнобедренные. Или, например, другие вселенные, где, количество "пальцев" доминирующего вида вполне может быть иррациональным, а их сложение — процесс нам интуитивно незнакомый? Может и оказатся как гласят рекламы многих современных магазинов. Но тема сегодняшнего обсуждения весьма простая, а тема принципиальной вариативности математики и ее инвариантности во вселенных более обширная и глубокая.

Но, конечно, не все направления математики имеют ценность в контексте хозяйственно-бытовой деятельности. Некоторые разделы математики ценны, так как давали начало важным теоретическим разделам той же физики и развивались вместе с ними, а уже потом применялись на практике. Кроме того, теоретические наработки могут сотнями лет не выходить на пользу обществу, но сопровождать развитие самой науки. Так, например, было с теорией чисел, которая с самого начала рассматривалась как набор занимательных задачек. Возможно, я несколько упрощаю, но теория чисел была еще у древних греков, а обширное практическое применение получила только в середине двадцатого века.

Неужели бразилец заменил традиционный плюс максимумом, и в честь его местонахождения целый раздел математики назвали и изучают теперь? Именно. Ведь тропическая математика, в отличие от большинства других, которые мы можем придумать, имеет теоретическую и практическую ценность.

Алгебраическая структура. Что за зверь?

Чтобы понять теоретическую ценность тропической математики, необходимо познакомиться с понятием алгебраической структуры. Алгебраическая структура — это структура, состоящая из множества элементов и определенной операцией над ними. Например, натуральные числа, действительные числа и сложение или действительные числа с аналогичным сложением. Операция над множеством может быть не одна. В классическом случае обычно рассматриваются сложение и умножение в парах с обратными операциями: вычитанием и делением. Иногда алгебраическая структура называется коротко "алгебра". Поэтому в школе разделы, связанные с арифметикой, называют алгеброй. Иначе говоря, в школе изучают всего одну алгебру, которая максимально полезна в быту для счета и измерений.

Давайте придумаем свою алгебру. Для простоты возьмем конечное множество элементов: Для конечных алгебраических структур удобно задавать правила сложения через таблицы Кэли — мощнейший инструмент анализа алгебраических структур.

На пересечении двух элементов стоит элемент, который будет результатом сложения элемента из строки и элемента из столбца. Вот, собственно, и все — это полноценная алгебраическая структура.

Как мы выяснили, у математиков припрятано большое множество структур и разных алгебр, но алгебра алгебре рознь. Как существует классификация животных и растений, есть классификация алгебраических структур. Одной из самых продвинутых видов алгебраических структур с одной операцией является группа. Если алгебраическая структура является группой и по сложению, и по умножению, то это уже поле. Если нет обратных элементов по умножению, то это кольцо. Продвинутые они за счет того, что в них выполняется большое число правил. Каждый набор правил соответствует алгебраической структуре, поэтому таких типов структур очень много. Одна из самых бедных алгебраических структур называется "Магма": там практически нет никаких требований. Структура, которую мы придумали, надеюсь, является магмой, но я не проверял. Выше приведены очень упрощенные понятия, кому интересно узнать нюансы и прочесть более формальные и точные определения, могу посоветовать замечательную книгу Винберга "Курс алгебры". Изучение в общем виде позволяет изучать целые классы структур, как это любят математики. Например, можно доказать теорему для кольца, и она будет справедлива для всех алгебраических структур, которые являются кольцами.

Элементы тропической математики

Тропическая математика изучает алгебраические структуры с идемпотентными операциями. Идемпотентной операцией называется операция, которая при применении ее к одному и тому же аргументу дает в результат этот аргумент: . Например, операция максимум .

Такая алгебраическая структура назвается (эр макс) алгебра, она определена на множестве действительных чисел. В качестве сложения используется максимум и для удобства обозначается а умножение определено в обычном смысле. является полукольцом. В отличие от кольца, для нее не выполняется требование обязательного наличия для каждого элемента обратного элемента, такого, что в сумме они давали бы ноль (нейтральный элемент по сложению). А значит, в этой структуре просто нет вычитания. Более того, в такой структуре в качестве 0 (нейтрального) выступает минус бесконечность. Ведь ноль — это такой элемент, прибавление которого ничего не меняет: . В случае, когда сложение — это максимум, ничего не менять в результате будет только минус бесконечность, ведь любое число больше минус бесконечности. И только минус бесконечность меньше всех чисел.

А в остальном все остается так, как есть: возведение в степень, матрицы, векторы, норма, функции и т.д. Только нужно не забывать, что при сложении берется максимум, а умножаются числа в обычном смысле.

Поскольку структура ни много ни мало целое полукольцо, то в ней есть, что изучать. Можно смело доказывать теоремы и применять аналитические методы. Есть и другие идемпотентные полукольца, но они изоморфны друг другу. На основе тропических алгебраических структур развиваются алгебра (как наука), методы оптимизации, теория чисел, математическое моделирование, тропическая геометрия, теория принятия решений и другие. На русском языке есть замечательная самодостаточная книга по тропической математике Н.К. Кривулина "Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем". Тропическая математика также имеет широкое применение на практике.

Насколько это применимо?

В первую очередь это, конечно же, методы оптимизации. Методы оптимизации лежат в основе всей прикладной математики и составляют базу для эконометрики, методов математического моделирования, статистики, машинного обучения, сетевого планирования и других.

Тропическая математика позволяет находить решения для задач оптимизации в аналитической векторной форме. Иными словами алгоритмы могут быть представлены аналитически в матричной форме, что дает возможность исследовать их на качественно другом уровне. Это позволяет перерабатывать уже известные решения, доказывать их эффективность. Но большую ценность представляет возможность формализации новых и уже известных задач в терминах идемпотентной математики, которые можно решить с помощью методов тропической оптимизации.

Видов таких задач очень много. В большей степени охвачены задачи аппроксимации, оптимизации, принятия решений, ранжирования, моделирования систем, сетевого планирования, о 1-центре, эконометрики и другие. Конкретные статьи гуглятся по паттерну (задача, проблема) + "tropical mathematics".

Так что можно смело говорить, что два плюс два равняется двум, и это не какое-то девиантное мнение или самопридуманная математика. Это вполне обоснованная математическая структура.

Можно еще добавить, что справедливо и то, что а , но это уже в следующий раз, когда я напишу про вычеты каких-то там колец.