Статья посвящена реализации алгоритма Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений на языке Java.

Теоретические сведения

Рассмотрим математическую теорию. Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечно много решений или же быть несовместной (не иметь решений). Не все методы решения СЛАУ могут справится с вторым случаем, когда система имеет бесконечно много решений. Например, метод Крамера и матричный метод не применимы, но метод Гаусса вполне можно использовать.

Алгоритм можно условно разделить на два этапа:

• Прямой ход
• Обратный ход

В первом этапе образуются нули ниже или выше главной диагонали, за счет использования элементарных преобразований матрицы. На втором этапе находят неизвестные начиная с конца. Подробную теорию можно посмотреть по ссылке: метод Гаусса, поэтому с теорией пожалуй все. Перейдем к реализации.

Реализация

Начнем с постановки задачи:

• нам нужно создать программу, реализующую систему линейных уравнений в виде некоторой структуры данных, используя приемы обобщенного программирования. Система должна содержать коэффициенты производного типа от класса Number (т.е. Float, Integer, Double и т.д.)
• Запрограммировать алгоритм, который получив на вход структуру данных системы образует нули ниже главной диагонали

Начнем с написания интерфейса, который должно реализовывать каждое уравнение:

package gauss;

public interface Gauss<N extends Number, T extends Gauss<N, T>> {
    public void addEquation(T item);
    public void mul(N coefficient);
    public N findCoefficient(N a, N b);
    public N at(int index);
    public int size();
}

Здесь все должно быть ясно, N некоторый наследник Number'а, T — некоторый тип, реализующий данный интерфейс (рекурсивные дженерики). Метод addEquation(T item) позволяет прибавить каждый элемент уравнения item к каждому своему элементу. Остальные методы работают аналогично.

Теперь рассмотрим класс системы уравнений. Как видно в листинге ниже, он дженеризирован так же, как и интерфейс Gauss и содержит методы для удобного доступа к приватному списку содержащих в себе уравнений.

package gauss;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class LinearSystem<N extends Number, T extends Gauss<N, T>> {
    private List<T> list = new ArrayList<T>();

    public T get(int index){
        return list.get(index);
    }

    public void push(T elem){
        list.add(elem);
    }

    public int size(){
        return list.size();
    }

    public N itemAt(int i, int j){
        return list.get(i).at(j);
    }
}

Теперь можно приступать к реализации «частного случая» структуры уравнения. Создадим класс MyEquation, реализующий наш интерфейс. Пусть наследником Number'а будет сверхточный класс Float (на практике лучше брать Double). Обратите внимание, что в методе addEquation(MyEquation item) используется объект класса ListIterator, позволяющий изменять элементы перебираемого списка.

package gauss;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.ListIterator;
import java.util.Random;

public class MyEquation implements Gauss<Float, MyEquation> {
    private List<Float> equation = new ArrayList<Float>();
    public List<Float> getEquation(){
        return equation;
    }
    public void generate(int size){
        if (size < 2) size = 2;
        this.equation.clear();
        for (int i = 0; i < size; i++){
            Random random = new Random();
            this.equation.add((float) (random.nextInt()%10) + 1);
        }
    }
    @Override
    public int size(){
        return equation.size();
    }
    @Override
    public void addEquation(MyEquation item){
        ListIterator<Float> i = equation.listIterator();
        ListIterator<Float> j = item.getEquation().listIterator();
        for(; i.hasNext() && j.hasNext();){
            Float a = i.next();
            Float b = j.next();
            i.set(a + b);
        }
    }
    @Override
    public void mul(Float coefficient){
        for(ListIterator<Float> i = equation.listIterator(); i.hasNext();){
            Float next = i.next();
            i.set(next * coefficient);
        }
    }
    @Override
    public Float findCoefficient(Float a, Float b){
        if (a == 0.0f) return 1.0f;
        return -b/a;
    }
    @Override
    public Float at(int index){
        return equation.get(index);
    }
}

Теперь имеем полноценную структуру данных, реализующую систему уравнений. Составим алгоритм который будет принимать некоторый объект, реализующий интерфейс Gauss, затем вызывая нужные методы приведет матрицу к нужному виду.

package gauss;

public class Algorithm<N extends Number, T extends Gauss<N, T>> {
    LinearSystem<N, T> list = null;
    public Algorithm(LinearSystem<N, T> system){
            list = system;
    }

    public void calculate() throws NullPointerException, ArithmeticException{
        if (list == null){
            throw new NullPointerException("LinearSystem<N, T> instance equal null");
        }
        if (!checkSystem(list)){
            throw new ArithmeticException("Incorrect system for Gauss Method");
        }

        for(int i = 0; i < list.size() - 1; i++){
            for(int j = i + 1; j < list.size(); j++){
                N k = list.get(j).findCoefficient(list.get(j).at(i), list.get(i).at(i));
                list.get(j).mul(k);
                list.get(j).addEquation(list.get(i));
            }
        }
    }

    private boolean checkSystem(LinearSystem<N, T> system){
        if (system.size() < 2) return false;
        for(int i = 0; i < system.size(); i++){
            if (system.get(i).size() != (system.size() + 1)){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

Алгоритм простой, найти нужный коэффициент, домножить на него i-ю строку (i=0..n-1), и прибавить ее к j-й строке (j=i..n). Заметьте, алгоритм не знает как именно реализуются методы findCoefficient, mul и addEquation, это придает коду бОльшую гибкость, т.к. при потребности изменить способы манипуляции уравнениями (строками), будут изменены только реализации трех вышеупомянутых методов, а главный алгоритм останется нетронутым.

Почти все. Осталось запустить это все в методе main:

import gauss.Algorithm;
import gauss.MyEquation;
import gauss.LinearSystem;

public class Main {
    private static final int DEFAULT_EQUATIONS_NUMBER = 2;
    private static final int DEFAULT_VARIABLES_NUMBER = 2;

    public static void main(String args[]){
        LinearSystem<Float, MyEquation> list = generateSystem();
        printSystem(list);
        int i, j;
        Algorithm<Float, MyEquation> alg = new Algorithm<Float, MyEquation>(list);
        try{
            alg.calculate();
        }catch (NullPointerException e){
            System.out.println(e.getMessage());
            System.exit(0);
        }catch (ArithmeticException e){
            System.out.println(e.getMessage());
            System.exit(0);
        }
        Float [] x = new Float[DEFAULT_EQUATIONS_NUMBER];
        for(i = list.size() - 1; i >= 0; i--) {
            Float sum = 0.0f;
            for(j = list.size() - 1; j > i; j--) {
                sum += list.itemAt(i, j) * x[j];
            }
            x[i] = (list.itemAt(i, list.size()) - sum) / list.itemAt(i, j);
        }
        printSystem(list);
        printVector(x);
    }

    public static LinearSystem<Float, MyEquation> generateSystem(){
        LinearSystem<Float, MyEquation> list = new LinearSystem<Float, MyEquation>();
        int i;
        for (i = 0; i < DEFAULT_EQUATIONS_NUMBER; i++){
            MyEquation eq = new MyEquation();
            eq.generate(DEFAULT_VARIABLES_NUMBER + 1);
            list.push(eq);
        }
        return list;
    }

    public static void printSystem(LinearSystem<Float, MyEquation> system){
        for (int i = 0; i < system.size(); i++){
            MyEquation temp = system.get(i);
            String s = "";
            for (int j = 0; j < temp.size(); j++){
                s += String.format("%f; %s", system.itemAt(i, j), "\t");
            }
            System.out.println(s);
        }System.out.println("");
    }

    public static void printVector(Float [] x){
        String s = "";
        for (int i = 0; i < x.length; i++){
            s += String.format("x%d = %f; ", i, x[i]);
        }System.out.println(s);
    }
}

Запустим это чудо, что бы проверить корректность работы…



Это все. Исходники можно скачать на github'е.

Вывод

Метод Гаусса не очень поддается обобщенному программированию (как видите обратный ход выполнен отдельно), однако вышла своеобразная реализация которая, надеюсь, поможет кому то лучше разобраться в искусстве использования интерфейсов и дженериков.

Список использованной литературы:

• Математика на доступном языке. Метод Гаусса
• Википедия. Метод Гаусса
• Эквивалентные преобразования матрицы